[Wetenschap] Fractals: kustlijn GB berekenen

[Thijsmans]

Ik ben nog steeds bezig met mijn PO (Praktische Opdracht) Wiskunde, over fractals, zie een van mijn vorige topics hier in .

Nu ben ik aanbeland bij de Van-Koch-Kromme, en wel bij het gebruik ervan. Je kan er namelijk een kustlijn mee berekenen, en in het voorbeeld dat ik heb gevonden staat dit:

Nemen we als voorbeeld de kromme van Koch. De lengte hiervan is simpel afleidbaar uit zijn constructie. Als we stellen dat de lengte van een nulde orde kromme 1 is, dan is de lengte van de eerste orde kromme 4 maal 1/3 of 4/3. Voor een tweede orde zijn dit dan 16 lijnstukken van lengte 1/9. De totale lengte van de Koch kromme is dus :


4ⁿ3^-n = (4/3)ⁿ =

[sub]vrij naar http://simone.neuro.kuleuven.ac.be/Fractals/kustlijn.html[/sub]

Hier begrijp ik echter de ballen van. Iets is gelijk aan hetzelfde, maar dan positief, is gelijk aan oneindig Kan iemand dit nader toelichten?

[Verwijderd]

ik begrijp er ook niet veel van maar die 2e limiet wil zeggen dat voor de limiet waarbij n naar oneindig nadert
(4/3)^oneindigste --> oneindig

[Thijsmans]

Het lijkt me logisch dat 4^oneindig oneindig is...

[Lord Daemon]

Je begrijpt dat 4ⁿ3^-n = (4/3)ⁿ ? Dat lijkt me nogal logisch: 3^-n = (1/3)ⁿ, natuurlijk - het andere volgt er direct uit. De eerste gelijkheid mag dan duidelijk zijn.

En dat de limiet van (4/3)ⁿ voor n naar oneindig oneindig is lijkt me eigenlijk ook vrij evident?

Als de kustlijn van GB een fractal is, dna is de lengte ervan oneindig - leuk he, fractals? Krommen die in een eindige ruimte passen, maar die een oneindige lengte hebben.

Voor de liefhebber: ik geloof dat de dimensie van de Kochkromme gelijk is aan ln(4)/ln(3) = 1.26 ; inderdaad, een figuur met een niet gehele dimensie. Talk about bizar.

[Thijsmans]

my words

Ook belangrijk om te weten als je het over fractals hebt, is dat de dimensie tussen 1 en 2 inligt. Een figuur met dimensie 1 is een lijn, hij heeft alleen een lengte. Een figuur met dimensie 2 is een vlak, het heeft een lengte en een breedte, en in onze ruimte heeft alles een lengte, breedte en een hoogte: de derde dimensie. Maar wat als een lijn zo kronkelig is dat het geen lijn meer is, en geen rechthoek, maar een stukje van een vlak? Dan spreek je over een fractale dimensie van 1,26.

[Lord Daemon]

Dat klopt niet helemaal. De Kochkromme heeft dimensie 1.26, maar voor fractals in het algemeen hoeft dat absoluut niet te gelden.Als je bijvoorbeeld ipv driehoekje er vierkantjes op zou plakken, zou de dimensie ln(5)/ln(3)= 1.46 zijn.

Eeb fractal kan iedere willekeurige dimensie hebben, eigenlijk. Hoeft niet eens tussen 1 en 2 te liggen. De Cantor verzameling (Neem een lijnstuk. Wis de middeltste 1/3 uit. Van de twee stukken die je overhoudt veeg je de middelste 1/3 uit. Etcetera.) is de dimensie, geloof ik, ln(2)/ln(3) = 0.63.

[Thijsmans]

Bedankt voor de tip. Weet iemand trouwens wat het nut is van fractals? Ik heb tot nu toe alleen de kustlijn meten gevonden als echt bruikbaar doel. Lijkt me dat er meer zijn

[Lord Daemon]

Fractals worden veel gebruikt bij het beschrijven van systemen met een chaotische dynamica. (Wat is chaos?) Je kan kijken of je ergens op het net een simpele uitleg van de chaostheorie kunt vinden.

