midden v.e. vierkant

[MaNdM]

ik heb met mijn wiskunde leraar een discussie gehad van ongeveer 3 weken over het midden van een vierkant. Het is dus zo dat het midden van een vierkant niet bestaat, wat wij namelijk als het midden van een vierkant zien is in feite dit:

Het midden van een vierkant is het middelpunt van de omringende cirkel.

ik was van mening dat iedereen wel begreep dat de algemene omschrijving en bepaling ervan was dat je twee lijnen trekt vanuit de hoeken en daar waar ze kruizen is het midden.

wat is jullie mening?

[CV_SmileY]

Waarschijnlijk bekijkt je wiskunde leraar het zo :

Een 4kant bestaat alleen uit de ribben. Het tussen liggende 'vlak' is leeg/(bestaat niet in zijn hoofd). Die
ribben hebben dus geen midden.

Jouw visie : Een vierkant is een vlak. en een vlak heeft wel een midden.

[MaNdM]

nee zijn redenatie was dat een middelpunt van elke rand even ver af lag en dat kan alleen bij een cirkel.

hij heeft wel gelijk, grrrr

[TERW_DAN]

het kruispunt van de twee diagonalen is volgens mij het midden van een vierkant.
kan ook aan mijn beperkte hersen capaciteit liggen, maar dat is wat mij altijd verteld is. (en die uitleg vanmiddag snapte ik ook niet echt).

[Verwijderd]

een vierkant zou dus volgens je wiskunde leraar geenmidden kunnen hebben? dus zou je er een cirkel omheen moeten trekken?

dat kan wil logisch klinken in mijn oren, maar ik blijf zelf wel vanmening dat een vierkant een midden heeft te bepalen dmv het trekken van twee lijnen kruislings van hoek naar hoek

[MaNdM]

vond ik dus ook, algemene werkwijze is dat, maar volgens de wiskundige regels is het midden van een vierkant een niet bestaand iets, want het is het midden van de omringende cirkel.

kortgenomen:

wat je dus doet met die 2 diagonale lijnen is juist het midden bepalen van de omringende cirkel.

heb daar veel discussies over gehad, maar hij had dus wel gelijk

[Verwijderd]

Pak gewoon een lineaal

[wicher|IA]

Mijn zienswijze is dat elk vlak een middelpunt heeft, nl het zwaartepunt als het bijv een stuk papier van overal gelijke dikte was geweest.

Dus een trapezium heeft ook een midden (en dat is niet de kruizing der diagonalen)

[FCA]

Ligt er maar aan hoe je middelpunt definieert.
Op deze manier zou alleen een cirkel (of bol) een middelpunt hebben. Niet erg praktisch lijkt mij.

Je zou ook het zwaartepunt (bij een regelmatige massaverdeling) het middelpunt kunnen noemen. Dan heeft een vierkant wel een middelpunt.

Kwestie van definities

edit: -1 dubbelpost

[Verwijderd]

Ik zou gewoon het gemiddelde nemen van de coordinaten van alle punten waar het figuur uit bestaat. Ik ga er van uit dat lijnen uit punten bestaan, oneindig veel punten weliswaar, maar toch.
Mischien kan het ook door alleen de hoekpunten van een figuur te nemen.

Dus als je dit figuur hebt:

code:

   E
  / \
 /   \
/     \
C-----D
|     |
|     |
|     |
A-----B

Met de coordinaten:
A = (0,0)
B = (4,0)
C = (0,4)
D = (4,4)
E = (2,8)
Dan is het midden van de x waardes: 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10
en van de y waardes: 0 + 0 + 4 + 4 + 8 = 16.
Het midden heeft dan als coordinaat (10 / 5, 16 / 5) = (2, 3.2)

edit:

Dat punt is waarschijnlijk ook het zwaartepunt als het figuur overal evenzwaar is.

[wicher|IA]

Op donderdag 04 april 2002 22:59 schreef Melkor het volgende:
Ik zou gewoon het gemiddelde nemen van de coordinaten van alle punten waar het figuur uit bestaat. Ik ga er van uit dat lijnen uit punten bestaan, oneindig veel punten weliswaar, maar toch.
Mischien kan het ook door alleen de hoekpunten van een figuur te nemen.

