Is wiskunde een absolute waarheid?

[Verwijderd]

Is wiskunde iets wat door mensen bedacht is, of inherent aan onze realiteit verbonden en alleen door mensen ontdekt? Ik denk het laatste. Het concept van "natuurlijke" getallen (dwz 0, 1, 2, 3, enz) is van nature aanwezig. De verdere theorie die hier uit volgt (de hele wiskunde) is verder niet aan subjectiviteit of 'discussie' onderhevig, het geheel ligt vast en kan maar op 1 consistente manier bestaan. Mensen die zeggen "nee hoor, ik heb mijn eigen wiskunde bedacht, waarbij 1+1=3 of <moeilijker voorbeeld wat in onze wiskunde niet klopt>", zijn aanwijsbaar fout aan het denken.

Ik geloof daarom ook dat buitenaardse wezens van een andere planeet (mits ze bestaan, en intelligent/bewust genoeg zijn om een concept als wiskunde te bevatten) dezelfde wiskunde zullen hebben als wij.

[Verwijderd]

Ik kan 't niet anders dan met je eens zijn...
Wiskunde is een abstraherend model van onze werkelijkheid...
Als wiskunde "niet zou kloppen" zouden we er ook geen zaken mee kunnen voorspellen die we nog niet weten.
Stel je weet niet hoe heet de onderkant van een spaceshuttle wordt bij de terugkeer in de dampkring.
Dan heb je denk ik niet veel meer dan 2 mogelijkheden: Of je gaat VET 'over-engeneeren' (wat een woord) En zorgt de voor dat de onderkant 10000000......graden aankan. Of je stopt de jou wel bekende gegevens in een prachtige formule en zorgt er voor dat je "voldoende" bescherming op die bodem lijmt...
ALS wiskunde een 'verzonnen' iets zou zijn, zou je vervolgens alsnog geen idee hebben of 't goed gaat!
Maar gelukkig is dat niet zo.

Dus wiskunde is denk ik een goed abstract model van de werkelijkheid.
(Pfioew, en dat voor donderdag ochtend 5:52)

[Mx. Alba]

Pure wiskunde staat volledig los van de wereld om ons heen. Pas als je wiskunde gaat toepassen op de wereld om ons heen wordt het "zinnig".

Neem 1+1=2. Die wiskundige uitspraak kan wel of niet correct zijn afhankelijk van het wiskundige universum waarin het plaatsvindt. Het meestgebruikte wiskundige universum komt natuurlijk overeen met de werkelijkheid zoals wij die om ons heen zien, waarin als je 1 appel neemt, en nog 1 appel, je in totaal 2 appels hebt. Maar je kan ook een wiskundig universum definiëren waarin 1+1 niet 2 is, maar 3. Als je ervoor zorgt dat alle wiskundige axioma's en regels die je voor dat universum definiëert binnen dat universum niet elkaar tegenspreken, heb je een geldig wiskundig framework waarin je allerlei interessante berekeningen kunt doen, die echter helemaal niets met de werkelijkheid te maken hebben zoals wij die kennen.

En je zou zelfs misschien een wiskundig universum kunnen definiëren met andere regels voor de logica waardoor verschillende regels, of zelfs verschillende axioma's, elkaar tegen kunnen spreken.

Het voorbeeld dat JazzIT geeft is een mooi voorbeeld van toegepaste wiskunde. Voor gebruik van de wiskunde voor het voorspellen van natuurkundige verschijnselen wordt een wiskundig universum gedefinieerd dat overeenkomt met het natuurkundige universum (de werkelijkheid dus). Zonder deze toegepaste wiskunde moet je inderdaad 'over-engineeren'. De Romeinen waren niet goed in wiskunde, en dus gingen zij ook heel erg 'over-engineeren'. Ze hadden de basis van de bouwkunst door, maar de fijne lijnen waren er niet, en om zeker te zijn dat alles zou blijven staan werd alles dus zeer fors gebouwd, met als gevolg dat vele Romeinse bouwwerken er na duizenden jaren nog steeds (gedeeltelijk) staan. Als je, zonder een goed wiskundig-natuurkundig model, toch probeert 'op het randje' te engineeren, krijg je dingen als de Toren van Pisa en andere bouwkundige fiasco's, waar trouwens het originele ongepatchte Rotterdamse Zwaantje ook onder valt.

_{Bij de weg, JazzIT, mooi saxofoontje in je icoon. Wat voor merk/type? Ik heb een Trevor J. James 'The Horn' tenor.}

[Jace / TBL]

Maar je kan ook een wiskundig universum definiëren waarin 1+1 niet 2 is, maar 3.

Uhm, nou, dat betwijfel ik. Zodra er sprake kan zijn van het concept natuurlijke getallen (dus zeg maar, dat je in staat bent in dat universum onderscheid te maken tussen 1, 2, 3, enz), heb je de operatie "+1" in feite al vastgelegd, want dit is per definitie "het volgende natuurlijke getal". Of wacht, laat ik het nog even niet "+1" noemen. De natuurlijke getallen hebben een éénduidige volgorde, dwz elk natuurlijk getal heeft een opvolger. Als je de getallen 1,2,3,4,5 begrijpt, en 7, weet je dat daar één getal tussen past, namelijk 6. De natuurlijke operatie "optellen" bestaat uit het herhaaldelijk nemen van opvolgers. Aftrekken is het omgekeerde, vermenigvuldigen is herhaaldelijk optellen, en het hele verdere stappenplan naar rationale, reeele getallen en noem maar op ligt daardoor eenduidig vast.

Als je ervoor zorgt dat alle wiskundige axioma's en regels die je voor dat universum definiëert binnen dat universum niet elkaar tegenspreken

Ja en daar wringt hem de schoen, volgens mij. Als je, uitgaande van het concept natuurlijke getallen, definieert dat 1+1=3 loop je al snel tegen tegenstrijdigheden aan. Dus ik denk niet dat je met ons gevoel voor logica een wiskunde kunt maken waarbij 1+1=3.

En je zou zelfs misschien een wiskundig universum kunnen definiëren met andere regels voor de logica waardoor verschillende regels, of zelfs verschillende axioma's, elkaar tegen kunnen spreken.

Oei, dat gaat wel heel ver Ehmmm.. ik denk dat zo'n systeem door zichzelf zou instorten. Ik ben geneigd om te zeggen "een vorm van logica die zichzelf tegenspreekt klopt niet", alhoewel die 'regel' natuurlijk al een onderdeel is van onze logica. Maar valt er binnen die alternatieve logica uberhaupt wel iets zinigs te zeggen? Volgens mij niet.

[[Jules]]

De natuurlijke getallen hebben een éénduidige volgorde, dwz elk natuurlijk getal heeft een opvolger. Als je de getallen 1,2,3,4,5 begrijpt, en 7, weet je dat daar één getal tussen past, namelijk 6.

Misschien een domme uitspraak van mij, ik begrijp toch al niet veel van wiskunde.
Maar stel nu dat ik 6 niet definieer, dan is 7 toch de logische opvolger van 5? Of ik zou 6 toch de opvolger kunnen laten zijn van 7. Zit je alleen met het probleem van het visualiseren denk ik.
Of heb ik zojuist mijn eigen domheid lopen bevestigen?

[Verwijderd]

Misschien een domme uitspraak van mij, ik begrijp toch al niet veel van wiskunde.
Maar stel nu dat ik 6 niet definieer, dan is 7 toch de logische opvolger van 5? Of ik zou 6 toch de opvolger kunnen laten zijn van 7. Zit je alleen met het probleem van het visualiseren denk ik.
Of heb ik zojuist mijn eigen domheid lopen bevestigen?

Wat je dan feitelijk doet, is andere naampjes (symbolen) geven aan de bestaande natuurlijke getallen. Maar de vorm van de symbooltjes heeft natuurlijk niks te maken met de wiskunde op zich.

[Jace / TBL]

Misschien een domme uitspraak van mij, ik begrijp toch al niet veel van wiskunde.
Maar stel nu dat ik 6 niet definieer, dan is 7 toch de logische opvolger van 5? Of ik zou 6 toch de opvolger kunnen laten zijn van 7. Zit je alleen met het probleem van het visualiseren denk ik.

Uhm, nou, er is denk ik geen ander begrip van dat concept van natuurlijke getallen mogelijk, dan een begrip waarin de stap van 2 naar 3, van 3 naar 4, en van 4 naar 5, iets anders is dan de stap van 5 naar 7. En de stap van 7 naar 6 helemaal.

Het idee "telkens meer" valt denk ik niet op zodanige manier uit te leggen dat 4 meer is dan 3, 5 meer dan 4, 7 meer dan 5, en 6 meer dan 7. Als je niet scherp kijkt, zou je op het eerst gezicht 6 weg kunnen laten, maar ik denk dat je dan snel genoeg tot het besef komt dat 4 en 2 op de een of andere manier tezamen iets 'er tussenin' vormt. Afspreken dat 4 en 2 samen 7 is, komt dan op hetzelfde neer als 1+1=3, terwijl je het concept "2" wel kent.

Of heb ik zojuist mijn eigen domheid lopen bevestigen?

Ja, je kunt niet tellen!!

(edit)

Wat je dan feitelijk doet, is andere naampjes (symbolen) geven aan de bestaande natuurlijke getallen. Maar de vorm van de symbooltjes heeft natuurlijk niks te maken met de wiskunde op zich.

Oh, ehh ja ik ging er op zich wel van uit dat we het hier over het concept of begrip van de getallen hebben, en niet de manier waarop wij het representeren.
Maar inderdaad, als hij gewoon wil "opschrijven" dat 4+2=7 terwijl hij in z'n hoofd 4, 2 en 6 appels heeft, dan mag dat natuurlijk. De wiskunde van de egyptenaren klopte ook, en die schreven het ook anders op.

En mocht er inderdaad buitenaardse intelligentie bestaan met enige vorm van wiskunde, dan zullen ze ook vast niet dezelfde notatie als wij gebruiken

[Thijsch]

De hele wiskunde(en de hele wetenschap) berust toch op de stelling (axioma toch?) dat alles logisch is, en dat hoeft niet zo te zijn.

Ik heb eerder ookal eens topics geopend over de (on)zin v/d wetenschap

[Dido]

Het is niet meteen duidelijk hoe je 1+1=3 kunt laten werken, maar 1+1=10 gaat prima.

Een stukje toegepaste wiskunde is natuurlijk het binair rekenen is een computer: Als je alles maar een beetje goed definieert is het verschil van twee getallen het resultaat van een bitwise AND operatie.
De som van twee getallen ook trouwens!

Vermenigvuldigen is al wat lastiger en kun je op verschillende manieren definieren. ADaar kom je dan toch weer terecht op het gebied van de theorie, waarbij je getalbegrip toch wel heel erg sterk moet zijn als je daar overal nog links kunt vinden naar de alledaagse "werkelijkheid".

Wiskunde lijkt me wel degelijk een verzonnen begrip, niet een eenduidige beschrijving van iets dat absoluut vaststaat.
Zoals gezegd is het begripo natuurlijke getallen welliswaar van nature aanwezig, maar negatieve getallen niet. En zeker het getal nul niet!

[Verwijderd]

Wiskunde klopt altijd, omdat je zelf eerst de regels maakt en dan zorgt dat er binnen jouw wiskunde aan die regels wordt gehouden. De meest nuttige wiskunde is natuurlijk wiskunde waarbij de regels overeenkomen met regels uit de werkelijkheid.

[Mx. Alba]

1+1=3 ...

Hoe kan je dat voor elkaar krijgen?

Je kan bijvoorbeeld de operator + herdefiniëren terwijl je niets verandert aan het universum van de natuurlijke getallen N, like so:

0+0=0
1+0=1
2+0=2
etc.

0+1=2
1+1=3
2+1=4
etc.

0+2=3
1+2=4
2+2=5
etc.

Je ziet dat 1+0 en 0+1 niet de zelfde uitkomst hebben. Dit is een bijkomstigheid van dit universum, maar geen probleem, immers, in het standaard wiskundige universum komt het zelfde voor bij aftrekken, delen, enzovoorts.

Laten we nu gaan aftrekken.

0-0=0
1-0=1
2-0=2
etc.

2-1=0
3-1=1
4-1=2
etc.

3-2=0
4-2=1
4-2=2
etc.