[Verwijderd]

bijvoorbeeld het beschrijven van Sneeuwkristrallen,

zoek maar naar de Koch Snowflake

[edit]
http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html

[Lord Daemon]

Ik heb even geen tijd om te kijken hoe begrijpelijk het is, maar check deze links eens:

http://www.duke.edu/~mjd/chaos/chaos.html
http://library.thinkquest.org/3493/noframes/main.html
http://home.inreach.com/kfarrell/course.outline.html

[Verwijderd]

Prammenhanger, als je dat met die limiet te vaag vindt, bekijk het dan eens zo:

Je begint met een lijnstuk van lengte 1. In elke volgende stap, deel je elk lijnstuk op in 4 nieuwe lijnen, elk men lengte 1/3 van het lijnstuk wat je zojuist hebt opgedeeld. Mee eens? Op stap 1 heb je dus 4 lijnstukjes van elk lengte 1/3. Op stap 2 heb je 16 lijnstukjes van elk 1/9 lang. Op stap n heb je dus 4ⁿ lijnstukjes van (1/3)ⁿ lang.

De totale lengte van de kromme op stap n is dus 4ⁿ maal (1/3)ⁿ, dat is hetzelfde als 4ⁿ / 3ⁿ, ofwel (4/3)ⁿ.

Als je niet inziet dat dit getal naar oneindig gaat naarmate n groter wordt, misschien helpt het volgende. Stel dat die totale lengte niet naar oneindig zou gaan. Dan zou er een bepaalde bovengrens moeten zijn, waar de lengte van die kromme altijd onder blijft. Als we die bovengrens even L noemen, moet dus gelden 4ⁿⁿ < L voor elke n. Dat kan niet, want bekijk dan maar eens de stap n = L+1, afgerond naar boven. De lengte van de kromme op die stap (4ⁿⁿ) is al groter dan L. Zo'n bovengrens bestaat dus niet, en dus gaat die lengte naar oneindig, ook wel: "de limiet van de lengte van die kromme is oneindig".

[Verwijderd]

Zou je me die hele opdracht kunnen opsturen?

Ik ben heel benieuwd.

[Thijsmans]

19 april is hij af (let op, is wel 4V niveau, dus niet zo héél hoog)

[Thijsmans]

Op woensdag 03 april 2002 22:58 schreef Juggalin_Juggalo een stuk tekst

Bedankt, is veel duidelijker zo.

[straat]

Op woensdag 03 april 2002 22:35 schreef Prammenhanger het volgende:
Bedankt voor de tip. Weet iemand trouwens wat het nut is van fractals? Ik heb tot nu toe alleen de kustlijn meten gevonden als echt bruikbaar doel. Lijkt me dat er meer zijn

ff een stukje uit een PO die ik net ingeleverd heb (VWO5, had er een 8 voor)

Fractals worden door mensen gebruikt voor o.a grafische toepassingen: in kalenders, als versiering op internet en in computerspelletjes. Gezien het aantal sites op internet met fractal kunst is het zeer populair om kunst met fractals te maken, daar zijn hele verenigingen voor. Met de computer kun je fractals zo manipuleren dat je mooie en realistische afbeeldingen krijgt. Je kan er allerlei fantasiepatronen mee maken, dat maakt ze geschikt voor bijvoorbeeld vloeren en muurschilderingen. Fractals zijn ook geschikt om ingewikkelde processen te beschrijven, ze wiskundig berekenbaar te maken, bijvoorbeeld bij weersvoorspellingen en astronomische berekeningen. Ook is het mogelijk om er muziek mee te maken, zoals is te horen op de cd. Ook worden ze gebruikt om ingewikkelde patronen te kunnen beschrijven zoals kustlijnen, de structuur van longweefsel en de verdeling van materie in het helaal. Verder kunnen ze gebruikt worden om bijvoorbeeld de oppervlakte van een dier te berekenen inclusief haren groeven in de huid en andere oneffenheden.

