Hallucinaire getallen

[wiho]

Een collega heeft een theorietje uitgedacht dat IMHO zeker 't vermelden hier waard is: de hallucinaire getallen!

Korte inleiding:

Naast de 'gewone' reeele getallen, maken wis- en natuurkundigen veelvuldig gebruik van imaginaire getallen omdat sommige vraagstukken daarmee veel comforabeler te beschrijven zijn. Zoals bekend is de basis van imaginaire getallen het symbool i waarvoor geldt dat i gelijk is aan de wortel uit -1.

Hallucinaire getallen breiden de complexe getallen uit tot zgn. hyper-complexe getallen door het symbool h te introduceren (nee, niet de constante van Planck). Voor h geldt dat het product van h met zijn complex conjungeerde gelijk is aan -1, oftwel de absolute waarde |h| is gelijk aan i.

Na een korte afleiding komt m'n collega tot de conclusie dat tijd de hallucinaire dimensie van ruimte is!!

Lees meer op zijn website!

[Confusion]

Volens mij kom je nu aardig dicht in de buurt van de quaternionen. Bij quaternionen heb je 3 onafhankelijke 'complexe constanten', i, j en k, waarvoor geldt

i² = j² = k² = ijk = -1.

Zie ook http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html

NB. Aangezien dit bestaat, denk ik dat het systeem van je collega niet geheel consistent is. Men introduceert hier niet voor niets drie constanten, waarvoor geldt dat het inprodukten van twee ervan telkens gelijk is aan i.

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 12:06 schreef wiho het volgende:
Zoals bekend is de basis van imaginaire getallen het symbool i waarvoor geldt dat i gelijk is aan de wortel uit -1.

[offtopic]
Veel gemaakte fout: i²=-1, maar niet sqrt(i)=-1.
[offtopic]

Dit is idd bijna quaternionen.

[Verwijderd]

Een toepassing van Quaterions: http://www.cs.berkeley.edu/~laura/cs184/quat/quaternion.html

(rotaties middels vectortoestanden ipv eulerangles.)

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 13:32 schreef Fused het volgende:
Volens mij kom je nu aardig dicht in de buurt van de quaternionen. Bij quaternionen heb je 3 onafhankelijke 'complexe constanten', i, j en k, waarvoor geldt

i² = j² = k² = ijk = -1.

Zie ook http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html

NB. Aangezien dit bestaat, denk ik dat het systeem van je collega niet geheel consistent is. Men introduceert hier niet voor niets drie constanten, waarvoor geldt dat het inprodukten van twee ervan telkens gelijk is aan i.

quaternion, of Pauli spin matrices etc zijn allemaal matrices. Het equivalent voor "complex conjugate" voor matrices is de "dagger"=getransponeerde van de matrix
+complex geconjugeerde van alle elementen in de matrix.
Dan volgt |i|=|j|=|k| en |i|=sqrt( i * i-dagger)=1 .
Hallucinaire getallen zijn dus fundamenteel anders dan
quaternionen, pauli matrices or whatsoever.

[Verwijderd]

Is h dan niet gewoon een Hyper-complex getal, zoals van der Waerden in 1985 al heeft bedacht?

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 15:15 schreef sp0ck3y het volgende:
Is h dan niet gewoon een Hyper-complex getal, zoals van der Waerden in 1985 al heeft bedacht?

Lijkt me niet. Van der Waerden's hypercomplexe getallen i,j
voldoen aan de relatie:

i²=j²=-1

geheel anders dan het getal h
hh^*=-1

Ik zou Van der Waerden's hypercomplexe getallen dan ook anders benoemen. Semi-hyper complexe getallen zou een betere benaming zijn. Dat vermijd ook iedere verwarring met de 'echte' hypercomplexe getallen: de complexe getallen uitgebreid met de hallucinaire getallen.

[Jace / TBL]

Hoe is in het hallucinaire systeem de vermenigvuldiging gedefinieerd? Dus als je twee hallucinaire getallen hebt (z₁ = a₁ + b₁i + c₁h en z₂ hetzelfde maar dan met 2-tjes), wat is dan z^{1 .} z²? Of meer specifiek: wat is i^.h, h^.i en h^.h?

En wat is de 'complex geconjugeerde' van een hallucinair getal? Moet dit niet 'hallucinair geconjugeerde' zijn? Als je uitgaat van z^* = a - bi - ch (waarbij z ^. z^* = -1 als a en b beide 0 zijn), dan kom je uit op h² = 1, dat lijkt me vreemd?

[Verwijderd]

Volgens mij is de term 'hallucinary' niet at random gekozen, lezende de page: http://www.science.uva.nl/~tsvanerp/research/hallucinairy/hallucy/hallucy2.html

Het is een leuk woordspelletje ( -> bevatten imaginary numbers alle numbers die je maar kunt verzinnen (al dan niet representeerbaar door getal/teken of formule) of niet?), en bij formule (7) gaat de schrijver ervan uit dat de vector die gezocht wordt alleen goed te beschrijven is volgens hallucinerende getallen, omdat je dan 1 formule kunt opstellen voor situaties waarbij je verschillen krijgt in sign wanneer je de formule toepast op meerdere situaties waarbij de formule dezelfde uitkomst moet opleveren.

