[Wiskunde] Ladder-raadsel

[Bergen]

Ok, daar kom ik met een vage som

Er staat een ladder tegen een kist van 1x1 meter aan. De ladder is 7 meter lang. Op welke hoogte raakt de ladder de muur? Er zijn uiteraard 2 oplossingen mogelijk; de ladder kan immers ook bijna plat liggen. Graag exacte uitkomst met berekening! Ik heb de oplossing trouwens niet

Hier ff een tekening:

[supakeen]

Huiswerkvraag

Zijn dit alle maten die je weet

[Anoniem: 38697]

dit moet met de stelling van pythagoras, maar dan moet ik nog wel een extra maat hebben, anders gaat t niet...

[Janoz]

Met deze maten is het te doen... De truk voor deze som is dat je weet dat er 2 gelijk vormige driehoeken zijn. Namelijk de driehoek boven de doos en de driehoek naast de doos. Je hebt dus van de ene de korte zijde en van de ander de lange zijde. Hoeken zijn gelijk en beide zijden bij elkaar opgeteld is 7 meter.. nu maar ff rekenen.

[WhizzCat]

Congruentie. Er zitten 2 dezelfde driehoeken in. Verder kun je met SOS CAS TOA alles uitrekenen als de ladder 7 meter hoog is. succes!

edit
hmz, beetj te laat

[ Voor 11% gewijzigd door WhizzCat op 01-12-2002 23:14 ]

[Anoniem: 38697]

SOS CAS TOA
leg uit...

ons pap & ik zijn nl. nu aan 't brainstormen...

[Janoz]

Waneer je de hele boel invult krijg je waarschijnlijk een tweedegraads vergelijking waarvan je de nulpunten moet zoeken. Dit zijn dan de hoogte voor de 'platte' en de 'hoge' versie.. Ik heb alleen geen zin om de hele boel uit te rekenen

[Bergen]

zmn schreef op 01 December 2002 @ 23:10:
Huiswerkvraag

Zijn dit alle maten die je weet

Huiswerkvraag? Ik heb 4 of 5 jaar geleden al examen voor de Havo gedaan en ik had een 9,8 op Wiskunde B (zie profiel)

Nee deze som heeft m'n vader ooit eens bedacht... Iemand heeft hem ooit opgelost maar we hebben de berekening niet meer. Ik kom er niet meer uit... Omdat ik een paar wiskundevragen zag staan schoot deze som me weer te binnen, vandaar dat ik em aan jullie voorleg

Ik geloof dat je op laatst op een derdegraads vergelijking uitkomt met ook nog een 1/x iets erin, maar wel met 1 onbekende. Aangezien je op 1 onbekende uitkomt moet hij op te lossen zijn! (toch?)

[ Voor 16% gewijzigd door Bergen op 01-12-2002 23:21 ]

[Anoniem: 38697]

maar heb je ons wel alle maten gegeven, of missen we er niet één, waardoor je m.b.v. de stelling van pythagoras de driehoeken kan uitrekenen (of wil ik te makkelijk rekenen? )

[Bergen]

Ja, dan zou hij wel errug makkelijk zijn als ik er nog eentje bij doe Dan wordt het een 2e klas middelbare school-vraag. Het gaat erom dat je 2 gelijkvormige driehoeken hebt. Van de ene weet je de onderkant en van de andere de zijkant.

Je moet er niet naar staren, je moet de verhoudingen op papier zetten en invullen. De 2 schuine zijden moeten dan opgeteld 7 zijn.

[ Voor 51% gewijzigd door Bergen op 01-12-2002 23:23 ]

[Anoniem: 38697]

hehe, dat d8 ik dus al... maareh, cosinus etc. waren niet mijn sterkste punten...

[Bergen]

Anoniem: 38697 schreef op 01 december 2002 @ 23:17:
SOS CAS TOA
leg uit...
...

SOS = De Sinus is de Overstaande gedeeld door de Schuine zijde.
CAS = De Cosinus is de Aanliggende gedeeld door de Schuine zijde.
TOA = De Tangens is de Overstaande gedeeld door de Aanliggende zijde.

Ezelsbruggetje dus

[FCA]

GerbenW schreef op 01 December 2002 @ 23:09:
Ok, daar kom ik met een vage som

Er staat een ladder tegen een kist van 1x1 meter aan. De ladder is 7 meter lang. Hoe Op welke hoogte raakt de ladder de muur? Er zijn uiteraard 2 oplossingen mogelijk, de ladder kan ook bijna plat liggen. Graag exacte uitkomst met berekening! Ik heb de oplossing trouwens niet

Hier ff een tekening:

[afbeelding]

x^2 + (1+y)^2 = 7^2
(x-1)^2 + 1^2 = (7 - Sqrt(1^2 + y^2) )^2
Als je voor y de afstand tussen de kist en de onderkant van de ladder neemt.
In Mathematica gooien, Solve, et voila:

code:

       1 + 5 Sqrt[2] + Sqrt[47 - 10 Sqrt[2]]       -1 + 5 Sqrt[2] - Sqrt[47 - 10 Sqrt[2]]
{{x -> -------------------------------------, y -> --------------------------------------}, 
                         2                                           2
         1 + 5 Sqrt[2] - Sqrt[47 - 10 Sqrt[2]]       -1 + 5 Sqrt[2] + Sqrt[47 - 10 Sqrt[2]]
   {x -> -------------------------------------, y -> --------------------------------------}, 
                           2                                           2
         1 - 5 Sqrt[2] + Sqrt[47 + 10 Sqrt[2]]       -1 - 5 Sqrt[2] - Sqrt[47 + 10 Sqrt[2]]
   {x -> -------------------------------------, y -> --------------------------------------}}
                           2                                           2

Waarvan de laatste een negatieve y -waarde heeft, die we dus kunnen vergeten.

