"De snelste route"

[Verwijderd]

Ik weet niet of dit wel de bedoeling is van dit forum, maar ik heb jullie hulp nodig.

Ik moet een PO voor wiskunde maken en kom er op bepaalde punten niet uit.

Het gaat om een trimmer die over een stuk strand loopt en de snelste route naar de opgang moet vinden. Over het harde zand langs de kustlijn loopt hij 15km/u over het mulle(zachte) zand loopt hij 10km/u. Neem aan dat het mulle zand 80m breed is, de lengte van het strand mag je zelf invullen.

Het is de bedoeling dat je dit vraagstuk dmv differentiaal rekening oplost.

Ik heb de volgende formule gevonden:

t(s)=(x/4.17)+(sqr((250-x)^2 + 80^2)/2.70)

hierin is t het aantal seconden dat de jogger erover doet om de opgang te bereiken, x het aantal meter hij over het harde zand loopt alvorens over te gaan op het mulle zand. Voor de lengte van het strand heb ik in dit geval 250 meter genomen en de snelheden zijn omgerekent naar m/s.

Door deze formule te plotten en het laagste punt (korste tijd) te bepalen kom je x te weten, maar dat is geen differentiaal rekening.

Weet iemand hoe het met differentiaal rekening moet?
En nog moeilijker, weet iemand hoe het moet als je 3 verschillende lagen zand hebt? (dus bv. 15km/u, 5km/u en 10km/u).

[Verwijderd]

teken het eerst eens, vaak makkelijker en makkelijker te begrijpen..

[Verwijderd]

heb ik gedaan, maar daar gaat het niet om, ik snap op zich wel hoe je het moet bereken, maar niet met differentiaal rekenen en ook niet met 3 lagen (aangezien je als je het op mijn methode doet dan met 2 onbekenden moet gaan rekenen...)

[Verwijderd]

Op maandag 14 januari 2002 17:36 schreef Ibis het volgende:
Door deze formule te plotten en het laagste punt (korste tijd) te bepalen kom je x te weten, maar dat is geen differentiaal rekening.

Vroeger toen er nog geen 2e fase en geen grafische rekenmachines waren . Moest je om het hoogste of laagste punt van de grafiek te vinden de afgeleide nemen en die gelijkstellen aan 0. Dus rekent eerst f'(s) uit(afgeleide berekenen is differtiaal rekening) en dan reken je f'(s) = 0 uit.

[Verwijderd]

dat weet ik, maar ik kan met de beste wil van de wereld geen afgeleide van die formule bepalen...

[Verwijderd]

Op maandag 14 januari 2002 17:36 schreef Ibis het volgende:
t(s)=(x/4.17)+(sqr((250-x)^2 + 80^2)/2.70)

t'(s) = (x/4.17)' +(sqr((250-x)^2 + 80^2)/2.70)' =
1/4.17 + (-1/2)*(1/2.70)*(1/(sqr((250-x)^2 + 80^2))*((250-x)^2 + 80^2)' =
1/4.17 + (-1/(2*2.70*sqr((250-x)^2 + 80^2)))*2*(250-x)*(250-x)' =
1/4.17 + (-1/(2*2.70*sqr((250-x)^2 + 80^2)))*2*(250-x)*-1) =
1/4.17 + (500-2x)/(2*2.70*sqr((250-x)^2 + 80^2))
dit was differentieren dmv de kettingregel. ik weet niet zeker of ik het goed heb maar het is ook al weer lang geleden

[Verwijderd]

thnx!

Maar ik zie dit nog niet zo snel uitgerekend worden...
Dus toch plotten, de waarde voor x bij y=0 bepalen en vervolgens die x in de eerste formule invullen...

Kun je me een korte beschrijving van de ketting reactie geven of een site waar hij op uitgelegd wordt?

En weet je misschien ook hoe dit werkt met drie lagen zand? (mij lukt dat niet omdat ik te maken krijg met 2 verschillende onbekenden (x'en)...