En dan gaan we maar eens vermenigvuldigen. Hier is de tafel:

code:

 x     0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10

 0     0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
 1     0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
 2     1   3   5   7   9  11  13  15  17  19  21
 3     2   5   8  11  14  17  20  23  26  29  32
 4     3   7  11  15  19  23  27  31  35  39  43
 5     4   9  14  19  24  29  34  39  44  49  54
 6     5  11  17  23  29  35  41  47  53  59  65
 7     6  13  20  27  34  41  48  55  62  69  76
 8     7  15  23  31  39  47  55  63  71  79  87
 9     8  17  26  35  44  53  62  71  80  89  98
10     9  19  29  39  49  59  69  79  89  99 109
11    10  21  32  43  54  65  76  87  98 109 120

Vreemd, maar zeker zeer interessant. 10 bijvoorbeeld is een priemgetal geworden - die kan immers alleen door zichzelf en door 0 gedeeld worden:

10/10=1
10/0=11

verder zie je bijvoorbeeld:

11/11=1
11/5=2
11/3=3
11/2=4
11/1=6
11/0=12

Geinagh... Onieda?

Het slaat helemaal nergens op en heeft niets met De Echte Wereld te maken (maarja, wat is Echt?), maar het klopt onderling als een bus. En daar gaat het in de wiskunde om.

[Yoozer]

Op donderdag 18 juli 2002 02:08 schreef Juggalin_Juggalo het volgende:
Is wiskunde iets wat door mensen bedacht is, of inherent aan onze realiteit verbonden en alleen door mensen ontdekt? Ik denk het laatste.

ik denk hetzelfde, maar ik denk ook dat wij het framework ervoor ontworpen hebben zodat we er zelf mee kunnen redeneren. wiskunde kan 't geen bal schelen of we met 10, hex of binair werken, de optellingen komen volgens het referentiekader altijd uit.

Het concept van "natuurlijke" getallen (dwz 0, 1, 2, 3, enz) is van nature aanwezig. De verdere theorie die hier uit volgt (de hele wiskunde) is verder niet aan subjectiviteit of 'discussie' onderhevig, het geheel ligt vast en kan maar op 1 consistente manier bestaan.

maar kijk wel op welke manier wij naar natuurlijke getallen kijken. 1 appel plus 1 appel = 2 appels, maar de appels zelf kunnen de meest wilde verschillen hebben in gewicht, afmeting, kleur, of rijpheid. de vraag is waarom wij deze factoren er niet bij nemen; simpelweg omdat de wiskunde ze als niet relevant beschouwd?

Mensen die zeggen "nee hoor, ik heb mijn eigen wiskunde bedacht, waarbij 1+1=3 of <moeilijker voorbeeld wat in onze wiskunde niet klopt>", zijn aanwijsbaar fout aan het denken.

2+2=5 - dat is met een paar afrond-truukjes wel te doen. gewoon zorgen dat 2 geprint wordt terwijl er met 2.4 (afgerond) gerekend wordt levert het resultaat 4.8 op, en da's 5. 2+2 is ook 10 of 11, ligt er aan of je (in die volgorde) ternair of binair converteert.

Ik geloof daarom ook dat buitenaardse wezens van een andere planeet (mits ze bestaan, en intelligent/bewust genoeg zijn om een concept als wiskunde te bevatten) dezelfde wiskunde zullen hebben als wij.

en daar komt het eerste bezwaar aanzetten. beschouwd een alien een appel als een appel, of weegt hij daarbij een aantal factoren af, en komt op basis daarvan op een getal?

zouden 'natuurlijke' getallen, zoals je die noemt eigenlijk niet puur menselijk gemak zijn? alles wat er tussen het Z-domein in ligt komt veel vaker voor dan een exact natuurlijk getal.

ik heb toevallig een boek gelezen van greg bear (god's smidse is deel een, aambeeld van de sterren is deel twee - waar ik het dus over heb), waarin een alien-soort (genaamd de broeders) uitgingen van een dergelijk 'samengestelde' wiskunde, waarbij gehele getallen vrijwel niet voorkwamen, maar alles daartussen wel.

alien of niet, ze zitten zich vast ook wel rot te ergeren op pi, heb ik zo'n idee .

[Verwijderd]

Volgens mij is wiskunde het abstractste dat de mens ooit bedacht heeft. Simpel het feit dat wiskunde abstact is, indiceert dat het niet direct waarneembaar is in de natuur (abstracties/ideeen zijn niet waarneembaar). We abstaheren (vereenvoudigen) fenomenen in de natuur zolang totdat we ze in een (agebraische) orde kunnen vatten.

Anders gesteld: omdat we de natuur kunnen tellen/berekenen, betekent dat niet dat de natuur zichzelf telt/berekent.

[windancer]

Op donderdag 18 juli 2002 14:58 schreef Reyn Eaglestorm het volgende:
1+1=3 ...

Hoe kan je dat voor elkaar krijgen?

Je kan bijvoorbeeld de operator + herdefiniëren terwijl je niets verandert aan het universum van de natuurlijke getallen N, like so:

0+0=0
1+0=1
2+0=2
etc.

0+1=2
1+1=3
2+1=4
etc.

0+2=3
1+2=4
2+2=5
etc.

Je ziet dat 1+0 en 0+1 niet de zelfde uitkomst hebben. Dit is een bijkomstigheid van dit universum, maar geen probleem, immers, in het standaard wiskundige universum komt het zelfde voor bij aftrekken, delen, enzovoorts.
g als een bus. En daar gaat het in de wiskunde om.

Als je met iets wilt optellen en vermenigvuldigen zal je optelling commutatief moeten zijn. In andere woorden : dan moet a + b gelijk zijn aan b + a. Als dit niet zo is kan je niet gebruik maken van al bewezen resultaten. Je zult dan dingen moeten gaan bewijzen als :

code:

a * 0 = 0

a * (-b) = - (a * b)

als a * a = a dan a = 0 of a = 1

Als de optelling wel commutatief is krijg je al deze eigenschappen cadeau.

Trouwens, dat het aftrekken niet commutatief is, is alleen een notatie kwestie. Als je a - b schrijft als a + (-b) is het ineens wel commutatief.

[Verwijderd]

Op donderdag 18 juli 2002 18:28 schreef windancer het volgende:

[..]

Als je met iets wilt optellen en vermenigvuldigen zal je optelling commutatief moeten zijn. In andere woorden : dan moet a + b gelijk zijn aan b + a. Als dit niet zo is kan je niet gebruik maken van al bewezen resultaten. Je zult dan dingen moeten gaan bewijzen als :

code:

a * 0 = 0

a * (-b) = - (a * b)

als a * a = a dan a = 0 of a = 1

Als de optelling wel commutatief is krijg je al deze eigenschappen cadeau.

Ja, maar die eigenschappen zijn niet essencieel. Commutatieviteit is niet natuurlijk een mooie eigenschap, maar er zijn wel meer wiskundige constructies die niet commutatief zijn. (commutitiviteit is ook geen vereisde voor een optelling in een groep.)

Trouwens veel probleematischer in de optelling van Reyn Eaglestorm is dat zijn optelling niet associatief is. Of te wel (a+b)+c is niet gelijk aan a+(b+c) want
(0+1)+0 = 2
en
0+(1+0) = 1
Dit levert zeer grote probleem op als je ook maar iets wil bewijzen aan de hand van deze optelling, omdat je werkelijk niks meer kan herschrijven. Zo zal je simpele dingen zoals de uniciteit van inverse elementen moeilijk of niet kunnen bewijzen. (heb ff geen zin om het helemaal uit te werken.)

[Verwijderd]

De complete wiskunde is gebaseerd op een aantal (ik dacht 10) stellingen, die onbewijsbaar zijn.

Er is een mooie term voor, maar daar kan ik ff niet op komen.

Een van deze stellingen is al een aantal maal genoemd, namelijk dat 1+1=2.

[windancer]

Das niet waar

0+1+0 = (0+1)+0 = 2 + 0 = 2

en

0+1+0 = 0+(1+0) = 0 + 1 = 2

dus dit is niet een tegenvoorbeeld. Ik heb er mee zitten te spelen en volgens mij is de operatie wel associatief.

Op donderdag 18 juli 2002 20:19 schreef Trias het volgende:

[..]


Trouwens veel probleematischer in de optelling van Reyn Eaglestorm is dat zijn optelling niet associatief is. Of te wel (a+b)+c is niet gelijk aan a+(b+c) want
(0+1)+0 = 2
en
0+(1+0) = 1
Dit levert zeer grote probleem op als je ook maar iets wil bewijzen aan de hand van deze optelling, omdat je werkelijk niks meer kan herschrijven. Zo zal je simpele dingen zoals de uniciteit van inverse elementen moeilijk of niet kunnen bewijzen. (heb ff geen zin om het helemaal uit te werken.)

[GeeBee]

Mensen die zeggen "nee hoor, ik heb mijn eigen wiskunde bedacht, waarbij 1+1=3 of <moeilijker voorbeeld wat in onze wiskunde niet klopt>", zijn aanwijsbaar fout aan het denken.

Ik denk van niet.
Ons heelal zit op een bepaalde manier in elkaar en je kunt er met onze wiskunde heel goed naar kijken, de zaak verklaren en zelfs voorspellen. Dus onze manier is succesvol te noemen, maar zeker niet de enige manier om het te doen.
Ons tientallig stelsel is daar een goed voorbeeld van. Omdat we 10 vingers hebben, is een tientallig stelsel lekker handig rekenen.
Als ik modulo 24 ga rekenen, is 23+2=1. Denk maar aan de klok. Dat wil niet zeggen dat ik dan iets fout doe omdat het decimaal gezien niet klopt.

Ik geloof daarom ook dat buitenaardse wezens van een andere planeet (mits ze bestaan, en intelligent/bewust genoeg zijn om een concept als wiskunde te bevatten) dezelfde wiskunde zullen hebben als wij.

Ook hier denk ik weer van niet. Andere wezens > andere referenties > andere afspraken > andere wiskunde.

Kortom: wiskunde is bedacht, net als taal.
Je kunt ook niet zeggen dat Fransen verkeerd bezig zijn, enkel en alleen omdat ze geen Nederlands spreken.

[Verwijderd]

De complete wiskunde is gebaseerd op een aantal (ik dacht 10) stellingen, die onbewijsbaar zijn.
Er is een mooie term voor, maar daar kan ik ff niet op komen.

Je bedoelt axioma's?

Die zijn inderdaad niet bewijsbaar, maar door in plaats daarvan de ontkenning van een axioma te nemen kun je geen consistente wiskunde maken. Enige uitzondering hierop is het 5e postulaat van Euclides, alhoewel dat niet echt een axioma is. Dit zegt ongeveer zoiets als "2 lijnen zijn òf evenwijdig, òf ze snijden elkaar". Voor ons gevoel is dit logisch. Echter, je kunt niet bewijzen dat deze regel goed of fout is, maar (in tegenstelling tot zijn eerste 4 postulaten) is het niet zo dat als je er vanuit gaat dat deze stelling onwaar is, dat je dan vanzelf op een tegenspraak in de meetkunde stuit. Daarom zijn er ook 2 soorten meetkunde: euclidische (dat is waar mensen meestal mee werken, omdat deze voor ons het meest intuitief is) en niet-euclidische. Maar ze zijn geen van beide goed of fout (of nouja, ze zijn allebei goed), en de wiskunde omvat beide. _{oh enne, dat icoon van je.. is dat je zus?}

ik denk hetzelfde, maar ik denk ook dat wij het framework ervoor ontworpen hebben zodat we er zelf mee kunnen redeneren. wiskunde kan 't geen bal schelen of we met 10, hex of binair werken, de optellingen komen volgens het referentiekader altijd uit.

Hoe bedoel je framework hebben ontworpen? Bedoel je zoiets als "ja maar wij hebben ook de logica bedacht waarbinnen onze wiskunde logisch is", of..??

maar kijk wel op welke manier wij naar natuurlijke getallen kijken. 1 appel plus 1 appel = 2 appels, maar de appels zelf kunnen de meest wilde verschillen hebben in gewicht, afmeting, kleur, of rijpheid. de vraag is waarom wij deze factoren er niet bij nemen; simpelweg omdat de wiskunde ze als niet relevant beschouwd?

De wiskunde doet geen uitspraak over dat soort zaken. Het interpreten van een appel als iets, is veel te "on-abstract" en val compleet buiten de wiskunde. Wij kunnen tellen met appels, omdat dat voor ons makkelijk voor te stellen is. Misschien tellen aliens in quantum-fluxen of electromagnetische frequenties, de puur abstracte begrippen "1", "2", "3", enz zijn voor hun en voor ons hetzelfde.

2+2=5 - dat is met een paar afrond-truukjes wel te doen. gewoon zorgen dat 2 geprint wordt terwijl er met 2.4 (afgerond) gerekend wordt levert het resultaat 4.8 op, en da's 5. 2+2 is ook 10 of 11, ligt er aan of je (in die volgorde) ternair of binair converteert.