[Thijsch]

a = bovenste schuine stuk, b onderste schuine stuk

7/x = b/1
7/x = b

a/ (x-1) = 7/x = b
a+b = 7
a / (x -1) = b
a/b = x -1
a/b +1 = x

x is heel getal

a = 6, b = 1

x = 7
/edit: FCA eerder, en Wiskunde-B'eger

[ Voor 10% gewijzigd door Thijsch op 02-12-2002 00:27 ]

[MadMax]

Om deze som uit te kunnen rekenen hebben we nog een gegeven nodig, namelijk hoek die de ladder maakt met de grond of met de muur. Anders is het aantal uitkomsten oneindig! (okay, bijna oneindig!)

[ Voor 7% gewijzigd door MadMax op 02-12-2002 00:32 ]

[Thijsch]

MadMax schreef op 02 December 2002 @ 00:32:
Om deze som uit te kunnen rekenen hebben we nog een gegeven nodig, namelijk hoek die de ladder maakt met de grond of met de muur. Anders is het aantal uitkomsten oneindig! (okay, bijna oneindig!)

2 keer bewezen van niet

WhizzCat schreef op 01 december 2002 @ 23:14:
Congruentie. Er zitten 2 dezelfde driehoeken in. Verder kun je met SOS CAS TOA alles uitrekenen als de ladder 7 meter hoog is. succes!

edit
hmz, beetj te laat

nee, 3, die naast de doos, boven de doos en de driehoek ladder-muur-grond

[ Voor 34% gewijzigd door Thijsch op 02-12-2002 00:35 ]

[Thijsch]

edit:
dit kon dus in de post hierboven, mijn excuses

[ Voor 85% gewijzigd door Thijsch op 02-12-2002 00:36 ]

[MadMax]

ParaDot schreef op 02 December 2002 @ 00:33:
[...]

2 keer bewezen van niet

[...]


nee, 3, die naast de doos, boven de doos en de driehoek ladder-muur-grond

?? waar dan?

[Anoniem: 71053]

ParaDot schreef op 02 December 2002 @ 00:25:
a = bovenste schuine stuk, b onderste schuine stuk

7/x = b/1
7/x = b

a/ (x-1) = 7/x = b
a+b = 7
a / (x -1) = b
a/b = x -1
a/b +1 = x

x is heel getal

a = 6, b = 1

x = 7
/edit: FCA eerder, en Wiskunde-B'eger

7??? Dan kan die doos toch nooit 1 meter breed zijn...

[Thijsch]

[rml]FCA in "[ Wiskunde] Ladder-raadsel"[/rml]
[rml]ParaDot in "[ Wiskunde] Ladder-raadsel"[/rml]

[MadMax]

Ik snap ook niet helemaal wat Paradot nou probeert te bewijzen?!?!

[Thijsch]

Anoniem: 71053 schreef op 02 december 2002 @ 00:36:
[...]


7??? Dan kan die doos toch nooit 1 meter breed zijn...

ja, ik vond het ook al raar, maar ik zie de fout niet

[MadMax]

Foutje!

[ Voor 99% gewijzigd door MadMax op 02-12-2002 00:46 ]

[Thijsch]

Ook een foutje!

[ Voor 87% gewijzigd door Thijsch op 02-12-2002 00:47 ]

[MadMax]

Foutje!

[ Voor 96% gewijzigd door MadMax op 02-12-2002 00:46 ]

[MadMax]

shit, nou maak ik zelf een foutje, ben vergeten dat de ladder altijd de doos moet raken!

[Bergen]

FCA schreef op 02 December 2002 @ 00:23:
[...]


x^2 + (1+y)^2 = 7^2
(x-1)^2 + 1^2 = (7 - Sqrt(1^2 + y^2) )^2
Als je voor y de afstand tussen de kist en de onderkant van de ladder neemt.
In Mathematica gooien, Solve, et voila:

code:

       1 + 5 Sqrt[2] + Sqrt[47 - 10 Sqrt[2]]       -1 + 5 Sqrt[2] - Sqrt[47 - 10 Sqrt[2]]
{{x -> -------------------------------------, y -> --------------------------------------}, 
                         2                                           2
         1 + 5 Sqrt[2] - Sqrt[47 - 10 Sqrt[2]]       -1 + 5 Sqrt[2] + Sqrt[47 - 10 Sqrt[2]]
   {x -> -------------------------------------, y -> --------------------------------------}, 
                           2                                           2
         1 - 5 Sqrt[2] + Sqrt[47 + 10 Sqrt[2]]       -1 - 5 Sqrt[2] - Sqrt[47 + 10 Sqrt[2]]
   {x -> -------------------------------------, y -> --------------------------------------}}
                           2                                           2

Waarvan de laatste een negatieve y -waarde heeft, die we dus kunnen vergeten.

In Mathematica gooien, tja dat is vals spelen natuurlijk... Je moet het ZELF doen. Hoe komt dat programma dan aan dat antwoord? Staat dat er ook bij?

[ Voor 6% gewijzigd door Bergen op 02-12-2002 00:48 ]

[Bergen]

MadMax schreef op 02 December 2002 @ 00:45:
shit, nou maak ik zelf een foutje, ben vergeten dat de ladder altijd de doos moet raken!

Precies. Daarom zijn er maar 2 antwoorden mogelijk.

