wiskundige uitdaging

[Verwijderd]

Iemand vroeg mij laatst het volgende:

Kun je een getal noemen die aan de volgende ctiteria voldoet?

1) Als je er 1 vanaf trekt dan moet de uitkomst een kwadraat zijn van een geheel getal.

2) Als je er 1 bij opteld dan moet de uitkomst een derde macht zijn van een geheel getal.

Hij gaf een voorbeeld met 26.

26 - 1 = 25 (5 * 5)
26 + 1 = 27 (3 * 3 * 3)

Bestaat er nog zo'n getal????

[F_J_K]

Hmm. Was die iemand toevallig je leraar?

Maar goed, dit is heel simpel op te lossen in excel,
zet in kolom a 1 t/m 9999
b = a^3
c=sqrt(b-2)

als je dan in c een geheel getal tegenkomt ben je er...

[Verwijderd]

Op vrijdag 18 januari 2002 08:39 schreef F_J_K het volgende:
Hmm. Was die iemand toevallig je leraar?

Maar goed, dit is heel simpel op te lossen in excel,
zet in kolom a 1 t/m 9999
b = a^3
c=sqrt(b-2)

als je dan in c een geheel getal tegenkomt ben je er...

Ik voel hier toch enige nattigheid.

Waarom (b-2)?

Denk je dat het verschil tussen a en b altijd 2 is. Ik kan me dat niet voorstellen.

edit:
Laat maar. Ik ben nog niet helemaal wakker. You are right

[Gnoom]

De grote F_J_K oplossing is een hele gemakklijke. Alleen hij begint bij 1: als je nou 0 doet heb je nog

0+1=1 1^2=1

0-1=-1 -1^3=-1

toch?

Voor de rest is het nu niet echt spannend meer geloof ik... heeft iemand nog een reden om te discussieren?

[Verwijderd]

Op vrijdag 18 januari 2002 11:59 schreef Gnoom het volgende:
De grote F_J_K oplossing is een hele gemakklijke. Alleen hij begint bij 1: als je nou 0 doet heb je nog

0+1=1 1^2=1

0-1=-1 -1^3=-1

toch?

Voor de rest is het nu niet echt spannend meer geloof ik... heeft iemand nog een reden om te discussieren?

beter lezen!! 0 kan niet:

0-1=-1 er is geen kwadraat met uitkomst -1

[F_J_K]

Hmm. Of zijn imaginaire getallen ook geheel?

[Gnoom]

Op vrijdag 18 januari 2002 12:12 schreef Tantalus het volgende:
beter lezen!! 0 kan niet:

0-1=-1 er is geen kwadraat met uitkomst -1

ohja, ik zie het al, die met -1 moet in het kwadraad, en +1 tot de derde macht zeker......

en is het inderdaad zo dat imaginaire getallen niet gelden als gehele? tzal wel

[Lord Daemon]

Gehele getallen zijn de getallen in Z, daar horen imaginaire getallen niet bij.

Verder lijkt het me inderdaad dat een brute force methode het beste werkt om dit soort getallen te verzinnen - hoewel ik eerder mbv een programmeertaal even alles tot 10.000.000 zou laten uitrekenen door m'n PC dan dat ik een Excel-sheet zou schrijven.

[Verwijderd]

Ja, 26

[toraq]

Volgens mij is 26 het enige getal waarvoor dit geldt, vraag me niet hoe ik eraan kom, maar het klopt.

[Verwijderd]

We zijn opzoek naar x die voldoet aan:

x-1 = y^2
x+1 = z^3

met x,y,z als positive gehele getallen.

x = y^2 + 1
x = z^3 - 1
y^2 = z^3 - 2
y = sqrt(z^3-2)

we nemen z als variabele, als y geheel is hebben we een x gevonden die aan de voorwaarden voldoet

edit:
Nu ik het nog eens bekijk blijken de gevonden antwoorden niet te kloppen, het ligt aan de onnauwkeurigheid van excel

Ik heb excel gebruikt om er een paar uit te rekenen:

26
4826810
7529537
11390626
16777217
24137570
34012225
47045882
64000001

[Gnoom]

Dan blijft 26 toch nog een opvallend cijfertje in het geheel...Maareh, heeft dit allemaal ook nog enig nut? practische toepassingen van deze cijfers? vast niet...maar die 26 blijft grappig bij al die grote getallen

[Diadem]

Excel.. *bibber*

Voor dit soort dingen is mathematica uitgevonden!

