Imaginaire getallen

[Verwijderd]

Ik heb in een stukje dat ik getypt heb over complexe getallen beweerd dat wortel(-1) = i

Nu zei een 3e jaar natuurkunde student tegen mij dat dit fout was en dat alleen i² = -1 geldt en niet wortel(-1) = i. Nu snap ik even niet waarom dat niet zo is want die 2 dingen zijn toch eigenlijk hetzelfde?

[Reptile209]

Op dinsdag 29 januari 2002 19:54 schreef Liquidus het volgende:
Ik heb in een stukje dat ik getypt heb over complexe getallen beweerd dat wortel(-1) = i

Nu zei een 3e jaar natuurkunde tegen mij dat dit fout was en dat alleen i² = -1 geldt en niet bovenstaande regel. Nu snap ik even niet waarom dat niet zo is want die 2 dingen zijn toch eigenlijk hetzelfde?

Kwestie van definitie denk ik: van i² hebben we afgesproken dat het gelijk is aan -1, maar over wortel -1 niets. Niet helemaal consequent qua wiskunde, maar wel duidelijk.

[Confusion]

Voor vrijwel alle toepassingen zijn die twee definities identiek. In (fysica) boeken worden de definities afwisselend gebruikt. In mijn eerste jaar heeft de docent analyse echter wel opgemerkt dat inderdaad i²=-1 de juiste definitie is; ik weet niet meer precies waarom i = (-1)^1/2 fout is, maar vermoedelijk heeft dat met de definitie van machten kleiner dan 1 te maken.

[Devil]

i is gedefineerd als i^2 = -1 (hoe doe je eigenlijk sub en superscript?)

[Verwijderd]

[sub] text [/ sub]
[sup] text [/ sup]

[Devil]

Thx

[Canaria]

Wat is dan wortel(i²)?

[Diadem]

De wortel van -1 kan zowel i als -i zijn. Dat is het probleem met i definieren aan de hand van de wortel van -1.

i² = -1 is niet ambigent.

[Confusion]

Diadem schreef:
De wortel van -1 kan zowel i als -i zijn. Dat is het probleem met i definieren aan de hand van de wortel van -1.

i² = -1 is niet ambigent.

So it's that simple

Wanneer je +i zou definieren als expliciet de 'positieve' wortel van -1, ben je er dan ook?

[Dommel]

Als je dat door de hele wiskunde heen zou weten te krijgen maak je een kansje.

[Diadem]

Op dinsdag 29 januari 2002 21:18 schreef Fused het volgende:

[..]

So it's that simple

Wanneer je +i zou definieren als expliciet de 'positieve' wortel van -1, ben je er dan ook?

Ik denk van wel. Maar dat is wat je in feite doet als je zegt i² = -1, toch?

[Dommel]

i² = -1 houdt in i = wortel(-1)
wortel(-1) kan echter gelijk zijn aan -i en +i uitgaande van de gewone wiskunde.

Voorbeeldje met gewone wiskunde: 2² = 4, wortel 4 is 2 of -2 aangzien ook geldt -2² = 4

[edit] typo

[Confusion]

Diadem schreef:
Ik denk van wel. Maar dat is wat je in feite doet als je zegt i² = -1, toch?

Inderdaad, maar dan ligt het probleem dus bij het ontbreken van de expliciete 'positieve' wortel. Wat zijn wiskundigen toch een mierenneukers

[RickN]

Op dinsdag 29 januari 2002 21:13 schreef Diadem het volgende:
De wortel van -1 kan zowel i als -i zijn. Dat is het probleem met i definieren aan de hand van de wortel van -1.

i² = -1 is niet ambigent.

Een tijdje terug liep hier een thread over dat 1=2. Toen ik een wiskundige vroeg heel CONCREET te zeggen waar de fout zat in het bewijs daarvan en wat PRECIES de fout was zei hij dat sqrt(-1) (deze expressie o.i.d. kwam dus voor in het bewijs) gewoon onzin was omdat de wortel operatie alleen defineerd is voor positieve getallen. Ik vond dit erg kort door de bocht en was het er dus ook niet mee eens. In wiskundige berekeningen zie je te vaak sqrt(-1) voorbij komen om te zeggen dat het niet eens gedefineerd is.