'k vraag misschien teveel, iig bedankt!

[iscara]

wet van snellius werkt hier ook wel maar dat is geen diff.rekening.

De langrangiaan kan altijd nog maar dat heb je nog niet gehad.

edit:

ander naar www.physicsforum.com gaan (is wel engels)
daar zitten mensen met veel verstand hiervan

[Diadem]

Om te beginnen gaan we de formule eventjes wat makkelijker maken. We stellen de snelheid gelijk aan 3 over het harde zand en 2 over het zachte zand. Rekent makkelijker.

Verder is de lengte van het strand L. breedte B.

en owja, het moet niet t(s) zijn maar t(x), het is immers een functie van x.

t(x) = x/3 + sqrt((L-x)^2 + B^2)/2)

t'(x) = 1/3 + 1/4 * 1/sqrt((L-x)^2 + B^2) * 2(L-x) * - 1
= 1/3 - 1/4 * 2(L-x)/sqrt((L-x)^2 + B^2)

t'(x) = 0
0 = 1/3 - 1/4 * 2(L-x)/sqrt((L-x)^2 + B^2)
1/3 = 1/4 * 2(L-x)/sqrt((L-x)^2 + B^2)
4/3 = 2(L-x)/sqrt((L-x)^2 + B^2)
8/3 = (L-x)/sqrt((L-x)^2 + B^2)
8/3 = Sqrt((L-x)^2/((L-x)^2 + B^2))
64/9 = (L-x)^2/((L-x)^2 + B^2)
64/ * ((L-x)^2 + B^2) = (L-x)^2
64/9 * (1 - B^2/(L-x)^2) = 1
1 - B^2/(L-x)^2 = 9/64
B^2/(L-x)^2 = 55/64
B/(L-x) = sqrt(55) / 8
8*B = sqrt(55) * (L-x)
L - x = 8/sqrt(55) * B
x = L - 8/sqrt(55) * B

L = 250, B = 80

--> x = 250 - sqrt(409600/55)
is ongeveer 164 m

[Confusion]

Dit is trouwens de redenatie die in de optica leidt naar de wet van Snellius, aannemende dat licht de snelste weg door een medium zoekt. Erg instructief om zo'n opgave eens zelf te maken.

[Chello200]

[Verwijderd]

thanx,

ik moet het vervolgens idd ook met de wet van Snellius berekenen, al snap ik nog niet helemaal hoe dit werkt...

Maar hoe komt het eigenlijk dat licht de snelste weg door een medium neemt? Licht "weet" de snelste weg toch niet? "Probeert" het alle mogelijke wegen om vervolgens de snelste te nemen? (vandaar de vertraging?)

En hoet zit het eigenlijk bij 3 lagen, stel je hebt een eerste laag van 3, een tweede van 2 en een derde van 2.5, elk met andere breedtes, dan krijg je dus:

t(x) = x/3 + sqrt((L-x)^2 + B^2)/2) sqrt((L2-x-x2)^2 + B^2)/2.5)

dan heb je dus te maken met 2 onbekenden (ook x2)
de eerste x is nl. na hoeveel meter je naar de 2e laag gaat, x2 is na hoveel meter je naar de derde laag gaat...

[Confusion]

Ibis schreef:
Maar hoe komt het eigenlijk dat licht de snelste weg door een medium neemt? Licht "weet" de snelste weg toch niet? "Probeert" het alle mogelijke wegen om vervolgens de snelste te nemen? (vandaar de vertraging?)

In een zekere zin 'probeert' het inderdaad alle wegen
Althans, zoals Richard Feynman het uitlegt in zijn boekje 'QED' (staat voor Quantum Elektro Dynamica). Bedoelt voor voor niet-fysici.

Dat is echter niet een fysische proces dat tijd kost: haast als in een quantum computer worden alle mogelijke wegen gelijktijdige geprobeerd en wordt de kortste gekozen.

