[wiskunde/wetenschap] fractale oneindigheid

[Thijsmans]

Ik moet voor wiskunde een praktische opdracht (werkstuk) maken over fractals. Nou is daar op internet best veel informatie te vinden, maar wat is mis is een goede uitleg over de oneindigheid in fractals. Want het zwarte gedeelte in figuren als hieronder is toch oneindig? Wat bedoelen ze daarmee, en hoe komt dat?

[FCA]

Het zwarte gedeelte is niet oneindig, maar de rand ervan is oneindig lang.

Dat komt omdat hoe ver je ook inzoomt, je altijd fijnere details zult blijven zien. Zie het als een kustlijn.
Als je op een wereldkaart kijkt zul je niet zoveel details zien. Ga je op een nauwkeurigere kaart kijken, dan zie je veel meer inhammen enzo, en blijkt de kustlijn veel langer.
Ga nu langs het strand lopen, en je zult zien dat ie nog veel langer is (meer details)

Als je nu nog nauwkeuriger kijkt, zul je alle stenen enzo meerekenen -> nog veel langer.

bij een fractal is dit ook zo, alleen gaat het patroon dan oneindig door.

tip: Zoek ook eens op fractale dimensie

[Anoniem: 34259]

Een goed boek wat je kan gebruiken is dat boek Fractals van Hans Lauwerier.
Staat alles best goed uitgelegd over wat jij nu vraagt met de dimensies enz. Ik heb zelf laatst ook een Praktische opdracht gemaakt over fractals dus als je hulp nodig hebt icq je me maar

[Anoniem: 32447]

Als de rand oneindig is dat is het zwarte deel toch ook oneindig. Oppervlakte wordt beperkt door de omtrek. Is de omtrek oneindig dan is de oppervlakt ook oneindig.

[FCA]

Dat is nou juist de grap.
De oppervlakte is eindig, maar de rand is oneindig.

Hij wordt toch ingevat in een eindige rechthoek? Dus is de oppervlakte kleiner dan die van de rechthoek, dus eindig.

[Thijsmans]

Dus, als ik het goed begrijp, is het zwarte juist niet oneindig, maar de kleuren wel (op de achtergrondkleur na dan)?

[FCA]

Ik bedoel de rand van het zwarte gedeelte.

[Anoniem: 9942]

ahhh, mandelbrot. Een voorbeeld van hoe een heel simpel iteratief proces tot zeer grote complexiteit leidt.

Het algoritme dat je gebruikt is: (wiskundigen, mond houden over notatie)

y=(x^2)+c
x=y

Je begint met x=0, en die twee instructies herhaal je oneindig keer. In de praktijk is oneindig keer wat veel, dus herhaal je ze dan totdat duidelijk is of x steeds groter wordt, of klein blijft. Als |x| steeds groter wordt (en richting astronomische getallen gaat) geeft de functie mandelbrot(c) 1 als waarde, als |x| niet naar oneindig nadert, geeft de functie mandelbrot(c) 0 als waarde.

paar voorbeeldjes:

mandelbrot(1) geeft na 1 iteratie (herhaling) y=1. Na 2 iteraties y=2. Na 3 iteraties y=5. Na 4 iteraties y=26. Na 5 iteraties 677. Na 6 iteraties 458330. Je ziet, de waarde schiet omhoog... mandelbrot(1)=1

mandelbrot(-1). Na 1 iteratie is de waarde -1. Na 2 iteraties is de waarde weer 0. Na 3 iteraties is de waarde weer -1. Enzovoorts... Deze gaat niet naar oneindig, en dus geldt: mandelbrot(-1)=0

Zo kan je dit voor elke mogelijke c doen. Soms zal het getal naar oneindig gaan, soms niet. Maar een erg interessant plaatje kan je er nog niet van maken...

Dat verandert wanneer je complex gaat rekenen. een complex getal is uit te drukken als a+ib, waarbij i^2=-1 en a 2 reeele getallen. Ook complexe getallen kan je kwadrateren of bij andere complexe getallen optellen, en dus kan je er de mandelbrot-functie op loslaten. Als criterium voor "naderen naar oneindig" kijk je nu voor het gemak naar de reeele component, als die naar oneindig of min-oneindig nadert, geldt mandelbrot(c)=1

Om het plaatje te krijgen laat je een computer de mandelbrotfunctie loslaten op een heleboel imaginaire getallen a+ib, waarbij je a kiest tussen ongeveer -2,5 en 1; en b tussen -2 en 2. als mandelbrot(a+ib)=1, zet je in een 2-dimensionaal plaatje op de coordinaten (a,b) een stipje, als mandelbrot(a+ib)=0 niet. Zo krijg je een plaatje dat al sterk lijkt op het plaatje dat jij geeft.

Dit soort plaatjes maak je met de computer, en computers zijn dom. Ze begrijpen niet wat "oneindig" is. Maar uit ervaring blijkt dat elk getal met een a groter dan 1 of kleiner dan -3 naar oneindig nadert. Je kan dus een computer laten stoppen als hij bijvoorbeeld een a vindt met als absolute waarde 10. We definieren a=10 als "oneindig".

We laten nu de computer het aantal iteraties tellen dat nodig is om a=10 te bereiken. Dit getal gebruiken we als kleurcode voor het bijbehorende puntje, en zo krijgen we een plaatje met de schitterende kleuren van het plaatje dat jij hier geeft. Zo zie je dat de mandelbrot-fractal, met al zijn complexiteit, ontstaat uit een heel eenvoudig algoritme.