Dus als je dit figuur hebt:

code:

   E
  / \
 /   \
/     \
C-----D
|     |
|     |
|     |
A-----B

Met de coordinaten:
A = (0,0)
B = (4,0)
C = (0,4)
D = (4,4)
E = (2,8)
Dan is het midden van de x waardes: 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10
en van de y waardes: 0 + 0 + 4 + 4 + 8 = 16.
Het midden heeft dan als coordinaat (10 / 5, 16 / 5) = (2, 3.2)

edit:

Dat punt is waarschijnlijk ook het zwaartepunt als het figuur overal evenzwaar is.

jij gaat alleen uit van het gewicht van punten
dat lijkt me nog te beperkt

want dan krijg je met zo'n figuur:

code:

A------------B
|       |
|       |
C-D    3     |
  | 1 2 |
| E-F     |
    |     |
J - G--------H

(A t/m H zijn punten van de figuur, J is het niet bestaande vierde punt van het vierkant ABJH en 1 t/m 3 zijn mogelijke middelpunten)
dat omdat er zoveel punten linksonder zitten, dat er dus ook veel 'puntgewicht' linksonder zit, waardoor je midden ook linksonder van het midden van de diagonalen (2) zal uitkomen (1 bijvoorbeeld)

Dat terwijl ik toch denk dat als je ervan uitgaat dat ELK oneindig klein punt in het oppervlak gewicht heeft, je juist doordat er linksonder een hap uit is meer rechtsboven uitkomt, in 3 bijvoorbeeld

[Martin?81]

_ _ _ _ _ _ _
| | |
| | |
| | |
| - - -|- - - |
| | |
| | |
|_ _ _ | _ _ _|

Dat kruispunt in het midden is in dat geval het midden... Maar volgens mij heeft jou leraar een paar definities veranderd naar zijn eigen zin...

Geen middelpunt van de lijn? Omdat het stukje lijn naast het middelpunt dichter bij zou zitten dan het stukje aan het eind... Leraar is doorgedraaid, sorry...

__________________

edit:
Stik... Plaatje lukt niet... Nah ja, idee lijkt me duidelijk. Onzin.

[FCA]

Op donderdag 04 april 2002 23:07 schreef martinweb.nl het volgende:

code:

_ _ _ _ _ _ _
|   |   |
|   |   |
|   |   |
| - - -|- - - |
|   |   |
|   |   |
|_ _ _ | _ _ _|

Dat kruispunt in het midden is in dat geval het midden... Maar volgens mij heeft jou leraar een paar definities veranderd naar zijn eigen zin...

Geen middelpunt van de lijn? Omdat het stukje lijn naast het middelpunt dichter bij zou zitten dan het stukje aan het eind... Leraar is doorgedraaid, sorry...

__________________

edit:
Stik... Plaatje lukt niet... Nah ja, idee lijkt me duidelijk. Onzin.

Dit bedoelde je?
[code]

code:

werkt best praktisch hiervoor.

[Verwijderd]

Op donderdag 04 april 2002 23:07 schreef wicher iets verstandigs

Je hebt ten dele gelijk. Ik ging niet uit van gesloten figuren. Dan moet ik mijn definitie veranderen naar het gemiddelde van alle punten in het vlak. Maar je wilt natuurlijk ook wel eens het midden weten van een niet gesloten figuur.

[MaNdM]

allemaal mooi bedachte verklaringen (Melkor ben het met je eens), maar waar het om gaat is wat jullie van die vent zn redenering vinden ...

xquise for this.... anders raken we nog offtopic?

[Verwijderd]

Ik denk dat er wel een middelpunt van een vierkant bestaat.
Ik denk dat jouw leraar de cirkel gebruikt om het middelpunt te verklaren.

De middelpunt van een cirkel is dus dezelfde als een daarin liggende vierkant.

Met een cirkel eromheen heb je dus eigenlijk al bewezen dat de middelpunt wel bestaat.

[wicher|IA]

Op donderdag 04 april 2002 23:20 schreef Melkor het volgende:

[..]

Je hebt ten dele gelijk. Ik ging niet uit van gesloten figuren. Dan moet ik mijn definitie veranderen naar het gemiddelde van alle punten in het vlak. Maar je wilt natuurlijk ook wel eens het midden weten van een niet gesloten figuur.

je moet dus eigenlijk bij elk figuur het zwaartepunt berekenen waarbij je ELK punt waaruit het figuur bestaat meerekent, dat zwaartepunt is het midden.

In een draadfiguur oid, zonder vlak, telt dus natuurlijk idd alleen het gewicht van de lijnen.
In een figuur waarvan het oppervlak van het omsloten gebied ook meetelt telt het gewicht van het oppervlak...
nu is alleen de vraag hoe je een getekende vierkant beschouwd, zoals deze:

code:

A------B
|   |
|   |
|   |
C------D

Ga je er dan vanuit dat het alleen om het zwaartepunt van de lijnen gaat, of om het zwaartepunt van het oppervlak?
dat laatste lijkt me eigenlijk logischer

alleen dan krijg je de moeilijkheid bij bijv zo'n figuur:

code:

A------B
|
|
|
C------D

hoe bepaal je dan het oppervlak?
moet je dan ineens wel alleen de lijnen nemen?