Op een website las ik toen dat het probleem in het bewijs em zat in wat Diadem hierboven zegt. Maar ik ben het ook weer niet helemaal eens met wat je zegt Diadem, want zoals ik het begreep is het wel zo dat sqrt(-1) = i, maar kun je niet IN HET ALGEMEEN zomaar de "positieve" wortel nemen als je de wortel neemt van een negatief getal omdat er bij complexe getallen geen sprake is van positief en negatief. Dus het komt er op neer dat we intuïtief de wortel nemen waarvan wij denken dat ie positief is, maar aangezien dat helemaal niet gedefineerd is voor complexe getallen nemen we soms de verkeerde wortel. Maar nogmaals, voor het voorbeeld sqrt(-1) geldt volgens mij toch echt wel dat het i is hoor.

Al met al een beetje veel offtopic, maar ik vind dit gewoon interesant weet je...

[RickN]

Op dinsdag 29 januari 2002 21:42 schreef Christus het volgende:
i² = -1 houdt in i = wortel(-1)
wortel(-1) kan echter gelijk zijn aan -i en +i uitgaande van de gewone wiskunde.

Voorbeeldje met gewone wiskunde: 2² = 4, wortel 4 is 2 of -2 aangzien ook geldt -2² = 4

[edit] typo

Dit is dus pertinent NIET waar, je kunt over de wortel operatie zeggen wat je wilt en je kunt me van alles wijs maken over complexe getallen enzo, maar de wortel operatie is toch echt een functie in de zin dat elk origineel maar precies 1 beeld heeft. Voor positieve getallen is dat de positieve wortel en over wat het voor negatieve getallen is wil ik graag een beetje discussieren, maar het is er wel maar 1.

edit:

ik wilde het een klein beetje anders zeggen...

[TutanRamon]

Die i staat toch gewoon voor 'maal -1'

vb:
Wortel van -16 = 4i = 4 maal -1 = -4

toch?

[RickN]

Op dinsdag 29 januari 2002 23:12 schreef TutanRamon het volgende:
Die i staat toch gewoon voor 'maal -1'

vb:
Wortel van -16 = 4i = 4 maal -1 = -4

toch?

Nee. Sorry, meer kan ik er niet van maken. Ik ben niet de persoon om je complexe getallen te gaan uitleggen.

[blobber]

Op dinsdag 29 januari 2002 21:10 schreef haas het volgende:
Wat is dan wortel(i²)?

wortel(i²)= abs (i)

net als

wortel(4²)= abs (4)

en dus niet 4 of -4

[FCA]

abs(i) = 1 btw.
Dus dat gaat niet op bij complexe getallen.
Wortel(i^2) is i of -i, maar dat heet geen abs(i) meer als je met complexe getallen werkt, abs(x) is de afstand tot de nul dan, en die is voor een hele cirkel getallen gelijk aan 1.

[RickN]

Op woensdag 30 januari 2002 09:50 schreef FCA het volgende:
abs(i) = 1 btw.
Dus dat gaat niet op bij complexe getallen.
Wortel(i^2) is i of -i, maar dat heet geen abs(i) meer als je met complexe getallen werkt, abs(x) is de afstand tot de nul dan, en die is voor een hele cirkel getallen gelijk aan 1.

Goddamn, wou ik ook net gaan zeggen.

Behalve dan dat gedeelte van Wortel(i²) is i of -i, want dat is niet waar

[Fvdlaar]

Idd: wortel(i^2) = i

[FCA]

Op woensdag 30 januari 2002 09:55 schreef RickN het volgende:

[..]

Goddamn, wou ik ook net gaan zeggen.

Behalve dan dat gedeelte van Wortel(i²) is i of -i, want dat is niet waar

Huh? Waarom niet dan?
Als i² = -1, de wortel daarvan is i of -i natuurlijk. Anders krijg je allemaal gezeik met 1 = -1 enzo.

[Fvdlaar]

Volgens mij ben je in de war met dingen zoals x^2 = 4. Dan geldt idd x=2 of x=-2, maar i is geen variabele.

[RickN]

Op woensdag 30 januari 2002 10:02 schreef FCA het volgende:

[..]

Huh? Waarom niet dan?
Als i² = -1, de wortel daarvan is i of -i natuurlijk. Anders krijg je allemaal gezeik met 1 = -1 enzo.