[W1LL3M]

Als je voor de bovenste hoek a neemt, dan geldt:

tan a= 1/(x-1) , cos a= x/7 en sin a= 1/(x-1)

in het algemeen geldt sin a/cos a=tan a, dus

sin a=(cos a)*(tan a) = x/(7*x-7)) en we hadden al sin a= 1/(x-1)

dus nog op te lossen:

x/(7*x-7)= 1/(x-1) -> x^2 - 8*x +7=0

maar dat geeft 7 en 1 wat doe ik nu fout ??

[Bergen]

meteen in de eerste regel ga je de fout in. cos a = x/7 klopt niet, het is niet 7 maar het bovenste gedeelte daarvan.

[ThaHandy]

is het niet op deze manier te berekenen


die formulens enzow is ook weer een tydje geleden

edit... dat had @ 21:30 gepost moeten worden.. maar GoT deed et ff niet

[ Voor 20% gewijzigd door ThaHandy op 02-12-2002 06:05 ]

[silentsnow]

komop, waar zijn die (ex-) wiskunde-B-ers Ik heb geen zin om het antwoord te verklappen, maar ik geef een hint:

tan x/1

[silentsnow]

tan x/1 = tan (x+1)/(y+1)

[silentsnow]

Het doet me veel pijn in m'n hart om te zien dat van jullie niemand eruit komt

[Bergen]

Ik pruts nog hoor

In jouw berekening is x trouwens het stukje boven de kist he... Misschien is dat idd wel zo handig, maar in de tekening is x de hele hoogte. Jouw berekening zou eigenlijk moeten luiden:

tan (x - 1) = tan (x / (y+1))


Deksels, ik ben al die sinus/cosinus/tangens samenvoeg- en omtoverregeltjes vergeten

[edit]
Tja het berekeningetje is übersimpel nu maar ik denk dat ik weer ff moet weten hoe ik van tan naar sin ga of omgekeerd

[ Voor 154% gewijzigd door Bergen op 02-12-2002 07:00 ]

[silentsnow]

zien jullie dan niet dat je met een rechte hoek te maken hebt ? 90 graden dus ...

[Bergen]

Je doelt op Pythagoras en gelijkvormige driehoeken? Zover waren we toch allang?

tan (x-1) = sin (x/7)

Ehm... en dan?

[ Voor 77% gewijzigd door Bergen op 02-12-2002 07:12 ]

[Bergen]

ParaDot schreef op 02 december 2002 @ 00:25:
a = bovenste schuine stuk, b onderste schuine stuk

7/x = b/1
7/x = b

a/ (x-1) = 7/x = b
a+b = 7
a / (x -1) = b
a/b = x -1
a/b +1 = x

x is heel getal

a = 6, b = 1

x = 7
/edit: FCA eerder, en Wiskunde-B'eger

Waarom moet X een heel getal zijn? Daar ga je de mist in in deze berekening. Je kunt uiteraard zelf ook bedenken dat X niet 7 kan zijn als de ladder OOK 7 meter lang is

[Diadem]

Grrrr
Ik had dus gisteren precies hetzelfde gedaan als FCA, maar toen was GoT ineens down en kon ik het niet meer posten. En nu wil ik het posten en is het al gedaan

Nouja, alsnog maar:

De afstand van de kubus tot de toppunt van de ladder noemen we n. Dan is: (1+n)^2 + (1+1/n)^2 = 49. Dit volgt uit pythagoras en de gelijkvormigheid van de 2 driehoeken.

*crunch* *crunch* Mathematica vind 4 wortels:

1/2{-1 + 5*sqrt(2) - sqrt[47 - 10*sqrt(2)]}
1/2{-1 + 5*sqrt(2) + sqrt[47 - 10*sqrt(2)]}
1/2{-1 - 5*sqrt(2) - sqrt[47 + 10*sqrt(2)]}
1/2{-1 - 5*sqrt(2) + sqrt[47 + 10*sqrt(2)]}

De eerste twee zijn positief. Dit zijn dus:

n = 0.169445 en n = 5.90162

De ladder staat 1 + 1/n van de muur af. Dat is dus:

1.169445 meter of 6.90162 meter.

QED

FCA: Hoe kom jij aan drie wortels? Het is een vierde graads vergelijking.

Het probleem is dus overigens absoluut niet triviaal. Het is zelfs onoplosbaar zonder hulpmiddelen. Er zijn formules om vierde graads vergelijkingen op te lossen, maar die zijn niet triviaal, niemand kent die uit zijn hoofd. GerbenW vroeg hoe mathematica aan de antwoorden komt. Nou, mathematica past gewoon deze formule toe:



Zoals je ziet passen de eerste 2 oplossingen net op mijn scherm

[Anoniem: 32579]

x = 6.909776533, krijg ik eruit met derive, ik ga uit van het oppervlak. Het grote oppervlak minus de twee kleine driehoeken is gelijk aan 1, verder substitueren met de onderlinge verhoudingen.

[Anoniem: 61994]

Simpel:
X₁= 7·¹/₆ = 1 ¹/₆
X₂= 7·^sqr(35)/₆

Dan weet je iig de antwoorden, zoek nu maar naar de methode...

[Anoniem: 10358]

Als je nou in plaats van 7 als lengte wortel( 8 ) had gekozen dan had je een iets mooiere x, namelijk x=2. Of bij lengte wortel(24) krijg je x=3+sqrt(3) en 3-sqrt(3).

[Anoniem: 32579]

X2= 7·sqr(35)/6

anders dan de mijne en de mijne is alweer andere dan Diadems oplossing, vreemd.