Mja, dit weerlegt nog niet waarom je met quaternions hetzelfde kunt zonder hallucinaties, iets dat volgens de schrijver niet kan, daar in quaternions geen hallucinerende getallen nodig zijn, maar men wel zonder sign-geneuzel kan rekenen aan de data zoals aangehaald in het voorbeeld bij (7)

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 17:14 schreef Otis het volgende:

Mja, dit weerlegt nog niet waarom je met quaternions hetzelfde kunt zonder hallucinaties, iets dat volgens de schrijver niet kan, daar in quaternions geen hallucinerende getallen nodig zijn, maar men wel zonder sign-geneuzel kan rekenen aan de data zoals aangehaald in het voorbeeld bij (7)

Het wordt niet helemaal duidelijk wat Otis bedoelt, dat de met quaternionen hetzelfde kunt als met hallucinaire getallen. De reken regels voor quaternionen i²=j²=k²=-1 is niks bezonders, dat kan in complexe getal ruimte ook:
neem i=j=k= sqrt(-1)=i. Het bijzondere van quaternionen tov
complexe getallen komt pas naar voor in de onderlinge producten
i*j enz die inderdaad wezenlijk anders zijn dan in
complexe getallen.

Wat nu bijzonder is aan hallucinaire getallen is
hh^*=-1 en dus |h|=i.
Dit is iets wat niet kan met quaternionen of complexe getallen, voor welke de absolute waarde ALTIJD reëel en positief is. Of je moet de definitie van absolute waarde, cq lengte van een vector veranderen. Dat is in weze ook wat in de Minkowski metriek gebeurt.

[Confusion]

hallucy schreef:
Of je moet de definitie van absolute waarde, cq lengte
van een vector veranderen. Dat is in weze ook met in de Minkowski metriek gebeurt.

OK, ik begrijp het verschil, maar of de zo gedefinieerde algebra ook werkelijk bruikbaar is ergens voor kan ik zo snel niet beoordelen. Dat je met leuke benamingen in de wiskunde soms een grappige conclusie kan trekken betekent vaak dat de achterliggende wiskunde niet zo compleet is

[Lord Daemon]

Formule ( klopt niet, op die webpage uit de eerste post. Er moet een extra minteken onder de wortel bij.

Verder vind ik niet dat 'h' goed gedefinieerd is als niet iemand mij vertelt wat h² is.

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 20:37 schreef Lord Daemon het volgende:
Formule ( klopt niet, op die webpage uit de eerste post. Er moet een extra minteken onder de wortel bij.

Verder vind ik niet dat 'h' goed gedefinieerd is als niet iemand mij vertelt wat h² is.

Dat minteken onder de wortel is natuurlijk niet belangrijk. Het gaat erom dat dS de behouden grootheid is. Net zoals je bij de energie iedere willekeurige constante mag optellen.
Het relative minteken tussen tijd en ruimte, dat is natuurlijk wel belangrijk:
dS²=(+/-) [(ct)²-dx²-dy²-dz² ].
In sommige tekstboeken wordt de 4-vector met een i geschreven:x=(i ct,x,y,z). Maar dit is natuurlijk reinste
onzin aangezien dx dx^*=[(ct)²+dx²+dy²+dz² ], want
i*i^*=i*(-i)=-(-1)=1.
Wat dat betreft is het idee van hallucinaire getallen een enorme verbetering.

Nu nog de fundamentele vraagstukken oplossen als
h²=??? Ik ga erover nadenken. Waarschijnlijk ga ik de methode, beschreven onder de PPS, vanavond maar eens toepassen.

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 20:37 schreef Lord Daemon het volgende:
Formule ( klopt niet, op die webpage uit de eerste post. Er moet een extra minteken onder de wortel bij.

Zoals TheTruth zegt is dat min-teken waar jij op doelt niet belangrijk (+/-)dS², maar het relative min-teken tussen tijd en ruimte wel.

Het is maar net of je tijd als de hallucinaire ruimte wilt beschouwen of ruimte juist als een hallucinaire tijd

[Verwijderd]

Mag ik wat vragen?

Imaginaire getallen snap ik nog net enzo..
maar is dit geen gebed zonder einde? dat almaar nieuwe getallen bedenken?

[Jace / TBL]

Als we ervan uitgaan dat de 'hallucinair geconjugeerde' van z = a + bi + ch gedefinieerd is als z^* = a - bi - ch (dus net als bij de complexe getallen en quaternionen), dan h^.h^* = z^.z^* (met a=b=0 en c=1) = -h² = -1, dus h² = 1.

Of is conjugeren in de hallucinaire ruimte iets anders? En wat is h^.i (en i^.h, als daar verschil tussen zit) ??

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 22:36 schreef Toto Skilatschi het volgende:
Mag ik wat vragen?

Imaginaire getallen snap ik nog net enzo..
maar is dit geen gebed zonder einde? dat almaar nieuwe getallen bedenken?

Nou Toto Skilatschi,
misschien moet jij de PPS onderaan op de webpagina
http://www.science.uva.nl/~tsvanerp/research/hallucinairy/hallucy/hallucy2.html ook maar ter harte nemen.
Ik ben nu bezig met mijn reële vijfde biertje, en ik moet zeggen, alles wordt inderdaad een stuk duidelijker.

[Jace / TBL]

Ik ben nu bezig met mijn reële vijfde biertje

Oh, dat doe ik fout. Ik heb al 7 imaginaire biertjes op en vind het nog steeds vage lulkoek allemaal

Naja, reële biertjes kan ik niet zo goed hebben.. maar misschien dat hallucinogene consumptiegoederen ook werken?

[PhysicsRules]

Het is wel erg simpel om te zeggen dat je de begrippen co- en contravariante vectoren hiermee maar overboord kan gooien. Kan de schrijver nog wat andere natuurkundige toepassingen noemen, waaruit blijkt dat het gebruik van hallicunerende getallen een voordeel biedt?

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 13:59 schreef lavapies het volgende:

[..]

[offtopic]
Veel gemaakte fout: i²=-1, maar niet sqrt(i)=-1.
[offtopic]

sqrt(i)=(1/2) sqrt(2)+(1/2) sqrt(2) i.
Knap hè na maar liefst -( sqrt(5) h) ( sqrt(5) h^*) biertjes op.