Ja ehhh, nee dat bedoel ik niet. Ik heb het niet over het "symbolisch" kloppend maken van 2+2=5, bijvoorbeeld door stiekem met 2.4 te rekenen en de getallen afgerond op te schrijven. Of door in een ander talstelsel te werken.
Ik bedoel: het natuurlijke getal 2 kunnen wij voor onszelf bijvoorbeeld visualiseren door 2 appels te nemen. Doen we er nog 2 appels bij, dan krijgen we een andere hoeveelheid, die correspondeert met het natuurlijke getal 4. Maar afgezien van de aardse appels, kan de abstracte betekenis van 2+2 niet anders zijn dan 4. Nu zal een alien zich waarschijnlijk geen appels voorstellen, maar 2 "ietsen". Echter als hij er nog 2 "ietsen" bij doet, krijgt hij daar hetzelfde idee bij als wij met onze 4 appels.

en daar komt het eerste bezwaar aanzetten. beschouwd een alien een appel als een appel, of weegt hij daarbij een aantal factoren af, en komt op basis daarvan op een getal?

Ik denk dat een alien zich de tering schrikt als hij / zij (of het? ) een appel ziet. Maar het gaat niet om appels, appels zijn (net als ons 10-tallige talstelsel) een manier om het abstracte concept 'natuurijk getal' te visualiseren of te representeren. Die alien doet dat vast weer anders, maar representeert (op zijn manier) wel hetzelfde concept als wij.

zouden 'natuurlijke' getallen, zoals je die noemt eigenlijk niet puur menselijk gemak zijn? alles wat er tussen het Z-domein in ligt komt veel vaker voor dan een exact natuurlijk getal.

Uhm nou, geen enkel getal 'komt voor' in het echt natuurlijk. Maar het concept van aantallen (natuurlijke getallen) is inherent aanwezig in onze realiteit. En hier volgt verder het hele zooitje uit op een eenduidige manier.

ik heb toevallig een boek gelezen van greg bear (god's smidse is deel een, aambeeld van de sterren is deel twee - waar ik het dus over heb), waarin een alien-soort (genaamd de broeders) uitgingen van een dergelijk 'samengestelde' wiskunde, waarbij gehele getallen vrijwel niet voorkwamen, maar alles daartussen wel.

Hmm, interessant. Eens lezen dan maar. Hoewel het me vaag aandoet, 'gehele getallen komen vrijwel niet voor' lijkt me een vreemd uitgangspunt voor een vorm van wiskunde.

alien of niet, ze zitten zich vast ook wel rot te ergeren op pi, heb ik zo'n idee.

Ik hoop het
Of zouden ze het vermoeden van Goldbach ook al bewezen hebben?

Volgens mij is wiskunde het abstractste dat de mens ooit bedacht heeft. Simpel het feit dat wiskunde abstact is, indiceert dat het niet direct waarneembaar is in de natuur (abstracties/ideeen zijn niet waarneembaar). We abstaheren (vereenvoudigen) fenomenen in de natuur zolang totdat we ze in een (agebraische) orde kunnen vatten.
Anders gesteld: omdat we de natuur kunnen tellen/berekenen, betekent dat niet dat de natuur zichzelf telt/berekent.

Nee okee, de natuur hoeft zichzelf zeker niet te tellen/berekenen. Maar dat wil niet zeggen dat de wiskunde zoals wij die kennen, niet gewoon aanwezig is in onze realiteit.
Maar eh, hmm.. ik moet even diep nadenken over je eerste zin. Ik denk dat ik me nu begin af te vragen "Is er wiskunde in een universum zonder bewustzijn?" of iets dergelijks. Ehm, ratel ratel.. hmm ik ga d'r nog verder over peinzen

Ik ben geneigd om te denken dat dat basisconcept van 'aantallen' (dus gehele, ofwel natuurlijke getallen) hoe dan ook geldig is. En doordat dat deze simpele basisconcepten met hun vastliggende structuur de gehele wiskunde bepalen, is onze (of 'de') wiskunde hoe dan ook geldig.

Ons heelal zit op een bepaalde manier in elkaar en je kunt er met onze wiskunde heel goed naar kijken, de zaak verklaren en zelfs voorspellen. Dus onze manier is succesvol te noemen, maar zeker niet de enige manier om het te doen.

Ik kan flauw doen door te vragen "kun je een andere manier verzinnen?", en dan denk ik vervolgens dat ik die manier wel onderuit kan halen (zelfs gebruikmakend van alleen regels binnen jouw manier!).

Maar, hmm.. onze wiskunde is voortgekomen uit een minimaal set van absolute 'waarheden', bepaalde logica regels, die als je ze verandert in conflict met zichzelf zijn en derhalve niks consistents of zinvols kunnen uitdrukken. Dus als wat voor intelligentie in het universum dan ook aan wiskunde doet, moet zijn wiskunde op z'n minst op deze minimale waarheden gebaseerd zijn, en dat houdt in dat die wiskunde hetzelfde is als de onze.

Ons tientallig stelsel is daar een goed voorbeeld van. Omdat we 10 vingers hebben, is een tientallig stelsel lekker handig rekenen. Als ik modulo 24 ga rekenen, is 23+2=1. Denk maar aan de klok. Dat wil niet zeggen dat ik dan iets fout doe omdat het decimaal gezien niet klopt.

Ja ho effe, ons tientallig stelsel heeft weinig met wiskunde te maken he. Of je de natuurlijke getallen nou binair, decimaal, hexadecimaal of 137-tallig opschrijft doet er niet toe. De concepten die je ermee beschrijft (dwz de natuurlijke getallen, en daaruit volgend de gehele, rationale, algebraische, reeele en complexe getallen) zijn in alle gevallen hetzelfde.[quote]
En modulo 24 rekenen is heel iets anders (en staat eveneens los van het talstelsel waarin je denkt). Ook een alien met 21 "vingers" (7 aan alledrie zijn tentakels) kan modulo 24 rekenen.

Ook hier denk ik weer van niet. Andere wezens > andere referenties > andere afspraken > andere wiskunde.
Kortom: wiskunde is bedacht, net als taal.

Nou, nee, volgens mij is alleen de manier waarop wij de wiskunde opschrijven bedacht. Wij gebruiken meestal een 10-tallig stelsel, aliens wellicht een 37-tallig stelsel. En hun bewijs voor de stelling van Fermat (als zij tenminste al zo slim zijn) zal er ook anders uitzien dan dat van Andrew Wiles. Dus ik denk wel: andere wezens > andere referenties > andere afspraken over het representeren van wiskunde. Maar ook: zelfde realiteit > zelfde basisconcepten van wiskunde > zelfde wiskunde.

Je kunt ook niet zeggen dat Fransen verkeerd bezig zijn, enkel en alleen omdat ze geen Nederlands spreken.

Jawel! Frans is een klotetaal! Nee maar eigenlijk geef je het hier zelf aan: of aliens (nouja, ok, Fransen ) nou "pomme" schrijven of dat wij "appel" schrijven, het idee wat we weergeven is hetzelfde.

[Mx. Alba]

Op donderdag 18 juli 2002 20:19 schreef Trias het volgende:

[..]

Ja, maar die eigenschappen zijn niet essencieel. Commutatieviteit is niet natuurlijk een mooie eigenschap, maar er zijn wel meer wiskundige constructies die niet commutatief zijn. (commutitiviteit is ook geen vereisde voor een optelling in een groep.)

Trouwens veel probleematischer in de optelling van Reyn Eaglestorm is dat zijn optelling niet associatief is. Of te wel (a+b)+c is niet gelijk aan a+(b+c) want
(0+1)+0 = 2
en
0+(1+0) = 1
Dit levert zeer grote probleem op als je ook maar iets wil bewijzen aan de hand van deze optelling, omdat je werkelijk niks meer kan herschrijven. Zo zal je simpele dingen zoals de uniciteit van inverse elementen moeilijk of niet kunnen bewijzen. (heb ff geen zin om het helemaal uit te werken.)

Ik denk dat ik inderdaad een foutje heb gemaakt...

Het is beter om het zo te doen:

0+0=1
0+1=2
0+2=3
etc.

1+0=2
1+1=3
1+2=4
etc.

2+0=3
etc.

Het blijkt dat ik dat kennelijk halverwege het schrijven van mijn posting zelf ook onbewust doorhad, want bij het opschrijven van die vermenigvuldigingstafel heb ik dat gebruikt...

[Verwijderd]

\Volgens mij heeft de mens wiskunde alleen maar ontdekt, en namen aan de cijfers gegeven.

[PrinsEdje80]

Op donderdag 18 juli 2002 20:51 schreef ptaverne het volgende:
De complete wiskunde is gebaseerd op een aantal (ik dacht 10) stellingen, die onbewijsbaar zijn.

Er is een mooie term voor, maar daar kan ik ff niet op komen.

Een van deze stellingen is al een aantal maal genoemd, namelijk dat 1+1=2.

Axiom 1: commutative laws
x + y = y + x
xy = yx

Axiom 2: associative laws
x + (y + z) = (x + y) + z
x(yz) = (xy)z

Axiom 3: distributive laws
x(y+z) = xy + xz

Axiom 4: existence of iden6tity elements
There exist two distinct real numbers, which we denote by 0 and 1, sucht that for every real x we have x+0 = x and 1*x = x

Axiom 5: existence of negatives
For every real number x there is a real number y such that x + y = 0

Axiom 6: existence of reciprocals
Fore every real number x =/= 0 (of x != 0 ) there is a real number y such that xy = 1

Note: the numbers 0 and 1 in Axioms 5 and 6 are those of Axiom 4

[bron: Calculus vol 1 sec. ed. by Tom M. Apostel]

De ramp van elke beta: wiskunde uit Apostel

Als het goed is komen er nog 3 axioma's:

Axiom 7: If x and y are in R⁺, so are x + y and xy

Axiom 8: For every real x!=0 either x ¤ (<-is element of) R⁺ or -x ¤ R⁺, but not both.

Axiom 9: 0 !¤ (<- is not element of) R⁺

[Mx. Alba]

Op vrijdag 19 juli 2002 12:40 schreef PrinsEdje80 het volgende:

[knip]axioma's in het Engels[/knip]

Dat zijn inderdaad een stel axioma's voor de gangbare wiskunde. Je kan echter een willekeurig ander stel axioma's opstellen, zolang die axioma's elkaar niet tegenspreken.

En die drie extra axioma's die je noemde zijn inderdaad overbodig. Vooral de laatste is geen axioma, maar gewoon een definitie van de betekenis van het symbool R⁺. En dat x en zijn tegenovergestelde niet beide in R⁺ is ook geen axioma omdat gewoon te bewijzen is dat voor elke x element R⁺ zijn complement een element van R^- is, en aangezien een axioma per definitie niet te bewijzen zou moeten zijn ...

[Verwijderd]

Op vrijdag 19 juli 2002 12:21 schreef CybErik het volgende:
\Volgens mij heeft de mens wiskunde alleen maar ontdekt, en namen aan de cijfers gegeven.

Reageert hier nu echt niemand op? Ik heb het geprobeerd, maar niemand let op mijn post. Wiskundestudenten, waar zijn jullie als we jullie nodig hebben!

[justice strike]

jullie vergeten wel dat de oplossingen die we vinden wel gekoppelt is aan het stelsel waarin we werken,

wortel 2 is geen natuurlijk getal.. echter kunnen we wel een stelsel bedenken waarin wortel 2 wel een natuurlijk getal is (met stelsel heb ik het over de manier van tellen)

in mesopotamie en babilonie telde ze bijvoorbeeld in het 60 tallig stelsel. dat was voor hun heel makkelijk en ze konden ook dingen oplossen die wij significant alleen kunnen oplossen. een oplossing hoeft dus niet per definitie vast te staan.

[Mx. Alba]

Op vrijdag 19 juli 2002 13:27 schreef mietje het volgende:

[..]

Reageert hier nu echt niemand op? Ik heb het geprobeerd, maar niemand let op mijn post. Wiskundestudenten, waar zijn jullie als we jullie nodig hebben!

Vergeef ons, o geweldig mietje.

Anyway, ik denk dat de wiskunde wel degelijk is uitgevonden. En men is nog steeds bezig de wiskunde verder uit te vinden.

Natuurlijk begon het bij dingen als 1+1=2 omdat dat "in het wild" voorkomt. Eigenlijk is dat meer tellen dan wiskunde... Maar toen is de abstracte wiskunde uitgevonden. Begrippen als negatieve getallen, oneindigheid, imaginaire getallen en ongedefiniëerde uitkomsten komen "in het wild" niet voor. Dat bleken implicaties te zijn van het gehanteerde wiskundige stelsel. Vaak wordt na de ontdekking van zo'n wiskundig fenomeen iets gevonden waar dat toe te passen is (het staat me bijvoorbeeld bij dat imaginaire (en dus complexe) getallen iets te maken hebben met T.L.-buizen), maar de meeste van die dingen worden ten eerste als pure wiskundige fenomenen ontdekt.