Op donderdag 04 april 2002 23:40 schreef MaNdM het volgende:
allemaal mooi bedachte verklaringen (Melkor ben het met je eens), maar waar het om gaat is wat jullie van die vent zn redenering vinden ...

xquise for this.... anders raken we nog offtopic?

wel, door het bepalen van het midden op een heel andere manier te willen doen impliceren we eigenlijk al dat we de gedachtengang van je leraar niet vinden kloppen.
Dus, omdat we niet vinden dat een midden per se op gelijke afstand van elk deel moet staan. (Dit gaat sowieso alleen maar op als je een getekende cirkel O alleen beschouwd als een ronde lijn, en niet als een aangegeven rond oppervlak, want dan is de afstand tot elk punt natuurlijk nooit gelijk, omdat je dan ook de punten dichterbij het midden meerekend.)

[MaNdM]

Op vrijdag 05 april 2002 00:07 schreef tycoxy het volgende:
Ik denk dat jouw leraar de cirkel gebruikt om het middelpunt te verklaren.

uhmmm EX-leraar ben al van de middelbare af hoor

[Keida]

Er bestaat wiskundig geen punt voor het midden van een vierkant.

Er is wel een vergelijking voor een vierkant(die mij helaas even ontschoten is (iets van x^2+y^2= blabla)

edit:
hmm, wacht eens, dat was een cirkel, maar goed, er was een vergelijking voor toch?

Dat betekent dat het midden van de verzameling punten R die in de vergelijking van het vierkant liggen, zelf ook een functie is.

[Verwijderd]

Gekke discussie maar mkay,

Als je een circel maakt om het vierkant heen. En de circel gaat precies over de hoeken van het vierkant.

Dan is er toch ook een centrum?

Tussen jou en je leraar is het volgens mij alleen een dicussie geworden omdat jullie beide gelijk willen hebben. De leraar wordt vervolgens chaggy en stopt een discussie na 3 weken.

Volgens mij heeft ALLES! een centrum. of het nu een 2d of 3d figuur is.

Alles is te berekenen dus ook het midden van een vierkant

[DigiK-oz]

Op donderdag 04 april 2002 22:03 schreef MaNdM het volgende:

Het midden van een vierkant is het middelpunt van de omringende cirkel.

Of van de cirkel die je er precies in kan tekenen...onzin lijkt me. Dus volgens jouw leraar heeft alleen een cirkel (of een bol, in de 3-d wereld) een middelpunt omdat in die figuren alle punten op dezelfde afstand van het middelpunt liggen ?

Vertel hem maar precies het omgekeerde : het middelpunt van een cirkel is eigenlijk het middelpunt van het vierkant wat er precies in past Misschien raakt zijn gedachtengang dan in een oneindige loep.

[Keida]

Op vrijdag 05 april 2002 09:47 schreef The_A_Freak het volgende:
Gekke discussie maar mkay,

Als je een circel maakt om het vierkant heen. En de circel gaat precies over de hoeken van het vierkant.

Dan is er toch ook een centrum?

Eh, nee, geen punt.

Doe dit dan maar: Teken een vierkant. Trek de twee diagonalen: Waarschijnlijk bedoel je de kruising van deze twee lijnen als middelpunt.

Maar: Een eigenschap van een middelpunt is dat het in het midden ligt van de figuur (duh), maar ook dat de afstand van het middelpunt naar alle punten van die figuur even lang zijn.

Dat is dus niet het geval als je het kruispunt van de diagonalen neemt als middelpunt. De afstand van het "middelpunt" tot de hoeken van het vierkant zijn dan namelijk langer dan de afstand van het "middelpunt" tot 1 van de zijden, of een punt op de ribben.

Dus: Geen MiddelPUNT.. (wel een functie volgens mij)

[MaNdM]

Op vrijdag 05 april 2002 10:01 schreef sjis het volgende:

[..]
Vertel hem maar precies het omgekeerde : het middelpunt van een cirkel is eigenlijk het middelpunt van het vierkant wat er precies in past Misschien raakt zijn gedachtengang dan in een oneindige loep.

whahaha goeie ja, had ik niet eens aan gedacht toen, alleen wat nu dus wel jammer is: hij is mn leraar niet meer dus kan ik da niet tegen em zeggen

* MaNdM opende een gekke discussie omdat die leuk zijn natuurlijk

[windancer]

Op donderdag 04 april 2002 22:11 schreef MaNdM het volgende:
nee zijn redenatie was dat een middelpunt van elke rand even ver af lag en dat kan alleen bij een cirkel.

hij heeft wel gelijk, grrrr

Het hangt af van welke afstandsbegrip je neemt. Bij het "normale" afstandsbegrip kan ik mij iets voorstellen bij de gedachtengang van je leraar.