[PhysicsRules]

Ik vind deze oplossing voor het berekenen van de metriek trouwens erg gekunsteld. Hoe je het ook wendt of keert, je moet voor de tijd-richting een extra element (feature ) invoeren. Deze theorie doet dat vie hallucinaire getallen, maar je introduceert toch iets extra's.

Waarom is dit beter dan te zeggen dat je je ruimte zodanig definiëert dat sommige dimensies vermenigvuldigen met een '+' en anderen met een '-'?

[Verwijderd]

[b]Op maandag 01 juli 2002 23:09 schreef
Waarom is dit beter dan te zeggen dat je je ruimte zodanig definiëert dat sommige dimensies vermenigvuldigen met een '+' en anderen met een '-'?

Nee, daar ben ik het dus niet mee eens! Dat vindt ik nou wel tof aan die hallucinaire getallen metriek. Behoud van dimensie super symmetrie. "Alle dimensies zijn gelijk!" en niet volgens Minkowski "sommige dimensies zijn meer gelijk dan andere". In de 3D wereld mag je toch ook xyz assenstelsel vrij kiezen, roteren transleren etc.
Het is juist gekunsteld om een van je 4 dimensies eruit
te pikken en die dan geheel anders te gaan behandelen als de anderen. Je mag tijd als dimensie niet discrimineren hoor!!!
Hoera voor de hallucinaire getallen metriek!!!
Hoera, Hoera !!!

[WhizzCat]

Op maandag 01 juli 2002 13:59 schreef lavapies het volgende:

[..]

Dit is idd bijna quaternionen.

Ik wil niet de betweterige eikel uithangen ofsow, maar volgens mij is het in de wiskunde niet erg praktisch zowel als consistent om het woord "bijna" te gebruiken

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 22:49 schreef JaceTBL het volgende:
Als we ervan uitgaan dat de 'hallucinair geconjugeerde' van z = a + bi + ch gedefinieerd is als z^* = a - bi - ch (dus net als bij de complexe getallen en quaternionen), dan h^.h^* = z^.z^* (met a=b=0 en c=1) = -h² = -1, dus h² = 1.

Of is conjugeren in de hallucinaire ruimte iets anders? En wat is h^.i (en i^.h, als daar verschil tussen zit) ??

h²=?? is toch wel een lastig probleem, zelfs na mijn zesde reële biertje. Want stel dat h² in de hyper complexe ruimte te schrijven is als
h² =a + bi + ch dan is er in het complexe vlak twee mogelijke oplossingen voor h nl:
h=-(1/2)c (+/-) (1/2) sqrt[c² -4(a+bi)]
maar zoals gezegd, deze oplossingen zijn complex indien
a,b,c reëel. Of klopt het niet meer dat er voor een 2de graads vergelijking maar 2 oplossingen zijn? en zijn er nog
oplossingen die zich niet door de abc-formule laten vangen?
Of is het reële aantal oplossingen altijd 2 (of 1 bij ontaarding) maar zijn er ook nog een hallucinair aantal
hallucinaire oplossingen???

...een neem nog maar een biertje, misschien dat dat helpt.

[PhysicsRules]

Op maandag 01 juli 2002 23:25 schreef TheTruth het volgende:

[..]

Nee, daar ben ik het dus niet mee eens! Dat vindt ik nou wel tof aan die hallucinaire getallen metriek. Behoud van dimensie super symmetrie. "Alle dimensies zijn gelijk!" en niet volgens Minkowski "sommige dimensies zijn meer gelijk dan andere". In de 3D wereld mag je toch ook xyz assenstelsel vrij kiezen, roteren transleren etc.
Het is juist gekunsteld om een van je 4 dimensies eruit
te pikken en die dan geheel anders te gaan behandelen als de anderen. Je mag tijd als dimensie niet discrimineren hoor!!!
Hoera voor de hallucinaire getallen metriek!!!
Hoera, Hoera !!!

En toch vind ik dat jij de tijd discrimineert door er een h op te plakken

Ik moet denk ik maar wat meer bier drinken!

[PhysicsRules]

Er wordt een aantal keer geschreven dat:

(1) x = a + bi + ch

Met a, b,c, reëele getallen.

Moet dit niet zijn:

(2) x = a + bi + ch + dhi ?

Die mengvorm wordt door iedereen systematisch genegeerd!

[Verwijderd]

Op maandag 01 juli 2002 23:49 schreef PhysicsRules het volgende:

[..]

En toch vind ik dat jij de tijd discrimineert door er een h op te plakken

Dat lijkt me niet helemaal terecht. Dan kun je ook zeggen dat Einstein tijd discrimineerde door er een c op te plakken. Of dat je ruimte discrimeert door er meter/mijl
ängstrom op te plakken.

Op maandag 01 juli 2002 23:53 schreef PhysicsRules het volgende:
(2) x = a + bi + ch + dhi ?
Die mengvorm wordt door iedereen systematisch genegeerd!

Dat is natuurlijk maar zeer de vraag, het ligt
er maar net aan of hi te schrijven valt binnen
de gepostuleerde definitie van
hyper complexe getallen. Als er een a',b' en c' zijn
zdd hi=a'+b'i+c'h dan heb je de mengvorm niet nodig.
Ik weet niet of hier al een wiskundig bewijs voor bestaat.
TheTruth misschien???

Op maandag 01 juli 2002 23:40 schreef TheTruth het volgende:
Of klopt het niet meer dat er voor een 2de graads vergelijking maar 2 oplossingen zijn? en zijn er nog
oplossingen die zich niet door de abc-formule laten vangen?
Of is het reële aantal oplossingen altijd 2 (of 1 bij ontaarding) maar zijn er ook nog een hallucinair aantal
hallucinaire oplossingen???