De wortel van 4 is toch ook niet 2 of -2. De wortel van 4 is gewoon alleen 2. Voor positieve getallen is de wortel altijd positief. Voor negatieve getallen is het niet zo simpel omdat je daar niet over positief en negatief kunt spreken, maar de wortel heeft dan nog steeds maar gewoon precies 1 oplossing (beeld)

Maar dit heb ik eerder in deze thread allemaal al een keer gezegd hoor.....

[FCA]

Hmm... Ik dacht dat ze in deze draad wel op het goede spoor waren, maar goed.

De enige juiste definitie van i is
i² = -1.
De wortel functie is gedefinieerd als
x^1/2, dus de inverse van de kwadratische functie x²
Nou is het probleem dat de kwadratische functie niet bijectief is voor de reeele getallen (dwz: er is voor de sommige y meer als 1 x). Daarom is voor de reeele getallen de oplossing van x^1/2 als de positieve wortel gedefinieerd. Echter, dit gaat niet op voor de complexe getallen. Daar is positief en negatief betekenisloos. Dus is er geen mogelijkheid om een verschil aan te wijzen tussen i en -i, behalve dan dat hun onderlinge afstand 2 is.
Een stelling sqrt(-1)= i is dus onzin, want waarom i en niet -i? Over het algemeen kun je de wortel"functie" niet maar 1 waarde laten aannemen, dan kun je bijvoorbeeld de stelling 1 = -1 bewijzen, wat natuurlijk onzin is, op de volgende manier:
1 = sqrt(1) = sqrt((-1)²) = ((-1)²)^1/2 = ((-1)^1/2)² = i² = -1

[RickN]

Op woensdag 30 januari 2002 10:20 schreef FCA het volgende:
Hmm... Ik dacht dat ze in deze draad wel op het goede spoor waren, maar goed.

De enige juiste definitie van i is
i² = -1.
De wortel functie is gedefinieerd als
x^1/2, dus de inverse van de kwadratische functie x²
Nou is het probleem dat de kwadratische functie niet bijectief is voor de reeele getallen (dwz: er is voor de sommige y meer als 1 x). Daarom is voor de reeele getallen de oplossing van x^1/2 als de positieve wortel gedefinieerd. Echter, dit gaat niet op voor de complexe getallen. Daar is positief en negatief betekenisloos. Dus is er geen mogelijkheid om een verschil aan te wijzen tussen i en -i, behalve dan dat hun onderlinge afstand 2 is.
Een stelling sqrt(-1)= i is dus onzin, want waarom i en niet -i? Over het algemeen kun je de wortel"functie" niet maar 1 waarde laten aannemen, dan kun je bijvoorbeeld de stelling 1 = -1 bewijzen, wat natuurlijk onzin is, op de volgende manier:
1 = sqrt(1) = sqrt((-1)²) = ((-1)²)^1/2 = ((-1)^1/2)² = i² = -1

Teneerste, het feit dat positief en negatief geen betekenis heeft voor complexe getallen (wat ik al heel deze thread beweer) neemt nog niet weg dat de wortel van enig getal (reëel of complex) toch maar echt 1 oplossing heeft hoor.

Dan over je bewijsje, dat is een vervelend bewijs. Zelf denk ik dat de fout em er in zit dat (a^b)^c = a^(b c) niet geldt voor willekeurige a,b,c. Maar waar het precies fout gaat doet hier niet terzake. Waar het om gaat is dat jij beweert dat dit bewijs niet fout gaat als je sqrt(-1)=-i neemt maar dan gaat het nog steeds fout want dan krijg je:

1 = sqrt(1) = sqrt((-1)²) = ((-1)²)^1/2 = ((-1)^1/2)² = (-i)² = (-1)² i² = i² = -1

Dus helaas.

Wat wel grappig is:
Jouw uit de hoogte doende opmerking dat je dacht "dat ze in deze thread wel op het goede spoor waren, maar ja..." en dat ik jou net met een paar mensen over MSN heb zitten uitlachen omdat iemand die wiskunde/natuurkunde zegt te studeren zulke domme dingen kan zeggen.

[Fvdlaar]

Volgens mij ligt de waarheid in het midden, zie bijvoorbeeld dit document: http://aw.twi.tudelft.nl/~kneppers/TNW/handout_complex.ps
Hierin wordt wel sqrt(-1)=i gebruikt, zonder duidelijke uitleg overigens. Daarna wordt i de "principal square root" genoemd. Plus het 1=-1 voorbeeld, waarbij gezegd wordt dan niet meer geld dat: sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(-1*-1)

[FCA]

(a^b)^c = a^(b * c) geldt wel, ook voor complexe getallen. Dit voorbeeld ging al fout bij de eerste stap:1 = sqrt(1).
Dit is niet zonder meer waar. sqrt(1) kan 1 of -1 zijn, dus dat is gelijk tekentje had ik helemaal niet mogen zetten. Er was ook een voorbeeld hiervan waar gebruik werd gemaakt van sqrt(-1) = i.