Do[If[IntegerQ[Sqrt[i]] && IntegerQ[(i + 2)^(1/3)], lijstje = Append[lijstje, i + 1]], {i, 1, 100000}]


En wat staat er na afloop in lijstje?

{26}

[edit]

Ik heb hem even tot een miljoen door laten tellen, maar nog steeds niet gevonden. Hier was mijn computer al enkele minuten mee bezig, ik heb dus weinig zin om nog verder te gaan.

Als iemand met een snelle computer hier een nachtje aan wil spenderen... Maar misschien moet je dan ook even een intelligenter algoritme schrijven, wat je halverwege kunt afbreken enzo. Tijd voor een echte programmeertaal dus.

[Verwijderd]

Ben ook even bezig geweest met programmeren. Ik in Quick Basic. Onder DOS dus loopt een stuk sneller.
Het enige probleem dat ik had was dat ik het programma niet in een stap kon laten uitmaken of het een geheel getal is of niet. Daarom liet ik het eerst afkappen, m.b.v. de optie integer (int(5,3456) geeft 5, maar int(5,9456) geeft ook 5).
Als je dan if getal - int(getal) = 0 neemt, weet je dat het een geheel getal is.

Het probleem is alleen dat die optie niet heel goed werkt: er wil wel eens een restje blijven hangen dat kleiner is dan 1 * 10 ^-4. Dus soms is de uitkomst van getal - int(getal) 1 * 10 ^-4. En dat is niet 0 dus wertk het ifstatement niet. Dus heb ik eringebouwd dat het programma die marge negeert,... maar dat zou kunnen betekenen dat er een getal binnensluipt dat niet klopt.

Maar goed,.. dit is mijn programmeer code

<i>CLS
DIM a AS STRING

OPEN "c:\getal\prog.txt"
FOR INPUT AS #1
INPUT #1, x
CLOSE

OPEN "c:\getal\lijst.txt" FOR APPEND AS #1

DO
x = x + 1
LOCATE 1, 1: PRINT x
kwadraat = SQR(x - 1)
IF kwadraat - INT(kwadraat) = 0 OR kwadraat - INT(kwadraat) < 10 ^ -4 THEN
derdemacht = (x + 1) ^ (1 / 3)
IF derdemacht - INT(derdemacht) = 0 OR derdemacht - INT(derdemacht) < 10 ^ -4 THEN
WRITE #1, x
LOCATE 3, 1: PRINT x
END IF
END IF
a = INKEY$
IF a = "e" THEN
CLOSE
OPEN "c:\matthias\prog.txt" FOR OUTPUT AS #1
WRITE #1, x
CLOSE
END
END IF
LOOP</i>

Je moet met het indrukken van e stoppen zodat de waardes worden opgeslagen.
In prog.txt wordt de vordering (progress) opgeslagen
in getal.txt alle getallen die gevonden worden
Maak in de directory eerst deze twee text bestanden aan!!
en plaats in prog.txt het getal 0 (anders kan ie niet beginnen)

geen zin hierin om't zelf te doen
http://www.despotes.myweb.nl/getal/getal.zip
Quick Basic:

edit:

http://www.despotes.myweb.nl/********
stond link,.. maar werd beschuldigd van warrez,.. wil daar niet schuldig aan zijn dus,.. hij's weg

[Janoz]

Op zaterdag 19 januari 2002 17:54 schreef NagA het volgende:
Ben ook even bezig geweest met programmeren. Ik in Quick Basic. Onder DOS dus loopt een stuk sneller.

Dan mathematica??

hmm .. Ik denk dat Mathematica hier toch wel iets sneller in is.. (Mathematica kan ook gewoon in een console draaien;) )

En dan laat ik ff de afrondingsfouten buiten beschouwing (Hier is math veel beter in dan een willekeurige programeertaal)

[TrailBlazer]

ik zal eens ff kijken in Matlab is wel een handig progje voor zoiest denk ik. Ik ben er al wel een tijdje uit. Wel zonde want ik ben er in afgestudeerd

[toraq]

Zo, nu weet echt zeker dat er niet nog een getal bestaat die aan die condities voldoet.

