Regelmaat perfecte getallen

[Raku]

Kan iemand mij de regelmaat van perfecte getallen laten weten. Er zijn dertig perfecte getallen beginnent met 6 , dan 28 dan 496 dan 8128 en yhet 5e getal is dan al 15 cijfers lang. Het 30e getal is 3 pagina's vol!

[TutanRamon]

Kan je dat nader toelichten? Ik heb hier geen verstand van maar zou graag willen weten wat het allemaal betekent.

[Raku]

nou , perfecte getallen kun je door alle getallen delen die tot de helft van het oorspronkelijke getal komen. Daarna moeten deze delingen opgeteld weer het oorspronkelijke getal komen of zo. Maar mijn klasgenoot had het erover. We hebben al geprobeerd een regelmaat te vinden in het binaire stelsel , hex-stelsel , quartier-stelsel. In binair was het altijd zo: als er 5 0 waren , dan zijn er 6 1 dus: 11111100000. Snap je het?

[Lord Daemon]

Ik heb hier in mijn "Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen" het volgende staan:

Het derde volkomen getal 496 = 2⁴(2⁵-1) is gelijk aan de som van al zijn echte delers: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Het gaat er dus om dat een getal gelijk is aan de som van al zijn delers.

[Raku]

thanx man , nu weet ik het weer. Maar zoals ik al zei , mijn klasgenoot heeft zich hierin verdiept.

[Verwijderd]

Perfecte getallen zijn getallen waarvoor geldt dat ze gelijk zijn aan de som van de delers, behalve het getal zelf. Een voorbeeld van een perfect getal is 6 want 6=1+2+3.

28 = 1+2+4+7+14

496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248

Zie je de overeenkomst?

tot het 1e vetgedrukte getal: 2^n-1
2e vette getal: 2^n-1-1

verdergaan met dat getal vermenigvuldigen met 2.
__________________________________________________________

als:

2⁰+2¹+...+2^n-1 een priemgetal is, dan is dat opgetelde getal vermenigvuldigd met 2^n-1 een perfect getal.

simpeler kan ik het niet uitleggen eigenlijk.

[Verwijderd]

En wat is er "perfect" aan deze getallen?

[Raku]

dat is gewoon de naam. Net zoals pi , tis gewoon een naam. Wat is er zo metonic aan mij dan is net zo'n vraag.

[Verwijderd]

Dat snap ik, maar sommige namen komen niet helemaal uit het niets, zoals Pi, en waarschijnlijk ook Metonic...

[Verwijderd]

Perfect komt gewoon van het feit dat je bij deze getallen wanneer je de delers van het getal bij elkaar optelt je het getal weer krijgt. Zoiets vinden wiskundige mooi en sommige misschien zelfs perfect.

[Verwijderd]

Als iemand trouwens een ONEVEN perfect getal gevonden heeft, mag hij mij dat even mailen .

[Lord Daemon]

Mailen? Ik wil het ook wel posten. 1 Ik denk alleen dat de definitie van 'echte deler' mij een beetje parten gaat spelen.

[Verwijderd]

Ja, jammer voor je, maar een echte deler is per definitie niet het getal zelf...

[Verwijderd]

Het wiskunde programma Maple heeft diverse opties om dit te berekenen, maar bij het 4e getal loopt mijn PII 333 vast, dit lukt net op een P4 en een AMD 1900.

Dus ga het 5e getal maar met de hand doen
Ik vind dit meer iets voor een }:0

(input in maple)
[> ifactor(2^n-1*n exp)

[Blizard]

Als een programma deze perfecte getallen kan berekenen moet er een regelmaat inzitten denk ik zo. Of ben ik fout ?

[Diadem]

Een perfect getal is dus een getal wat de som is van al zijn delers.

1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Waarom deze naam weet ik ook niet. Het zijn wel leuke getallen, mee eens, maar ik kan wel mooie reeksen bedenken.

Maar waarom zouden er maar 30 van dit soort getallen zijn? Daar zie ik graag een bewijs van.

[Blizard]

Het 31ste getal van de reeks zal wel bestaan maar zal enorm groot zijn.

[Jace / TBL]

Het n-de Mersenne priemgetal is van de vorm (2^p)-1. Het n-de perfecte of volkomen getal is dan ((2^p)-1) * 2^(p-1)

Een oneven perfect getal bestaat dus niet

En omdat er oneindig veel Mersenne priemgetallen zijn, zijn er ook oneindig veel perfecte getallen.

[AxzZzeL]

Deze formule hoort toch ook bij de torens van Hanoi?

[Jace / TBL]

Deze formule hoort toch ook bij de torens van Hanoi?

Nee, da's iets anders. Het aantal zetten waarin je een toren van Hanoi van n stenen kan verplaatsen, is 2^n-1, maar dat heeft niets met Mersenne priemgetallen of perfecte getallen te maken.

Dat van Hanoi komt hierop neer: een toren van 1 steen kun je in 1 zet verplaatsen, en als je een toren van n stenen in z zetten kunt verplaatsen, kun je een toren van n+1 stenen verplaatsen door eerst de bovenste n stenen naar het midden te brengen (kost z zetten), daarna de grootste steen te verplaatsen (1 zet), en dan die middelste toren van n stenen op de grootste (weer z zetten). De toren van n+1 kost dus 2z+1 zetten. Dus Z(n) = Z(n-1)*2+1 = 2^n-1.

[Verwijderd]

Op zondag 23 december 2001 14:26 schreef JaceTBL het volgende:
Het n-de Mersenne priemgetal is van de vorm (2^p)-1. Het n-de perfecte of volkomen getal is dan ((2^p)-1) * 2^(p-1)

Een oneven perfect getal bestaat dus niet

En omdat er oneindig veel Mersenne priemgetallen zijn, zijn er ook oneindig veel perfecte getallen.

Ik zou graag willen weten waar je deze wijsheid vandaan haalt.
Een EVEN perfect getal heeft de vorm (2^p-1 ) * 2^(p-1) als die 2^p -1 een mersenne priem is.
Bovendien ken ik nog geen bewijs dat er oneindig veel mersenne priemgetallen zijn. Heb je een link om dit te onderbouwen?

[Verwijderd]

Noemt men het in het Nederlands geen "volmaakte getallen" maar in het Engels "perfect numbers"?

In ieder geval, er is niet bewezen dat er geen oneven volmaakte getallen kunnen bestaan.

Op [url][url="http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html[url]"]http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html[url][/url] staat ook nog wel wat interessante informatie, dat scheelt weer een boel typewerk .

[GeeBee]

Hoe kun je alle delers van zo'n getal vinden?
Van boven af steeds delen door 2 tot je ..,5 tegenkomt.
Daar 0,5 bij optellen en dan weer verder?

Of gaat dat niet zo?

[boner]

Een getal is een perfect getal als de som van al zijn echte delers het getal zelf is.

Nu is elk getal deelaar door 1 en dus ook door zichzelf.

Waarom is 1 dan wel een echte deler en het getal zelf niet

[GeeBee]

Lees de def. van Cheatah hierboven.

[Diadem]

*schop*

Ik vond toevallig zonet een stukje over perfecte getallen. En hoewel deze thread inmiddels al een tijdje dood is wou ik jullie de quote niet onthouden:

The preface to the Cogitata contains a statement (possibly due to Fermat) that, in order that 2^p-1 may be prime, the only values of p, not greater than 257, which are possible are 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, and 257; the number 67 is probably a misprint for 61. With this correction the statement appears to be true, and it has been verified for all except twenty-one values of p, namely 71, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 137, 139, 149, 157, 163, 167, 173, 181, 193, 199, 227, 229, 241, and 257. Of these values, Mersenne asserted that p = 127 and p = 257 make 2^p-1 prime, and that the other nineteen values make 2^p-1 a composite number. It has been asserted that the statement has been verified when p = 89 and 127, but these verifications rest on long numerical calculations made by single computators and not published; until these demonstrations have been confirmed we may say that twenty-one cases still await verification or require further investigation. The factors of 2^p-1 when p = 89 are not known, the calculation merely showing that the number could not be prime. It is most likely that these results are particular cases of some general theorem on the subject which remains to be discovered.

The theory of perfect numbers depends directly on that of Mersenne's numbers. It is probable that all perfect numbers are included in the formula 2^p-1(2^p-1), where 2^p-1 is a prime. Euclid proved that any number of this form is perfect. Euler shewed that the formula includes all even perfect numbers; and there is reason to believe - though a rigid demonstration is wanting - that an odd number cannot be perfect. If we assume that the last of these statements is true, then every perfect number is of the above form. Thus if p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, then, by Mersenne's rule, the corresponding values of 2^p-1 are prime; they are 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951; and the corresponding perfect numbers are 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, and 2658455991569831744654692615953842176.