Hoe de vertraging ontstaat vind ik moeilijk om uit te leggen.

[Verwijderd]

Sorry zie onder

[Verwijderd]

Op maandag 14 januari 2002 20:45 schreef Diadem het volgende:
Om te beginnen gaan we de formule eventjes wat makkelijker maken. We stellen de snelheid gelijk aan 3 over het harde zand en 2 over het zachte zand. Rekent makkelijker.

Verder is de lengte van het strand L. breedte B.

en owja, het moet niet t(s) zijn maar t(x), het is immers een functie van x.

t(x) = x/3 + sqrt((L-x)^2 + B^2)/2)

De laatste /2 in bovenstaande regel moet misschien wel buiten de haakjes staan. Dus: t(x) = x/3 + sqrt((L-x)^2 + B^2))/2.

Als je dan dezelfde berekening volgt kom je toto de conclusie dat de jogger ongeveer 72 m (sqrt 5120) voor de duinovergang het zachte zand moet kiezen. Hij heeft dan dus 250 - 72 is ongeveer 178 m over het harde zand gelopen.

Dit is in overeenstemming met de methode mbv Snellius. De brekingsindex is daar 1,5. De sinus van de brekingshoek is dan 1/1,5. Dat is ongeveer 42°. En 80 m maal tan 42° is 72 meter.

[Verwijderd]

hmm, kan iemand mij de kettingregel en de wet van Snellius wat beter uitleggen (als het niet teveel werk is tenminste)? We hebben deze nl. nog niet gehad en moeten het zelf uitzoeken

Hoe het met 2 lagen mul zand zit weet ik inmiddels

[Lord Daemon]

De kettingregel is vrij simpel en heel belangrijk.

Ik geef met f(x) en g(x) functies van x aan, met df/dq de afgeleide van de functie f naar de variabele q, en met f'(x) de eerste afgeleide van f(x) naar x.

Dan geldt:

f'(g(x)) = g'(x) * df(g(x)/dg(x)

Een voorbeeldje. f(x) = (x² + 1)²

We nemen g(x) = x² + 1, en dan hebben we natuurlijk f(g(x)) = g(x)².

Nu geldt: f'(g(x)) = g'(x) * df(g(x)/dg(x)

g'(x) = 2x
df(g(x)/dg(x) = 2 * g(x)

Dus f'(g(x)) = 2x * 2 * g(x) = 4x * g(x) = 4x(x² + 1)

Als je de formule van f(x) eerste uitschrijft en dan differentieert kom je op hetzelfde antwoord uit.

Is het een beetje duidelijk of niet?

[Devil]

Kettingregel volgens wisforta:
f(g(x)) -> f'(g(x)).g'(x)
Ziet er ingewikkeld uit maar is in de praktijk heel simpel.
Neem de volgende functie:
h(x) = 6(x^2 + 1)^3
Je kan deze functie eerst helemaal uitschrijven door de haakjes weg te werken en het geheel dan te differentieren, maar als de functie bv tot de macht 10 is dan is dat veels te veel werk.
Maar het kan gelukkig makkelijker.
De functie h(x) bestaat eigenlijk uit 2 functies, namelijk

code:

g(x) = x^2 + 1 en
f(x) = 6(x)^3

Oftewel: h(x) = f(g(x)) betekend 'vervang alle x en in de functie f(x) door de functie g(x).
Deze functie differtieer je dan door simpelweg de afgeleide te nemen van f(x) en daarna op de plek van x de functie g(x) in te vullen. Vervolgens moet dat geheel nog maal de afgeleide van g(x).
Zo dus:

code:

f'(x) = 3.6(x)^2
g'(x) = 2x

h'(x) = f'(g(x)) . g'(x) (kettingregel)
Dus h'(x) = 18(x^2+1)^2 . 2x
        = 36x(x^2+10)^2
wat je eventueel verder kan uitwerken mocht je iets algebraisch moeten oplossen oid.

