De eindige oppervlakte van de sneeuwvlok van Koch

[Foxz]

Ik ben op dit moment samen met een vriend bezig aan een praktische opdracht over Fractal en Dimensie. Nou hebben we eigenlijk alle opdrachten gemaakt maar er blijft er eentje bij die we niet opgelost krijgen. Namelijk het antwoord op de vraag waarom de oppervlakte van de sneeuwvlok van Koch eindig is. Zou iemand dit hier met een berekening willen uitleggen? Anyway, alvast bedankt. Hieronder trouwens een voorbeeld van een redelijk uitgewerkte versie van de sneeuwvlok van Koch.

[AxzZzeL]

Volgens mij niet oneindige oppervlakte, maar de rand is oneindig lang. Trouwens de oppervlakte zou oneindig veel cijfers achter de komma hebben.

[sewer]

Bedoel je eindig groot, of eindig aantal cijfers achter de komma

In het eerste geval, je weet toch dat de lijn van het middelpunt naar het verste uiteinde eindig is.

Zo kun je dus altijd een circel trekken (met straal minstens gelijk aan de lengte van deze lijn) waar de vlok helemaal invalt. De oppervlakte van de circel is dus ook eindig, en aangezien de vlok er volledig invalt is deze oppervlakte kleiner of gelijk, dus ook eindig.

[guillaume]

Op zondag 17 februari 2002 19:21 schreef sewer het volgende:
Bedoel je eindig groot, of eindig aantal cijfers achter de komma

In het eerste geval, je weet toch dat de lijn van het middelpunt naar het verste uiteinde eindig is.

Zo kun je dus altijd een circel trekken (met straal minstens gelijk aan de lengte van deze lijn) waar de vlok helemaal invalt. De oppervlakte van de circel is dus ook eindig, en aangezien de vlok er volledig invalt is deze oppervlakte kleiner of gelijk, dus ook eindig.

Correct, maar het blijkt dat de maximale opp. altijd 60% groter is dan de opp. van de eerste driehoek (waarmee je begint). Leg da maar eens uit

[Verwijderd]

Volgens mij klopt ie zo:
Tellen leert dat bij de 1e stap er 3 driehoekjes bijkomen, dan 12, dan 48, enz., kortom 3/4*4^n (is vast ook wel in te zien maar daar ben ik te lui voor)
Deze driehoekjes worden steeds 9 keer zo klein dus je moet delen door 9^n.
Oppervlakte van het deel wat erbijkomt is dan de som voor n=1 tot oo over 3/4*(4/9)^n = 3/4 * (4/9)/(1-4/9)=3/4*4/5=3/5

Met de oorspronkelijke driehoek erbij is dat dus 8/5 maal de oppervlakte.

QED, en zo

[Verwijderd]

We stellen de oppervlakte van de eerste driehoek gelijk aan 1. Dan is de oppervlakte van de driehoekjes die je er daarna aanplakt gelijk aan 1/9. (zowel basis als hoogte nemen af met een factor 3).

Je hebt 3 van die driehoekjes, dus is hun totale oppervlakte gelijk aan 1/3.

Voor de volgende driehoekjes geldt dat de oppervlakte weer met een factor 9 afneemt, hun oppervlakte is dus 1/81. Er zijn er 12... 12/81, of 4/27 dus.

Voor de volgende driehoekjes geldt dat hun oppervlakte weer een factor 9 kleiner is, ofwel 1/729. Er zijn er 12*4=48.

De achterliggende regelmaat is nu wel duidelijk: De oppervlakte van de sneeuwvlok is gelijk aan 1 + som((3*4^(n-1))/9^n) Met n lopend van 1 tot oneindig. Deze som is exact 1,6

[edit]ik was niet snel genoeg

[guillaume]

Op zondag 17 februari 2002 20:34 schreef Captain Proton het volgende:
We stellen de oppervlakte van de eerste driehoek gelijk aan 1. Dan is de oppervlakte van de driehoekjes die je er daarna aanplakt gelijk aan 1/9. (zowel basis als hoogte nemen af met een factor 3).

Je hebt 3 van die driehoekjes, dus is hun totale oppervlakte gelijk aan 1/3.

Voor de volgende driehoekjes geldt dat de oppervlakte weer met een factor 9 afneemt, hun oppervlakte is dus 1/81. Er zijn er 12... 12/81, of 4/27 dus.

Voor de volgende driehoekjes geldt dat hun oppervlakte weer een factor 9 kleiner is, ofwel 1/729. Er zijn er 12*4=48.

De achterliggende regelmaat is nu wel duidelijk: De oppervlakte van de sneeuwvlok is gelijk aan 1 + som((3*4^(n-1))/9^n) Met n lopend van 1 tot oneindig. Deze som is exact 1,6

[edit]ik was niet snel genoeg

Yepz, je hebt helemaal gelijk zie ik. Alleen de somformule moet ik nog eens opzoeken: we waren ook al bezig met dat wat je hierboven deed, alleen kregen we die somformule maar niet gevonden...

[Diadem]

Op zondag 17 februari 2002 21:21 schreef guillaume het volgende:

[..]

Yepz, je hebt helemaal gelijk zie ik. Alleen de somformule moet ik nog eens opzoeken: we waren ook al bezig met dat wat je hierboven deed, alleen kregen we die somformule maar niet gevonden...

Sum[1/n^x, {x, 1, Infinity}] = 1 / (n-1)

Uitleg: Stel je een taart voor. Die wil je in 7 personen verdelen. Doe dit door 8 punten te snijden, en het achtste punt weer in 8 punten te verdelen, en daarvan het achtste punt weer in 8 punten, enzovoort. Een oneindig aantal keer.

Je hebt dan de taart precies in 7 stukken verdeeld.

Dus 1 / 8 + 1/8^2 + 1/8^3 etc, etc, = 1/7

Dit geld natuurlijk voor iedere n.

[Verwijderd]

edit:
laat maar, ik kletste hier uit mijn nek

Dit geld natuurlijk voor iedere n.

1/n moet tussen 1 en -1 liggen (of bedoelde je alleen de natuurlijke getallen?)

[edit 2]: Maar als je de som van (4/9)^n wilt berekenen kan je toch beter de algemene formule gebruiken:
Som (n=1 tot oneindig) (r^n) = r/(1-r) [/edit 2]