Het kan dus ook zijn dat de hypercomplexe ruimte te beperkt
gedefineerd is. En dus dat ieder hypercomplex getal z
te schrijven is als:
z=a+bi+ch+dhi+eh^*+fh^*i

[PhysicsRules]

Er moet naast complex conjugeren (i -> -i) een nieuwe term komen:

hallucinair conjugeren: h -> -h (zoals JaceTBL al schrijft)

edit:

Ik heb net in het bericht hieronder bewezen dat de deze stelling inderdaad klopt!!!

Als je zegt hh^* = -1, dan is dit de hallucinair geconjugeerde, dus eigenlijk hh^@ = -1. Ik voer bij deze een nieuwe notatie in

je krijgt dan:

z = a + bi +ch +dhi
z^* = a - bi + ch - dhi
z^@ = a + bi - ch - dhi
z^*@ = a - bi - ch + dhi


Verder, h is niet te schrijven als een complex getal, (duh), dus

h^* = h.

En de hallucinaire geconjugeerde is

h^@ = -h

dus

h² = hh = -hh^@ = 1

Dat ook weer opgelost

Waar is het bier ??????

[PhysicsRules]

Op dinsdag 02 juli 2002 00:20 schreef hallucy het volgende:
[knip]
Als er een a',b' en c' zijn
zdd hi=a'+b'i+c'h dan heb je de mengvorm niet nodig.
Ik weet niet of hier al een wiskundig bewijs voor bestaat.
TheTruth misschien???

ff proberen:

h kan niet geschreven worden in termen van i. Als dat wel kon heb je namelijk:

h = a+ib
hh^* = (a+ib)(a-ib) = a²+b² > 0

En we wilden dat hh^*= -1.

DUs: of hh^* bestaat niet (moet @ ipv * zijn, zie mijn vorige post), of h kan niet geschreven worden als h=a+ib. In beide gevallen heeft h^* geen betekenis, dus ik heb nu bewezen dat alleen de hallucinair geconjugeerde interessant is.

Leuk. Ik probeerde iets anders te bewijzen.


---

Stel: hi = a + bi +ch

Dan (hi)^* = -hi = a-ib+ch. Dat klopt niet, dus hi kan niet in termen van a+bi+ch worden geschreven.

[Verwijderd]

euh.. ik haak een beetje af geloof ik....
Misschien toch een hallucinair biertje teveel op.
Misschien dat morgen weer een heldere kijk op de wereld verschaft.

[Verwijderd]

Op dinsdag 02 juli 2002 00:32 schreef PhysicsRules het volgende:

Stel: hi = a + bi +ch

Dan (hi)^* = -hi = a-ib+ch. Dat klopt niet, dus hi kan niet in termen van a+bi+ch worden geschreven.

Volgens mij heb jij nu ook een paar hallucinaire biertjes teveel op . Volgens mij geldt
(hi)^* = -h^*i= a-ib+ch^*.
Of had je al een onomstotelijk bewijs geleverd dat
h= h^*?
Nou ik denk dat ik ook maar ga slapen.

[Jace / TBL]

x = a + bi + ch + dhi ?
Die mengvorm wordt door iedereen systematisch genegeerd

Het lijkt me toch dat het produkt h^.i (en i^.h) wel te schrijven moet zijn als een nieuw hallucinair getal, dwz van de vorm p + qi + rh met p,q,r reële getallen. Dat geldt voor de quaternionen bijvoorbeeld ook. Als dat hier niet zo is is de beschrijving gewoon niet compleet, voor h^.i zou je en een nieuw basiselement moeten toevoegen, bijvoorbeeld "j".

Het kan dus ook zijn dat de hypercomplexe ruimte te beperkt
gedefineerd is. En dus dat ieder hypercomplex getal z
te schrijven is als:
z=a+bi+ch+dhi+eh*+fh*i

Ja dat gaat me net iets te ver, als h* ook al een apart basiselement wordt zit er iets fout. Dan zou h, i, hi, ih, h^*, h^*i en ih^* allemaal als basiselementen moeten hebben (want ik zie voorlopig niet waarom de hallucinaire vermenigvuldiging nog communicatief moet zijn, dwz dat p*q hetzelfde als q*p is). Samen met het reële gedeelte heb je dan een 8-dimensionale ruimte, wellicht vergelijkbaar met de octonionenalgebra (die trouwens niet eens associatief is).

Nee, volgens mij hebben we het hier wel over een 3-dimensionale ruimte.

Maar aan het concept |h|=i zit iets vaags vind ik, een basiselement met een imaginaire norm... uhm tja. We moeten die naam 'hallucinair' wel letterlijk nemen geloof ik he

Er moet naast complex conjugeren (i -> -i) een nieuwe term komen:
hallucinair conjugeren: h -> -h (zoals JaceTBL al schrijft)

Ja maar wacht effe, ik bedoelde meer het 'conjugeren van een hallucinair getal'. Net zoals je ook een comlex getal of een quaternion kunt conjugeren. Het toepassen van conjugatie uit het ene stelsel op elementen uit het andere lijkt me niet zo zinvol. Naja, jij bedoelde min of meer hetzelfde geloof ik Anyway, we hebben het dus gewoon over 'conjugeren', en afhankelijk van wat voor getallen we conjugeren (namelijk complexe, hallucinaire, of anderszins enge) bedoelen we complexe of hallucinaire conjugatie.

