Wiskunde: Nog een moeilijk raadsel

[Anoniem: 12866]

Hier worstel ik al tijden mee:

Iemand kiest 2 getallen tussen de 3 en de 50. Aan één persoon fluistert hij de som van de 2 getallen en aan een ander persoon het produkt. De twee mensen weten niet van elkaar wat ze gehoord hebben.

Vervolgens vraagt hij hardop (kunnen ze dus beiden horen) aan degene die de som gehoord heeft of hij weet wat de twee getallen waren. Die persoon antwoordt (natuurlijk) nee. Dan vraagt hij aan degene die het produkt heeft toegefluisterd gekregen of hij weet wat de twee getallen zijn. Deze persoon zegt (al iets minder natuurlijk) ook nee.

Maar dan zegt degene die de som te horen heeft gekregen: "Maar dan weet ik het wel!". En dan zegt degene die het produkt weet: "Maar dan weet ik het ook!"

Welke getallen hebben ze ingefluisterd gekregen?

[Lord Daemon]

Je hebt getallen A en B, hun produkt P en hun som S.

Er moet gelden:
2 < A < 51
2 < B < 51
P kan op ten minste 2 manieren als een product van getallen tussen de 3 en de 50 geschreven worden.

Nu moeten we even een lijst maken van alle P's waarvoor dit geldt. Dat zal ik zo eens even gaan doen.

[Confusion]

Ieder produkt is slechts in een beperkt aantal getallenparen te splitsen. [Hetzelfde geldt voor vrijwel iedere som.]
Wanneer degene met het produkt het niet weet, weet je dat het in meer dan 1 getallenpaar te splitsen is. Hiermee sluit je al een heleboel produkten uit, zoals alle priemgetallen.

Het produkt ligt tussen 1 en 2500, de som tussen 2 en 100.

Een som A + B kan ook samengesteld worden uit A-1 + B+1,
A-2 + B+2, ..., 1 + B+A-1. 2, 3, 99 en 100 zijn uitgesloten.
Dat degene met de som het niet weet voegt geen informatie toe.

[Anoniem: 26306]

Het zijn in ieder geval niet 2 priemgetallen. Dan zou die persoon die het produkt weet het gelijk weten. Bovendien kan het produkt geen priemgetal zijn. En mag ik er van uitgaan dat A != B ?

Alle produkten die maar op 1 manier gemaakt kunnen worden vallen af, en alle priemgetallen * 2 ook, en de priemkwadraten. Met simpele redenaties kun je dit snel bepalen.

P is dus niet 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 49, 51

blijft over: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50.

Dat is al 2/3 weg even denken hoe we verder gaan...

[Lord Daemon]

6 * 6 = 4 * 9

6 + 6 = 12
12 kan je krijgen door:
3 + 9 ; 3 * 9 = 27, dat kan niet anders ontbonden worden
4 + 8 ; 4 * 8 = 32, dat kan niet anders ontbonden worden
5 + 7 ; 5 * 7 = 35, dat kan niet anders ontbonden worden
6 + 6 ; 6 * 6 = 36, dat kan wel anders ontbonden worden.

Nu door naar 36. Dat kan je alleen nog ontbinden in 4 en 9. 4 + 9 = 13. 13 kan je krijgen door:
3 + 10 ; 3 * 10 = 30, dat kan niet anders ontbonden worden
4 + 9 ; 4 * 9 = 36, dat kan wel anders ontbonden worden
5 + 8 ; 5 * 8 = 40, dat kan wel anders ontbonden worden, namelijk tot 4 * 10

Een oplossing is dus:

De man kiest 6 en 6. De som is 12, het produkt is 36. Uit de som kunnen de getallen niet worden afgeleid, uit het produkt ook niet - maar uit de som en het feit dat het produkt geen afleiding toelaat kan je de getallen wel afleiden. En uit het produkt, en het feit dat je uit de som en het feit dat het produkt geen afleiding toe laat je de getallen kunt afleiden, kan je afleiden wat de getallen zijn. (Lees die zin nog maar eens over als hij te vaag werd )

Ik heb dus bewezen dat 6 en 6 een oplossing is. Niet dat het de enige oplossing is, en dat ben ik ook niet van plan. Daarvoor mag je een computerprogramme schrijven.

-------------------------

Alle produkten die maar op 1 manier gemaakt kunnen worden vallen af, en alle priemgetallen * 2 ook, en de priemkwadraten. Met simpele redenaties kun je dit snel bepalen.

Dit is niet waar. 6 = 3 * 2, maar het valt niet af. Immers, 6 * 6 kan je opnieuw groeperen tot 4 * 9, precies zoals ik hierboven deed.

[Confusion]

Cheatah schreef:
Het zijn in ieder geval niet 2 priemgetallen.
[..]
Alle produkten die maar op 1 manier gemaakt kunnen worden vallen af, en alle priemgetallen * 2 ook,

2 is ook een priemgetal, dus dat zei je al

[Confusion]

Lord Daemon schreef:
[..]

Dit is niet waar. 6 = 3 * 2, maar het valt niet af. Immers, 6 * 6 kan je opnieuw groeperen tot 4 * 9, precies zoals ik hierboven deed.

Hij bedoelt het produkt 6 valt af.

[Anoniem: 12866]

OK!

Klinkt goed die oplossing.

Heb het raadsel een tijdje geleden gehoord dus weet niet helemaal zeker meer of de getallen misschien wel niet hetzelfde mogen zijn.