Laten we de vraag eerst maar eens wiskundig herschrijven
We zoeken dus een tweetal gehele getallen (x,y) die voldoen aan de volgende vergelijking :
x³ = y² + 2

Wat ook valt te schrijven als :
x³ = (y + i sqrt(2))(y - i sqrt(2))

y + i sqrt(2) en y - i sqrt(2) hebben geen gemeenschappelijke factoren dus moeten beiden een derdemacht zijn.

Oftewel :
y + sqrt(2) = ( A + i B sqrt(2))³ = (A³ - 6 AB²) + i sqrt(2) (3A²B 2B³)

Uiteraard moet de coëfficiënt van i sqrt(2) nul zijn, want we zoeken geen complexe getallen. Dus :

y = (A³ - 6 AB²)

Wat hier opvalt is :

(A³ - 6 AB²) = B(3A² - B²)

Oftewel, B = 1 en (3A² - B²) = 1, oftewel A = 1 v A = -1.

Uit B = 1 en (A = 1 v A = -1) volgt (y = -5 v y = 5) en x = 3.

Hieruit volgt dat alleen 26 voldoet aan de gestelde eisen dus sluit je programmaatjes maar weer af

[Verwijderd]

Op zaterdag 19 januari 2002 17:54 schreef NagA het volgende:
http://www.despotes.myweb.nl/getal/qbasic.zip

WAREZ-POST!!

maarehm, best vaag dat 26 enigste getal is (als het zo is)

[FCA]

Op zaterdag 19 januari 2002 18:05 schreef toraq het volgende:
Zo, nu weet echt zeker dat er niet nog een getal bestaat die aan die condities voldoet.

Laten we de vraag eerst maar eens wiskundig herschrijven
We zoeken dus een tweetal gehele getallen (x,y) die voldoen aan de volgende vergelijking :
x³ = y² + 2

Wat ook valt te schrijven als :
x³ = (y + i sqrt(2))(y - i sqrt(2))

y + i sqrt(2) en y - i sqrt(2) hebben geen gemeenschappelijke factoren dus moeten beiden een derdemacht zijn.

Dit zijn complexe getallen. Daar ga je toch geen priemfactoren van trekken? Zelfs al zou je een soort van complex gehele getallen definiëren, dan zouden y +/- i sqrt(2) er nog niet onder vallen vrees ik...

Oftewel :
y + sqrt(2) = ( A + i B sqrt(2))³ = (A³ - 6 AB²) + i sqrt(2) (3A²B 2B³)
Uiteraard moet de coëfficiënt van i sqrt(2) nul zijn, want we zoeken geen complexe getallen. Dus :

y = (A³ - 6 AB²)

(A³ - 6 AB²) = B(3A² - B²)

huh?

Oftewel, B = 1 en (3A² - B²) = 1, oftewel A = 1 v A = -1.

Waarom zou B 1 moeten zijn?

Uit B = 1 en (A = 1 v A = -1) volgt (y = -5 v y = 5) en x = 3.

Hieruit volgt dat alleen 26 voldoet aan de gestelde eisen dus sluit je programmaatjes maar weer af

[Diadem]

Op zaterdag 19 januari 2002 18:05 schreef toraq een bewijs:

Ehmm......

Vreemd bewijs, volgens mij maak doe je daar een paar rare dingen. Weet je zeker dat je niet een paar fouten met ctrl-c gemaakt hebt ofzo?

Ik snap je redenatie dat
y + i sqrt(2) = ( A + i B sqrt(2))³ = (A³ - 6 AB²) + i sqrt(2) (3A²B 2B³)

(Ik neem aan dat die i helemaal in het begin daar moet staan, die lijk je vergeten te zijn)

Dus dan is inderdaad y = (A³ - 6 AB²)

Maar dan? Dan zeg je: (A³ - 6 AB²) = B(3A² - B²)

Dat lijkt me onzin. Ik denk dat je bedoeld B(3A² - B²) = 0, toch? Omdat je zegt dat het een geheel getal moet zijn?

Dan kom ik op B=0 v 3A^2 = B^2 -> A = +- B/sqrt(3)

Hoe je hier dan je bewijs uit af wilt maken is mij een raadsel

[wicher|IA]

Op zaterdag 19 januari 2002 18:06 schreef tjetta het volgende:

[..]