Het zelfde vloeit ook voort uit de superstringtheorie. Een puur wiskundige theorie die het hele universum beschrijft. Aan de hand van superstringtheorie is bijvoorbeeld het bestaan van zwaartekracht aangetoond. Ja, iedereen weet dat zwaartekracht bestaat, maar aan de hand van SST is dus wiskundig (en volledig abstract, zonder dat er enige waarneming bij te pas komt) bewezen dat zwaartekracht bestaat. Misschien is dus niet de wiskunde een uitvindsel van de mensheid, maar de mensheid een uitvindsel van de wiskunde?

[PrinsEdje80]

Op vrijdag 19 juli 2002 13:27 schreef mietje het volgende:

[..]

Reageert hier nu echt niemand op? Ik heb het geprobeerd, maar niemand let op mijn post. Wiskundestudenten, waar zijn jullie als we jullie nodig hebben!

Ben niet wiskundige, maar een Sterrenkundige (komt wel mooi van pas mbt aliens ).

Mijn ervaring is dat het een interpretatie is, zoals wij het beleven. Waarom? Voorbeeldje (is wel toegepast op de natuur-/Sterrenkunde, maar geeft IMO het wel aan):

Wij denken dat de grootte v/d zwaartekracht evenredig is met r^-2. Theorie! In praktijk probeert men dit ook te bevestigen door de macht te bepalen. Ik meende mij te herinneren dat ze nu op 2.00(flink wat 0-letjes)00x (x > 0). Dus het lijkt erop dat we gelijk hebben. En dat is echt iets wat alleen met theorieen kan. Ze zijn geldig totdat het tegendeel is bewezen, zij het met een bewijs, of een tegenvoorbeeld.
Het kan wezen dat er een iets (nader kan ik het ook niet definieren) is dat wij nog niet ontdekt hebben, dat er voor zorgt dat de axioma's die ik eerder noemde elkaar tegenspreken. Uit de ervaring die ik tot zover met de wiskunde heb (en dat is toch wel enigszins wat wiskunde, nl. wiskunde 1 t/m 6 van elk 4 studiepunten ), lijkt het erop IMHO dat deze axioma's zo goed zijn en een juiste beschrijving zijn van wat wij vermoeden dat wiskunde is.

[PrinsEdje80]

Op vrijdag 19 juli 2002 14:54 schreef Reyn Eaglestorm het volgende:

Misschien is dus niet de wiskunde een uitvindsel van de mensheid, maar de mensheid een uitvindsel van de wiskunde?

Schitterende uitspraak, maar ik hoop niet dat het waar is!!!

[FCA]

Op vrijdag 19 juli 2002 01:13 schreef Juggalin_Juggalo het volgende:

[..]

Je bedoelt axioma's?

Die zijn inderdaad niet bewijsbaar, maar door in plaats daarvan de ontkenning van een axioma te nemen kun je geen consistente wiskunde maken. Enige uitzondering hierop is het 5e postulaat van Euclides, alhoewel dat niet echt een axioma is. Dit zegt ongeveer zoiets als "2 lijnen zijn òf evenwijdig, òf ze snijden elkaar". Voor ons gevoel is dit logisch. Echter, je kunt niet bewijzen dat deze regel goed of fout is, maar (in tegenstelling tot zijn eerste 4 postulaten) is het niet zo dat als je er vanuit gaat dat deze stelling onwaar is, dat je dan vanzelf op een tegenspraak in de meetkunde stuit. Daarom zijn er ook 2 soorten meetkunde: euclidische (dat is waar mensen meestal mee werken, omdat deze voor ons het meest intuitief is) en niet-euclidische. Maar ze zijn geen van beide goed of fout (of nouja, ze zijn allebei goed), en de wiskunde omvat beide. _{oh enne, dat icoon van je.. is dat je zus?}
[..]

Je kunt een consistente wiskunde maken zonder oneindige verzamelingen, of zonder de lege verzameling. Dan wordt het wat minder intuitief, maar volgens mij krijg je geen tegenspraken. Verder voldoet bolmeetkunde niet aan 2 Euclidische axioma's, en wordt de waarheid van het keuze-axioma hevig betwist. Je kunt dus wel degelijk een consistente wiskunde opbouwen door een anti-axioma aan te nemen. Sterker nog, als een tegengestelde van een axioma leidt tot een inconsistente wiskunde, is het geen axioma meer. Dan heb je een bewijs uit het ongerijmde voor het axioma, en is het dus geen onbewijsbare stelling meer.

[Verwijderd]

Op vrijdag 19 juli 2002 01:13 schreef Juggalin_Juggalo het volgende:
..
_{oh enne, dat icoon van je.. is dat je zus?}
..

Dat is Wendy Dubbeld, een Nederlands topmodel.
Ze heeft ooit (lang geleden) zelfs nog bij me in de klas gezetten.
Pic is trouwens screenshotje uit een aflevering van Wannahaves.

[windancer]

Om in de originele vraagstelling te blijven : de wiskunde is bedacht door mensen. De wiskundige kennis is geen universele wet of ultieme waarheid.

Wat wiskunde wel is, is een hele krachtige manier om allerlei dingen te beschrijven en op deze manier relaties te generaliseren. Ik denk dat het abstracte van de wiskunde er voor zorgt dat het zo bruikbaar is om universele relaties te beschrijven en hier zelfs voorspellingen uit te halen. Hierdoor lijkt het misschien dat de wiskunde de "ultieme waarheid" is.

Wat ook altijd gebeurd is, is dat ontdekkingen in de wiskunde worden gestuurd door haar toepassingsgebied. Bijvoorbeeld de differentiaalrekening werd mede dankzij Newton's interesse in beweging uitgevonden.

Op vrijdag 19 juli 2002 14:54 schreef Reyn Eaglestorm het volgende:

[..]

Vergeef ons, o geweldig mietje.

Anyway, ik denk dat de wiskunde wel degelijk is uitgevonden. En men is nog steeds bezig de wiskunde verder uit te vinden.

[Confusion]

Als wiskunde slechts een verzinsel is, dan is het er wel eentje die bijzonder goed werkt. Zo goed, dat het tot waarneembare voorspellingen leidt, die niemand voor mogelijk had gehouden. De speciale relativiteitstheorie is wiskundig gezien erg simpel, maar toch blijkt deze (experimenteel geverifieerde) tot juiste deducties over de natuur te leiden, die we op geen enkele andere manier zouden hebben bedacht. Deducties die niet door enig inzicht in de natuur gedaan zijn, niet door ergens over na te denken, maar slechts door te stellen: "de lichtsnelheid is constant en is de maximumsnelheid" en door wat eisen over tijdsinvariantie, plaatsinvariantie e.d. te stellen. Vervolgens is het domweg wiskundige regeltjes toepassen en, verbazing alom, er komt iets onverwachts uit dat daadwerkelijk blijkt te bestaan.

Ik ben ervan overtuigd dat de wiskunde zeker niet enkel 'een verzinsel' is. Wiskunde is ons door de natuur opgedrongen; wij hebben niet dit stelsel zomaar gekozen; wij hebben het opgebouwd zoals het is omdat de natuur die we willen beschrijven dat vereistte. Bepaalde axiomas leiden tot een consistente beschrijving, andere niet.

Anderzijds blijkt de wiskunde niet altijd overeen te komen met de werkelijkheid, zoals in het geval van de Banach-Tarski paradox (basically: uit 1 bol kan je 2 bollen maken die even groot zijn en dezelfde massadichtheid hebben als de oorspronkelijke bol -> 1=2). Er zitten dus 'fouten' in de axiomas, die leiden tot onjuist conclusies over de werkelijkheid [hier kan je een uitwijding richting Godel doen; de implicaties daarvan over 'de werkelijkheid', 'de natuur' zijn onbekend, maar zijn waarschijnlijk zeer intressant.. als je ze kan ontdekken]. Wat mij betreft maakt dit de kracht van wiskunde alleen maar groter: als zij onjuiste voorspellingen gaat doen bij bepaalde axiomas, dan zijn de meeste axiomas blijkbaar gewoon goed en zeggen daadwerkelijk iets over 'de werkelijkheid'.

[Verwijderd]

Op donderdag 18 juli 2002 21:09 schreef windancer het volgende:
Das niet waar

0+1+0 = (0+1)+0 = 2 + 0 = 2

en

0+1+0 = 0+(1+0) = 0 + 1 = 2

dus dit is niet een tegenvoorbeeld. Ik heb er mee zitten te spelen en volgens mij is de operatie wel associatief.
[..]

OK, ik zie dat ik een foutje heb gemaakt maar dan nemen we toch:

(0+0)+1 = 0+1 = 2
en
0+(0+1) = 0+2 = 3

Mijn punt was de optelling is niet associatief (zag ik intuitief gelijk, maar had even het verkeerde voorbeeld te pakken.

[Verwijderd]

Op vrijdag 19 juli 2002 14:00 schreef justice_strike het volgende:
jullie vergeten wel dat de oplossingen die we vinden wel gekoppelt is aan het stelsel waarin we werken,

wortel 2 is geen natuurlijk getal.. echter kunnen we wel een stelsel bedenken waarin wortel 2 wel een natuurlijk getal is (met stelsel heb ik het over de manier van tellen)

Nou, ik wel het jou nog een zien doen. Je zal toch heel wat wiskunde op de schop moeten nemen, voordat je dat voor elkaar hebben. Want zolang:
-2 de natuurlijke opvolger van 1 is (wat moet het anders zijn)
-en het product van twee natuurlijke getallen altijd groter of gelijk is aan de grootste van de twee factoren.
-en 1*x=x
-(en 2*2 != 2)
geldt:

x*x=2 => x is irrationaal

Dat is juist het mooie aan abstracte wiskunde. Het maakt niet uit op welke manier je je getallen representeert. Zolang je uit gaat van de zelfde axioma's (voor de natuurlijke getallen zijn dat er maar drie), blijven de zelfde stellingen waar.

Een antwoord op de vraag: Is wiskunde een absolute waarheid?

Wiskunde is de kunst van het formuleren van waarheden als een koe. Wiskundigen kunnen de grootste mierenn**kers op deze planeet zijn soms. Als een redenering niet 100% waterdicht is, wordt deze over het algemeen niet als geldig geaccepteerd. Zo zijn er wiskundigen die bewijzen uit het ongerijmde niet erkennen, omdat het volgens hen niet uit te sluiten is dat er een derde mogelijkheid is naast iets is waar of niet waar.
Maar in ieder geval wiskunde is onveranderlijk als je van dezelfde uitgangspunten uitgaat. Maar als we gaan kijken naar de wiskunde van een stel aliens (naast dat we niks van hun symboliek zullen begrijpe) garandeert niks ons, dat zij van dezelfde dingen zijn uit gegaan en begrippen zoals de natuurlijke getallen, groepen,en topologiën hebben ontwikkeld.
Toch acht ik het hoogst waarschijnlijk, dat zij op zijn minst begrippen zoals de natuurlijke getallen kennen, omdat deze zo inherent zijn aan de natuur.

[Verwijderd]

0+0=0
1+0=1
2+0=2
etc.

0+1=2
1+1=3
2+1=4
etc.

0+2=3
1+2=4
2+2=5
etc.
---------
Ik denk dat ik inderdaad een foutje heb gemaakt...
Het is beter om het zo te doen:

0+0=1
0+1=2
0+2=3
etc.

1+0=2
1+1=3
1+2=4
etc.

2+0=3
etc.
-------------
(0+0)+1 = 0+1 = 2
en
0+(0+1) = 0+2 = 3

Mijn punt was de optelling is niet associatief (zag ik intuitief gelijk, maar had even het verkeerde voorbeeld te pakken.
-------------
maar

0+0=1 en 1+1=3
dus
(0+0)+1=1+1=3
en
0+(0+1)=0+2=3

daaruit concludeer ik toch dat de optelling associatief is.

ps: sorry dat ik gewoon geknipt en geplakt heb maar ik ben nieuw op dit forum en ik weet niet hoe ik quotes moet zetten (kan iemand me daarbij helpen?)

[Verwijderd]

Als wiskunde slechts een verzinsel is, dan is het er wel eentje die bijzonder goed werkt. Zo goed, dat het tot waarneembare voorspellingen leidt, die niemand voor mogelijk had gehouden. De speciale relativiteitstheorie is wiskundig gezien erg simpel, maar toch blijkt deze (experimenteel geverifieerde) tot juiste deducties over de natuur te leiden, die we op geen enkele andere manier zouden hebben bedacht. Deducties die niet door enig inzicht in de natuur gedaan zijn, niet door ergens over na te denken, maar slechts door te stellen: "de lichtsnelheid is constant en is de maximumsnelheid" en door wat eisen over tijdsinvariantie, plaatsinvariantie e.d. te stellen. Vervolgens is het domweg wiskundige regeltjes toepassen en, verbazing alom, er komt iets onverwachts uit dat daadwerkelijk blijkt te bestaan.