Dus op dezelfde manier als jij redeneerde ga ik even op zoek naar een tweede combinatie.

Ik zat trouwens in eenzelfde richting te denken alleen de constatering dat er maar 2 mogelijkheden mogen zijn om het produkt te ontbinden in factoren had ik nog niet gemaakt.

[Anoniem: 26306]

Op maandag 07 januari 2002 21:07 schreef Cheatah het volgende:

P is dus niet 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 49, 51

blijft over: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50.

Dat is al 2/3 weg even denken hoe we verder gaan...

Er moeten minimaal 4 delers anders dan een 2 zijn, en minimaal 4 verschillende delers (sowieso).
Valt af: 8, 12, 16, 18, 20, 27, 28, 32, 36, 42, 44, 45, 50.

(Grijp in als ik ergens niet aan denk)

Blijft over: 24, 30, 48

[Lord Daemon]

Hij bedoelt het produkt 6 valt af.

Dan had zijn rijtje niet tot 50 maar tot 50^2 moeten gaan, dus ik denk niet dat hij dat bedoelde.

Ik zat trouwens in eenzelfde richting te denken alleen de constatering dat er maar 2 mogelijkheden mogen zijn om het produkt te ontbinden in factoren had ik nog niet gemaakt.

Het algoritme om te checken of voor twee getallen A en B geldt dat ze voldoen aan de eisen is als volgt:

P = A * B
S = A + B

1)
Ga alle mogelijkheden na om S als som van twee getallen te schrijven.
Check bij iedere mogelijkheid op hoeveel manieren je het produkt van die twee getallen kan ontbinden.
Er moet precies een geval zijn waarvoor geldt dat je dat produkt op meer dan 1 manier kan ontbinden.
Nu klopt de som tot en met dat de 'som-gast' zegt dat hij het weet.

2)
Het produkt dat je nu gevonden hebt is P.
Ga alle mogelijkheden na om P te ontbinden.
Voor iedere mogelijkheid die niet de ware is moet gelden dat stap 1) niet precies 1 manier geeft. (0 of 2 of meer manieren mag dus wel.)

Als aan de condities bij 1) en 2) voldaan is, voldoen A en B aan het raadsel.

[Lord Daemon]

Op maandag 07 januari 2002 21:17 schreef Cheatah het volgende:

[..]

Er moeten minimaal 4 delers anders dan een 2 zijn, en minimaal 4 verschillende delers (sowieso).
Valt af: 8, 12, 16, 18, 20, 27, 28, 32, 36, 42, 44, 45, 50.

(Grijp in als ik ergens niet aan denk)

Ik heb al een oplossing geveven die niet aan jouw lijstje voldoet!

Je restricties zijn veel te sterk. 3 * 15 is een perfecte mogelijkheid. Immers: 3 * 15 = 9 * 5. Twee verschillende mogelijkheden dus. Ik weet niet precies hoe je op al die restricties komt maar kloppen doet het niet.

[Confusion]

Lord Daemon schreef:
Dan had zijn rijtje niet tot 50 maar tot 50^2 moeten gaan, dus ik denk niet dat hij dat bedoelde.

Da's waar... misschien begreep ik hem beter dan hijzelf

[Anoniem: 26306]

45 heb ik inderdaad onterecht laten vallen.

Wel ging ik ervanuit dat het twee verschillende getallen waren. Of dat terecht zou zijn, zou automatisch blijken.

[Anoniem: 37240]

4 en 6 dat is ook een mogelijkheid. Waarschijnlijk zijn er nog wel meer mogelijkheden ,maar om nu uit zoeken hoeveel er bestaan gaat me net iets te ver.

[Lord Daemon]

4 en 6 dat is ook een mogelijkheid.

4 * 6 = 3 * 8 kan alvast, maar heb je ook alle andere criteria onderzocht?

[Larry4]

Op maandag 07 januari 2002 20:43 schreef SandervG het volgende:
Hier worstel ik al tijden mee:

Iemand kiest 2 getallen tussen de 3 en de 50. Aan één persoon fluistert hij de som van de 2 getallen en aan een ander persoon het produkt. De twee mensen weten niet van elkaar wat ze gehoord hebben.

3 <= A <= 50
3 <= B <= 50

C=A+B
D=A*B

Vervolgens vraagt hij hardop (kunnen ze dus beiden horen) aan degene die de som gehoord heeft of hij weet wat de twee getallen waren. Die persoon antwoordt (natuurlijk) nee. Dan vraagt hij aan degene die het produkt heeft toegefluisterd gekregen of hij weet wat de twee getallen zijn. Deze persoon zegt (al iets minder natuurlijk) ook nee.

Maar dan zegt degene die de som te horen heeft gekregen: "Maar dan weet ik het wel!". En dan zegt degene die het produkt weet: "Maar dan weet ik het ook!"

Welke getallen hebben ze ingefluisterd gekregen?

Er moet dus maar 1 getal zijn die uit die C en D gehaald kan worden

D=A*B
in D moet dus in iedergeval 2 dezelfde priem getalle zitten + 1 andere priem getal
omdat als er maar 2 priem getalle waren dan weet je de som als je het product weet.
en niet meer dan 1 andere anders zijn er meerdere combinaties mogelijk... hmm is dit zo? zou ook meer kunne zijn

[joepP]

Het is nogal van belang of die 2 getallen verschillend moeten zijn.. More info dus!