[xentric]

Gewoon zonder mathematica kan ik op deze manier een vrij nauwkeurige benadering geven:

Je zet eerst de lat rechtop tegen de doos, zodat het kantelpunt op 1 meter boven de vloer ligt. Als je nu gaat kantelen op dat punt dan zal de lat zijn onderkant van de grond af komen. Dit kun je gewoon berekenen en dus zonder het kantelpunt te verschuiven kom je dan uit op 1,39876cm boven de vloer, en dat levert bij de kantelhoek van 9,594 graden een schuine afstand tot de vloer op van 1,4185 cm. als je de lat dus de grond wil laten raken, dan zal je hem schuin (zelfde hoek houden) 1,4185 cm moeten laten zakken. Maar dan raakt de bovenkant van de lat de muur net niet meer, je hebt een gap van 0,24 cm bovenaan. Dit is op te lossen door de lat een fractie te kantelen wat de 1,4185 cm een fractie zal vergroten en de vertikale lengte van dit driehoekje zal dus ook weer groter worden...
Maar het raakpunt met de muur was sqrt(35) dus 5,916079 en daar kunnen we de vertikale hoogte van de onderkant van de ladder (na alleen kantelen) ongeveer 0,0142 m vanaf halen en dat levert op: 5,901879 m en dat scheelt ongeveer de dikte van een haar met de uitkomst van Mathematica... en daar ga ik niet moeilijk over doen

[ Voor 8% gewijzigd door xentric op 02-12-2002 18:54 ]

[Anoniem: 36884]

Die oplossing met x = 1+1/6 en y = 7/6sqrt(35) lijken mij in ieder geval niet goed, tenzij de ladder boven een ander hoek maakt met de verticaal dan onder. Dat is eenvoudig na te gaan.

Overigens is het probleem met een grafische rekenmachine op te lossen door het snijpunt te nemen van de volgende functies:
f(x) = tan(x) en g(x) = 7sin(x) - 1

je vindt dan met niet te veel decimalen: x = 1,4029 radialen en de Y-hoogte gelijk aan tan(x) is dan 6,9016 m.
De afstand van de voet van de ladder tot de muur is dan 1,1696 m.

O ja, Ik heb hier de hoek van de ladder met de horizontaal x genoemd. De hoogte van de muur waar de ladder de muur raakt is y. Dan geldt sin(x) = y/7 dus y = 7sin(x)en tan(x) = (y-1)/1 = (y-1). Dan volgt tan(x) = 7sin(x) -1.

Dat is voor iedereen met een grafische rekenmachine te doen.

[FCA]

Diadem schreef op 02 december 2002 @ 10:27:
Grrrr
Ik had dus gisteren precies hetzelfde gedaan als FCA, maar toen was GoT ineens down en kon ik het niet meer posten. En nu wil ik het posten en is het al gedaan

Nouja, alsnog maar:

De afstand van de kubus tot de toppunt van de ladder noemen we n. Dan is: (1+n)^2 + (1+1/n)^2 = 49. Dit volgt uit pythagoras en de gelijkvormigheid van de 2 driehoeken.

*crunch* *crunch* Mathematica vind 4 wortels:

1/2{-1 + 5*sqrt(2) - sqrt[47 - 10*sqrt(2)]}
1/2{-1 + 5*sqrt(2) + sqrt[47 - 10*sqrt(2)]}
1/2{-1 - 5*sqrt(2) - sqrt[47 + 10*sqrt(2)]}
1/2{-1 - 5*sqrt(2) + sqrt[47 + 10*sqrt(2)]}

De eerste twee zijn positief. Dit zijn dus:

n = 0.169445 en n = 5.90162

De ladder staat 1 + 1/n van de muur af. Dat is dus:

1.169445 meter of 6.90162 meter.

QED

FCA: Hoe kom jij aan drie wortels? Het is een vierde graads vergelijking.

Dat zat ik me ook al af te vragen...
Gelukkig hebben we wel dezelfde positieve oplossingen, maar ik denk dat het een foutje in Mathematica is, die komt omdat ik het volgende heb toegepast:

code:

TextForm[FullSimplify[Solve[{x^2 + (1 + y)^2 == 7^2, (x - 1)^2 + 
            1^2 == (7 - Sqrt[1^2 + y^2])^2}, {x, y}]]]

Ik heb ze dus in 1 keer opgelost.
Verder krijg ik als ik y oplos uit de 2 vergelijking ( (x - 1)^2 +
1^2 == (7 - Sqrt[1^2 + y^2])^2 ) en daarna de vergelijking oplos in de eerste vergelijking ( x^2 + (1 + y)^2 == 7^2 ) ik de volgende grafiek krijg naar y:


Met dus 3 nulpunten....
Vreemd, erg vreemd...

Het probleem is dus overigens absoluut niet triviaal. Het is zelfs onoplosbaar zonder hulpmiddelen. Er zijn formules om vierde graads vergelijkingen op te lossen, maar die zijn niet triviaal, niemand kent die uit zijn hoofd. GerbenW vroeg hoe mathematica aan de antwoorden komt. Nou, mathematica past gewoon deze formule toe:

[afbeelding]

Zoals je ziet passen de eerste 2 oplossingen net op mijn scherm

Wel als je een FullSimplify doet hoor

Edit: Alleen vind Mathematica dat niet echt tof. Afijn, paar kwartier rekenen stop ik hem maar.
Nog wel even Mathematica de stelling van Fermat laten bewijzen, als volgt:
FullSimplify[xⁿ + yⁿ == zⁿ , {{x, y, z, n} [Element] Integers, n > 2, x != 0, y != 0, z != 0}]
False

Eat that, Andrew Wiles....