Helaas helaas. Het is NIET de wiskunde die dit voorspelt, maar de natuurkunde. Het verschil zit 'em in de consistentie met de WAARNEMINGEN. Die euclidische ruimte bv is een goede. Ik kan wiskundig wel duizenden verschillende ruimtes opstellen die allemaal anders werken, maar als we naar het universum kijken leven we er maar in eentje en welke dat is wordt bepaalt door waarnemingen. Alle andere zijn wiskundig gezien leuk maar natuurkundig gezien totaal overbodig.

Ook met aantal dimensies etc maakt de wiskunde geen aannames over wat het aantal is, maar in de natuurkunde wordt dit bepaalt door de waarneming. Wiskunde is GEEN wetenschap in de zin dat theorieen worden getoetst aan de werkelijkheid. In de wiskunde worden theorieen getoetst aan de hand van de axioma's.

[Verwijderd]

Op donderdag 18 juli 2002 14:03 schreef wieikke het volgende:
Wiskunde klopt altijd, omdat je zelf eerst de regels maakt en dan zorgt dat er binnen jouw wiskunde aan die regels wordt gehouden. De meest nuttige wiskunde is natuurlijk wiskunde waarbij de regels overeenkomen met regels uit de werkelijkheid.

In het boek "Göbel, Esher, Bach" wordt duidelijk gemaakt dat ieder 'taal-systeem' (incl wiskunde) formuleringen toelaat die 'onlogisch' zijn.
Het klassieke voorbeeld in gewone taal is de uitspraak: "ik ben een consequent leugenaar" - je kan adhv die uitspraak niet logisch bepalen of degene die die uitspraak doet, nu wel of niet een leugenaar is, ondanks dat de formulering taalkundig wel correct is. De formulering spreekt zichzelf tegen.
De tekeningen van Esher zijn ook zoiets, en ook voor wiskunde geldt iets dergelijks (heb ik helaas geen voorbeeld van).

[Verwijderd]

justice_strike schreef:
jullie vergeten wel dat de oplossingen die we vinden wel gekoppelt is aan het stelsel waarin we werken,
wortel 2 is geen natuurlijk getal.. echter kunnen we wel een stelsel bedenken waarin wortel 2 wel een natuurlijk getal is (met stelsel heb ik het over de manier van tellen)

Het begrip "natuurlijk getal" heet zo omdat de ideëen "1", "2", "3", enz van nature bestaan. Begrippen als breuken, worteltrekken, reeele getallen, enz volgen daar vanzelf uit. En ook ligt het vast dat de wortel van 2 niet behoort tot die natuurlijke getallen.

Wat zijn die getallen 1, 2, 3, enz nou fundamenteel eigenlijk? Wij mensen kunnen het ons voorstellen door in ons hoofd 1, 2 of 3 appels te zien. Aliens denken wellicht niet in appels, maar op de een of andere manier moeten zij op hun eigen manier toch hetzelfde concept 1, 2 en 3 beseffen. Dus hun natuurlijke getallen zijn volgens mij wel degelijk dezelfde als de onze.

in mesopotamie en babilonie telde ze bijvoorbeeld in het 60 tallig stelsel. dat was voor hun heel makkelijk en ze konden ook dingen oplossen die wij significant alleen kunnen oplossen. een oplossing hoeft dus niet per definitie vast te staan.

Zoals al is gezegd, het grondtal van je talstelsel (2=binair, 10=decimaal, 16=hexadecimaal, 60=mesopotamisch, etc) heeft weinig tot niets te maken met de wiskunde pur sang, maar alleen met de manier waarop wij het representeren. Als wij nu wereldwijd overstappen op een ander talstelsel (bijvoorbeeld hexadecimaal, omdat dat handiger is i.v.m. onze computers) verandert er niets aan onze wiskunde. Ze moeten alleen wat boeken herdrukken omdat je wat getalletjes anders moet opschrijven.

Reyn Eaglestorm schreef:
Het is beter om het zo te doen:
(..alternatieve optelling..)

Ja kijk, wat jij nu aan het doen bent is zelf een nieuwe optel-operator aan het verzinnen die consistent is. Prima, dat mag. Dat is ook wiskunde. Maar het basisidee van natuurlijke getallen is dat elk getal een "volgend" natuurlijk getal heeft. En doe je dit vaker achter elkaar, dan valt er volgens mij niet anders over die getallen te denken dan dat 3 en 5 bij elkaar 8 is. Dat "bij elkaar" is zeg maar een soort natuurlijke operatie, die uit de aard van natuurlijke getallen voortvloeit.
Dat we vervolgens ook andere soorten optellingen kunnen verzinnen, doet er niet toe. Dat is, net als modulo-rekenen of andere aanpassingen aan het systeem van natuurlijke getallen, toegepaste wiskunde.

FCA schreef:
Je kunt een consistente wiskunde maken zonder oneindige verzamelingen, of zonder de lege verzameling.

Dat lijkt me stug. Zodra je het besef van natuurlijke getallen hebt, is eindigheid al uitgesloten. Met "wiskunde" bedoel ik niet een sluitend systeem met wat axioma's die elkaarn iet tegenspreken, en op de 1/andere manier wat operators definiëren die we met + en * noteren. Ik bedoel het idee "natuurlijk getallen" en alle interessante dingen die daar onvermijdelijk uit voortkomen.

Het verzameling valt hier ook onder. Iedere intelligentie met besef van natuurlijke getallen, kan ook verzamelingen van natuurlijke getallen maken. Vervolgens kom je er niet omheen dat de verzameling van alle natuurlijke getallen (dat wat wij N noemen) zelf al een oneindige verzameling is.

windancer schreef:
de wiskunde is bedacht door mensen

Wat ik mij dan afvraag, is: hadden mensen (of aliens elders in het heelal) ook een andere wiskunde kunnen verzinnen? Was dat uberhaupt mogelijk geweest? Volgens mij niet. Volgens mij is dit de enig mogelijke weg, omdat (zoals Fused zegt) het ons door de natuur wordt opgedrongen.

Wat ook altijd gebeurd is, is dat ontdekkingen in de wiskunde worden gestuurd door haar toepassingsgebied. Bijvoorbeeld de differentiaalrekening werd mede dankzij Newton's interesse in beweging uitgevonden.

Hmm, ja dat is wiskunde toegepast op een bepaald gebied / menselijke interesse. Dat zou ik geen puur elementaire / abstracte wiskunde meer willen noemen. Het begrip "functie" is iets puur wiskundigs, en ik denk ook dat aliens (mits voldoende intelligent om wiskunde te bedrijven) datzelfde concept ook hebben. Om dingen als differentiaalrekening kom je dan al niet meer heen. Maar de specifieke functies en formules die wij er vervolgens mee maken (zoals allerlei formules van Newton), dat is iets heel anders natuurlijk.

Aliens hebben wel sinus & cosinus, en die zijn hetzelfde als de onze. Maar ze hebben niet (nouja, misschien ook, maar niet noodzakerlijkerwijs) onze formules voor de trilling van een slinger.

Trias schreef:
Maar in ieder geval wiskunde is onveranderlijk als je van dezelfde uitgangspunten uitgaat. Maar als we gaan kijken naar de wiskunde van een stel aliens (naast dat we niks van hun symboliek zullen begrijpe) garandeert niks ons, dat zij van dezelfde dingen zijn uit gegaan en begrippen zoals de natuurlijke getallen, groepen,en topologiën hebben ontwikkeld.

Akkoord, maar ik beweer dus dat de natuurlijke getallen een concept is wat hoe dan ook in het heelal aanwezig is. Je kunt daar niet omheen, of iets "alternatiefs" bedenken zeg maar, en daar dan je wiskunde op bouwen. En die natuurlijke getallen, tezamen met wat logica waarvoor volgens mij hetzelfde geldt, is al de basis voor de hele wiskunde.

Tuurlijk, je kunt beslist niet met zekerheid zeggen dat zij ook groepen en topologiën hebben, maar dat is dan omdat hun wiskunde nog niet genoeg is ontwikkeld. Of liever gezegd: deze structuren of begrippen van de wiskunde hebben zij nog niet ontdekt. Maar het ligt wel in de wiskunde (dus ook de hunne) besloten, en als ze intelligent genoeg zijn zullen ook zij vroeg of laat dat idee van groepen en topologiën krijgen.

Vergelijk onze huidige wiskunde maar met die van 2000 jaar geleden. Die van toen was niet anders, men had er gewoon minder aan ontdekt. Toen wisten men niet dat pi een transcedent getal is (en wellicht was men zich uberhaupt nog niet bewust van het verschil tussen transcedente en niet-transcedente getallen), maar het lag al wel in hun wiskunde vast, te wachten tot dit werd ontdekt. Zoals wij later dan ook gedaan hebben. En aliens ook.

Overigens kan er natuurlijk wel een enorm niveauverschil zijn tussen ons wiskundig denken en dat van buitenaardse intelligentie. De moeite die het ons kost (namelijk jaren studie) om inzicht te krijgen in complexe wiskundige concepten, kan misschien voor een alien veel te hoog gegrepen zijn, of juist niets voorstellen. Zoals wij min of meer geboren worden met een natuurlijk gevoel voor "aantallen" (natuurlijke getallen), zo hebben aliens misschien al een natuurlijk besef van het werken met veeltermen waardoor ze veel makkelijker in staat zijn veel complexere kanten van de wiskunde te ontdekken.

BadRespawn schreef:
In het boek "Göbel, Esher, Bach" wordt duidelijk gemaakt dat ieder 'taal-systeem' (incl wiskunde) formuleringen toelaat die 'onlogisch' zijn.

"Gödel, Escher, Bach" is het
Inderdaad, in dit boek wordt (onder andere) de onvolledigheidsstelling van Gödel uitgelegd. Erg interessant boek trouwens, kan het iedereen aanraden.
Maar deze stelling doet niets af aan het feit dat de gehele wiskunde op zich een natuurlijke waarheid is, het zegt alleen dat de wiskunde niet alle waarheden kan omschrijven, danwel alle onwaarheden kan uitsluiten. Dat wil zeggen, je kunt binnen de wiskunde een uitspraak doen waarvan je niet kunt bewijzen of hij waar of onwaar is. Men heeft een tijd gedacht dat de stelling van Fermat zo'n uitspraak was, totdat er een freak slim genoeg was om hem toch te bewijzen.
Wellicht dat de stelling "elk natuurlijk getal komt voor in de decimaalontwikkeling van pi" een onbewijsbare waarheid is, of een onverwerpbare leugen.

Het klassieke voorbeeld in gewone taal is de uitspraak: "ik ben een consequent leugenaar" - je kan adhv die uitspraak niet logisch bepalen of degene die die uitspraak doet, nu wel of niet een leugenaar is, ondanks dat de formulering taalkundig wel correct is. De formulering spreekt zichzelf tegen.

De enig mogelijke conclusie uit die uitspraak, is dat degene die deze uitspraak doet soms liegt. Consequent liegen kan niet, want dan zou hij met die uitspraak de waarheid spreken en dus niet consequent liegen. Nooit liegen kan ook niet, want dan zou die uitspraak ook geen leugen zijn, en zou hij dus juist consequent liegen. Hij liegt dus soms: deze uitspraak van hem is een leugen, maar soms spreekt hij ook de waarheid.
Het ogenschijnlijke probleem van deze zin zit hem trouwens in de zelfreferentie. Ik denk dat mijn uitleg (van dat soms liegen) voor deze uitspraak klopt, maar met een zin als "deze zin is onwaar" loop je echt vast. In dat boek wordt dit fenomeen ook van een aantal kanten belicht. En het aardige is dus dat je in elk formeel, logisch systeem (dus ook wiskunde) dit soort zelfrefererende constructies kunt maken.

[Diadem]

Op vrijdag 19 juli 2002 01:13 schreef Juggalin_Juggalo het volgende:

Je bedoelt axioma's?

Die zijn inderdaad niet bewijsbaar, maar door in plaats daarvan de ontkenning van een axioma te nemen kun je geen consistente wiskunde maken. Enige uitzondering hierop is het 5e postulaat van Euclides, alhoewel dat niet echt een axioma is. Dit zegt ongeveer zoiets als "2 lijnen zijn òf evenwijdig, òf ze snijden elkaar". Voor ons gevoel is dit logisch. Echter, je kunt niet bewijzen dat deze regel goed of fout is, maar (in tegenstelling tot zijn eerste 4 postulaten) is het niet zo dat als je er vanuit gaat dat deze stelling onwaar is, dat je dan vanzelf op een tegenspraak in de meetkunde stuit. Daarom zijn er ook 2 soorten meetkunde: euclidische (dat is waar mensen meestal mee werken, omdat deze voor ons het meest intuitief is) en niet-euclidische. Maar ze zijn geen van beide goed of fout (of nouja, ze zijn allebei goed), en de wiskunde omvat beide.