In (C (dat moet zo'n complex c-tje voorstellen ) hebben we: z = a + bi, en z^* = a - bi
in |H (ofwel de quaternionen) hebben we z = a + bi + cj + dk, en z^* = a - bi - cj - dk

In eh, hoe zullen we het hallucinaire stelsel noemen.. H was wel handig geweest als dat niet al de quaternionen waren.. naja, in ieder geval, daar hebben we z = a + bi + ch, en z^* = iets??? van de vorm a' + b'i + c'h

Genoeg geleuter, Wiho moet eerst maar eens aangeven wat de geconjugeerde versie van een algemeen getal precies is (dus van a+bi+ch), en wat hi, ih en hh is (die laatste lijkt me 1?). Of laat die freak anders zelf even hier op GoT komen

Nu: de hoogste tijd voor een paar hallucinogene paddo's!

[PhysicsRules]

Op dinsdag 02 juli 2002 00:44 schreef hallucy het volgende:

[..]

Volgens mij heb jij nu ook een paar hallucinaire biertjes teveel op . Volgens mij geldt
(hi)^* = -h^*i= a-ib+ch^*.
Of had je al een onomstotelijk bewijs geleverd dat
h= h^*?
Nou ik denk dat ik ook maar ga slapen.

Als je mijn posts goed leest, dan zie je dat ik al bewezen heb dat h = h^*. (Hier is * de complex geconjugeerde).

Daarom heb ik @ ingevoerd, de hallucinair geconjugeerde. Er geldt dus:
(hi)^* = hi^* = -ih

[PhysicsRules]

Op dinsdag 02 juli 2002 01:33 schreef JaceTBL het volgende:
Het lijkt me toch dat het produkt h^.i (en i^.h) wel te schrijven moet zijn als een nieuw hallucinair getal, dwz van de vorm p + qi + rh met p,q,r reële getallen.

Weet je dat zeker? Het product van een reeel getal en een puur imaginair getal kun je ook niet schrijven als een som:

neem a, b, d, e reeel
c = i.b = imaginair.
a.c = a.b.i kan niet geschreven worden als d+ie met d<>0

Ja maar wacht effe, ik bedoelde meer het 'conjugeren van een hallucinair getal'. Net zoals je ook een comlex getal of een quaternion kunt conjugeren. Het toepassen van conjugatie uit het ene stelsel op elementen uit het andere lijkt me niet zo zinvol. Naja, jij bedoelde min of meer hetzelfde geloof ik Anyway, we hebben het dus gewoon over 'conjugeren', en afhankelijk van wat voor getallen we conjugeren (namelijk complexe, hallucinaire, of anderszins enge) bedoelen we complexe of hallucinaire conjugatie.

Je zult toch onderscheid moeten maken. Complex conjugeren is i <-> -i. Dus hallunicair conjugeren = h <-> -h.
Maakt veel uit voor een getal dat er uit ziet als
z=a + b.i +c.h
Verwijs weer naar mijn bovenstaande post.

In (C (dat moet zo'n complex c-tje voorstellen ) hebben we: z = a + bi, en z^* = a - bi
in |H (ofwel de quaternionen) hebben we z = a + bi + cj + dk, en z^* = a - bi - cj - dk

In eh, hoe zullen we het hallucinaire stelsel noemen.. H was wel handig geweest als dat niet al de quaternionen waren.. naja, in ieder geval, daar hebben we z = a + bi + ch, en z^* = iets??? van de vorm a' + b'i + c'h

hi, ih en hh is (die laatste lijkt me 1?).

Heb boven al bewezen dat h²=1

[Diadem]

In feite zijn de hallucinaire getallen een speciaal geval van de |R⁴.

De imaginaire ruimte |C is niets anders dan de |R² met daaraan een aantal extra rekenregels toegevoegd. Zo geldt dit ook voor |H (de hallicinaire ruimte) en de |R⁴.

Quaternionen zijn dit ook.

Je zou eens moeten kijken of je de ene niet naar de andere kunt omrekenen.

[Verwijderd]

Op dinsdag 02 juli 2002 10:33 schreef PhysicsRules het volgende:
Heb boven al bewezen dat h²=1

Maar als h²=1 en daarbij h niet gelijk aan 1 of -1, dat houd in dat een 2de graads vergelijking meer dan 2
oplossingen kan hebben.

Ik denk dat de hyper-complexe ruimte toch uitgebreid dient te worden met 4 variabelen, dus
z=a+bi+ch+dh^*
want indien h^* te schrijven zou zijn als
h^*=a'+b'i+c'h, blijft het probleem van de 2de graads vergelijking gelden.

Klinkt ook logisch eigenlijk:
reele ruimte 1 variabele
complexe ruimte 2
hallucinaire ruimte 4
......illusionaire? getallen 8 variablen

Als illusionaire getallen stel ik voor het getal l
(i is al vergeven) met de volgende eigenschap
ll^@=-1
met @ de hyper complex geconjugeerde.
Illusionaire getallen lijken mij uitermate nuttig voor de
beschrijving van 11-dimensionale stringtheorieen.

Maar misschien is het beter eerst op de hallucinaire getallen te concentreren, voor ik te ver doordraaf.

[PhysicsRules]

Op dinsdag 02 juli 2002 11:25 schreef hallucy het volgende:
Ik denk dat de hyper-complexe ruimte toch uitgebreid dient te worden met 4 variabelen, dus
z=a+bi+ch+dh^*
want indien h^* te schrijven zou zijn als
h^*=a'+b'i+c'h, blijft het probleem van de 2de graads vergelijking gelden.

Bedoel je met * nu de complex geconjugeerde of de hallucinair geconjugeerde.

h kan niet gescheven worden als een complex getal dus als * de complex geconjugeerde is dan geldt
h^* = (a+ib+hc+ ihd)^* = a -ib + hc -ihd, met a=b=d=0, c=1.
dus
h^* = h

Als * de hallunicair geconjugeerde is (dus @) dan geldt
h^@ = -h
en kun je dus zeggen
h^@ = a + ib +ch, met a=b=0, c=-1.