De kettingregel moet je dus altijd toepassen bij functies in de vorm van f(g(x)). (Dit geld ook voor functies zonder x kwadraten ed. bv: h(x)= 8(x)^3
alleen daar valt het niet op aangezien '[x] = 1 en je dat maal 1 achter de functie natuurlijk weglaat
h'(x) = 24(x)^2 )
Ik hoop dat het zo duidelijk is.

[Devil]

Aaha, te langzaam getypt, iemand was me voor

[BaatZ]

is dit niet zo'n opgave uit het wiskundeboek "Getal en Ruimte" (deel 2 als ik het goed heb? kan ik me namelijk herinneren...)

ik vraag het wel ff aan me leraar dan post ik hier de resultaten

[Devil]

Zou heel goed kunnen, dit soort opgaves komt vaak voor, vooral geliefd in tentames .
Staat ook in mijn ouwe wiskunde boek (Pascal wiskunde voor de 2e fase NG & NT)

[Lord Daemon]

f(g(x)) -> f'(g(x)).g'(x)

Om verwarring te voorkomen: hun f'(g(x)) betekent niet hetzelfde als mijn f'(g(x)). Die van hen is de afgeleide naar g(x) en die van mij de afgeleide naar x.

[Verwijderd]

Op woensdag 16 januari 2002 22:05 schreef Ibis het volgende:
hmm, kan iemand mij de kettingregel en de wet van Snellius wat beter uitleggen (als het niet teveel werk is tenminste)? We hebben deze nl. nog niet gehad en moeten het zelf uitzoeken

Hoe het met 2 lagen mul zand zit weet ik inmiddels

De wet van Snellius luidt: sin i/sin r = n

De lijn loodrecht op de kust (dus loodrecht op de scheidslijn van hard en zacht zand) door de strandovergang heet de normaal.
De hoek die de jogger eerst maakt met deze normaal is de hoek van inval i en die is 90°.
De hoek die de jogger in het zachte zand maakt met de normaal is de hoek van breking r.
De brekingsindex n is de verhouding tussen de snelheden in het harde en zachte zand dus 15/10 = 1,5.

Als je dat invult in de wet van Snellius krijg je sin 90° /sin r = 1,5.
Daaruit volgt sin r = 1/1,5 = 0,667 en r = 42°.
Dat is dus de hoek die de jogger maakt met de lijn loodrecht op de kust. Je kan nu uitrekenen dat het stuk door het zachte zand gelijk is aan 80/cos 42° = 107 m. Het stuk langs de kust dat hij overslaat (niet door het harde zand loopt) is dan: 80 x tan 42° en dat is 72 m.

[Lord Daemon]

De hoek die de jogger eerst maakt met deze normaal is de hoek van inval i en die is 90°.

Als de jogger onder 90° invalt bereikt hij nooit het zachte zand, lijkt mij?

[Devil]

Op woensdag 16 januari 2002 22:49 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]



Als de jogger onder 90° invalt bereikt hij nooit het zachte zand, lijkt mij?

Inderdaad, want dan moet er dus deze situatie zijn:

code:

            |
     * ->      |
__________________|___________________kustlijn
~~~~~~~~~~~~~~~~~~|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~zee|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
            |normaal

* = jogger

Dus volgens mij wordt de brekingwet zo verkeerd gebruikt.

[Verwijderd]

Ik denk dat de brekingswet hier goed wordt gebruikt. Stel het je andersom voor de jogger loopt de andere kant uit. Eerst onder een hoek i met de normaal en als hij bij het grensvlak komt evenwijdig aan het grensvlak, dus r = 90°. De brekingsindex is dan 1/1,5. Berekening van de hoek i levert dan toch echt 42° op.
Bij licht weten we dat de gang van lichtstralen omkeerbaar is. Zodat de berekening in omgekeerde richting een goede toepassing van Snellius is. Er valt meestal fysisch wel iets aan te merken op toepassing van natuurkundige wetten (in wiskundige vorm) in extreme (grens)gevallen. En dat is die 90° hier. Maar deze jogger loopt altijd onder een hoek van 89,99999999999999999999999999999999999999° met de normaal, omdat hij volgens bovenstaande meningen anders nooit van het strand kan komen.

Het aardige is natuurlijk dat de wet van Snellius in dit geval wel degelijk het goede resultaat geeft.

[Mennootje]

Diz precies de PO die ik vorig jaar voor wiskunde heb gemaakt (Getal & Ruimte zeker)

Paar tips om een goed cijfer te halen (werkte iig bij mij --> 9,4)

- Begin met simpele formule en los deze op met de GR

- Differienteer deze formule. Hij is wel ingewikkeld maar je moet er wel uitkomen. Schrijf je stappen wel goed op zodat je leraar ut ook kan volgens (desnoods in de kantlijn je handeling toelichten)

- Zorg dat je op iets uitkomt wat geldt als een soort algemene formule. Zodat je direct op het antwoord komt als je v1, v2 enz. invult.

- Betrek Snellius in je verhaal. Bewijs misschien op een natuurkundige manier de Wet van Snellius.

- Werk de Wet van Snellius om tot iets waar je bij het differentieren en omwerken ook al op bent uitgekomen. Zo heb je het verband ook weer gelegd.

Differientaalrekening heb ik ook niet gebruikt. Vraag anders aan je leraar wat men ermee bedoelt.

Veel succes

[Verwijderd]

thnx allemaal, zo kom ik er wel uit.

Het gaat idd om getal en ruimte, vwo NG/NT 4 om precies te zijn.

kettingregel snap ik nog niet helemaal maar daar zal ik wel uitkomen als ik het nog wat beter bekijk en zelf ga proberen toe te passen.

[Verwijderd]

ehm, ik zit nog met een aardig groot probleem:

ik snap niet hoe je dit afleidt: sqrt((L-x)^2 + B^2)/2) wordt 1/4 * 1/sqrt((L-x)^2 + B^2) * 2(L-x) * - 1
??

Kan iemand mij dit in stapjes uitleggen? Ik moet het nl. gaan delen door 2.7 en andere snelheden en als ik niet precies zie wat er met die 2 gebeurd is kan dat dus niet...

En dit:

4/3 = 2(L-x)/sqrt((L-x)^2 + B^2)
8/3 = (L-x)/sqrt((L-x)^2 + B^2)

Is een rekenfout, neem ik aan? (moet dus 2/3 zijn, beide delen door 2)

edit: ik weet niet of de basisformule voor dit probleem: [t(x) = x/s1 + (sqr(L-x)^2 + B^2)/s2] te differentieren is, dat zou nl. een stuk handiger zijn dan elke situatie te differentieren...

[Verwijderd]

Op donderdag 17 januari 2002 11:05 schreef Ibis het volgende:

edit: ik weet niet of de basisformule voor dit probleem: [t(x) = x/s1 + (sqr(L-x)^2 + B^2)/s2] te differentieren is, dat zou nl. een stuk handiger zijn dan elke situatie te differentieren...