WAREZ-POST!!

maarehm, best vaag dat 26 enigste getal is (als het zo is)

lijkt mij zo op het eerste gezicht om zaterdagnacht kwart voor twee het laatste dat ik doe voor ik naar bed ga aangezien ik deze week dus eens niet uitging helemaal niet zo vreemd

om hogere getallen uit een kwadraat of derde macht te laten komen zijn ook hogere inputgetallen nodig
daardoor zullen de kwadraten en derde machten ook steeds verder uit elkaar komen gemiddeld, waardoor de geringe afstand van 2 misschien nergens hoger dan 26 nog voorkomt

verder worden de stappen tussen de kwadraten ook steeds groter natuurlijk, de stap tussen 1^2 en 2^2 is nog maar 3, maar naar 3^2 wordt het al 5, dus zo wordt de kans dat het verschil net een klein getal als 2 is natuurlijk steeds kleiner

[toraq]

Op zaterdag 19 januari 2002 18:05 schreef toraq het volgende:
Zo, nu weet echt zeker dat er niet nog een getal bestaat die aan die condities voldoet.

Laten we de vraag eerst maar eens wiskundig herschrijven
We zoeken dus een tweetal gehele getallen (x,y) die voldoen aan de volgende vergelijking :
x³ = y² + 2

Wat ook valt te schrijven als :
x³ = (y + i sqrt(2))(y - i sqrt(2))

y + i sqrt(2) en y - i sqrt(2) hebben geen gemeenschappelijke factoren dus moeten beiden een derdemacht zijn.

Oftewel :
y + i sqrt(2) = ( A + i B sqrt(2))³ = (A³ - 6 AB²) + i sqrt(2) (3A²B - 2B³)

Uiteraard moet de coëfficiënt van i sqrt(2) 1 zijn, want we zoeken geen complexe getallen, dus :

y = (A³ - 6 AB²)

Wat hier opvalt is :

(3A²B - 2B³) = B(3A² - B²) = 1.

Oftewel, B = 1 en (3A² - B²) = 1, oftewel A = 1 v A = -1.

Uit B = 1 en (A = 1 v A = -1) volgt (y = -5 v y = 5) en x = 3.

Hieruit volgt dat alleen 26 voldoet aan de gestelde eisen dus sluit je programmaatjes maar weer af

Ik heb de typos eruitgehaald, nu moet het wel kloppen. Ik had inderdaad iets verkeerd gedaan met Ctrl+C, omdat ik een beetje lui was en geen zin had om weer al die tags te typen

[Verwijderd]

Op zaterdag 19 januari 2002 18:00 schreef Janoz het volgende:

[..]

Dan mathematica??

hmm .. Ik denk dat Mathematica hier toch wel iets sneller in is.. (Mathematica kan ook gewoon in een console draaien;) )

En dan laat ik ff de afrondingsfouten buiten beschouwing (Hier is math veel beter in dan een willekeurige programeertaal)

Heb niet veel verstand van mathematica en consoles,.. maargoed. Ten tweede blijkt basic ook niet handig omdat de variabelen integers zijn,.. welke getallen boven de 32.767 (en onder de -32.767) niet ondersteund. mijn progje vind dus geen getallen boven die 26. Maargoed,.. dan zou ik kunnen overstappen naar visual basic en er een currency van maken die tot 922.337.203.685.477,5807, maar dan zal Die mathematica zeker sneller zijn.

Als iemand met een snelle computer hier een nachtje aan wil spenderen... Maar misschien moet je dan ook even een intelligenter algoritme schrijven, wat je halverwege kunt afbreken enzo. Tijd voor een echte programmeertaal dus.

Mijne is niet snel,.. maar als iemand met een (goed) werkend programma'tje komt wil ik hem best een paar dagen draaien

quote:
--------------------------------------------------------------------------------
Op zaterdag 19 januari 2002 17:54 schreef NagA het volgende:
http://www.despotes.myweb.nl/*******
--------------------------------------------------------------------------------

WAREZ-POST!!
maarehm, best vaag dat 26 enigste getal is (als het zo is)

Ik haal hem al weg

[FCA]

Het zoek algoritme kun je nog veel verbeteren door alleen naar 3de machten te kijken, en dan te kijken of dat getal
-2 een kwadraat is. Scheelt toch een groot gedeelte van de getallen. Ook kun je snel inzien dat je 6de machten niet hoeft mee te tellen, alleen zie ik niet snel hoe je dat snel kunt testen.