Klinkt ook logisch eigenlijk:
reele ruimte 1 variabele
complexe ruimte 2
hallucinaire ruimte 4
......illusionaire? getallen 8 variablen

Dus een hallucinair getal moet uit 4 onafhankelijke basiselementen worden opgebouwd: 1, i, h en ih.

Als illusionaire getallen stel ik voor het getal l
(i is al vergeven) met de volgende eigenschap
ll^@=-1
met @ de hyper complex geconjugeerde.

Nee, je moet dan een nieuwe conjugeerde bedenken. de Illusionair geconjugeerde. Want * is voor complex, @ voor hallucinair en $ (???) voor illusionair.

dus

ll^$ = -1
l^@ = l

Illusionaire getallen lijken mij uitermate nuttig voor de
beschrijving van 11-dimensionale stringtheorieen.

Hoezo dat?
Trouwens, 11d is geen stringtheory meer. Heet geloof ik M-theorie.

Maar misschien is het beter eerst op de hallucinaire getallen te concentreren, voor ik te ver doordraaf.

Proost

[Verwijderd]

Op dinsdag 02 juli 2002 11:59 schreef PhysicsRules het volgende:

[..]

Bedoel je met * nu de complex geconjugeerde of de hallucinair geconjugeerde.

complex geconjugeerde natuurlijk. Laten we weer even bij het begin beginnen.

eens waren er alleen reele getallen a, deze konden danwel positief, danwel negatief zijn. Er was wel een beperkende eigenschap, nl a*a >= 0. In weze kunnen we de reeel geconjugeerde definieren als a^R=a en dus
aa^R=aa>=0

Toen kwamen de imaginaire getallen, met als bijzondere
eigenschap dat ii^R=ii=-1 <0 !!
Toen vonden ze de complex geconjugeerde uit * met als eigenschap dat cc^* >=0 voor ieder complex getal c.

Toen kwamen de hallucinaire getallen met als bijzondere
eigenschap dat hh^*=-1 < 0 !!!
En nu kunnen we weer de hypercomplexe geconjugeerde
invoeren zdd zz^@ >=0 voor ieder hypercomplex getal z

Logisch ...toch?

[Verwijderd]

ik heb nou het hele topic door gelezen en snap er nog niks van.

Maar vind het wel knap dat jullie dit kunnen bedenken

[Verwijderd]

Op dinsdag 02 juli 2002 12:19 schreef hallucy het volgende:
[..]
complex geconjugeerde natuurlijk. Laten we weer even bij het begin beginnen.
eens waren er alleen reele getallen a, deze konden danwel positief, danwel negatief zijn. Er was wel een beperkende eigenschap, nl a*a >= 0. In weze kunnen we de reeel geconjugeerde definieren als a^R=a en dus
aa^R=aa>=0
Toen kwamen de imaginaire getallen, met als bijzondere
eigenschap dat ii^R=ii=-1 <0 !!
Toen vonden ze de complex geconjugeerde uit * met als eigenschap dat cc^* >=0 voor ieder complex getal c.

Toen kwamen de hallucinaire getallen met als bijzondere
eigenschap dat hh^*=-1 < 0 !!!
En nu kunnen we weer de hypercomplexe geconjugeerde
invoeren zdd zz^@ >=0 voor ieder hypercomplex getal z
Logisch ...toch?

Is logisch, het punt blijft of h niet in de complexe getallenruimte te vinden is, zodanig dat h uit te drukken is in een complex getal, zodat h in feite dus geen nieuwe aanvulling is op het getallenspectrum maar een synoniem voor een (deel)verzameling getallen uit dat spectrum die al benoemd zijn.

[wiho]

Op dinsdag 02 juli 2002 01:33 schreef JaceTBL het volgende:
Genoeg geleuter, Wiho moet eerst maar eens aangeven wat de geconjugeerde versie van een algemeen getal precies is

Klein misverstandje: ik ben slechts een eenvoudige chemicus zonder de noodzakelijke fyisische bagage om een zinnige bijdrage te kunnen leveren aan deze discussie.

Hallucy (m'n collega) is het ware brein achter de hallucinaire getallen-theorie, hij heeft ook de bewuste webpagina geschreven.

Ik ben deze thread slechts begonnen omdat ik vind dat de theorie wat meer bekendheid verdient...

[Verwijderd]

Op dinsdag 02 juli 2002 11:59 schreef PhysicsRules het volgende:

[..]
Dus een hallucinair getal moet uit 4 onafhankelijke basiselementen worden opgebouwd: 1, i, h en ih.
[..]

ih voldoet niet als 4de element. Immers als we kunnen
schrijven dat h^*=a+bi+ch+dhi dan geldt
-1=h h^*=(a+bi)h + (c+di)h²
en dus : (c+di)h²+(a+bi)h +1=0
en we hebben weer een 2de graads vergelijking met 2 oplossingen voor h die in het complexe vlak liggen.

h^* als 4de element is dus beter.
waarschijnlijk is ih weer te schrijven in de vorm
ih=a'+b'i+c'h+d'h^*

[Verwijderd]

Gisternacht dacht ik het volgende te hebben bewezen

1¹=1
iⁱ=e^{-(1/2) pi}

en voor alle
reele, imaginaire, hallucinaire, illusionaire, .... n-ionaire eenheids getallen q geld:
(dus voor q=1, q=i , q=h , q=l , enz)
q^q>0 en reeel

"Helaas is de kantlijn te klein om hier het volledige bewijs neer te schrijven" =citaat Fermat