Waarom dit zo is? Dat heeft te maken met complexe e-machten, waarvan ik gehoopt had dat ik ze niet had hoeven te gebruiken, maar goed, als mensen me aan het uitlachen zijn.

Er geldt
e^{i x} =cos(x) + i sin(x)

Je ziet, dit is periodiek met periode 2pi.
In het bijzonder: e^{i pi} = -1 = e^{3 i pi}

De wortel van de een is e^{1/2 i pi} = i, de wortel van de ander is e^{1.5 i pi} = -i. Dit allemaal door alleen de simpele operatie x^1/2 er op los te laten.

edit:
Nog even mijn bewijs doorreken met complexe e-machten:

1 = e^{i 0} = e^{2 1/2 i 0} = e^{1/2 i 0} e^{1/2 i 0} = 1 en blijft het ook, aangezien iets * 0 = 0.

Nu met 1 = e^{2 pi i}:
1 = e^{2 pi i} != e^{pi i}

Je ziet, in het ene geval gaat het goed, in het andere niet. Omdat 1 (en -1, en elk willekeurig ander getal) niet eenduidig te definieren valt in complexe machten, is het niet mogelijk om de wortelfunctie (en elke andere willekeurige niet-gehele machtsfunctie) niet eenduidig te definieren.

[Fvdlaar]

Tja, ik moet je gelijk geven ...

[RickN]

Luister, ik vind dit een interesante discussie, en ik wil best m'n ongelijk toegeven als het zover mocht komt. Daarnaast wil ik je niet uitlachen en geloof ik best dat je hier behoorlijk wat verstand van hebt, maar je zegt een paar dingen waar m'n tenen van gaan krom staan.

Dit voorbeeld ging al fout bij de eerste stap:1 = sqrt(1).
Dit is niet zonder meer waar. sqrt(1) kan 1 of -1 zijn, dus dat is gelijk tekentje had ik helemaal niet mogen zetten.

Come on!!!! Dit is gewoon per definitie waar. De wortel van een positief getal is gewoon de positieve wortel, dat is gewoon zo gedefineerd.

Ik heb inmiddels wat meer zitten lezen en ik wil toegeven dat een getal 2 wortels heeft. Maar de conventie is nu eenmaal dat met de wortel van een positief getal de positieve wortel bedoeld wordt, daar kun je gewoon niet omheen. De verwarring ontstaat wanneer je de wortel van een negatief getal neemt, want die expressie is ambigue, het is niet duidelijk welke wortel je met die notatie bedoelt. De problemen die hiermee ontstaan kun je echter gewoon oplossen door duidelijk te zeggen welke wortel je bedoelt als je de wortel van een negatief getal neemt. Zoals fvdlaar al opmerkte wordt i de "principal square root" van -1 genoemd, wat idd wel impliceerd dat er ook nog een andere square root is.

Ik ben niet bang voor complexe e machten, en ben ook blij dat je die er ff bij hebt gehaald. Je voorbeeld is vrij overtuigend.

Lees deze pagina maar eens, hier staan een aantal interesante dingen over de wortels van negatieve getallen. Wat ik eruit opmaak is dat het probleem in die rare bewijsjes erin zit dat je rekenkundige regeltjes toepast die niet gelden voor de wortels van negtieve getallen, wat fvdlaar ook al had gevonden.

[FCA]

Goed, de wortel van een positief getal wordt meestal gedefinieerd als het positieve gedeelte van de 2 wortels.

Maar zoals ik aangaf met mijn voorbeeldje is dat gevaarlijk, als er iets anders als positieve getallen gaat gebruiken.

Het punt is gewoon dat wortels en niet-positieve getallen gewoon wat anders werken als mensen gewend zijn. Daarom zijn wiskundigen mierenneukers

[RickN]

Op woensdag 30 januari 2002 11:08 schreef FCA het volgende:
[..]
1 = e^{i 0} = e^{2 1/2 i 0} = e^{1/2 i 0} e^{1/2 i 0} = 1 en blijft het ook, aangezien iets * 0 = 0.