Dat is dus niet waar. Als de aanname van de ontkenning van een axioma tot een inconsistentie zou leiden betekent dat dat je het axioma bewezen hebt. Immers, het kan niet 'niet waar' zijn, dus is het waar. Tenzij je het keuze axioma verwerpt natuurlijk. Dat is ook mogelijk, dan ben je een andere logica aan het definiëren.

Iig kun je elk willekeurig axioma verwerpen. Je krijgt dan een nieuwe wiskunde waarin het tegendeel van dit axioma waar is.

Hmm, volgens mij kun je op dit manier zelfs het aantal wiskundes uitrekenen, dat is 2^n waarbij n het aantal axioma's is. _{Waarschijnlijk klopt deze berekening niet helemaal, omdat je ook axioma's uit de logica kunt verwerpen, zoals het keuze-axioma, waardoor andere axioma's kunnen verdwijnen of ontstaan. Maar dit probleem is niet essensieel voor mijn verhaal}

Alle mogelijke wiskundes zijn dan ook deel van 1 allesomvattende meta-wiskunde. En deze meta-wiskunde heeft geen axioma's, zij is er gewoon, altijd, wat wij mensen ook doen.

Ik zou dan ook willen stellen dat de wiskunde slechts door mensen is ontdekt.

[Diadem]

Op zondag 21 juli 2002 13:19 schreef Juggalin_Juggalo het volgende:

"Gödel, Escher, Bach" is het
Inderdaad, in dit boek wordt (onder andere) de onvolledigheidsstelling van Gödel uitgelegd. Erg interessant boek trouwens, kan het iedereen aanraden.
Maar deze stelling doet niets af aan het feit dat de gehele wiskunde op zich een natuurlijke waarheid is, het zegt alleen dat de wiskunde niet alle waarheden kan omschrijven, danwel alle onwaarheden kan uitsluiten. Dat wil zeggen, je kunt binnen de wiskunde een uitspraak doen waarvan je niet kunt bewijzen of hij waar of onwaar is. Men heeft een tijd gedacht dat de stelling van Fermat zo'n uitspraak was, totdat er een freak slim genoeg was om hem toch te bewijzen.
Wellicht dat de stelling "elk natuurlijk getal komt voor in de decimaalontwikkeling van pi" een onbewijsbare waarheid is, of een onverwerpbare leugen.

Cantor's continuum hypothese is zo'n uitspraak. Dit is de stelling dat er geen verzamelingen zijn met een kardinaliteit tussen die van |N en |R.

Maar weet je wat nu zo leuk is, toen men eenmaal bewezen had dat deze stelling onbewijsbaar was, toen had men 2 consistente wiskundes. Eentje waarin Cantor's stelling waar was, en eentje waarin hij onwaar was. Beide zijn consistent, beide moeten consistent zijn want als 1 van beide niet consistent was was de (on)geldigheid van Cantor's continuum hypothese bewezen, en deze was onbewijsbaar.

In feite heb je niets anders gedaan dan een extra axioma toegevoegen aan je wiskunde. En zoals ik al eerder heb uitgelegd kun je elk axioma naar goeddunken waar of onwaar maken.

[egeltje]

Ik kan het niet laten ook ff wat te roepen.
Ik heb nu een aantal keer 1+1=2 langs zien komen, maar ik weet nog een leuk voorbeeld waarbij 1+1=2, maar 2!=1+1.

(Ik doe veel met elektrotechniek en imaginair rekenen is een zegening. Centraal uitgangspunt: i^=-1. De wortel uit negatieve getallen bestaan niet, maar worden vervangen door een imaginair getal, i)

code:

1 = 1
1 = SQRT(1)
1 = SQRT(1 * 1)
1 = SQRT(-1 * -1)
  ==> vermenigvuldigingen in een wortel mag je splitsen
  ==> als i^2 = -1, dan i = SQRT(-1)
1 = SQRT(-1) *  SQRT(-1) ofwel i * i
1 = (SQRT(i))^2 ofwel i^2
1 = -1

Nou jullie weer...

Oh, en ik geloof dat wiskunde alleen maar een bril is waarmee je naar de wereld kijkt.

[PipoDeClown]

Op maandag 22 juli 2002 14:03 schreef egeltje het volgende:
Oh, en ik geloof dat wiskunde alleen maar een bril is waarmee je naar de wereld kijkt.

kwou dat net zeggen dat het een perceptie is

als we zulke mooie getallen hebben als 1, 2 en 3, wat moeten Pi en E hier dan in? dat zijn volgens mij correctiefactoren.

[henkleerssen]

Als je nu eens zou kijken hoe wiskunde is toegepast in de nucleaire fysica, dan heeft wiskunde de fysici aardig vooruitgebracht. De wiskunde was eeuwen geleden verbonden aan het experimentele metingen van de natuur (zie Newton). Er is nu nog steeds een constante kruisbestuiving tussen deze twee vakgebieden, maar het zijn min of meer twee losstaande vakgebieden geworden.
Echter nu met snaren theorie binnen de nucleaire fysica, blijkt voort te vloeien uit de pure theorie voortvloeiende weer uit pure wiskunde zonder daar nog een experimenteel waargenomen bewijs voor te hebben. De vraag is of de gebruikte axioma's van de wiskunde de theorie hebben gegenereerd en/of deze ooit bewezen zal worden.
Misschien worden door dit onderzoek de bestaande wiskundige axioma's verworpen of juist aangevuld met anderen. En wat betreft wiskundige notaties.. tja die veranderen en staat los van axioma's.
Ik stel dat wiskunde geleid door de toepassingsgebieden zoals de fysica ook door deze wordt verandert (lees: axioma's moeten worden herzien). Ik denk ook dat axioma's uitgevonden zijn, voortvloeiende uit het experimentele waarnemingen en onze logica en niet andersom (dus ook niet ontdekt).

[Verwijderd]

(-1 = 1)
Nou jullie weer...

sqrt(-1 * -1) != sqrt(-1) * sqrt(-1)
De regel sqrt(a*b) = sqrt(a)*sqrt(b) gaat alleen op als a en b >= 0 zijn.

als we zulke mooie getallen hebben als 1, 2 en 3, wat moeten Pi en E hier dan in? dat zijn volgens mij correctiefactoren.

Als je het idee 1, 2, 3, enz kan bevatten, en hier op doordenkt, kom je ook vanzelf op het idee van breuken. En dan ook op worteltrekken. En op een systeem van getallen dat 'sluitend' is onder dit soort operaties. En op transformaties van deze getallen (zeg maar, datgene wat wij functies noemen). En op lineaire benaderbaarheid van functies (differentiëren). En dan ook op e (grondtal van exponentiele functie die z'n eigen afgeleide is), en pi (nulpunt van functiepaar wat wij sin en cos noemen, die elkaars afgeleide zijn).

[Confusion]

marcelvdpol schreef:
Helaas helaas. Het is NIET de wiskunde die dit voorspelt, maar de natuurkunde.

Ah. Leg dan maar eens uit waarom een kleine verandering in de wiskundige axiomas een andere voorspelling over de werkelijkheid oplevert.

Die euclidische ruimte bv is een goede. Ik kan wiskundig wel duizenden verschillende ruimtes opstellen die allemaal anders werken, maar als we naar het universum kijken leven we er maar in eentje en welke dat is wordt bepaalt door waarnemingen.

Welke dat is kan niet bepaald worden door waarnemingen; dat is een heel bekend voorbeeld uit de wetenschapsfilosofie: alle natuurwetten kunnen in elke andere geometrie ook consistent gedefinieerd worden. Wij zeggend dat licht rechtdoor gaat en daarom is de ruimte voor ons niet-Euclidisch. Je kan netzogoed de ruimte als Euclodisch definieren, maar dan beweegt licht gekromd (en worden formuleringen van natuurwetten veel ingewikkelder).

Alle andere zijn wiskundig gezien leuk maar natuurkundig gezien totaal overbodig.

Ach, het beschrijven van een plaats op het aardoppervlak gaat beter in een niet-Euclidische geometrie. Ik vind dat best van belang.

Wiskunde is GEEN wetenschap in de zin dat theorieen worden getoetst aan de werkelijkheid. In de wiskunde worden theorieen getoetst aan de hand van de axioma's.

Elke natuurkundige theorie is niets anders dan een stel axiomas waarop wiskunde wordt losgelaten. De axiomas variere van 'de lichtsnelheid is constant' tot 'F = m * a' en 'elke waarneembare grootheid kan enkel beschreven worden met een Hermitische operator'. [Hoewel het tweede meer een definitie is dan een axioma. Het axioma is dat kracht (of versnelling) uberhaupt bestaat).

[Verwijderd]

Op donderdag 18 juli 2002 02:08 schreef Juggalin_Juggalo het volgende:
Is wiskunde iets wat door mensen bedacht is, of inherent aan onze realiteit verbonden en alleen door mensen ontdekt? Ik denk het laatste. Het concept van "natuurlijke" getallen (dwz 0, 1, 2, 3, enz) is van nature aanwezig. De verdere theorie die hier uit volgt (de hele wiskunde) is verder niet aan subjectiviteit of 'discussie' onderhevig, het geheel ligt vast en kan maar op 1 consistente manier bestaan. Mensen die zeggen "nee hoor, ik heb mijn eigen wiskunde bedacht, waarbij 1+1=3 of <moeilijker voorbeeld wat in onze wiskunde niet klopt>", zijn aanwijsbaar fout aan het denken.

Ik geloof daarom ook dat buitenaardse wezens van een andere planeet (mits ze bestaan, en intelligent/bewust genoeg zijn om een concept als wiskunde te bevatten) dezelfde wiskunde zullen hebben als wij.

Nee, daar ben ik het absoluut niet mee eens. De axioma's van de natuurlijke getallen zijn ALLEEN voor mensen zo overduidelijk in de natuur aanwezig. Stel je bijvoorbeeld maar eens een wezen voor dat alles als 1 ding ziet dat constant aan het veranderen is. Dat wezen zal misschien afmetingen kennen, maar of deze afmeting een geheel aantal eenheden (bijvoorbeeld meters) is zou voor hem volstrek betekenisloos zijn.

Dit is misschien wat ver gezocht. De axioma's van de wiskunde hebben geen waarheidsgrond omdat ze 'van nature in het heelal voorkomen'. Je weet niet eens of dat zo is, want hoe wij denken dat heelal is, is slechts een subjectieve waarheid, die voor een alien helemaal niet hoeft te gelden.

Sterker nog ze hebben per definitie GEEN waarheidsgrond. De reden dat wij onze axioma's zo gekozen hebben, is omdat ze VOOR ONS logisch zijn, volgens de "logica" waarmee WIJ naar het heelal kijken. Maar dat die keuze is volstrekt arbitrair.

En sommige axioma's zijn niet eens onbetwist! Zoals het keuzeaxioma, het axioma van de uitgesloten derde en de axioma's waarop de verzamelingsleer rust.

Verder wil ik nog even weerleggen dat de hele wiskunde volgt uit de axioma's van de natuurlijke getallen. Dat klopt voor bepaalde (grote) stukken van de wiskunde, maar zeker niet voor de hele wiskunde.

[Confusion]

Sandalf schreef:
Nee, daar ben ik het absoluut niet mee eens. De axioma's van de natuurlijke getallen zijn ALLEEN voor mensen zo overduidelijk in de natuur aanwezig. Stel je bijvoorbeeld maar eens een wezen voor dat alles als 1 ding ziet dat constant aan het veranderen is.

Het wezen zal op een zeker moment opmerken dat sommige delen van de natuur veel eigenschappen gemeen hebben. Op een zeker moment komt een verkenner bij eens stamhoofd en dat stamhoofd vraagt: 'Kunnen we die kudde buffels aanvallen, of zijn het er teveel?'. In eerste instantie zal men misschien slechts onderscheiden tussen 'teveel' en 'veilig voor aanval' kennen. Soms twijfelt men en de verkenner, die verscholen in een bosje ligt, vraagt aan zijn medeverkenner, die in het bosje naast hem ligt: 'teveel' of 'veilig voor aanval'? De tweede verkenner zal zeggen: 'allebei niet, ertussenin'. Zo is een derde aanduiding voor de grootte van een groep buffels geboren. Langzamerhand zal men tot de conclusie komen dat de beste aanduiding voor de grootte van de groep het onderscheiden van de individuele buffels is. Een paar eeuwen later vraagt een stamhoofd aan een verkenner: 'Kunnen we die groep buffels die je zag aanvallen?' en de verkenner zal zeggen: 'het waren evenveel buffels als jij en ik aan vingers en tenen hebben'. Ze hebben nog geen getallen uitgevonden, maar wel hebben ze buffels als vergelijkbare eenheden hebben leren herkennen. Om onbegrijpelijke redenen kent men nog geen aparte woorden voor hoeveelheden, terwijl men in het dagelijks gebruik allang spreekt over 'een hand maiskolven', terwijl de afstand naar het maisveld beide handen keer de afstand naar de beek is.