[FCA]

Op dinsdag 02 juli 2002 17:06 schreef TheTruth het volgende:
Gisternacht dacht ik het volgende te hebben bewezen

1¹=1
iⁱ=e^{-(1/2) pi}

en voor alle
reele, imaginaire, hallucinaire, illusionaire, .... n-ionaire eenheids getallen q geld:
(dus voor q=1, q=i , q=h , q=l , enz)
q^q>0 en reeel

"Helaas is de kantlijn te klein om hier het volledige bewijs neer te schrijven" =citaat Fermat

iⁱ=e^{i log(i)}=e^{i * i(2k+1/2) Pi}
Als je nu k=0 neemt komt dat er inderdaad uit.

q^q reëel en >0 gaat echter niet op.
Neem bijvoorbeeld (-1)^(-1) = -1.
Dat is niet groter dan 0.

q^q reëel gaat ook niet op. Als je complexe getallen neemt (dus met een reëel deel en een imaginair deel)
kan het best complex worden
Bijvoorbeeld (1+i)^(1+i) wordt volgens Mathematica ongeveer
0.273957 + 0.583701*i

[Verwijderd]

Op dinsdag 02 juli 2002 23:02 schreef FCA het volgende:
q^q reëel en >0 gaat echter niet op.
Neem bijvoorbeeld (-1)^(-1) = -1.
Dat is niet groter dan 0. ...

Mijn bewijs gold alleen voor n-ionaire eenheids getallen.
Dus q=1, q=i,q=h .. en alles wat er na mocht komen.
Dus mochten de hypercomplexe getallen te schrijven zijn als z=a+bi+ch dan geldt het dus alleen voor de gevallen
(a,b,c)=(1,0,0), (0,1,0) en (0,0,1)

[PhysicsRules]

Hallucy: Hoe definieer jij complexen conjugeren?

[Verwijderd]

Op woensdag 03 juli 2002 00:21 schreef PhysicsRules het volgende:
Hallucy: Hoe definieer jij complexen conjugeren?

Indien z in hypercomplex space te schrijven is als
z=a+bi+ch+dh^* dan is de complex geconjugeerde van z gelijk aan z^*=a-bi+ch^*+dh

[Verwijderd]

Ik weet het, ik weet het, het is geen zinnige bijdrage in de discussie , maar ik wou alleen even kwijt dat ik errug trots ben op mijn ex-collega's Hallucy (voor het bedenken van deze prachtige theorie) en Wiho (voor het onder de aandacht brengen). Hulde aan ITS!!

And now on with the discussion....

[PhysicsRules]

Hallucy, kun je uitleggen waarom het gebruik van h de co- en contravariante notatie overbodig maakt? Ik zie alleen nut voor het onderscheid ruimte-tijd, maar niet algemeen.

[Verwijderd]

Op woensdag 03 juli 2002 21:03 schreef PhysicsRules het volgende:
Hallucy, kun je uitleggen waarom het gebruik van h de co- en contravariante notatie overbodig maakt? Ik zie alleen nut voor het onderscheid ruimte-tijd, maar niet algemeen.

Wat is het nut van co- en contravariante representaties in het algemeen, dus buiten de relativiteitstheorie om?

[PhysicsRules]

Op woensdag 03 juli 2002 22:23 schreef TheTruth het volgende:
Wat is het nut van co- en contravariante representaties in het algemeen, dus buiten de relativiteitstheorie om?

De co- en contravariante notatie wordt gebruikt in alles waarbij het nodig is om topologische ruimten te beschrijven. Denk hierbij aan ART, snarentheorie, maar ook quantumveldentheorie op gekromde ruimtes.

We hebben het tot nu toe alleen over vectoren gehad, maar vectoren zijn slechts bijzondere gevallen van tensoren:

T^a....k_a......p is een tensor met k contravariante en p-k covariante componenten. Dit wordt ook wel een (k, p-k)-tensor genoemd. Een contravariante vector V^a is dus een (1,0)-tensor.

Hiermee kunnen eigenschappen van p-dimesionale ruimtes worden beschreven.

Met behulp van deze theorie kan bijvoorbeeld de Maxwell theorie samengevat worden tot

dF^ab = 0 en \delta F^ab=0
(Homogeen en inhomogeen).

[Verwijderd]

Op woensdag 03 juli 2002 22:57 schreef PhysicsRules het volgende:
T^a....k_a......p is een tensor met k contravariante en p-k covariante componenten. Dit wordt ook wel een (k, p-k)-tensor genoemd.

Is met hallucinaire getallen niet iedere (k,p-k) tensor te schrijven als een simpele (p)-vector?

[PhysicsRules]

Op donderdag 04 juli 2002 00:33 schreef TheTruth het volgende:
Is met hallucinaire getallen niet iedere (k,p-k) tensor te schrijven als een simpele (p)-vector?

Nee.

Een n-dimensionale contravariant vector kun je je voorstellen als een 1xn matrix.
Een n-dimensionale covariante vector is dan een nx1 matrix.

Een (2,0) tensor in n dimensies is een nxn matrix.

Voor een (3,0) tensor heb een eigenlijk een soort 3d matrix nodig.

Hallunicaire getallen veranderen hier niets aan. Het enige wat ze doen is een vector die deels uit positieve en deels uit negatieve getallen bestaan met volledig positieve getallen te schrijven.