Nu met 1 = e^{2 pi i}:
1 = e^{2 pi i} != e^{pi i}

Je ziet, in het ene geval gaat het goed, in het andere niet.
[..]

Dat het bij die tweede fout gaat zie ik even niet:

1 = e^{i 2pi} = e^{i pi} e^{i pi} = -1 -1 = 1

Lijkt me ook goed gaan toch

[FCA]

maar, sqrt(e^{2 pi i}) = sqrt{(e^{pi i})²} = e^{pi i} = -1

In dit geval is sqrt(1) dus -1.

iig, dat bedoelde ik te zeggen.

excuses als dat niet duidelijk was.

[Diadem]

Go FCA!

Sorry RickN, maar je hebt gewoon ongelijk hier. Als je met complexe getallen gaat werken moet je heel erg goed oppassen om hoe je dingen definieert. En onder andere wortels werken dan ietsje anders als je misschien gewent bent.

Overigens is er dus inderdaad geen principiëel verschil tussen +i en -i. Immers i^2 = -1, maar ook (-i)^2 = -1^2 * i^2 = -1

Je ziet dan ook dat als a + bi een wortel is van een vergelijking, a - bi dat ook altijd is.

[RickN]

Op woensdag 30 januari 2002 12:56 schreef Diadem het volgende:
Go FCA!

Sorry RickN, maar je hebt gewoon ongelijk hier.
[..]

Idd, ik heb niet overal gelijk gehad hier. Maar, om toch nog even door te zeiken:

Over FCA's laatste bewijs dat sqrt(1)=-1.

Dit is gewoon niet en nooit waar. Einde discussie. Als het al niet is omdat het PER DEFINITIE fout is, dan is het wel omdat hij in zijn bewijs een rekenregel gebruikt die in die context niet geldig is. Je hebt helemaal gelijk dat je erg moet oppassen als je met complexe getallen aan de gang gaat, en dat blijkt wel uit dit overduidelijk foute bewijsje.

To be continued.....(maar niet meer vandaag, ik ga ff een paar experts inschakelen...)

[FCA]

Op woensdag 30 januari 2002 14:26 schreef RickN het volgende:

[..]

Idd, ik heb niet overal gelijk gehad hier. Maar, om toch nog even door te zeiken:

Over FCA's laatste bewijs dat sqrt(1)=-1.

Dit is gewoon niet en nooit waar. Einde discussie. Als het al niet is omdat het PER DEFINITIE fout is, dan is het wel omdat hij in zijn bewijs een rekenregel gebruikt die in die context niet geldig is. Je hebt helemaal gelijk dat je erg moet oppassen als je met complexe getallen aan de gang gaat, en dat blijkt wel uit dit overduidelijk foute bewijsje.

To be continued.....(maar niet meer vandaag, ik ga ff een paar experts inschakelen...)

Ik denk dat het antwoord hierop afhangt hoe je sqrt definieert. Je kunt sqrt op 2 manieren opvatten. Als de bewerking die het omgekeerde van de kwadratische functie is (x^1/2 dus) of een bewerking waarmee je bijv. zegt sqrt(2) = 1.414.... Die 2e definitie heeft geen betekenis in de complexe getallen, maar dan is sqrt(1) wel altijd gelijk aan 1.
In die eerste definitie echter niet. Dan is een wortel van een getal a gedefiniëerd als een getal b waarvoor geldt b * b = a.

Dan is e^{pi i} * e^{pi i} = e^{2 pi i}, dus e^{pi i} is een wortel van e^{2 pi i} (wat nou toevallig 1 is). Daar valt echt geen speld tussen te krijgen volgens mij.

[Confusion]

Mjah...
Als ik met een fysisch probleem bezig ben en een discriminant blijkt negatief te zijn, dan haal ik simpelweg de '-' uit de discriminant en reken er mee verder alsof de wortel eruit gelijk is aan i*wortel(abs(D)). Dat is natuurlijk zelfcorrigerend, omdat de oplossing met -i ook een oplossing van de vierkantsvergelijking is.

Kent iemand fysische situaties waarin je je expliciet moet realiseren dat sqrt(negatief getal) zowel +i als -i maal sqrt(abs( negatief getal)) kan zijn?

