3e-abc-formule

[Verwijderd]

Hi,

Ik hielp iemand bij zijn huiswerk (wiskunde), nou ik dacht is een makkie...ik had ff uitgeleg hoe je een abc-formule kan gebruiken bij het oplossen van een 2e graads vergelijking. Totdat hij doorvroeg of ik ff
ax^2+bx+c wil bewijzen..... met pijn en moeite heb ik hem laten zien (ik nam ik deze formule voor zoete koek, nooit uitgewerkt)...

x^3+ax^2+bx+c

Toen sloeg hij door en werd heel nieuwsgierig, en vroeg of het toepasbaar is voor een 3e graad, voor het geval hij eentje tegen komt....ik kreeg het heel warm en benauwd...en zei heel zachtje ja...deze wordt ook wel een kubische vergelijking genoemd als ik me niet heb vergist.

Wie kan me hierbij helpen?

[Verwijderd]

Ik heb er ooit eens eentje uitgewerkt, de pq-formule, en hij was iig een stuk ingewikkelder dan de abc-formule. de formule was zo ingewikkeld dat hij daarmee ook volslagen nutteloos was.

Doe geen moeite zou ik zeggen. Los een derdegraadsvergelijking op met een beetje nadenken (lukt vaak, zeker als het om huiswerkproblemen gaat) of anders numeriek, met een rekenmachine of computer.

[RickN]

Dit zijn ze allemaal, voor graad groter dan 4 bestaan er geen.

[Diadem]

* Diadem verwijderd een onzinpost van MrPiccolo

Dat soort posts worden hier niet op prijs gesteld. Dus pas op.

[Servowire]

Op zaterdag 09 februari 2002 18:29 schreef Diadem het volgende:
* Diadem verwijderd een onzinpost van MrPiccolo

Dat soort posts worden hier niet op prijs gesteld. Dus pas op.

Dit vind ik niet echt passend....
Beetje censuur

[Verwijderd]

Deze post ging over de temperatuur buiten, dat kan ik met de beste wil ter wereld hier niet relevant noemen. Bovendien gaf de user zelf toe dat het onzin was en dat het verwijderd mocht worden...

[GeeBee]

Wat ook werkt is proberen om zelf één oplossing te vinden. Daar kun je dan je 3e graadsvergelijking door delen.
Je houdt dan een 2e graadsvergelijking over die je met de ABC-formule kunt oplossen.

[Confusion]

Als de vergelijking van de vorm

ax³ + bx² + cx + d = 0

is, dan is er een p/q, met p een positieve deler van a en q een deler van d, die een rationale wortel van de vergelijking is.

Voorbeeld:
f(z) = z³ - 2z² + 5z - 4 = 0

q = 1 en p deelt -4, dus ofwel z = 1 of z = -1 of z = 2 of z = -2 of z = 4 of z = -4 is een nulpunt. Je ziet f(1) = 0 en dus
f(z) = (z - 1)(z² - z + 4)

Zo vind je gemakkelijk de drie wortels.

[AxzZzeL]

Er is d'r wel een maar mijn leraar wiskunde zei dat je 3 borden zou nodig moeten hebben om de hele formule op te schrijven.

[Verwijderd]

Bedankt voor jullie reply's,

Ik heb de uitwerkingen van RickN gekeken...Proton heeft gelijk is niet de moeite waard

grt

[FCA]

Op zaterdag 09 februari 2002 20:19 schreef Fused het volgende:
Als de vergelijking van de vorm

ax³ + bx² + cx + d = 0

is, dan is er een p/q, met p een positieve deler van a en q een deler van d, die een rationale wortel van de vergelijking is.

Voorbeeld:
f(z) = z³ - 2z² + 5z - 4 = 0

q = 1 en p deelt -4, dus ofwel z = 1 of z = -1 of z = 2 of z = -2 of z = 4 of z = -4 is een nulpunt. Je ziet f(1) = 0 en dus
f(z) = (z - 1)(z² - z + 4)

Zo vind je gemakkelijk de drie wortels.

Dat is helaas niet correct, dat zou namelijk impliceren dat elke geheeltallig polynoom van graad 3 een rationaal nulpunt heeft. Helaas is dat niet zo.
Simpel voorbeeld: neem x³ - 2 = 0.
Dan zijn er 3 oplossing: x = 2^(1/3) , of iets complex. Dus geen van allen rationaal.
Er is zelfs een criterium (criterium van Eisenstein) wat aangeeft wanneer een polynoom over de gehele getallen (dus met gehele getallen voor a,b,c e.d.) een rationaal nulpunt heeft.

[RickN]

Helaas, zou wel een prachtig simpele methode zijn...

Er is wel een andere methode om 3de graads vergelijkingen op te lossen. Volgens mij ben ik die ooit eerder op dit forum tegen gekomen. Ik heb ff op google gezocht en de methode heet: Cardan's Method. Het is (vind ik) niet zo eenvoudig dat je het uit je hoofd gaat leren en echt gaat gebruiken, maar toch wel aardig en iig beter dan de formules die ik eerder poste

Cardan's Method

edit:

Ik heb nog even doorgezocht en wat Fused eerder poste staat bekend als de Rational Roots Test en die test maakt gebruik van het Rational Roots Theorem. De test geeft kandidaat oplossingen voor je vergelijking, maar garandeerd (zoals FCA aantoonde) niks.

Het Rational Roots Theorem zegt dat

Als p/q een oplossing is van de vergelijking

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +..+ a₀ = 0, met a_n en a₀ <> 0,

dan is p een deler van a₀ en
is q een deler van a_n.

Dit is dus een implicatie. De test doet net of het een equivalentie is en gebruikt de implicatie in de andere richting om kandidaat oplossingen te vinden.

[Confusion]

Ik stelde het inderdaad te sterk: er is niet altijd zo'n oplossing, maar het is altijd de moeite waard het even te proberen.

Cardans method heb ik eerder gezien als 'de ABC-formule voor derdegraadsvergelijkingen'. Voor vierdegraads is er ook zo'n algoritme, maar ik kan de naam ervan nergens vinden.