[ Voor 8% gewijzigd door FCA op 02-12-2002 23:53 ]

[Anoniem: 36884]

FCA schreef op 02 december 2002 @ 22:30:
[...]

Dat zat ik me ook al af te vragen...
Gelukkig hebben we wel dezelfde positieve oplossingen, maar ik denk dat het een foutje in Mathematica is, die komt omdat ik het volgende heb toegepast:

code:

TextForm[FullSimplify[Solve[{x^2 + (1 + y)^2 == 7^2, (x - 1)^2 + 
            1^2 == (7 - Sqrt[1^2 + y^2])^2}, {x, y}]]]

Ik heb ze dus in 1 keer opgelost.
Verder krijg ik als ik y oplos uit de 2 vergelijking ( (x - 1)^2 +
1^2 == (7 - Sqrt[1^2 + y^2])^2 ) en daarna de vergelijking oplos in de eerste vergelijking ( x^2 + (1 + y)^2 == 7^2 ) ik de volgende grafiek krijg naar y:

[afbeelding]
Met dus 3 nulpunten....
Vreemd, erg vreemd...

[...]

Wel als je een FullSimplify doet hoor

Wat leuk dat het met Mathematica ook kan. Fantstisch programma! Werkt dat nou eenvoudiger dan met een grafische rekenmachine?

[Anoniem: 61994]

Hmm, even toegeven...hebbun foutje gemaakt (cosinusje vergeten )

De grootte van het blokje is bij mij 0.997977654 (niet goed dus)
Bramiozo komt op een blokje van 0.963975893 (nog kleiner)
Diadem heeft het juiste antwoord, daar past een blokje in van 1

De uitgeschreven 4^e graadsvergelijking is:

x⁴-2x³-47x²+98x-49=0

(gewoon snijpunt berekenen waar het blokje (y=x) de ladder raakt)

edit:
Plussen en minnen stonden niet goed

[ Voor 6% gewijzigd door Anoniem: 61994 op 03-12-2002 00:58 ]

[FCA]

Anoniem: 36884 schreef op 02 December 2002 @ 22:44:
[...]


Wat leuk dat het met Mathematica ook kan. Fantstisch programma! Werkt dat nou eenvoudiger dan met een grafische rekenmachine?

offtopic:
Eenvoudiger durf ik niet te zeggen, ik heb nooit met zo'n dingetje gewerkt. Maar het kan in ieder geval een stuk meer. Er zijn zelfs nieuwe wiskundige ontdekkingen mee gedaan!
http://mathworld.wolfram....ein-PlouffeAlgorithm.html
Deze ontdekking schijnt bijvoorbeeld met Mathematica gedaan te zijn.

[Diadem]

FCA schreef op 02 december 2002 @ 22:30:
[...]

Dat zat ik me ook al af te vragen...
Gelukkig hebben we wel dezelfde positieve oplossingen, maar ik denk dat het een foutje in Mathematica is, die komt omdat ik het volgende heb toegepast:

code:

TextForm[FullSimplify[Solve[{x^2 + (1 + y)^2 == 7^2, (x - 1)^2 + 
            1^2 == (7 - Sqrt[1^2 + y^2])^2}, {x, y}]]]

Ik heb ze dus in 1 keer opgelost.
Verder krijg ik als ik y oplos uit de 2 vergelijking ( (x - 1)^2 +
1^2 == (7 - Sqrt[1^2 + y^2])^2 ) en daarna de vergelijking oplos in de eerste vergelijking ( x^2 + (1 + y)^2 == 7^2 ) ik de volgende grafiek krijg naar y:

[afbeelding]
Met dus 3 nulpunten....
Vreemd, erg vreemd...

Heel erg vreemd inderdaad, omdat ik deze 4 nulpunten met 2 verschillende methoden gevonden had. Of je nu kijkt naar de totale driehoek, of naar de driehoek boven het blokje, of de driehoek rechts van het blokje, ik vind dezelfde 4 wortels. Volgens mij zijn die gewoon goed.

Wel als je een FullSimplify doet hoor

Dat kende ik nog niet. Dat werkt beter dan gewoon Simplify? Cool, weer wat geleerd.

Alleen hoe lang gaat dat duren? Hoe is nu op die 4e graads vergelijking al een minuut bezig. En dit is een xp 1800+, geen super traag ding.

[FCA]

Het wil dus niet echt. Ik heb mijn arme PIII 733 maar op laten houden met deze slavenarbeid. Zie edit van posts hierboven.

[Bergen]

Anoniem: 61994 schreef op 02 December 2002 @ 22:54:
Hmm, even toegeven...hebbun foutje gemaakt (cosinusje vergeten )

De grootte van het blokje is bij mij 0.997977654 (niet goed dus)
Bramiozo komt op een blokje van 0.963975893 (nog kleiner)
Diadem heeft het juiste antwoord, daar past een blokje in van 1

De uitgeschreven 4^e graadsvergelijking is:

x⁴-2x³-47x²-98x+49=0

(gewoon snijpunt berekenen waar het blokje (y=x) de ladder raakt)

En hoe los je zo'n 4e graads vergelijking op? Uit die Mathematica-bende word ik ook niet veel wijzer... Iedereen roept dat ie het heeft opgelost maar heeft het stiekem in Mathematica oid gegooid.

[FCA]

GerbenW schreef op 03 December 2002 @ 00:15:
[...]
En hoe los je zo'n 4e graads vergelijking op? Uit die Mathematica-bende word ik ook niet veel wijzer... Iedereen roept dat ie het heeft opgelost maar heeft het stiekem in Mathematica oid gegooid.