[Verwijderd]

Op dinsdag 29 januari 2002 23:12 schreef TutanRamon het volgende:
Die i staat toch gewoon voor 'maal -1'

vb:
Wortel van -16 = 4i = 4 maal -1 = -4

toch?

Het is zo dat je wortels kunt splitsen.
Wortel(20) = Wortel(5*4) = Wortel(5) * Wortel(4)
Als je wortel -16 hebt kun je het ook opsplitsen.
Wortel(-16) = Wortel(16)*Wortel(-1) = 4*i

[Confusion]

wieikke schreef:
Het is zo dat je wortels kunt splitsen.
Wortel(20) = Wortel(5*4) = Wortel(5) * Wortel(4)
Als je wortel -16 hebt kun je het ook opsplitsen.
Wortel(-16) = Wortel(16)*Wortel(-1) = 4*i

-4i is ook een oplossing van wortel(-16)

[Verwijderd]

Op woensdag 30 januari 2002 21:16 schreef Fused het volgende:
-4i is ook een oplossing van wortel(-16)

Die was ik even vergeten.

[Verwijderd]

Op dinsdag 29 januari 2002 21:18 schreef Fused het volgende:

[..]

So it's that simple

Wanneer je +i zou definieren als expliciet de 'positieve' wortel van -1, ben je er dan ook?

Je kunt niet echt meer spreken over positief en negatief in de complexe getallen.

i is gedefinieerd als nulpunt van het polinoom x^2+1 en -i is dan logischerwijs het andere nulpunt, maar je kan niet zeggen dat i positief is en -i negatief.

En om complexe wortels te definieren heb je eerst complexe getallen nodig, dus Sqrt(-1) is in die zin geen goede definitie.

[Confusion]

Sandalf schreef :
Je kunt niet echt meer spreken over positief en negatief in de complexe getallen.

i is gedefinieerd als nulpunt van het polynoom x^2+1 en -i is dan logischerwijs het andere nulpunt, maar je kan niet zeggen dat i positief is en -i negatief.

Vandaar dat ik aanhalingstekens rond 'positief' had gezet. Ik neem aan dat er in de wiskunde een eenduidige manier is om +i van -i te onderscheiden, maar ik weet niet hoe ik dat uit moet drukken.

[FCA]

Dat is nou juist het hele punt....
Die is er niet.
Je kunt zeggen complexconjugate(i)=-i, maar datzelfde kun je ook zeggen voor -i. Verder is e^{1/2 i pi} = i, maar e^{1/2 (-i) pi} = -i.
Ik ken geen operatie die objectief kan onderscheiden tussen i en -i

Zelfs voor i - 2i = -i
geldt (-i) - 2(-i) = i

Uit de definitie x^2 + 1 =0 => x = i V x = -i blijkt dit ook.

Positief en negatief impliceert dat de complexe getallen geordend kunnen worden, en dit kan nou net niet.

[Diadem]

* Diadem heeft niets meer aan FCA toe te voegen, behalve dan dat ie helemaal gelijk heeft en dat ik iedereen aanraad zijn post goed te lezen.

[Verwijderd]

Op zaterdag 02 februari 2002 20:44 schreef FCA het volgende:

Positief en negatief impliceert dat de complexe getallen geordend kunnen worden, en dit kan nou net niet.

De complexe getallen kunnen best geordend worden hoor! Neem als ordening maar =< (kleiner dan of gelijk aan), als volgt gedefinieerd:

x=<y als |x|<|y| of als |x|=|y| en arg(x)=<arg(y)

Dit is een partiele ordening want =< is
- reflexief: x=<x voor alle x
- transitief: Als x=<y en y=<z dan x=<z voor alle x,y en z
- antisymetrisch: Als x=<y en y=<x dan x=y

Het is zelfs een lineaire ordering, want voor alle x en y geldt dan x=<y of y=<x.

[windancer]

Op zondag 03 februari 2002 01:11 schreef Sandalf het volgende:

[..]

De complexe getallen kunnen best geordend worden hoor! Neem als ordening maar =< (kleiner dan of gelijk aan), als volgt gedefinieerd:

x=<y als |x|<|y| of als |x|=|y| en arg(x)=<arg(y)

Dit is een partiele ordening want =< is
- reflexief: x=<x voor alle x
- transitief: Als x=<y en y=<z dan x=<z voor alle x,y en z
- antisymetrisch: Als x=<y en y=<x dan x=y

Het is zelfs een lineaire ordering, want voor alle x en y geldt dan x=<y of y=<x.