[Verwijderd]

Misschien heb ik in de bovengenoemde discussies iets gemist. De vraag was wat het getal h zou betekenen in

H=a+bi+ch en H*=a-bi-ch

als

HH* = -1

Wel, als je dat uitwerkt blijkt het antwoord nogal eenvoudig te zijn:

0 = c²h²+ 2cbih-(a² +b²+1). . . .een eenvoudige quadratische vergelijking met twee wortels.

h; h2 = -Bi +/-(-B² + C)^0,5

met

B= b/c
C=(a² +b²+1)/c² met c≠ 0

Dus C ≥ 0

Hieruit volgt dat h1 en h2 eenvoudigweg complexe getallen zijn zoals

h1=x1+iy1
h2=x2+iy2

met a=b=0 en c=1

-1=h²

krijg je: h1 = i en h2 = -i

zoals eerder ook werd aangetoond.

Ik vind dit een beetje vreemd om dan aan hallucinare getallen een speciale betekenis te hangen:

H = a+ib+z met z een complex getal

waaruit volgt dat H = z1+z1= z3

Dus een hallucinair getal is gewoon een complex getal

Wat is daar nu interessant aan?

Je zou iets dergelijks kunnen doen met

HH* = -i of HH* = -(i+1)ⁱ

en dan vragen wat de het getal h zou zijn.

[Rey Nemaattori]

^^ In dat geval zou het gebruik van h alleen het totaalshot van fomules overzichtelijker maken(gegeven dat je bovenstaande weet).

Overigens moet ik toegeven dat het mijn mijn havo wiskB tog nog lastig te volgens is

[ Voor 27% gewijzigd door Rey Nemaattori op 23-04-2006 11:54 ]

[Verwijderd]

Rey Nemaattori schreef op zondag 23 april 2006 @ 11:52:
^^ In dat geval zou het gebruik van h alleen het totaalshot van fomules overzichtelijker maken(gegeven dat je bovenstaande weet).

. . .

Wat bedoel je hiermee?

Trouwens, wat ik gedaan heb is eenvoudigweg het product van (a+bi+cx)(a-bi-cx)= -1 uitwerken en conclusies trekken over wat de waarden van x zouden zunnen zijn met gebruik van i² = -1

In deze vorm is x een normale onbekende. De oplossing krijg je dan via de quadratic

Ax²+Bx+C. . . .geen hocus pokus wiskunde dus

Het blijkt dan dat x=h geen verasssende resultaten oplevert en dat een hallucinair getal niets anders is dan een complex getal.

Voor elk complex getal z kan je stellen dat zz*= -1. . .en dat is eenvoudige complex algebra.

[ Voor 54% gewijzigd door Verwijderd op 23-04-2006 12:51 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zondag 23 april 2006 @ 12:37:
\Voor elk complex getal z kan je stellen dat zz*= -1. . .en dat is eenvoudige complex algebra.

zz*= (x+iy)(x-iy) = x² + y² >= 0.

Eenvoudige complexe algebra dus. zz* is voor elk complex getal groter dan nul.

[ Voor 2% gewijzigd door Confusion op 23-04-2006 21:44 . Reden: Tags gefixed ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zondag 23 april 2006 @ 21:14:
[...]


zz*= (x+iy)(x-iy) = x² + y² >= 0.

Eenvoudige complexe algebra dus. zz* is voor elk complex getal groter dan nul.

Als in (a+bi +ch) a=b= 0 krijg je uit HH* =-1. . . .h²=1/c²

h= 1/c of -1/c

Dit geeft HH*= (1)(-1) = -1

Dus in dit geval: H= reeel. . . . .

Als a=b=c=1 krijg je h²+2hi-3= 0

h1= -2i/2 +/-1/2(-4+12)^0,5

h1= -i+√2
h2= -i-√2

Nu zou je HH* = -1 terug moeten krijgen met substitutie van h in H.



Dat ga ik morgen doen. Als dat geen -1 oplevert zit er iets fout in mijn substitutie. . .tenzij het resultaat HH*= -1 een conflict oplevert dat HH* ≠ -1
In dat geval spring ik gillend het raam uit.

[Confusion]

Verwijderd schreef op zaterdag 22 april 2006 @ 19:05:
Dus een hallucinair getal is gewoon een complex getal

In de startpost staat ook al:

Voor h geldt dat het product van h met zijn complex conjungeerde gelijk is aan -1, oftwel de absolute waarde |h| is gelijk aan i.

En het probleem is dat daarmee h niet eenduidig gedefinieerd is, omdat h zowel i als -i kan zijn.

[Zoijar]

Ik meen me te herinneren dat Hamilton (ja die van de quaternions) dit ook heeft geprobeerd, en tot de conclusie kwam dat het met 2 "imaginaire eenheden" niet mogelijk is. Je had er minimaal 3 nodig (quaternions), of 7 (de octonions, die iets minder bekend zijn dan de quaternions, en niet associatief), of 15 (de sedenions...) etc. Heeft iets met algebraische groepen theorie te maken, en het minste wat je eerst moet doen hier is toch wel aantonen dat halucinary numbers een groep vormen, en dat die groep niet isomorph is aan een bestaande, reeds gebruikte groep. Dat gaat denk ik niet lukken. (oud topic trouwens om na 4 jaar op te halen)

[Verwijderd]

Confusion schreef op maandag 24 april 2006 @ 09:15:
[...]

In de startpost staat ook al:

[...]

En het probleem is dat daarmee h niet eenduidig gedefinieerd is, omdat h zowel i als -i kan zijn.

Er is geen probleem.

Als je HH* = -1 uitwerkt krijg je 2 consequente waarden voor h welke beide HH* +1=0 waar maken

Als je deze tereugvoert in H en H* en eerst die componenten samenvoegt krijg je twee aparte complex getallen die niet elkaars geconjugeerde meer zijn maar

H=A+Bi
H*=C+Di

In dat geval reduceert HH* naar Z1Z2

Daar ligt het verschil. . . .dacht ik.

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 24-04-2006 13:26 ]