Nou, dit is met de hand een monnikenwerk. Lees bijv.
http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html
Als je dit echt met de hand wilt doen wens ik je veel plezier, en hoop ik dat je geen rekenfouten maakt en een hoop papier hebt.
Er zijn hier wel eens eerder dergelijke dingen langsgekomen, die betrekkelijk simpel leken, maar neerkwamen op 4e graads vergelijkingen oplossen.
Ik moet trouwens zeggen dat ik de oplossing van Xentric erg verrassend vond. Slechts met een normaal rekenmachientje kon hij al aardig in de buurt komen.

[Bergen]

Kick ass, dat ga ik nog een keer uitwerken op papier Als ik ze heb scan ik ze wel in en post ik ze wel

[ Voor 33% gewijzigd door Bergen op 03-12-2002 01:47 ]

[Anoniem: 61994]

^{(Plus en Min stonden niet goed....!!@*$% ben lekker bezig)}
x⁴-2x³-47x²+98x-49=0

sja en oplossen.....
Numerieke methoden.
Maar daarvoor is de volgende vergelijking een betere

Diadem schreef op 02 December 2002 @ 10:27:

De afstand van de kubus tot de toppunt van de ladder noemen we n.

Dan is: (1+n)^2 + (1+1/n)^2 = 49.

Dit volgt uit pythagoras en de gelijkvormigheid van de 2 driehoeken.

1/2{-1 + 5*sqrt(2) - sqrt[47 - 10*sqrt(2)]}
1/2{-1 + 5*sqrt(2) + sqrt[47 - 10*sqrt(2)]}
1/2{-1 - 5*sqrt(2) - sqrt[47 + 10*sqrt(2)]}
1/2{-1 - 5*sqrt(2) + sqrt[47 + 10*sqrt(2)]}

De eerste twee zijn positief. Dit zijn dus:

n = 0.169445 en n = 5.90162

De ladder staat 1 + 1/n van de muur af. Dat is dus:

1.169445 meter of 6.90162 meter.
...

Als ik zo de tijd vind zal ik dat numerieke gedoe wel even uitleggen.
(vb. zoeken naar een Wortel van W : (W+x_n·x_n)/(2·x_n)=x_n+1 )

[Anoniem: 61994]

Okeej, numerieke oplossing:

formule is eigenlijk:
{1+(n-1)}² + {1+1/(n-1)}² = 49
ofwel
n² + {1+1/(n-1)}² = 49

Linkerdeel:

n² = 49 - {1+1/(n-1)}²

Wordt:

n_i+1= +/- Sqr[ 49 - {1+1/(n_i-1)}²]

Stel:

Oplossing 1:
n_i+1= + Sqr[ 49 - {1+1/(n_i-1)}²]
n₀ = 0
n₁ = 7
n₂ = 6.9020931
n₃ = 6.9016252
n₄ = 6.9016229

Oplossing 2:

n_i+1= - Sqr[ 49 - {1+1/(n_i-1)}²]
n₀ = 0
n₁ = -7
n₂ = -6.9450972
n₃ = -6.9452060
n₄ = -6.9452057 (Negatief, dus logisch gezien onjuist antwoord)


Rechterdeel:

{1+1/(n-1)}² = 49 - n² <=>
n = 1+ 1 / {+/- Sqr(49 - n²) - 1 }

Wordt:

n_i+1 = 1+ 1 / {+/- Sqr(49 - n_i²) - 1 }

Oplossing 3:

n_i+1 = 1+ 1 / {+ Sqr(49 - n_i²) - 1 }
n₀ = 0
n₁ = 1.1666667
n₂ = 1.1694314
n₃ = 1.1694449
n₄ = 1.1694449

Oplossing 4:

n_i+1 = 1+ 1 / {- Sqr(49 - n_i²) - 1 }
n₀ = 0
n₁ = 0.875
n₂ = 0.8741362
n₃ = 0.8741379
n₄ = 0.8741379 (De ladder kan niet in de kubus vallen, dus logisch gezien fout)

[ Voor 1% gewijzigd door Anoniem: 61994 op 03-12-2002 04:28 . Reden: haakjes ]

[Anoniem: 72300]

in feite kun je dit probleem (relatief) makkelijk oplossen, je hebt enkel de formule voor opp. van een driehoek -(b.h)/2- en de stelling van Pythagoras -a²=b²+c²-

we beschouwen de figuur als volgt:

...|\ de grote driehoek, driehoek I en driehoek II zijn gelijkvormig
...|.\ <--- I basis vd grote driehoek=y
x.|...\ hoogt vd grote driehoek=x
...|__\
...|....|\ <--- II ==> hoogte I = x-1 (basis=1)
...|__|_\ basis II = y-1 (hoogte=1)
y

A_{grote driehoek}=A_kist+A_I+A_II
(x.y)/2 = 1.1 + [1.(x-1)]/2 + [(y-1).1]/2

==> [x.y]/2 = 2/2 + [x-1]/2 + [y-1]/2

==> x.y = x+y

Pyth.: x²+y²=7²

we hebben twee onbekenden en twee vergelijkingen, we kunnen het dus oplossen

x.y = x+y
(x+y)² - 2xy = 49 ---- (x+y)²=x²+y²+2xy ----
(x.y)² - 2xy = 49

stel xy=a

a²-2a-49=0
opl.: a₁ = 1+5sqrt(2)
a₂ = 1-5sqrt(2) <0 ---> schrappen, want lengte kan niet neg. zijn

het spreekt vanzelf dat we voor a=x+y dezelfde oplossingen krijgen

x.y = 1+5sqrt(2)
x+y = 1+5sqrt(2)

y = [1+5sqrt(2)]/x
x + [[1+5sqrt(2)]]/x - [1+5sqrt(2)] = 0

we zetten op gelijke noemer

x² - [1+5sqrt(2)].x + 1+5sqrt(2) = 0

we werken uit, en vinden
x₁ = [1+5sqrt(2) + sqrt[47-10sqrt(2)]]/2 = 6,9016229..