De natuurlijke eenheid wordt door de natuur opgelegd, zodra een dier herkent dat bepaalde zaken in de natuur gelijkvormig zijn met anderen. Je ontkomt er niet aan om op een zeker moment die zaken te gaan kwantificeren. Dat is namelijk heel makkelijk, in verband met het aanduiden van het aantal vijandelijke krijgers dat eraan komt: vluchten of vechten? De stam die het eerste nauwkeurige schattingen kon geven, had meer overlevingskans.

[Diadem]

Op maandag 22 juli 2002 19:59 schreef Sandalf het volgende:

Nee, daar ben ik het absoluut niet mee eens. De axioma's van de natuurlijke getallen zijn ALLEEN voor mensen zo overduidelijk in de natuur aanwezig. Stel je bijvoorbeeld maar eens een wezen voor dat alles als 1 ding ziet dat constant aan het veranderen is. Dat wezen zal misschien afmetingen kennen, maar of deze afmeting een geheel aantal eenheden (bijvoorbeeld meters) is zou voor hem volstrek betekenisloos zijn.

Desalniettemin liggen deze axioma's in de wiskunde besloten. Net als de natuurlijke getallen zelf dat liggen.

Als deze alien met wiskunde bezig gaat ontdekt hij ze vanzelf, uiteindelijk. Hij zal een notie van verzamelingen hebben misschien, en dan krijg je toch dat je verzamelingen gaat verenigen, en doorsnedes gaat nemen. Dan krijg je vanzelf een telsysteem: 1 verzameling, 2 verzamelingen.

Of je gaat bezig met calculus. Dan krijg je integralen, en dan dubbele oftewel 2-voudige integralen, en 3-voudige. En dan moet je ook alweer tellen.

De vraag is dan of de alien überhaupt aan wiskunde zal gaan beginnen. Maar dat is een ander verhaal, zelfs als hij er niet aan begint betekent dat niet dat er dus geen wiskunde bestaat.

Wiskunde is niets anders dan regelmatigheden en patronen. Die bedenk je niet, die ontdek je.

[Verwijderd]

Het boek Goedel, Escher, Bach is inderdaad erg interessant om te lezen om wat meer hierover te weten te komen.

Met betrekking tot de axioma's van de Wiskunde, met name nu de rekenkunde, er worden zulke natuurlijk mogelijke axioma's gekozen. Dingen waarvan we aannemen dat ze waar zijn, maar zonder bewijs.

De grondslag voor de huidige Wiskunde is toch wel de verzamelingenleer, maar deze kent toch een paradox. De befaamde Russell paradox.

Deze zegt: Laat R de verzameling zijn van verzamelingen die zichzelf niet bevatten. (Wiskundig gezien kan een verzameling een element van zichzelf zijn).

Zit R nu in R? Zo ja, dan zou R dus niet aan de voorwaarde voldoen dat R alleen verzamelingen bevat die zichzelf niet bevatten. Dus moet R er niet in zitten, maar dan voldoet R juist weer wel aan de eis, en zou het er wel weer moeten inzitten etc.

Kortom R zit in R dan en slechts dan wanneer R niet in R zit.

Zulke paradoxen zijn een gruwel voor de wiskundigen, want als het even kan wil je deze voorkomen.

Goedel heeft bewezen dat de getaltheorie onbeslisbare vraagstukken bevat, i.e. het is niet compleet.

Hiermee gerelateerd is ook: (Om van mathworld te quoten):

Stated more colloquially, any formal system that is interesting enough to formulate its own consistency can prove its own consistency iff it is inconsistent.

(iff = If and only if).

Achter dit Goedel bewijs ligt nog een heel verhaal van redeneren binnen een theorie, en erbuiten, dus over een theorie. En dan weer over die theorie waarmee je over de andere theorie redeneert etc. etc.

En ander invalspunt, niet minder interessant, is dus de koppeling met de natuur, de werkelijkheid. We doen wat waarnemen, aannemingen, berekenen wat, bijvoorbeeld als we met een bepaalde snelheid een bal omhooggooien, hoe lang het dan duurt voordat deze neerkomt. Daarna gooien we die bal echt, meten we, en concluderen we: Onze berekening klopte, dus waarschijnlijk onze theorie ook wel. Totdat we een keer iets tegenkomen waarbij onze theorie niet opgaat.

Dan geven i.h.a. niet de natuur de schuld, maar passen we onze theorie aan.

Dit ligt deels ten grondslag aan de westerse overtuiging dat er een soort van orde in de natuur zit. Het taoisme gooit het meer op Yin en Yan, twee tegenpolen die elk aanwezig zijn en de natuur en dat er een continue beweging is, waardoor er niet zo'n behoefte werd gevoeld om naar zo'n allesoverheersende orde te zoeken.

Overigens had ook de Griek Heraclitus dit idee wel een beetje met zijn "Panta Rhei".

Dit zijn wellicht wat losse flodders, en zou nogmaals aanraden om Goedel, Escher, Bach te lezen.

[Verwijderd]

Op maandag 22 juli 2002 22:08 schreef Nem0 het volgende:

Dit zijn wellicht wat losse flodders, en zou nogmaals aanraden om Goedel, Escher, Bach te lezen.

Plus Kant en een nog niet genoemde, wiens minder begaafde broertje een briljant pianist was. Dat roept een volgende vraag op: is muziek een absolute waarheid?

[Confusion]

Nem0 schreef:
De befaamde Russell paradox.

Ik meen dat men een hele aardige oplossing heeft verzonnen voor deze paradox, maar ik kan me niet meer herinneren wat het was.

[Verwijderd]

Op maandag 22 juli 2002 22:29 schreef Fused het volgende:

[..]

Ik meen dat men een hele aardige oplossing heeft verzonnen voor deze paradox, maar ik kan me niet meer herinneren wat het was.

Je zinspeelt wellicht op het probleem van een niet voor natuurlijke talen geldende typenhierarchie?

Afgezien daarvan: wat kan een absolute waarheid (zie topictitel) worden genoemd, zonder dat het bereik van die waarheid bij voorbaat begrensd is - en het dus slechts binnen zekere grenzen een absolute waarheid is?

[Verwijderd]

Op maandag 22 juli 2002 22:29 schreef Fused het volgende:

[..]

Ik meen dat men een hele aardige oplossing heeft verzonnen voor deze paradox, maar ik kan me niet meer herinneren wat het was.

Er is wel zoiets ingevoerd als een class set. Er is dan een 'Proper class', een class die geen set is.

Zie ook: [url="http://mathworld.wolfram.com/ClassSet.html"]http://mathworld.wolfram.com/ClassSet.html[/url]. Het was ook meer als voorbeeld om aan te duiden dat de axioma's nog zo zorgvuldig gekozen kunnen worden, dat er dan toch een paradox kan ontstaan.

Er kan ook voor een hierarchische oplossing gekozen worden.(Zoals hierboven gemeld) Waarbij er dus een hierarchie bestaat en waarbij verzamelingen zichzelf niet kunnen bevatten.

Dan zijn er basis (of oer, of ur) elementen die geen andere kunnen bevatten. En een laag daarboven van verzamelingen bevat die alleen basiselementen kunnen bevatten etc.

Dan is er dus geen zelfreferentie mogelijk.

Daarmee voorkom je ook zoiets als: "Deze zin is niet waar". Dat is in feite ook zelfreferentie. Echter je sluit ook dingen uit die wel zinnig zijn, namelijk "Deze zin bestaat uit zes woorden."

Een beetje een discutabele oplossing.

[Confusion]

Nem0 schreef:
Er is wel zoiets ingevoerd als een class set. Er is dan een 'Proper class', een class die geen set is.

Die bedoelde ik

Een beetje een discutabele oplossing.

Wat als je 2-waardige logica loslaat en toestaat dat er een derde oplossing kan zijn: onbepaald? Kan je daar nog een consistent systeem mee bouwen? Dan moet je alleen voor elke relevante stelling die je wilt gebruiken voor verder bewijs gaan bewijzen dat zodra de stelling waar is, hij voor de 'omgekeerde' stelling onwaar is. Ik kan niet overzien of zoiets mogelijk is.

[Verwijderd]

Op dinsdag 23 juli 2002 01:05 schreef Fused het volgende:
Wat als je 2-waardige logica loslaat en toestaat dat er een derde oplossing kan zijn: onbepaald? Kan je daar nog een consistent systeem mee bouwen? Dan moet je alleen voor elke relevante stelling die je wilt gebruiken voor verder bewijs gaan bewijzen dat zodra de stelling waar is, hij voor de 'omgekeerde' stelling onwaar is. Ik kan niet overzien of zoiets mogelijk is.

Volgens mij wordt dat heel lastig, aangezien heel veel wiskundige stellingen uit het ongerijmde bewezen worden.

Denk bijvoorbeeld aan de priemgetallen van Euclides. Het te bewijzen is dat er oneindig veel priemgetallen zijn.

Voor degenen die 't niet kennen:

Het bewijs gaat nu als volgt: Neem aan dat dit niet zo is. Dan zijn er dus eindig veel. Noem deze p₁p₂p₃...p_n. Neem nu het getal dat het product is van al deze priemgetallen + 1. Dus p₁*p₂*p₃*...*p_n + 1.

Dit getal is noch deelbaar door p₁, noch door p₂ etc. Kortom, het getal is of zelf een priemgetal, of het is deelbaar door een ander priemgetal dat niet in onze lijst terecht kwam. Dus een tegenspraak.

Conclusie: Er zijn oneindig veel priemgetallen.

Als je nu van een driewaardige logica uitgaat dan kun je deze conclusie dus niet trekken lijkt me.

Maar dan moet je het constructief gaan bewijzen. En aangezien er volgens mij geen functie bekend is die alle priemgetallen genereert, priemgetallen vind je in principe door per getal te testen, lijkt me dit heel lastig, je wil en kunt ze niet alle oneindig-veel opschrijven om aan te tonen dat het er oneindig veel zijn.

Dus wellicht dat je binnen de dingen die je wel met deze theorie kunt bewijzen kunt aantonen dat de theorie consistent is, maar of de zeggenskracht groot is van de theorie vraag ik me af.

Dit heb ik net zelf even bedacht, ik zal morgen eens kijken of er wat meer over te vinden is, want het is op zich wel een interessante opmerking.

[Commander Zulu]

Hier nog iemand die Gõdel, Escher, Bach van Hofstadter kan aanraden!

Hoewel het boek op sommige punten zeer diep gaat wordt op fundamentele wijze uitgelegd hoe de getaltheorie die sinds Euclides gebruikt werd in 1930 door Gõdel omver gegooid werd door te zeggen dat de theorie (en elke theorie) onvolledig is.

Maar het leuke is dat je die constatering ook kan doortrekken naar filosofie en kunst, dat is een van de dingen die beschreven wordt in het boek.

Hofstadter heeft er de Pulitzerprijs voor gewonnen, echt een aanrader!

[Verwijderd]

Op maandag 22 juli 2002 21:20 schreef Fused het volgende:

Het wezen zal op een zeker moment opmerken dat sommige delen van de natuur veel eigenschappen gemeen hebben. Op een zeker moment komt een verkenner bij eens stamhoofd en dat stamhoofd vraagt: 'Kunnen we die kudde buffels aanvallen, of zijn het er teveel?'.

Sinds wanneer lopen op alle planeten met intelligente wezens "buffels" rond?

In eerste instantie zal men misschien slechts onderscheiden tussen 'teveel' en 'veilig voor aanval' kennen. Soms twijfelt men en de verkenner, die verscholen in een bosje ligt, vraagt aan zijn medeverkenner, die in het bosje naast hem ligt: 'teveel' of 'veilig voor aanval'? De tweede verkenner zal zeggen: 'allebei niet, ertussenin'. Zo is een derde aanduiding voor de grootte van een groep buffels geboren. Langzamerhand zal men tot de conclusie komen dat de beste aanduiding voor de grootte van de groep het onderscheiden van de individuele buffels is. Een paar eeuwen later vraagt een stamhoofd aan een verkenner: 'Kunnen we die groep buffels die je zag aanvallen?' en de verkenner zal zeggen: 'het waren evenveel buffels als jij en ik aan vingers en tenen hebben'. Ze hebben nog geen getallen uitgevonden, maar wel hebben ze buffels als vergelijkbare eenheden hebben leren herkennen. Om onbegrijpelijke redenen kent men nog geen aparte woorden voor hoeveelheden, terwijl men in het dagelijks gebruik allang spreekt over 'een hand maiskolven', terwijl de afstand naar het maisveld beide handen keer de afstand naar de beek is.