[Anoniem: 18161]

Op woensdag 13 februari 2002 00:43 schreef Captain Proton een heel interessant verhaal

koel, ik wist helemaal niet dat dat zo werkte...

wel slimme kerel, die mandelbrot....

maar hoe worden die puntjes dan gezet en waar? want dat kon ik uit je verhaal niet opmaken...

edit: laat maar eroverheen gelezen.... (damn, dat stond er wel heel duidelijk )

[Thijsmans]

Captain Proton, bedankt voor je uitleg. Erg verhelderend, ik begrijp het nu al een stuk beter. Ja, Mandelbrot had heel wat hersens in zijn pan...

[FCA]

Mandelbrot bouwde voornamelijk voort op het werk van de Fransman Julia. Zijn Mandelbrot-fractal is in principe een soort van klassificatie van Julia-fractals.

Een Julia fractal werkt als volgt:
Je neemt de relatie:
z_i+1=z_i²+c
met z een complex getal, zoals CP hierboven beschreef. Dan ga je voor elk punt z in het complexe vlak bij een bepaalde c kijken of het wel of niet naar oneindig gaat.
Gaat hij niet naar oneindig, dan is het een deel van de Julia-verzameling J_c
Er blijken 2 verschillende soorten Julia-verzamelingen te zijn, samenhangende en stofachtige. Voorbeeld:

Samenhangende:

stofvormige

Zoals je ziet zijn de samenhangende 1 geheel en de stofvormige bestaan uit losse punten (een heleboel, dat wel)
De rand van een Julia-verzameling is een fractal.

Julia ontdekte dat een Julia-verzameling samenhangend is als het punt (0,0) erin ligt, en niet samenhangend als het er niet in ligt.
Mandelbrot zette dit weer voor verschillende c uit, en dit is nou precies de Mandelbrot-fractal.

[Anoniem: 32447]

Ik snap 'r geen moer van maar ik vind 't errug interessant.

Kan iemand mij hetvolgende uitleggen: hoe kan de oppervlakte eindig zijn als de omtrek oneindig is? Dat idee komt er bij mij niet in.

[Lord Daemon]

Een erg leuk aspect van fractals (naar mijn mening) is dat ze niet alleen wiskundig interessant zijn, maar ook nog eens natuurkundig relevant. In chaotische systemen (en dat zijn er heel erg veel, inclusief een druppelende kraan en een aangedreven slinger) vormt het deel van de faseruimte (de 'ruimte' die je bijvoorbeeld krijgt door de positie van de slinger op de ene as van een grafiek te zetten en de snelheid ervan op de andere - de baan van de slinger is dan een vaag kronkelende lijn door deze faseruimte) waar het systeem naar een tijdje naar toe zal gaan meestal een fractal.

[FCA]

Hmm....
Ik zal eens proberen uit te leggen hoe een fractal wordt gemaakt. Misschien wordt het dan duidelijker. We beginnen met zo ongeveer de meest eenvoudige fractal die er is, de Koch kromme. Die begint zo:


Als je dit nauwkeurig gaat meten (of uitrekenen ) Blijkt dat de lijn steeds 4/3 keer zo lang wordt.
Als je dit nou oneindig vaak doet, wordt de lengte van de kromme (4/3)^oneindig. Dat is best groot (oneindig groot zelfs), dus de lijn is oneindig lang.
Maar, hij past wel op je papier, omdat de oppervlakte vergroting per stap kleiner wordt, en dus niet naar oneindig gaat als je oneindig veel stappen uitvoert.

[Lord Daemon]

Op woensdag 13 februari 2002 19:49 schreef Jywansa het volgende:
Ik snap 'r geen moer van maar ik vind 't errug interessant.

Kan iemand mij hetvolgende uitleggen: hoe kan de oppervlakte eindig zijn als de omtrek oneindig is? Dat idee komt er bij mij niet in.

Nou, eigenlijk is dat heel simpel. Stel je eens voor dat je een rechthoek hebt met een oppervlakte van, zeg, 1 vierkante meter. Nu ga je die rechthoek de ene kant op uitrekken en de andere kant op induwen, zodat de oppervlakte steeds gelijk blijft. De rechthoek gaat dus steeds meer op een lijn lijken, hij wordt steeds platter. De oppervlakte blijft gelijk, maar de omtrek zal steeds groter worden - als je de rechthoek uiteindelijk helemaal hebt plat gedrukt zal de omtrek zelfs oneindig zijn. Dus zelfs bij een niet-fractale figuur kan de omtrek in de limiet oneindig worden terwijl de oppervlakte eindig blijft.

Bij fractale figuren geldt dit zelfs altijd. Stel dat je een vierkant neemt. Daar haal je in het midden een kleiner vierkantje uit, dat zo groot is dat het precies 9 keer in het grote vierkant past. Nu zijn er 8 aan elkaar zittende vierkanten ontstaan. Daarvan haal je ook weer de middelste 1/9 weg, etcetera. De totale omtrek van de figuur wordt steeds groter (immers, je maakt er wel rand bij maar haalt er geen rand af), terwijl de oppervalkte steeds kleiner wordt. Herhaal je dit nu een oneindig aantal keer, dan is de omtrek oneindig en de oppervlakte nul.

Dan valt die Mandelbrot fractal nog wel mee, die heeft tenminste nog een eindige oppervalkte.

[Diadem]

Op woensdag 13 februari 2002 19:57 schreef Lord Daemon het volgende:

Herhaal je dit nu een oneindig aantal keer, dan is de omtrek oneindig en de oppervlakte nul.

Dan valt die Mandelbrot fractal nog wel mee, die heeft tenminste nog een eindige oppervalkte.

*mierenneukermode*

0 is ook eindig

Verder heb ik weinig toe te voegen aan FCA of Lord Daemon