Geinige wiskundige paradox

[RickN]

Ik kwam deze paradox op internet tegen en ik kon em zelf niet verklaren zonder de uitleg erbij te lezen. Ik ben benieuwd hoe jullie dit uitleggen:



Stel driehoek ABC is gelijkbenig en ABC is een rechte hoek. Het pad A-B-C heeft dan een lengte die sqrt(2) keer zo lang is als lijnstuk AC. Het pad A-D-E-F-C heeft dezelfde lengte als het pad A-B-C en is dus ook sqrt(2) keer zo lang als lijnstuk AC. We kunnen de zaagtand nog fijner maken, zodat we het pad A-g-h-i-E-j-k-l-C krijgen en ook dit pad is sqrt(2) keer zo lang als lijnstuk AC. Door de zaagtand steeds fijner te maken veranderd de lengte van het pad niet, maar wordt de afwijking van het pad tot de lijn AC steeds kleiner en gaat naar 0. In feite is de lijn AC de limiet van de reeks zaagtandpaden. Dit wekt de indruk dat het lijnstuk AC sqrt(2) keer langer is dan.......zichzelf.

[Verwijderd]

inderdaad gaat de limiet van de afwijking an het pad tov het lijnstuk naar 0, maar dat wil dus zeggen dat lijn A-B-C even lang wordt als lijn A-C, wat inderdaad niet kan...

waarschijnlijk komt het omdat de lengte van van de ^ stukjes ook naar 0 gaat, maar dat wil dan zeggen dat de lengte 0 wordt???


aargh nu snap ik het ook niet meer

[Lord Daemon]

De limiet is toch helemaal niet hetzelfde als de rechte lijn? Je krijgt een kromme met een oneindig fijne structuur, niet een rechte.

[Dido]

Inderdaad een simpel voorbeeld van het verschil tussen lim(a)=0 en a=0...

Advised reading: Chaos (J.Gleick)

Als ik ISBN etc. vind post ik ze wel....

[Verwijderd]

het gaat niet om een benadering naar AC maar om een benadering naar een driehoek met zijden die naderen tot 0, niets paradoxaals aan als je 't mij vraagt.

AC is voor mij gewoon een verlenging van één van de zijden van de driehoek en heeft niets met het verhaal van doen.

[Verwijderd]

Ik legde net mijn liniaal langs het beeldscherm en kwam tot de conclusie dat mijn beeldscherm niet zo plat is als het lijkt

[Verwijderd]

Op donderdag 04 april 2002 01:04 schreef ITsMatthijs het volgende:
Ik legde net mijn liniaal langs het beeldscherm en kwam tot de conclusie dat mijn beeldscherm niet zo plat is als het lijkt

Dat merk je ook als je van jou scherm op een TFT kijkt, die ziet er dan hol uit, maar dat noem ik geen wiskundige paradox

[Tirillo]

Als je het lijnstuk in zeg "x" lijnstukjes verdeeld is 1 van de benen van de kleinere driehoekjes AB/x.
De lengte van de niet-been(ben even de term hiervoor kwijt is dan(de driehoek is gelijkbenig) sqrt(2*(AB/x)^2))= sqrt(2)*AB/x.

De driehoek is in x stukjes verdeeld, dus dit moet je x keer doorlopen. x*AB/x * sqrt(2) = AB * sqrt(2), dit is inderdaad de lengte van AC.

Als je in de berekening AB vervangt door AC/sqrt(2) krijg je sqrt(2*(AC/(x*sqrt(2))^2) = AC/x.
Dit weer x keer doorlopen geeft AC*x/x= AC, niet echt paradoxaal.

Klopt toch?

[Virgol]

Vaag dat ik gister middag naar dezelfde fractal aan het kijken was

De (boxcounting) dimensie van de rand van de fractal is gewoon 1. Het is dus een lijn met lengte sqrt(2) die zich in de ruimte van een lijn met lengte 1 heeft gepast. Je kunt ook een drie dimensionale versie er van maken. Dan kun je een oppervlak in een te kleine ruimte proppen. Best wel grappig dat je iets dat er normaal niet in zou passen op deze minier toch in kunt stoppen.

[almightyarjen]

Op donderdag 04 april 2002 01:04 schreef ITsMatthijs het volgende:
Ik legde net mijn liniaal langs het beeldscherm en kwam tot de conclusie dat mijn beeldscherm niet zo plat is als het lijkt

Misschien is je liniaal wel krom...