In de natuur komen fractals heel veel voor, meer dan je zou denken. Bijvoorbeeld bij een slakkenhuis, een varenblad, de wortels van een boom, een bloemkool, de wolken, en een bekend voorbeeld zijn de sneeuwvlokken. Ook veren van vogels zijn fractals, en sommige schelpen.
En in het heelal zit het vol met fractals, kijk maar naar de vormen van sterrenstelsels in de vorm van spiralen die zich steeds herhalen. Maar de meeste van deze voorbeelden zijn eigenlijk geen echte fractals, want een fractal herhaalt zich tot in het oneindige en bij een varenblad bijvoorbeeld houden de vertakkingen een keer op. Maar als je het zo nauwkeurig bekijkt, zul je zien dat er in de natuur bijna geen echte fractals voorkomen, omdat bij alles het aantal vertakkingen wel een keer ophoudt.


Michel Henon is een Franse astronoom. Hij heeft zich beziggehouden met fractals en een eigen klasse fractals gemaakt. Ook heeft hij enkele boeken geschreven over complexe systemen.

C. Mira is ook een Fransman. Samen met Gumowski schreef hij het boek Chaotic Dynamics.

Ik heb hier btw ook nog wel een profielwerkstuk van iemand liggen, daar staat ook wel veel in en niet zo moeilijk uitgelegd. Als je die wilt lezen kan ik em wel ergens uploaden

[Thijsmans]

Daar scheer je het volgens mij wel over één kam. Ik neem aan dat de van-Koch-Kromme een heel ander nut heeft dan de Mandelbrot-set. Toch?

_{Maar toch bedankt natuurlijk}

[straat]

Op donderdag 04 april 2002 18:46 schreef Prammenhanger het volgende:
Daar scheer je het volgens mij wel over één kam. Ik neem aan dat de van-Koch-Kromme een heel ander nut heeft dan de Mandelbrot-set. Toch?

_{Maar toch bedankt natuurlijk}

Ja, t stukje gaat ook over fractals in het algemeen

[Verwijderd]

Op woensdag 03 april 2002 20:57 schreef Prammenhanger het volgende:
Ik ben nog steeds bezig met mijn PO (Praktische Opdracht) Wiskunde, over fractals, zie een van mijn vorige topics hier in .

Nu ben ik aanbeland bij de Van-Koch-Kromme, en wel bij het gebruik ervan. Je kan er namelijk een kustlijn mee berekenen, en in het voorbeeld dat ik heb gevonden staat dit:
[..]

Hier begrijp ik echter de ballen van. Iets is gelijk aan hetzelfde, maar dan positief, is gelijk aan oneindig Kan iemand dit nader toelichten?

komt er op neer dat je zowel voor fractals als voor de lengte vd kustlijn van GB, een laagste niveau van detaillering vast moet stellen, voordat je de lengte gaat berekenen.

als je oneindige detaillering (=oneindig hoge orde) wilt dan is voor zo'n koch kromme de lengte oneindig.

bij een kustlijn is dat lastiger, omdat het practisch ipv zuiver wiskundig is. maar waarom zou je dat tot op niveau van quarks (of nog kleiner) gaan berekenen?
ook heb je met eb en vloed, en met erosie te maken. als je voor hoge maar niet-oneindige detaillering kiest dan is de lengte dus variabel.
ik zou een niveau van detail nemen waarbij die factoren verwaarloosbaar zijn.

je zou kunnen proberen te bepalen welke dimensie de kustlijn van GB ongeveer heeft (als fractal beschouwd), al heb ik geen idee hoe je dat zou moeten doen. en dan een zinvolle orde (niveau van detail) bepalen. de rest is dan een relatief simpele berekening.

[Thijsmans]

Jaja, ik blijf bezig. Ik ben nu bezig met het Model van Mira, tenminste, dat wil ik. Er is alleen geen informatie te vinden op Internet... Iemand suggesties, links, tips?