Leuk bedacht, maar het zegt niets. Volgens deze ordening is 0 <= -1 want |0| = 0 <= 1 = |-1|.

Je hebt een leuke ordening bedacht maar dit is geen "natuurlijke" generalisatie van het "kleiner of gelijk aan" begrip op de reeele getallen.

[Confusion]

windancer schreef:
Je hebt een leuke ordening bedacht maar dit is geen "natuurlijke" generalisatie van het "kleiner of gelijk aan" begrip op de reeele getallen.

Het gaat er enkel om dat er een eenduidige ordening aan te brengen valt; of dat dan verder tegen intuitief is of zelfs in strijd met de 'natuurlijke' ordening is niet relevant.

[FCA]

goh.
Interessant. Met arg(x) natuurlijk gedefinieerd tussen de 0 en 2 pi neem ik aan?

Als dit geldt, kun je zelfs positieve en negatieve complexe getallen definieren, en wel als volgt:
neem als ordening =< de volgende:

x =< y als arg(x)<arg(y) of als arg(x) = arg(y): |x|=<|y|

reflexief: x=<x voor alle x
transitief: als x=<y en y=<z dan x=<z volgens hetzelfde argument als boven.
antisymmetrisch volgens hetzelfde argument als boven.

Definieer nu arg(0) = pi, en je hebt positieve en negatieve complexe getallen....

Of klopt dit niet?

[Verwijderd]

FCA heeft gelijk,

de oplossingen van x^2=-1 liggen op twee verschillende Riemann-sheets

[Rey Nemaattori]

Op dinsdag 29 januari 2002 21:10 schreef haas het volgende:
Wat is dan wortel(i²)?

gewoon i

[FCA]

Op dinsdag 05 februari 2002 19:36 schreef error23 het volgende:
FCA heeft gelijk,

de oplossingen van x^2=-1 liggen op twee verschillende Riemann-sheets

Eh....
Als simpele 2e jaars heb ik geen idee waar je het over hebt.
Zou je dit misschien kunnen uitleggen?

[Verwijderd]

Ik kan het nu niet duidelijk uitleggen, ik zal er even over nadenken maar ik kan een week niet bij mijn boeken. Als ik jou was zou ik gewoon in willekeurig boek over complexe analyse in de index zoeken naar Riemann-sheets.

toch even proberen:
Het komt er geloof ik op neer dat als je een complexe variable "mapped" (transformeert) de oplossingen/waarden niet meer eenduidig zijn: kwadratische mapping veroorzaakt 2 Rieman-sheets en z->z^3 3 riemann-sheets. Logaritmische mapping (z->lnz) veroorzaakt oneindig veel Riemann sheets (ln(z)=ln(r*exp(i*th + 2*n*pi))=ln(r) + i*th + 2*n*pi hier heb je dus voor oneindig veel n dezelfde waarde voor z zelf maar oneindig veel verschillende waarden voor de ln.

Maar ik studeer natuurkunde dus ik hoef het niet sluitend te maken

[Verwijderd]

Op zondag 03 februari 2002 21:38 schreef FCA het volgende:
goh.
Interessant. Met arg(x) natuurlijk gedefinieerd tussen de 0 en 2 pi neem ik aan?

Als dit geldt, kun je zelfs positieve en negatieve complexe getallen definieren, en wel als volgt:
neem als ordening =< de volgende:

x =< y als arg(x)<arg(y) of als arg(x) = arg(y): |x|=<|y|

reflexief: x=<x voor alle x
transitief: als x=<y en y=<z dan x=<z volgens hetzelfde argument als boven.
antisymmetrisch volgens hetzelfde argument als boven.

Definieer nu arg(0) = pi, en je hebt positieve en negatieve complexe getallen....

Of klopt dit niet?

Ja, dat kan ook. Komt ongeveer op hetzelfde neer . Alleen als je per se negatief wilt definieren, dan kan je denk ik maar beter arg(x) tussen -pi en pi definieren en dan zeggen dat een getal negatief is, als 't een negatief argument heeft.

arg(0) = pi lijkt me overigens niet zo'n goed idee .

[FCA]

Waarom niet. Juist dan heb je dat -i complex negatief is en i complex positief toch?

arg(-i) = 1.5 Pi
arg(i) = 0.5 Pi

arg(0) kun je toch gewoon willekeurig kiezen?