x₂ = [1+5sqrt(2) - sqrt[47-10sqrt(2)]]/2 = 1,1694449..

we hebben dus 2 mogelijke oplossingen
als we in een van de vorige stappen x uit de vergelijking halen, spreekt het voor zich dat we ook dan dezelfde oplossingen krijgen

we kunnen een proef maken: 6,9... * 1,1... = 6,9... + 1,1...
en ook nog met pythagoras: 6,9...² + 1,1...² = 49

deze oplossingen heb ik al tegengekomen op het forum

met de hulp van dr. avalanchez heb ik deze oplossingen gevonden, en allemaal zonder hulpmiddelen die vergelijkingen voor je oplossen
je ziet dus dat het ook zonder kan

[Anoniem: 36884]

Anoniem: 72300 schreef op 03 December 2002 @ 20:38:
in feite kun je dit probleem (relatief) makkelijk oplossen, je hebt enkel de formule voor opp. van een driehoek -(b.h)/2- en de stelling van Pythagoras -a²=b²+c²-

.........


met de hulp van dr. avalanchez heb ik deze oplossingen gevonden, en allemaal zonder hulpmiddelen die vergelijkingen voor je oplossen
je ziet dus dat het ook zonder kan

Dat vind ik nou eens een nuttige bijdrage. Een oplossing in gesloten vorm, zonder dat gestuntel met Mathematica!

Hulde aan hor en co!!!

[Diadem]

Anoniem: 72300 schreef op 03 december 2002 @ 20:38:

Hulde!

Maar mathematica is sneller

Anoniem: 36884 schreef op 03 december 2002 @ 20:49:

Een oplossing in gesloten vorm, zonder dat gestuntel met Mathematica!

De oplossing die ik en FCA gaven met mathematica is ook exact. Het is geen benadering, het is een exacte oplossing, in algebraische vorm, welke bewezen correct is. Dat is niet echt gestuntel te noemen.

In principe kan je de mathematicaoplossing ook op papier doen, dat is zelfs niet eens zo heel veel werk. Je moet alleen de formules voor een 4e graads vergelijking kennen. Dat niemand die kent, is juist omdat je dingen als mathematica hebt.

Gebruik maken van mathematica is geen gestuntel te noemen dus.

Al is hor's oplossing wel mooier

[RickN]

[lekker nutteloos]
Mathematica HEERSCHT!!!

Heel m'n studie gebruikt en nu ook tijdens m'n afstuderen veel plezier van gehad.
[/lekker nutteloos]

[Bergen]

Hmm die oplossing via de oppervlakte van de driehoek vind ik nog wel de stoerste oplossing!! Thanx, morgen maar ff uitleggen aan m'n pa, die zit er nog steeds mee te worstelen hehehe...

[ Voor 194% gewijzigd door Bergen op 04-12-2002 01:36 ]

[Anoniem: 8386]

laat maar

[ Voor 94% gewijzigd door Anoniem: 8386 op 04-12-2002 14:12 ]

[Anoniem: 36884]

Diadem schreef op 03 december 2002 @ 22:32:


Gebruik maken van mathematica is geen gestuntel te noemen dus.

Al is hor's oplossing wel mooier

Gebruik van Mathematica geen gestuntel? Ja, dat ligt er maar aan hoe en waarvoor je het gebruikt. Het gebruik van een vliegdekschip kan je ook niet als gestuntel zien. Maar als je het gebruikt om een roeiboot mee aan te houden dan leidt dat vrijwel onvermijdelijk tot komische taferelen. Doel en middelen zijn volstrekt niet in evenwicht.

Deze topic ging over een wiskundig “raadsel”. Het vinden van de 4-de graadsvergelijking die moet worden opgelost is betrekkelijk simpel. Dan begint voor de wiskundige natuurlijk pas de echte uitdaging. Hoe vind ik een methode om tot een simpeler oplossing te komen? Hor is daar prachtig in geslaagd. Mensen voor wie het wiskundig allemaal wat te moeilijk is stoppen het in Mathematica. Ik vind dat net zo iets als het oplossen van schaakproblemen met een schaakcomputer en dan denken dat je aan het schaken ben.

Dat ik tot de term gestuntel kwam ivm Mathematica komt overigens vooral daardoor feit dat ik de bijdragen van FCA en Diadem eens heb vergeleken met die van Hor. Voor het uitrekenen van een paar wortels schijnt Mathematica dan ook nog eens een paar minuten nodig te hebben. Er gaat blijkbaar niets boven het menselijk brein.

Samenvattend: gebruik Mathematica waarvoor het bedoeld is en los raadsels op met je verstand.

[Bergen]

Precies

Als je de boel in Mathematica gooit heb je toch helemaal geen eergevoel dat je het hebt opgelost? Lijkt mij tenminste van niet... Alle eer in dit topic gaat wmb naar Hor. Die snapt de term 'raadsel' iig.

