Regular Polygon

[Verwijderd]

Op het moment ben ik bezig met berekeningen op een polygon. Het berekenen van de oppervlakte ervan is niet zo'n probleem. Je deelt eerst alles op in driehoeken, waarvan je de oppervlakten uitrekent en daarna vermenigvuldig je die met het aantal zijden. Ik ben op de volgende formule uitgekomen (in degrees, niet in radialen):

code:

A = 1/4x^2 / n * tan[180/n]

A is het oppervlak, x is de lengte van de zijden en n is het aantal zijden.

Nu komt m'n vraag: Als n nu oneindig groot wordt, wordt x toch gelijk aan 0? Ook weet ik dat n * tan[180/n] dan gelijk wordt aan Pi. Maar hoe kun je dit bewijzen met bovenstaande formule?

[FCA]

Je wil een uitdrukking voor x uitgedrukt in n en afstand van de hoekpunten van de polygoon tot het midden.

Wat voor polygonen bedoel je eigenlijk precies?
Platonische, of Archimedische of nog iets anders?

[Verwijderd]

Op donderdag 11 april 2002 14:35 schreef Cadmium het volgende:
............

Nu komt m'n vraag: Als n nu oneindig groot wordt, wordt x toch gelijk aan 0? Ook weet ik dat n * tan[180/n] dan gelijk wordt aan Pi. Maar hoe kun je dit bewijzen met bovenstaande formule?

Hoe bedoel je nou? Blijft A soms gelijk dan?

[Verwijderd]

Op donderdag 11 april 2002 14:39 schreef FCA het volgende:
Je wil een uitdrukking voor x uitgedrukt in n en afstand van de hoekpunten van de polygoon tot het midden.

Wat voor polygonen bedoel je eigenlijk precies?
Platonische, of Archimedische of nog iets anders?

Volgens mij zijn dat Archimedische, op deze manier heeft hij Pi benaderd.

Op donderdag 11 april 2002 14:40 schreef Dice-Rox het volgende:
Hoe bedoel je nou? Blijft A soms gelijk dan?

Ga er van uit dat het een oneindige serie polygonen is met A = 1.

[Verwijderd]

Het plaatje is één van de n driehoeken. Het oppervlak hiervan is:

code:

hoek acb=360/n graden
hoek acd=180/n graden

tan(180/n) = ad / cd
cd = 1/2x / tan(180/n)

Ad = 1/2ab * cd
Ad = 1/2x * 1/2x / tan(180/n)
Ad = 1/4x^2 / tan(180/n)

Als je dit oppervlak vermenigvuldigt met n krijg je het oppervlak van de polygon:

code:

A = 1/4x^2 / n * tan(180/n)

Zo ben ik aan die formule gekomen. Ik weet alleen niet hoe ik de formule moet gebruiken als n oneindig wordt.

[tofus]

Op donderdag 11 april 2002 14:35 schreef Cadmium het volgende:
Nu komt m'n vraag: Als n nu oneindig groot wordt, wordt x toch gelijk aan 0? Ook weet ik dat n * tan[180/n] dan gelijk wordt aan Pi. Maar hoe kun je dit bewijzen met bovenstaande formule?

Als je het aantal zijden (n) uitbreidt hoeft de lengte per zijde (x) niet groter te worden. Je kunt ook gewoon een grotere 'semi-cirkel' krijgen...

Pas als je de 'straal' van de polygonen constant houdt, *TERWIJL* je het aantal zijdes (n) naar oneindig laat lopen, zal de lengte per zijde (x) richting 0 gaan (met als gevolg een cirkel).

[Verwijderd]

Als het oppervlak van de polygon altijd 1 blijft en er steeds meer zijden komen, wordt de "semi-cirkel" toch steeds een stukje kleiner? Dus als er oneindig veel zijden zijn, vallen de "semi-cirkel" en de poligon toch samen (de lengte van de zijden is dan 0)? Ik heb alleen geen idee meer hoe je met behulp van een formule kan aantonen wat er gebeurt als één van de variabelen oneindig groot wordt (dit is de eerste wiskunde die ik doe sinds 5 jaar ).
Wat ik in ieder geval zeker weet, is dat n*tan(180/n) (met n is oneindig groot) uitkomt op Pi. Weet niemand hoe je dit kan bewijzen? Er staat me nog wel vaag iets bij van oneindige series ofzo .

[FCA]

Op donderdag 11 april 2002 20:59 schreef Cadmium het volgende:
Als het oppervlak van de polygon altijd 1 blijft en er steeds meer zijden komen, wordt de "semi-cirkel" toch steeds een stukje kleiner? Dus als er oneindig veel zijden zijn, vallen de "semi-cirkel" en de poligon toch samen (de lengte van de zijden is dan 0)? Ik heb alleen geen idee meer hoe je met behulp van een formule kan aantonen wat er gebeurt als één van de variabelen oneindig groot wordt (dit is de eerste wiskunde die ik doe sinds 5 jaar ).
Wat ik in ieder geval zeker weet, is dat n*tan(180/n) (met n is oneindig groot) uitkomt op Pi. Weet niemand hoe je dit kan bewijzen? Er staat me nog wel vaag iets bij van oneindige series ofzo .

Je kunt bewijzen dat het verschil tussen opeenvolgende oplossingen van x=tan(x) convergeert naar Pi, maar ik denk niet dat dat je helpt. De Taylorreeks van tan(x), iets wat direct bij me opkomt als ik oneindige reeksen en benaderingen naar 0 hoor, werkt niet echt, want dan krijg je te maken met Bernoulli getallen en erger.

Misschien moet je de tan weer uitschrijven, dus tan(x) = sin(x)/cos(x)

En benaderen naar 0.