Mag ik je het volgende advies geven: je kan beter een andere afstand x noemen. Noem de afstand die hij over het harde zand loopt L-x dan is de afstand over het harde zand die hij overslaat x. Je hebt dan dus x en L-x omgewissseld.
Je basisformule wordt zo veel simpeler t = (L-x)/s1 + (sqrt(x^2 + B^2))/s2
Dat is makkelijk te differentieren. t'= -1/s1 + 1/s2((x/sqrt(x^2+B^2)). Dit moet gelijk aan nul zijn.
Als je nu de suggestie van Diadem overneemt en s1 = 3 en s2 = 2 invult en t' gelijk aan nul stelt komt eruit 5x^2 = 4B^2
en voor B = 80 levert dat x = 72 m op.

[Verwijderd]

nee, dat werkt niet, L moet je nl. zelf invullen, het stuk dat hij over het harde zand loopt moet uitgerekend worden, dat mag je niet zelf bepalen. Het zou dan idd makkelijker zijn maar dat is de bedoeling niet!

[Verwijderd]

Op donderdag 17 januari 2002 13:37 schreef Ibis het volgende:
nee, dat werkt niet, L moet je nl. zelf invullen, het stuk dat hij over het harde zand loopt moet uitgerekend worden, dat mag je niet zelf bepalen. Het zou dan idd makkelijker zijn maar dat is de bedoeling niet!

Kom op, dat maakt toch geen enkel verschil. Het enige wat je doet is de naamgeving veranderen. In beide gevallen kan je L-x en x uitrekenen. Je hebt alleen hun namen omgewisseld omdat dat wiskundig simpeler is. Hier is x 72 m dan is het stuk over het harde zand toch automatisch 250-72 = 178 m.

[Verwijderd]

owja, verkeerd gelezen

damn. thnx, maar hoe bereken je dat precies? (differentieren bedoel ik, het gaat nl. ook om uitwerkingen en zulk soort formules en de kettingregel hebben we simpelweg nog niet gehad )

[Verwijderd]

Volgens mij kan je dat het beste gewoon even vragen aan een wiskundeleraar of iemand uit de zesde klas hoe je die formule t = (L-x)/s1 + (sqrt(x^2 + B^2))/s2
differentieert. Dat is schriftelijk nogal lastig te doen. Dat uitleggen dan.

[Verwijderd]

ehm, het klopt volgens mij niet helemaal, de L is nl. niet terug te vinden in de afgeleide en dat is niet helemaal de bedoeling...

[Verwijderd]

Dat klopt. Het punt waarop de jogger moet afbuigen naar de duinovergang hangt namelijk niet af van de lengte L. Of je nu op 250 of 350 m begint maakt niets uit. Het punt waarop je moet afbuigen hang alleen af van de twee snelheden en van B.

[Verwijderd]

hmm, het lijkt me dat als je voor L 2meter neemt de x veel kleiner is dan als je voor L200 meter neemt...

Of moet het zo zijn dat L>B?

[Verwijderd]

L>x

[Verwijderd]

ok, dan ben ik er nu helemaal uit, nu nog voor morgen 3/4 van het werkstuk maken

Iig heel erg bedankt!

[Verwijderd]

hmm, zou nog iemand ff de berekening neer kunnen zetten hoe je van "t(x) = (L-x)/s1 + (sqrt(x^2 + B^2))/s2",
"t(x) = -1/s1 + 1/s2 * (x/(sqrt(x^2+B^2)))"
maakt? Ik heb nl. wel een uitwerking nodig, die afgeleide heb ik nu gewoon toegepast maar ik snap dus niet hoe je eraan komt (en ik hoef het nu ook niet te snappen, als ik voor nu maar een uitwerking heb).

[Virgol]

Dus het gaat om de afgelijden van :

code:

t = (L-x)/s1 + (sqrt(x^2 + B^2))/s2

Eerst de somregel ( (f + g)' = f' + g' )

De afgelijden van
(L-x)/s1=l/s1-x/s1
is -1/s1

Dan de afgelijden van
sqrt(x^2+b^2)/s2 = 1/s2*(x^2+b^2)^0.5
product regel toepassen (f*g)' = f'*g + g'*f

afgelijden van 1/s2 is 0
De afgelijden van (x^2+b^2)^0.5
ketting regel toepassen (f(g))' = f'(g)*g'
is 0.5*(x^2+b^2)^-0.5 * 2 * x

Dan weer alles aan elkaar plakken.

t'(x) = -1/s1 + 0*(sqrt(x^2 + B^2)) + 1/s2*(x^2+b^2)^-0.5*2*x*0.5
t'(x) = -1/s1 + x/(s2*Sqrt(x^2+b^2))