Het wordt leuker bij een ander afstandsbegrip
Als je als afstand defineert : "Het maximum van het verschillen in x en y coordinaten" dan kan 1 punt wel degelijk op gelijke afstand van alle punten op de zijden afliggen.

Neem maar het vierkant ingesloten door x = -1; x = 1; y = -1 en y = 1. De oorsprong ligt dan op afstand 1 van alle punten op de zijden van dat vierkant. Je zou dan zelfs kunnen zeggen dat dat vierkant de eenheidscirkel is geworden.

Een rekenvoorbeeld met dat alternatieve afstandsbegrip :
de afstand tussen de punten (1, 10) en (3, 7) is dan max (|3-1|, |7-10|) = max (2, 3) = 3

[TheLunatic]

code:

|====|====|
|    |    |
|====+====| <-1
|    |    |
|====|====|
     
     ^
     |
     2

Lijn 1 geeft het midden van de buitenste 2 dikke lijnen.
Lijn 2 geeft het midden van de buitenste 2 dunne lijnen.

Punt + geeft het midden van allebei de lijnen, en daarmee het midden van het geheel, en dat geheel is, jawel, een vierkant!

[GeeBee]

Middelpunt := het punt ten opzicht waarvan een meetkundige figuur symmetrisch is.

Het heeft dus met symmetrie te maken en niet met gelijke afstanden tot alle punten op de omtrek. Bij een cirkel is het middenpunt het punt ten opzichte waarvan alle punten even ver afliggen. Maar dat komt door de definitie van een cirkel.

Cirkel := een vlakke figuur die gevormd wordt door een gesloten kromme, die bestaat uit alle punten in een vlak die een bepaalde afstand (de straal r) in dat vlak hebben. (Ja dat is het middelpunt )

Dat is dus andersom dan je docent zegt: het middelpunt is niet het midden van de cirkel, maar alle punten van een cirkel liggen even ver van het midden af

Bovendien is het omgeschreven cirkel en niet de omringende cirkel...

Succes met je discussie

[MaNdM]

Op zaterdag 06 april 2002 19:54 schreef GeeBee het volgende:
Bovendien is het omgeschreven cirkel en niet de omringende cirkel...

Owjaa, idd, maar ja het is voor mij dan ook al een poos geleden dat ik deze discussie had hoor kan niet altijd alles goed onthouden...

Op zaterdag 06 april 2002 19:54 schreef GeeBee het volgende:
Succes met je discussie

thnx dude, het is een echte mindcracker aan het worden, iedereen heeft immers andere visies erop

[GeeBee]

Klopt, daarom is het goed om de discussie te voeren over de definities die je hanteert. Mijn definities komen uit een prisma wiskunde woordenboek van jaren geleden.
Waar haalt jouw docent (mijn collega ) zijn def's vandaan?

[MaNdM]

Op zondag 07 april 2002 09:53 schreef GeeBee het volgende:
Klopt, daarom is het goed om de discussie te voeren over de definities die je hanteert. Mijn definities komen uit een prisma wiskunde woordenboek van jaren geleden.
Waar haalt jouw docent (mijn collega ) zijn def's vandaan?

geen idee eigenlijk, hij is wel professor in de wiskunde
(daardoor kon ie eigenlijk niets echt fatsoenlijk uitleggen )
dus hij zal het ook wel uit een of ander boek hebben

[Martin?81]

Op donderdag 04 april 2002 23:11 schreef FCA het volgende:

[..]

Dit bedoelde je?
[code]

code:

werkt best praktisch hiervoor.

Ja dank U!!! Kruis kan trouwens ook van hoek naar hoek getrokken worden.

[GeeBee]

Op maandag 08 april 2002 00:00 schreef MaNdM het volgende:

[..]

geen idee eigenlijk, hij is wel professor in de wiskunde
(daardoor kon ie eigenlijk niets echt fatsoenlijk uitleggen )
dus hij zal het ook wel uit een of ander boek hebben

Misschien is het vloeken in de kerk, maar:
soms moet je je gevoel mee laten spelen. Zélfs in de wiskunde...

[Confusion]

MaNdM schreef:
wat is jullie mening?

Over middelpunten kan je geen mening hebben.

Het geometrisch middelpunt van een figuur is gedefinieerd en volgens die definitie heeft een vierkant geen middelpunt. Zoals door anderen al vermeld is, heeft een vierkant wel een zwaartepunt.

(in het engels het verschil tussen center en centroid)