[wiskunde] Priemfactoren - Actualiteit, wetenschap en maatschappij

maandag 3 juni 2002 13:59

Acties:

Verwijderd

Topicstarter

Ik heb een wiskunde vraag waar ik echt niet uit kom dus probeer ik het hier. Als het niet mag sluit em dan maar!

De opdracht gaat over priemgetallen.

1) Stel c = a * b, waarin a en b gehele getallen zijn. Stel a of b heeft priemfactor p, bewijs dat c dan ook priemfactor p heeft.

2) Laat nu ook het omgekeerde zien. Dus stel c = a * b en c heeft priemfactor p. Nu moet a of b ook een priemfactor p hebben.

Ik heb wel een idee wat het antwoord moet zijn maar kheb geeeeen idee hoe ik dat moet verwoorden.. dus... iemand?

maandag 3 juni 2002 14:44

Acties:

Dido

heforshe

c = a * b

als b een priemfactor p heeft is b te schrijven als het product van p en een geheel getal x

dus

c = a * (p * x)

oftewel c / p = a * x

a en x zijn gehele getallen, a * x dus ook. Aangezien c / p dus geheel is, is p een priemfactor van c

Zoiets? Als ik zit te blaten, zeg 't maar, anders kijk ik ook nog naar die tweede

Wat betekent mijn avatar?

maandag 3 juni 2002 14:50

Acties:

Verwijderd

Topicstarter

Eehm... het klinkt in ieder geval heel logisch! Ik weet het niet zeker maar dit lijkt wel te kloppen!

maandag 3 juni 2002 14:55

Acties:

Verwijderd

1) Als a priemfactor p heeft, dan is a te schrijven als p * a' (waarbij a' = a/p)

c is dan a*b = p * a' * b, dus c heeft priemfactor p.

En anders (dwz als a niet p als priemfactor heeft), dan heeft b priemfactor p, dan doe je hetzelfde maar dan met b = p * b'

2) is iets lastiger. Hiervoor moet je weten dat elk getal op unieke wijze is op te splitsen in priemfactoren. Mag je daarvan gebruikmaken, of moet je dat dan eerst ook nog bewijzen?

maandag 3 juni 2002 14:56

Acties:

Verwijderd

Topicstarter

2) is iets lastiger. Hiervoor moet je weten dat elk getal op unieke wijze is op te splitsen in priemfactoren. Mag je daarvan gebruikmaken, of moet je dat dan eerst ook nog bewijzen?

Ja dat is al bewezen in een eerdere vraag.

edit> ik snap trouwens jouw uitleg bij vraag 1 niet echt... Kun je dit nog iets anders uitleggen maybe?

maandag 3 juni 2002 15:14

Acties:

Verwijderd

ik snap trouwens jouw uitleg bij vraag 1 niet echt... Kun je dit nog iets anders uitleggen maybe?

Okee uhh, wat precies snap je niet?

maandag 3 juni 2002 15:21

Acties:

Verwijderd

Ja dat is al bewezen in een eerdere vraag.

Okee dan. Trouwens, deze 2 vragen zijn trouwens wel redelijk triviaal als je eerst al hebt bewezen dat er voor elk natuurlijk getal een unieke priemfactorisering bestaat.

Maar okee:

a en b zijn beide op unieke wijze te ontbinden in priemfactoren. Dat wil zeggen:

a = p₁ * p₂ * ... * p_n

en

b = q₁ * q₂ * ... * q_m

Waarbij alle p'tjes en q'tjes priemgetallen zijn. Omdat c = a * b, en de priemfactoren van c ook uniek zijn, moeten de priemfactoren van c wel p₁ t/m p_n en q₁ t/m q_m zijn.

Dus: c = p₁ * p₂ * ... * p_n * q₁ * q₂ * ... * q_m

Als het priemgetal p een factor is van c, moet dus een van de p'tjes of q'tjes p zijn. Stel p_i = p. Dan is p dus een factor van a. Als er geen enkele p_i gelijk is aan p, moet er dus wel een q_i zijn die gelijk aan p is. En in dat geval is p dus een factor van b. Dus: p is een priemfactor van a of b.

maandag 3 juni 2002 16:23

Acties:

Essence

Al dat priemgedoe doet me denken aan het volgende: weet iemand de laatste status van het bewijs van Goldbach's theorem:

"Elk even getal is te schrijven als de som van twee priemgetallen."

Is ie al bewezen, zo nee hoe ver is men?
(don't try this at home)

maandag 3 juni 2002 16:35

Acties:

Verwijderd

Topicstarter

Ja dat is al bewezen!

maandag 3 juni 2002 16:37

Acties:

Verwijderd

Dat lijkt me stug, tot anderhalve maand geleden stond er een prijs van een miljoen dollar op een bewijs daarvoor, maar dat hebben ze toen niet kunnen uitkeren omdat niemand het kon bewijzen. Geloof ik.

maandag 3 juni 2002 16:44

Acties: