inhoud van een donut

[Verwijderd]

Hi,
Van de meeste ruimtelijke objecten, kan je met een formule de inhoud uitrekenen zoals van een cilinder grondvlak*hoogte (A*h)

Maar hoe zit het nou met een donut? (in een x,y,z met een willekeurig r en middlepunt)

grt,

[Klippy]

Grondvlak x hoogte buitenste cirkel - Grondvlak x hoogte binnenste cirkel ?


U slaap al zeker?

[Verwijderd]

nee ik slaap nog niet

dus je wat je zegt is:

Vdonut=(pi(r1+rm)^2)*2r)-(pi(r1-rm)^2)*2r) is de inhoud van een donut?

r1=straal van donut
rm=straal van middlepunt tot "het hart"
2r= hoogte van donut?

Volgens mij klopt dat niet, je kan de hoogte niet zomaar bepalen van een donut.....

[Klippy]

Op zaterdag 05 januari 2002 03:05 schreef tekno_heathen het volgende:
nee ik slaap nog niet

dus je wat je zegt is:

Vdonut=(pi(r1+rm)^2)*2r)-(pi(r1-rm)^2)*2r) is de inhoud van een donut?

r1=straal van donut
rm=straal van middlepunt tot "het hart"
2r= hoogte van donut?

Volgens mij klopt dat niet, je kan de hoogte niet zomaar bepalen van een donut.....

Hmmm tsjah

Idd een donut is niet echt vlak, daar had ik ff niet aan gedacht

[Diadem]

Pff, een donut. Eens kijken, je zult met integralen moeten werken.

Laat R de straal zijn van de donut (dus van het centrum naar het midden van de 'band' die de donut vormt), en r is de straal van de 'band'.

Eens kijken, integreren over de z-as lijkt me het handigst. Die loopt dan van +r naar -r. Bij een bepaalde doorsnede op hoogte z is het oppervlak van die doorsnede een schijf. Deze schijf heeft een oppervlak van ((R+u)² - (R-u)²) * Pi. Wat u is vind je met pythagoras: u² = r² - z² -> u = Sqrt(r² - z²).

De gevraagde inhoud is dus:

Integrate[((R+Sqrt(r² - z²))² - (R-Sqrt(r² - z²))²) * Pi,z].

Veel plezier :-)

Om het maar gelijk helemaal in mathematica-code te doen: Integrate[((R + Sqrt[r^2 - z^2])^2 - (R - Sqrt[r^2 - z^2])^2)*Pi, z]

Antwoord: 2 * Pi * R * (z * Sqrt(r^2 - z^2) + r^2 * Arctan(z/Sqrt(r^2 - z^2)))

Ga me alsjeblieft niet vragen of het goed is, ik heb geen flauw idee

[Verwijderd]

Urm....

Is de inhoud van de donut niet gewoon, de oppervlakte van een schijf van die donut (pi*r2) en dat keer de "gemiddelde omtrek" van de donut (omtrek buitenste ring+omtrek binnenste ring)/2

Alleen met die binnenkant zit je dan nog....hmmm

[Diadem]

Argh, wacht, dit is natuurlijk niet goed. Vergeten bij mathematica de integratiegrenzen op te geven. Vond het ook al zo raar staan, dat antwoord.

Integrate[((R + Sqrt[r^2 - z^2])^2 - (R - Sqrt[r^2 - z^2])^2)*Pi, {z,+r,-r}] wordt het dus natuurlijk

Antwoord ziet er al iets gezonder uit nu. Als ik er vanuitga dat r positief (lijkt me gezond) krijg ik als antwoord:

2 * Pi² * r² * R

Ziet er goed uit. Lineair afhankelijk van R en kwadratisch van r klinkt logisch.

[Diadem]

Overigens kan ik die integraal ook wel uit m'n hoofd nu ik er nog wat langer naar kijk.

Schop Pi buiten de integraal, dan hou je een integraal over over een term die lijkt op (R+x)^2 - (R-x)^2 = (R^2 + 2Rx + x^2) - (R^2 - 2Rx + x^2) = 4Rx. Dus kunnen we 4R ook buiten de integraal schoppen

4 * Pi * R * Integrate[Sqrt(r^2-z^2),{z,+r,-r}]

Bwah, dat is zelfs een standaardintegraal. Eerst substitueren z = rt, dan krijg je 4 * Pi * R * Integrate[Sqrt(r^2(1-t^2)) * r, {t,+1,-1}] = 4*Pi*r^2*R * Integrate[Sqrt(1-t^2),{t,+1,-1}]. Dan nemen we t = Cos(x). Dan wordt het -4*Pi*r^2*R * Integrate[Sin(x)^2,{x,0,-Pi}].

Heb geen zin meer om het verder uit te werken, maar je weet dat Cos(2x) = 1 - 2sin(x)^2 -> sin(x)^2 = -1/2*Cos(2x) + 1/2. Deze laatste integraal is triviaal en gelijk aan -1/2*Pi. Dus eindantwoord is 2*Pi^2*r^2*R. En das precies wat mathematica ook zegt

[E-Rick]

Voor de liefhebbers nog wat meer info: http://www.nas.com/~kunkel/torus/torus.htm

[Verwijderd]

bedankt voor jullie reply's

dif en intergr berekeningen...uhm is een heel tijd terug...ik ga me weer een beetje in verdiepen, kijken ik eruitkomt

thx Diadem

[pirke]

ROTFLMAO!!!

ik dacht toen ik de titel las: het gaat hier over een filosofische gedachte over de vulling van zo'n ding hehehehe

[Confusion]

Volgens mijn wiskundeboek is de inhoud van een torus:
2*Pi^2*a^3*b^2 + 3/2*Pi^2*a*b^4, waarin a afstand van het midden van de torus tot het middelpunt is en b de straal van de torus.

(Almering, blz. 462)

De vergelijking van een torus is:
(sqrt(x^2 + y^2) - a)^2 + z^2 = b^2

De transformatie die je gebruikt is:
x = (a + rho*cos(theta))*cos(phi)
y = (a + rho*cos(theta))*sin(phi)
z = rho*cos(theta),

waarin rho de variabele voor de straal van de torus, theta de hoek in de torus en phi de hoek van het midden van de torus is.

De bijbehorende Jacobiaan is rho*(a+rho*cos(theta))

Diadem, jouw integraal loopt maar over 1 variabele, terwijl je ook over twee hoeken moet integreren.
[edit: dezelfde fout die ik trouwens op het tentamen over deze stof maakte :)]

[Grrrrrene]

Diadem gaat uit van een hele donut, die van jou is ook eetbaar: er kan een hap uit zijn

[Diadem]

Op zaterdag 05 januari 2002 04:12 schreef E-Rick het volgende:
Voor de liefhebbers nog wat meer info: http://www.nas.com/~kunkel/torus/torus.htm

Grappig, die Paul Kunkel gebruikt voor het eerste deel van het bewijs precies dezelfde methode als ik, en komt op hetzelfde antwoord uit. Het noemt zelfs de variabelen hetzelfde (op u=a na). Alleen waar ik ga integreren gaat hij het met een cilinder vergelijken. Mijn methode is denk ik formeler, alleen moet je met lastige integralen overweg kunnen.

Op zaterdag 05 januari 2002 11:03 schreef Fused het volgende:
Volgens mijn wiskundeboek is de inhoud van een torus:
2*Pi^2*a^3*b^2 + 3/2*Pi^2*a*b^4, waarin a afstand van het midden van de torus tot het middelpunt is en b de straal van de torus.

(Almering, blz. 462)

Fused: a^3? b^4? Dat kan toch nooit? Als a -> oneindig blijft de inhoud van de torus toch altijd kleiner dan een cilinder met hoogte 2b en straal van grondvlak (a+b). Oftewel a kan maximaal over kwadratisch toenemen. b^4 lijkt me ook zeer onwaarschijnlijk.

