Wiskunde Olympiade!!!

[Bluppy2]

ik weet niet of ik hier goed zit, maar ik kan het in ieder geval proberen...
Vele 5 en 6 atheneumers zullen nu bezig zijn met de Wiskunde ( Olympiade. Misschien kunnen we onze krachten hier bundelen voor het halen van een optimaal resultaat

De wiskunde olympiade gaat over een jeep die rechtstreeks door de woestijn moet met zo min mogelijk benzine.
Waarbij:
De jeep rijdt 1 op 10.
De jeep heeft een tank van 100 liter.

De eerste lastige opdracht is A2.
Hierbij moet de jeep een afstand afleggen van 1600 kilometer. Onderweg komt de jeep natuurlijk geen tankstations tegen . De Jeep mag wel onderweg depots aanleggen om brandstof op te slaan.
Nu is de vraag: Wat is de minimale hoeveelheid benzine die de jeep in totaal nodig heeft om deze afstand te overbruggen.

Zijn hier meer wiskundige tweakers die ons kunnen helpen met dit probleem

Als deze opdracht is gelukt zal ik de volgende opdrachten ook posten .

[chris]

Probleem A1

Eerst rijd je naar 100 km van je startpunt met een volle tank (100 liter). Je hebt nu nog 90 liter over in je tank. Vervolgens doe je 10 liter in het depot, en rijd je terug naar het startpunt. Als je terug bent, heb je nog 70 liter over. Vervolgens gooi je de tank vol (30 liter), en rijdt je naar het depot. Je hebt nog 90 liter over. Je vult je tank in het depot helemaal bij, zodat je er 100 liter in hebt zitten. Vervolgens kan je in een keer doorrijden naar het eindpunt. Je hebt dus nou in totaal 100+30 = 130 liter verbruikt. Dit is de beste mogelijkheid, omdat je voor de hele weg 110 liter nodig hebt (1100 km). Je kan dit niet in een keer meenemen, maar wel als je je ergens in die depots een extra hoeveelheid hebt staan. Omdat je zo min mogelijk benzine wil verspillen aan het vullen van depots, kan je het beste t depot zo dichtbij mogelijk zetten. Dit is dus op 1000 km van het eind (oftewel 100 km van het begin), omdat er maximaal 100 liter in de tank past, en je hier maximaal 1000 km mee kan rijden. Als je er voor zorgt dat je dus op 1000 km van het eind nog 100 liter in je tank hebt, dan haal je het maximale rendement.

Maar hoe A2 nou moet?????

[Bluppy2]

Op vrijdag 23 november 2001 10:11 schreef dev-null het volgende:

Maar hoe A2 nou moet?????

precies... hulp hard nodig

[chris]

Je moet iig zorgen dat je op 600 km voor het eindpunt een depot hebt staan met 60 liter erin, of niet?

[Bluppy2]

Op vrijdag 23 november 2001 10:15 schreef dev-null het volgende:
Je moet iig zorgen dat je op 600 km voor het eindpunt een depot hebt staan met 60 liter erin, of niet?

Dit hoeft niet... Heb je op de 200, 400 en 600 km depots met 20 liter, dan kom je er ook. (Zo heb ik de 400 liter bereikt...)

[chris]

Kan je misschien ff je oplossing posten???? Ik kom er nog niet uit

[Bluppy2]

we weten het nog niet zeker.. we weten ook niet of onze oplossing ook werkelijk DE ZUINIGSTE oplossing is... We komen iig in de buurt.
Bij B moet je een grafiek afmaken... Je hebt volgens mij dus een formule nodg. Iemand enig idee hoe je hier een formule van kan maken?
(dat zou een hoop problemen oplossen ).

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 10:34 schreef bluppy2 het volgende:
Bij B moet je een grafiek afmaken... Je hebt volgens mij dus een formule nodg. Iemand enig idee hoe je hier een formule van kan maken?
(dat zou een hoop problemen oplossen ).

Wat wij weten is dat het waarschijnlijk een hyperbool wordt. Bij B2 staat namelijk dat het op elke afstand kan, kortom er kan dus nooit een asymptoot zijn

[R4NCOR]

Opdracht A2 is helemaal niet zo heel moeilijk, je moet 3 depots aanleggen, en zorgen dat het laatste depot op 1000 kilometer van het eindpunt ligt. Op het laatste depot moet de tank dan bijgevuld worden tot het maximum van 100 liter, waarna de jeep de volle 1000 kilometer in een keer uitrijdt. Je moet alleen ff een manier verzinnen om zo goedkoop (weinig mogelijk benzine dus) mogelijk de depots aan te leggen, en dat er op het laatste depot de mogelijkheid is om bij te vullen tot 100 liter.

[R4NCOR]

Ik denk trouwens ook dat een formule berekenen nog meer tijd kost dan gewoon even voor elke afstand de minimum hoeveelheid benzine te berekenen.

[chris]

Wat is die oplossing van 400 liter dan?

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 10:39 schreef Rancor1984 het volgende:
Opdracht A2 is helemaal niet zo heel moeilijk, je moet 3 depots aanleggen, en zorgen dat het laatste depot op 1000 kilometer van het eindpunt ligt. Op het laatste depot moet de tank dan bijgevuld worden tot het maximum van 100 liter, waarna de jeep de volle 1000 kilometer in een keer uitrijdt. Je moet alleen ff een manier verzinnen om zo goedkoop (weinig mogelijk benzine dus) mogelijk de depots aan te leggen, en dat er op het laatste depot de mogelijkheid is om bij te vullen tot 100 liter.

Wij doen het anders: Je kunt natuurlijk ook meerdere depots maken, bijv. 3, en dan op elk maar 20 liter leggen. Als die dan om de 200 kilometer liggen, kun je ook doorrijden, en telkens je tank met die 20 bijvullen tot 100 liter. Zo komen we onder de 380

[R4NCOR]

Op vrijdag 23 november 2001 10:50 schreef ArchieMacDonald het volgende:

[..]

Wij doen het anders: Je kunt natuurlijk ook meerdere depots maken, bijv. 3, en dan op elk maar 20 liter leggen. Als die dan om de 200 kilometer liggen, kun je ook doorrijden, en telkens je tank met die 20 bijvullen tot 100 liter. Zo komen we onder de 380

Dat zeg ik ook, wij hebben ook 3 depots om de 200 kilometer, maar wij komen toch echt op 400 liter uit... Laat je berekening eens zien?

[chris]

Hmmz, ik kom ook op 400 liter uit. Maar dan heb ik op het eind nog wel 40 liter in depot C liggen, dus in theorie moet ik op 360 uit kunnen komen.... Kzal ff posten als ik klaar ben....

[Bluppy2]

Op vrijdag 23 november 2001 10:59 schreef dev-null het volgende:
Hmmz, ik kom ook op 400 liter uit. Maar dan heb ik op het eind nog wel 40 liter in depot C liggen, dus in theorie moet ik op 360 uit kunnen komen.... Kzal ff posten als ik klaar ben....

wat is depot A B en C?

|____|_____|____|
0......20......40.....60
A......B........C......D

je moet dus vanaD met 100 liter verder gaan... Graag uitgebreidere berekeningen

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 10:59 schreef dev-null het volgende:
Hmmz, ik kom ook op 400 liter uit. Maar dan heb ik op het eind nog wel 40 liter in depot C liggen, dus in theorie moet ik op 360 uit kunnen komen.... Kzal ff posten als ik klaar ben....

Wij komen idd ook op 360 uit

[chris]

Ik heb deze tabel:

code:

    Start   Eind    Tanken  A   B   C   Tank
1   0   200 100 60  0   0   20
2   200 0   100 120 0   0   20
3   0   200 0   120 0   0   20
4   200 0   100 180 0   0   20
5   0   200 0   180 0   0   20
6   200 0   100 180 0   0   100
7   0   200 0   200 0   0   60
8   200 400 0   200 20  0   20
9   400 200 0   100 20  0   100
10  200 400 0   100 80  0   20
11  400 0   0   80  0   0   100
12  200 400 0   0   60  0   100
13  400 600 0   0   60  60  20
14  600 400 0   0   60  60  0
15  400 600 0   0   0   60  40
16  600 1600    0   0   0   40  0

Maar nou houdt ik dus 40 over in depot C. Iemand de oplossing hoe het moet zijn met 360 liter????

[edit]
Start = startpositie in kilometers\
Eind = eindpositite in kilometers\
Tnk = aantal getankte liter
A,B,C = aantal liter in depot A,B,C
T = aantal liter in de tank.

[Verwijderd]

Wat wij allemaal zoeken is een regelmaat, maar wat is die? We dachten aan kwadraten, maar verder dan 1600 km kom je dan niet...