Ik heb em op anderhalve A4 ook nog ff nagerekend en 't werkt prachtig zo

[ Voor 18% gewijzigd door Bergen op 04-12-2002 17:48 ]

[Anoniem: 10358]

Anoniem: 36884 schreef op 04 December 2002 @ 17:43:
Voor het uitrekenen van een paar wortels schijnt Mathematica dan ook nog eens een paar minuten nodig te hebben.

Een paar minuten is wel erg overdreven. Met Maple doe ik er ongeveer een seconde over dus mathematica zal er ook wel ongeveer zolang over doen.

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 36884 schreef op 04 December 2002 @ 17:43:

Deze topic ging over een wiskundig “raadsel”. Het vinden van de 4-de graadsvergelijking die moet worden opgelost is betrekkelijk simpel. Dan begint voor de wiskundige natuurlijk pas de echte uitdaging. Hoe vind ik een methode om tot een simpeler oplossing te komen? Hor is daar prachtig in geslaagd. Mensen voor wie het wiskundig allemaal wat te moeilijk is stoppen het in Mathematica. Ik vind dat net zo iets als het oplossen van schaakproblemen met een schaakcomputer en dan denken dat je aan het schaken ben.

Correctie. Mensen die de wiskunde te vies vinden stoppen het in mathematica. Want in wezen is de enige interessante wiskunde, die wiskunde die mathematica echt niet kan, omdat het bepaald inzicht vereist. Er is niks leuk aan een vierde graads vergelijking oplossen. Dus laat je dat doen door een computer.

Ik neem aan dat hor de numerieke beandering van het antwoord toch ook niet met de hand heeft gedaan. Natuurlijk niet, dat zou te omslachtig en saai zijnn. Nou hetzelfde hier voor die vergelijking. Hij is oplosbaar dus boring => mathematica

[FCA]

Laat ik het zo zeggen: Ik was te lui om op zoek te gaan naar een andere manier om het op te lossen.
Ik studeer wiskunde, en hoewel ik het wel leuk vind om dit soort dingen op te lossen, heb ik domweg de behoefte niet om dit soort dingen uitgebreid te bekijken.
Het uitrekenen van de wortels kostte minder dan een seconden, het omzetten in begrijpelijke vorm ettelijke seconden. Het vereenvoudigen van de algemene oplossing van een 4-e graads vergelijking kostte meer tijd, maar dat was totaal de vraag niet.

[Anoniem: 72232]

best handig om zo je huiswerk uit te laten leggen....

let je wel op bij je wiskunde lessen? zou ook kunnen helpen.

[ Voor 37% gewijzigd door Anoniem: 72232 op 05-12-2002 14:37 ]

[Bergen]

Anoniem: 72232 schreef op 05 december 2002 @ 14:37:
best handig om zo je huiswerk uit te laten leggen....

let je wel op bij je wiskunde lessen? zou ook kunnen helpen.

Je hebt het over mij neem ik aan? Lees dan ff de 8e post in dit topic want je antwoord slaat nergens op.

Anoniem: 8386 schreef op 05 december 2002 @ 11:42:
[...]


Correctie. Mensen die de wiskunde te vies vinden stoppen het in mathematica. Want in wezen is de enige interessante wiskunde, die wiskunde die mathematica echt niet kan, omdat het bepaald inzicht vereist. Er is niks leuk aan een vierde graads vergelijking oplossen. Dus laat je dat doen door een computer.

Ik neem aan dat hor de numerieke beandering van het antwoord toch ook niet met de hand heeft gedaan. Natuurlijk niet, dat zou te omslachtig en saai zijnn. Nou hetzelfde hier voor die vergelijking. Hij is oplosbaar dus boring => mathematica

Hor zou het antwoord niet met de hand hebben opgelost omdat dat te saai zou zijn? Ik zou me best kunnen voorstellen dat hij het wel met de hand heeft gedaan. Als ik zijn antwoord zo lees snap ik ook wel dat het werkt maar ik heb het ook nog een keer helemaal over gedaan, gewoon om te kijken of ik het juiste antwoord er ook uit krijg. Eigenlijk voor de lol dus. Komt misschien doordat ik gek op wiskunde ben?

Ik denk dat het net zoiets is als plastic vliegtuigmodellen inelkaar lijmen. Je kunt ze ook kant-en-klaar kopen, dan komt er precies hetzelfde uit, maar het zelf inelkaar zetten is nou eenmaal veel leuker.

[ Voor 73% gewijzigd door Bergen op 05-12-2002 15:40 ]

[handige_harrie]

AC = 7
DF = 1
EF = 1
CE = x
CF = (Sqrt(x²+1))
AF = 7-(Sqrt(x²+1))

driehoek ADF is gelijkvormig met driehoek FEC

ADF || AF || DF
===========
FEC || FC || EC

ADF || 7-(Sqrt(x²+1))_|| 1
===================
FEC || (Sqrt(x²+1))___|| x

dan kruislings vermenigvuldigen -->

x(7-(sqrt(x²+1))) = (Sqrt(x²+1))
7x-(x(Sqrt(x²+1))) = (Sqrt(x²+1))
7x = (Sqrt(x²+1)) + x(Sqrt(x²+1))
7x = (1+x)*(Sqrt(x²+1))
(7x / (1+x)) = (Sqrt(x²+1))

Dit op Grafische Rekenmachine --> x = 5,9

[Bergen]

GerbenW schreef op 02 december 2002 @ 07:11:
Je doelt op Pythagoras en gelijkvormige driehoeken? Zover waren we toch allang?

tan (x-1) = sin (x/7)

Ehm... en dan?

...Maar zou je hier niets mee kunnen doen?