Diadem, jouw integraal loopt maar over 1 variabele, terwijl je ook over twee hoeken moet integreren.
[edit: dezelfde fout die ik trouwens op het tentamen over deze stof maakte :)]

Ik integreer over een oppervlak. Ik stel een formule op voor de grote van een doorsnede van de torus bij een bepaalde z, en integreer over deze z. Dat heet 'Cavalieri's principle':

The slice method - Cavalieri's Principle Let S be a solid and for x satisfying a =< x =< b, P(x) be a family of parallel planes such that:
1. S lies between P(a) and P(b);
2. The area of the slice of S cut by Px is A(x)

Then the volume of S is equal to

Integrate[A(x),{x,a,b}]

Nu heb ik helemaal m'n boek erbij moeten pakken dankzij jou, ik hoop dat je beseft wat je hebt aangericht

[Diadem]

Overigens kan het ook helemaal met methodes die je allemaal in het VWO gehad hebt.

Als het goed is heb je gehad op het VWO dat je een omwentelingslichaam kunt berekenen bij een integraal, de inhoud van het lichaam wat je krijgt als je een bepaalde 'grafiek' om de x-as wentelt. Als deze grafiek f(x) is, dan integreer je over Pi*f(x)^2.

Als het goed is weet je ook dat een cirkel om de oorsprong gegeven wordt door x^2 + y^2 = r^2. Als je alleen naar de bovenste helft van de cirkel kijk kun je dit oplossen naar: y = Sqrt(r^2 - x^2). De onderste helft van de cirkel is dan y = -Sqrt(r^2 - x^2).

Nu gaan we kijken naar een cirkel die op R boven de oorsprong ligt. y = R + Sqrt(r^2 - x^2). Nu gaan we hier het omwentelingslichaam van berekenen. De integratiegrenzen zijn natuurlijk -r en r. Dit omwentelingslichaam trekken we af van het omwentelingslichaam wat de onderste cirkelhelft maakt, met vergelijking y = R - Sqrt(r^2 - x^2), zelfde integratiegrenzen. Deze 2 integralen kun je optellen, en dan krijg je, suprise, surprise, precies dezelfde integraal als wat die ik in mijn eerste post gaf (Alleen heet z nu ineens x).

Wat is wiskunde toch mooi. 2 verschillende methode's voor hetzelfde komen altijd op hetzelfde uit

[Confusion]

Ach, inderdaad, ik zwam vreselijk.

Ik zit de resultaten op te schrijven van een voorbeeld waar ze x^2 + y^2 over de torus integreren.

Bewijst maar weer dat ik beter op moet letten.

Overigens, via de transformatie en de Jacobiaan heb je dus nog een oplossingsmethode. Wat is wiskunde toch mooi

Om dan ook maar wat wiskundekennis toe te voegen:
De stelling van Fubini toont aan dat het niet uitmaakt in welke richting je de evenwijdige vlakken kiest. De andere richtingen zijn hier echter een stuk minder praktisch.

[Dennahz]

inhoud van donut = aardappel

[Verwijderd]

De inhoud van een torus (donut) is 2*Pi^2*a^2*b.
Hierin is "a" de straal van een schijfje en "b" is de gemiddelde straal van het geheel.
(b-a) is de binnenstraal van de donut en (b+a) de buitenstraal.

Voor verdere uitleg en bewijs verwijs ik je naar het boek "Calculus" blz. 412.

[Verwijderd]

uhm... ff 1 ding, wie zegt dat die donut helemaal rond is tenminste als ik zo jullie berekeningen met Pi zie denk ik dat jullie aannemen dat de donut geheel rond is?

[Verwijderd]

nou ga jij es lekker berekenen wat je moet doen als er een paar milimeter oneffenheid in zit.
Of zit je meer te doelen op een vierkante donut?

[Cereal]

Op zaterdag 05 januari 2002 19:58 schreef Easy_Rider het volgende:
nou ga jij es lekker berekenen wat je moet doen als er een paar milimeter oneffenheid in zit.
Of zit je meer te doelen op een vierkante donut?

Het gaat meer om de geometrische vorm "donut" en niet om het ding dat je bij de bakker ziet..

[Verwijderd]

er is hiervoor een hele simpele truc:

neem een bak met water, voldoende om de donut onder te dompelen, kijk hoeveel het water stijgt en bereken daarvan de "inhoud"

[Chello200]

Op zaterdag 05 januari 2002 23:03 schreef neographikal het volgende:
er is hiervoor een hele simpele truc:

neem een bak met water, voldoende om de donut onder te dompelen, kijk hoeveel het water stijgt en bereken daarvan de "inhoud"

Dat klopt ook niet precies. Een donut hoeft niet perse water op te nemen ivm met z'n vetlaag. Dus hij blijft drijven.

[blobber]

Neeeeh, het klopt niet wat hier stond, ga effe een donut eten

[Verwijderd]

Op zaterdag 05 januari 2002 02:30 schreef tekno_heathen het volgende:
Hi,
Van de meeste ruimtelijke objecten, kan je met een formule de inhoud uitrekenen zoals van een cilinder grondvlak*hoogte (A*h)

Maar hoe zit het nou met een donut? (in een x,y,z met een willekeurig r en middlepunt)

grt,

Kun je niet wat doen met het gewicht van de doughnut?

(kweenie hoor, ben ook nog maar net wakker)

[Unicron]

Dit kun je eenvoudig berekenen met een driedubbele integraal die ik je zal besparen. Maar als ik het goed onthouden heb is het antwoord Pi*r^2*2*pi*s
met r is de straal van een plakje van de donut
en s is de straal van de donut en dan gerekend tot het midden van de ring.

[blobber]

Hoeft niet driedubbel te zijn als je een perfect ronde donut neemt, die ook nog eens circelvormige slices produceert, want dan neem je een slice, met oppervlak pi*r^2 en dikte dx en die integreer je over 2pi radialen, dan moet je alleen dx omzetten naar hoekmaat, maar aangezien dat radialen zijn, wordt dat R*df met R de straal van middelpunt slice tot middelpunt donut en df hoekdifferentiaal in radialen, dan volgt:
integraal [pi*r^2 * R*df] van [0-2pi] = pi*r^2 * 2pi*R =
2 * pi^2 * r^2 * R

[Chello200]

Kan je gewoon niet de ingrediënten wegen ? Dan weet je ook wel de inhoud.

[Diadem]

Op zondag 06 januari 2002 10:38 schreef Unicron het volgende:
Dit kun je eenvoudig berekenen met een driedubbele integraal die ik je zal besparen. Maar als ik het goed onthouden heb is het antwoord Pi*r^2*2*pi*s
met r is de straal van een plakje van de donut
en s is de straal van de donut en dan gerekend tot het midden van de ring.

Ga je gang, stel een drievoudige integraal op voor de inhoud van een donut. Zal je nog tegenvallen. Ik denk dat het met mijn enkelvoudige integraal toch makkelijker is persoonlijk.

Vooral omdat ik zo'n vermoeden heb dat je na 2 van de 3 integralen te hebben uitgerekend op mijn integraal uitkomt, alleen heb je dan heel veel extra werk gedaan

[Verwijderd]

het gewicht?

ja dat kan

zoek dan wel ff uit hoeveel en in welke maten er verschillende bestanddelen in zitten, zoals bloem, eiwitten en suiker, en zoek het soortelijk gewicht op

nee ik houd het bij de Pi*r^2 keer integraal functie f

[blobber]

Op zondag 06 januari 2002 23:55 schreef Gladiator het volgende:
het gewicht?

ja dat kan

zoek dan wel ff uit hoeveel en in welke maten er verschillende bestanddelen in zitten, zoals bloem, eiwitten en suiker, en zoek het soortelijk gewicht op

nee ik houd het bij de Pi*r^2 keer integraal functie f

Zeker teveel oliebollen gegeten hè?

[DizzyWeb]

Soortelijk gewicht van bloem... hum... Kan je ook echt vanuit gaan he

En wie zegt dat iedere donut ecact dezelfde verhoudingen aan grondstoffen heeft?

[blobber]

Je hebt ook donuts met vulling zoals jam, slagroom, hazelnootpasta etc