[Bluppy2]

onze wiskunde leraar heeft ons een eindje op weg geholpen. ALs we resultaat hebben (in vorm van een formule) post ik die...

[Verwijderd]

We hebben er nu dus 360 uit, en hebben de depots op 10 en 30 km afstand...

[Bluppy2]

Op vrijdag 23 november 2001 11:26 schreef ArchieMacDonald het volgende:
We hebben er nu dus 360 uit, en hebben de depots op 10 en 30 km afstand...

leg uit

[chris]

Ik heb er ook 360 uit, met depots op 200, 400, en 600 km afstand.

[chris]

Op vrijdag 23 november 2001 11:18 schreef bluppy2 het volgende:
onze wiskunde leraar heeft ons een eindje op weg geholpen. ALs we resultaat hebben (in vorm van een formule) post ik die...

Wat zei je leraar dan?

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 11:28 schreef bluppy2 het volgende:

[..]

leg uit

Je moet erg gewoon voor zorgen dat je op een gegeven moment op elk depot genoeg hebt liggen zodat je op het laatst in 1 keer door kunt rijden. Op 100 km dus 10 liter, op 300km 20 liter, etc. Volgens mij zit er een kwadratisch verband in, maar op een gegeven moment kom je er dan gewoon niet emer uit.
Maar nu door met de volgende opdracht

[Bluppy2]

dat verband moet je vinden anders kom je helemaal niet uit C...
Als je dat verband wel hebt is alles een eitje...

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 11:40 schreef bluppy2 het volgende:
dat verband moet je vinden anders kom je helemaal niet uit C...
Als je dat verband wel hebt is alles een eitje...

Maar misschien is het verband wel heeeel moeilijk
Misschien zou je ff een proggie moeten schrijven die alles doorrekent... Maar of je er dan nog iets mee kan

[Verwijderd]

Ik kom op 346 2/3 en dit volgens mij het goede antwoord
poging tot uitleg: voor de laatste 1000km heb 100 liter nodig dus op 600 km moet er 100 liter aanwezig zijn om die 100 liter daar te krijgen moet een keer extra heen en weer rijden vanuit een punt waar 200 liter is. Dat punt ligt op 600 - ((10*100)/3) = 266 2/3 km om op dat punt 200 liter te hebben moet van een ander waar 300 liter is gehaald worden. Dat punt ligt op 266 2/3 -((10*100)/5) = 66 2/3 km. Om de benzine daar vanaf het begin punt te krijgen kost 7* 1/10 * 66 2/3 liter = 46 2/3 + de 300 = 346 2/3 liter.

[chris]

You're the man!

[cervelaatworst]

Op vrijdag 23 november 2001 11:47 schreef borganism het volgende:
Ik kom op 346 2/3 en dit volgens mij het goede antwoord
poging tot uitleg: voor de laatste 1000km heb 100 liter nodig dus op 600 km moet er 100 liter aanwezig zijn om die 100 liter daar te krijgen moet een keer extra heen en weer rijden vanuit een punt waar 200 liter is. Dat punt ligt op 600 - ((10*100)/3) = 266 2/3 km om op dat punt 200 liter te hebben moet van een ander waar 300 liter is gehaald worden. Dat punt ligt op 266 2/3 -((10*100)/5) = 66 2/3 km. Om de benzine daar vanaf het begin punt te krijgen kost 7* 1/10 * 66 2/3 liter = 46 2/3 + de 300 = 346 2/3 liter.

Je mag niet meer dan 100 liter per keer meenemen, dus deze oplossing is imo niet goed .
edit: het begin lijkt me goed, de vraag is inderdaad: hoe krijg ik op de meest efficiënte manier 100 liter benzine op 600 km afstand?

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 12:03 schreef cervelaatworst het volgende:

[..]

Je mag niet meer dan 100 liter per keer meenemen, dus deze oplossing is imo niet goed .

Waarschijnlijk bedoelt hij 20 en 30 liter ipv 200 en 300

[chris]

Dat lijkt me stug. Dan redt je het nooit! In z'n berekening neemt hij toch ook het heen-en weerrijden op of niet soms?

[R4NCOR]

Op vrijdag 23 november 2001 11:40 schreef bluppy2 het volgende:
dat verband moet je vinden anders kom je helemaal niet uit C...
Als je dat verband wel hebt is alles een eitje...

Heb jij het verband?

[Bluppy2]

Op vrijdag 23 november 2001 12:18 schreef Rancor1984 het volgende:

[..]