De natuurlijke eenheid wordt door de natuur opgelegd, zodra een dier herkent dat bepaalde zaken in de natuur gelijkvormig zijn met anderen. Je ontkomt er niet aan om op een zeker moment die zaken te gaan kwantificeren. Dat is namelijk heel makkelijk, in verband met het aanduiden van het aantal vijandelijke krijgers dat eraan komt: vluchten of vechten? De stam die het eerste nauwkeurige schattingen kon geven, had meer overlevingskans.

Buffels, stamhoofden, bosjes... Jij denkt zeker dat alle buitenaardse wezens (net als in Star Trek) een mens-achtige ontwikkeling hebben doorgemaakt.

Maar daar gaat het eigenlijk niet om. Wat ik bedoelde te zeggen, is dat er best heel erg veel wiskunde mogelijk is zonder natuurlijke getallen. Denk bijvoorbeeld aan de vlakke meetkunde! De manier waarop wij die nu opschrijven maakt heel veel gebruik van natuurlijke getallen, maar volgens mij kan je het ook met alleen lijnstukjes, driehoekjes etc. doen.

Natuurlijke getallen zijn heeeeel erg belangrijk voor de manier waarop wij naar het heelal kijken, maar het blijft onze subjectieve waarneming en nog subjectievere beschrijving van het heelal.

[Verwijderd]

Op maandag 22 juli 2002 22:08 schreef Nem0 het volgende:
Het boek Goedel, Escher, Bach is inderdaad erg interessant om te lezen om wat meer hierover te weten te komen.

Met betrekking tot de axioma's van de Wiskunde, met name nu de rekenkunde, er worden zulke natuurlijk mogelijke axioma's gekozen. Dingen waarvan we aannemen dat ze waar zijn, maar zonder bewijs.

De grondslag voor de huidige Wiskunde is toch wel de verzamelingenleer, maar deze kent toch een paradox. De befaamde Russell paradox.

Even 2 punten:

Punt 1: De grondslag voor de huidige wiskunde is de cathegorietheorie. Een cathegorie bestaat kort gezegd uit objecten en pijlen. Een verzameling van objecten en functies op die verzameling is maar een speciaal geval van een cathegorie (namelijk de cathegorie SET).

Punt 2: De wiskunde kent geen paradoxen. Alleen de naieve definitie van "verzameling", namelijk {x|P(x)} (in woorden: de verzameling van alle x waarvoor de eigenschap P(x) geldt) leidt tot paradoxale verzamelingen.

[Verwijderd]

Op dinsdag 23 juli 2002 01:05 schreef Fused het volgende:

Wat als je 2-waardige logica loslaat en toestaat dat er een derde oplossing kan zijn: onbepaald? Kan je daar nog een consistent systeem mee bouwen? Dan moet je alleen voor elke relevante stelling die je wilt gebruiken voor verder bewijs gaan bewijzen dat zodra de stelling waar is, hij voor de 'omgekeerde' stelling onwaar is. Ik kan niet overzien of zoiets mogelijk is.

Brouwer (Nederlands wiskundige en de grondlegger van het intuïtionisme) kon dit wel en heeft een constructieve wiskunde bedacht. Bewijzen vanuit het ongerijmde zijn daarin bijvoorbeeld niet toegestaan. Ook het axioma van de "uitgesloten derde" vond hij onacceptabel, omdat het niet met zijn intuïtie overeenkwam dat alles ofwel "goed" ofwel "fout" moest zijn.

Helaas (of misschien wel gelukkig) is Brouwers werk nu bij wiskundigen niet meer zo bekend. In de 4 jaar dat ik nu wiskunde studeer ben ik er eigenlijk nog nooit iets over tegengekomen. Alles wat ik over hem weet heb ik van een filosofievak (infinity and the mind).

[Jace / TBL]

Conclusie: Er zijn oneindig veel priemgetallen.
Als je nu van een driewaardige logica uitgaat dan kun je deze conclusie dus niet trekken lijkt me.

Ehm, maar waar gaat het dan fout? Dit bewijst stelt eerst op onbetwistbare wijze vast dat als je zegt "er zijn slechts N priemgetallen" (waarbij N elk willekeurig natuurlijk getal mag zijn), er dan uit volgt dat er minstens N+1 zijn. Als je dan de hieropvolgende stap maakt door te zeggen "tegenspraak, dus de aanname (dat er N priemgetallen zijn) is fout, QED" gebruik je min of meer die tweevoudige logica (dwz de bij ons gangbare logica).

Maar als je het nou brengt als "voor elk mogelijk getal N is het aantal priemgetallen > N, want: neem maar 1 + het product van de eerste N priemgetallen, dit is niet deelbaar door die eerste N priemgetallen, dus of is het zelf ook een priemgetal, of is het deelbaar door een ander priemgetal wat niet gelijk is aan een van de eerste N". Conclusie: het aantal priemgetallen is oneindig.

Helaas (of misschien wel gelukkig) is Brouwers werk nu bij wiskundigen niet meer zo bekend. In de 4 jaar dat ik nu wiskunde studeer ben ik er eigenlijk nog nooit iets over tegengekomen. Alles wat ik over hem weet heb ik van een filosofievak (infinity and the mind).

De dekpuntenstelling van Brouwer bijvoorbeeld, en het "hairy ball" theorema (dat elke continue functie op een eenheidsbol van even dimensie een eigenvector heeft).

[Verwijderd]

Op dinsdag 23 juli 2002 14:32 schreef Sandalf het volgende:
Brouwer (Nederlands wiskundige en de grondlegger van het intuïtionisme) kon dit wel en heeft een constructieve wiskunde bedacht. Bewijzen vanuit het ongerijmde zijn daarin bijvoorbeeld niet toegestaan. Ook het axioma van de "uitgesloten derde" vond hij onacceptabel, omdat het niet met zijn intuïtie overeenkwam dat alles ofwel "goed" ofwel "fout" moest zijn.

Helaas (of misschien wel gelukkig) is Brouwers werk nu bij wiskundigen niet meer zo bekend. In de 4 jaar dat ik nu wiskunde studeer ben ik er eigenlijk nog nooit iets over tegengekomen. Alles wat ik over hem weet heb ik van een filosofievak (infinity and the mind).

Ik heb bij een Logica-vak wel een kleine uiteenzetting over constructieve logica gekregen en het idee erachter, waarbij Brouwer en Heyting (Leerling van Brouwer) inderdaad worden genoemd, maar erg diep gaat het er niet op in.

[Verwijderd]

Op dinsdag 23 juli 2002 14:20 schreef Sandalf het volgende:

[..]
Punt 2: De wiskunde kent geen paradoxen. Alleen de naieve definitie van "verzameling", namelijk {x|P(x)} (in woorden: de verzameling van alle x waarvoor de eigenschap P(x) geldt) leidt tot paradoxale verzamelingen.

Maar is het uit te sluiten dat de huidige Wiskunde geen paradoxen kan tegenkomen? De ontdekking van een paradox geeft meestal aanleiding om enkele grondslagen te herzien, en dan maar te hopen dat er geen nieuwe paradox wordt ontdekt.

[Verwijderd]

[b]Op dinsdag 23 juli 2002 14:20 schreef Sandalf Punt 1: De grondslag voor de huidige wiskunde is de cathegorietheorie. Een cathegorie bestaat kort gezegd uit objecten en pijlen. Een verzameling van objecten en functies op die verzameling is maar een speciaal geval van een cathegorie (namelijk de cathegorie SET).

Zo blijf ik reageren, maar goed.

Dat van die Categorie-theorie klinkt overigens erg interessant, daar zal ik eens wat meer informatie over opzoeken.

[Verwijderd]

Sandalf schreef:
Sinds wanneer lopen op alle planeten met intelligente wezens "buffels" rond?

Ik had een woord nodig voor een beest dat ze wilden eten. Je kan net zo goed van 'vijandige krijger' spreken. Ik koos voor buffel, omdat dat tot de verbeelding spreekt.

Buffels, stamhoofden, bosjes... Jij denkt zeker dat alle buitenaardse wezens (net als in Star Trek) een mens-achtige ontwikkeling hebben doorgemaakt.

Allereerst zijn er redelijke argumenten om dat te verwachten, maar afgezien daarvan: jij denkt zeker dat ik niet dacht dat iemand dit zou denken?

Plantenleven zal elders ook voorkomen, andere levensvormen zullen er bij onze alien ook zijn en ik gebruikte gewoon onze bekende woorden in plaats van eerst "'xhjdfh' is een buffelachtig dier waar deze intelligente katachtige op jaagt" te definieren. Organisatie in groepen zal bij een intelligente levensvorm vanzelf gebeuren, omdat het de overlevingskans verhoogt. Etc.

[Confusion]

Ehmmm... bovenstaande post is van mij

[Verwijderd]

Op dinsdag 23 juli 2002 15:09 schreef Nem0 het volgende:

[..]

Maar is het uit te sluiten dat de huidige Wiskunde geen paradoxen kan tegenkomen? De ontdekking van een paradox geeft meestal aanleiding om enkele grondslagen te herzien, en dan maar te hopen dat er geen nieuwe paradox wordt ontdekt.

Sterker nog, Godel heeft bewezen dat je paradoxedn NOOIT uit kan sluiten. In een theorie die ten minste de axioma's van de natuurlijke getallen bevat, is de zin die zegt dat die theorie consistent is, een onbewijsbare stelling binnen die theorie.

[Verwijderd]

Op dinsdag 23 juli 2002 17:30 schreef Sandalf het volgende:
Sterker nog, Godel heeft bewezen dat je paradoxedn NOOIT uit kan sluiten. In een theorie die ten minste de axioma's van de natuurlijke getallen bevat, is de zin die zegt dat die theorie consistent is, een onbewijsbare stelling binnen dMaar goed, hiermee lijkt me dat we wel kunnen concluderen dat de wisie theorie.

Daar zinspeelde ik ook op, maar jij zei nogal stellig:

De wiskunde kent geen paradoxen.

Hetgeen ik in eerste instantie las als "Wiskunde heeft nooit en te nimmer paradoxen".

[GeeBee]

Op mijn vakantie in Ierland dacht ik onderweg nog eens na over dit topic en ik denk dat ik het met de topicopener eens moet zijn. Ik bedacht iets over Newton.
Een alien-Newton moet op een gegeven moment een alien-appel uit een alien-boom hebben zien vallen en op een briljant idee zijn gekomen.
Daarna hadden ze nieuwe wiskunde nodig om de waarnemingen te kunnen verklaren en zijn ze tot hun equivalent van differentiaalrekenen gekomen. Als je zo uitgaat van paralellen en dat wiskunde in beginsel voortvloeit uit de noodzaak om waarnemingen te kunnen verklaren en als onderbouwing van o.a. de natuurkunde, dan moeten de twee wiskundes uiteindelijk compatible met elkaar zijn en in elkaar om te zetten zijn.

Bij doorlezen dan dit draadje kwam ik Newton al een keer tegen

[Essence]

Op dinsdag 23 juli 2002 11:00 schreef Commander_Zulu het volgende:
Hier nog iemand die Gõdel, Escher, Bach van Hofstadter kan aanraden!

Hoewel het boek op sommige punten zeer diep gaat wordt op fundamentele wijze uitgelegd hoe de getaltheorie die sinds Euclides gebruikt werd in 1930 door Gõdel omver gegooid werd door te zeggen dat de theorie (en elke theorie) onvolledig is.

Een goed leesbaar boekje over Goedel's Proof is:
"Goedel's Proof" - Ernest Nagel and R. James Newman
Dit boekje is een voor niet logici/wiskundigen leesbare variant van Goedel's duitstalige paper uit 1931: "Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica under verwandter Systeme".
Die hards lezen natuurlijk eerst Principia Mathemetica van Whitehead en Russel, en gaan daarna vlijtig door met Goedel's oorspronkelijke artikeltje

Betreft axioma's in meerdere posts hiervoor besproken: in 1899 is de wiskunde van positieve gehele getallen geaxiomatiseerd door Guiseppe Peano waarin slechts 3 ongedefinieerde termen staan: het begrip "getal", "nul" en "opvolger van".
Peano's axioma's zijn vrij vertaald:
1. Nul is een getal
2. De opvolger van een getal is een getal
3. Nul is niet de opvolger van een getal
4. Geen enkele twee getallen hebben dezelfde opvolger
5. Elke eigenschap behorende tot nul, en ook tot de opvolger van elk getal dat die eigenschap heeft, behoort tot alle getallen. (principe van mathematische inductie)