Heb jij het verband?

nee... we hebben het voorlopig een beetje opgegeven .
Onze wiskundeleraren zijn nu in beraad over deze opdracht en ze zijn nu besloten aan het kijken of ze er zelf wel überhaupt uitkomen.
Ik wacht dus vol spanning af

[Verwijderd]

mijn uitleg is dus niet duidelijk

Op vrijdag 23 november 2001 11:47 schreef borganism het volgende:
Ik kom op 346 2/3 en dit volgens mij het goede antwoord
poging tot uitleg: voor de laatste 1000km heb 100 liter nodig dus op 600 km moet er 100 liter aanwezig zijn om die 100 liter daar te krijgen moet een keer extra heen en weer rijden vanuit een punt waar 200 liter is. Dat punt ligt op 600 - ((10*100)/3) = 266 2/3 km om op dat punt 200 liter te hebben moet van een ander waar 300 liter is gehaald worden. Dat punt ligt op 266 2/3 -((10*100)/5) = 66 2/3 km. Om de benzine daar vanaf het begin punt te krijgen kost 7* 1/10 * 66 2/3 liter = 46 2/3 + de 300 = 346 2/3 liter.

hier een tabel met waar de benzine zich bevindt

code:

beginverbruik depot A op 66 2/3 km B op 266 2/3 km C op 600 km
100 ->  0            0         0
100 <-  86 2/3        0        0
200 ->  86 2/3        0        0
200 <-  173 1/3      0         0
300 ->  173 1/3      0         0
300 <-  260          0         0
346 2/3  -> 260          0         0
''         200  ->     0           0
''         200  <-     60         0
''         100  ->     60         0
''         100  <-     120       0
''         0      ->       120       0
''         ''           100     ->  0
''         ''           100     <-  33 1/3
''         ''           0    -> 33 1/3
en nu staat de jeep op 1000 km voor het eind met 100 liter in de tank

[chris]

nadere uitleg plz?

[Verwijderd]

Dan blijft de vraag, wat is de logica? We moeten hetzelfde namelijk ook doen voor een afstand van 3000 kilometer. Enig idee hoe je dat aanpakt?

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 12:32 schreef dev-null het volgende:
nadere uitleg plz?

Als je het gewoon allemaal uittekent, dan klopt het wel. Maar hoe bedenk je zoiets

[Verwijderd]

ik hou wel van vraagstukken
kan 'k de opgave ergens online vinden ofzo?
bedankt!

Do not underestimate the power of maths (+ - * /)

[jvdmeer]

Het is niet zo moeilijk:
De vraag is hoe krijg ik zoveel mogelijk benzine zo efficient mogelijk zo ver mogelijk...

Als je begint met 100liter wil je zover mogelijk weg komen en zoveel mogelijk benzine overhouden. Dat resulteert in:

Een depotafstand van 333,33km. dan kan je daar 33,3l in een depot stoppen. Hierna heb je nog 33,33l over voor de terugweg.

Dit doe je 5x, er zit dan 166,66 liter in het eerste depot. en nog 33,3l in je benzinetank (eigenlijk voor de terugweg)

Je vult je tank af op 100l, en in het 1e depot blijft 100l over.

Een depotafstand van 333,33km verder. Dan kan je daar 33,3l in je tweede depot stoppen. Hierna heb je nog 33,33l over voor de terugweg.

Nu vul je je tank weer helemaal, en je rijdt naar het tweede depot. Je hebt dan 33,3l gebruikt, die vul je aan uit het 2e depot en je rijdt de finish voorbij (met 66km).

je hebt nu 500liter gebruikt. De laatste keer dat je vanaf het de start rijdt kan je dus zelfs met 6,6l minder beginnen. Dus dan is het resultaat:

493 1/3 l

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 12:33 schreef ArchieMacDonald het volgende:
Dan blijft de vraag, wat is de logica? We moeten hetzelfde namelijk ook doen voor een afstand van 3000 kilometer. Enig idee hoe je dat aanpakt?

het is vrij simpel je zorgt dat je op het laatste depot die op 1 tank afstand van het eind 1 tank vol hebt.
Op het een na laatste die op 1/3 tank van de laatste ligt zorg je dat je daar 2 tanks vol hebt.
Op de twee na laatste die op 1/5 tank ligt van de ene laatste zorg dat je 3 tanks vol hebt enz.
Ik heb geen bewijs maar ben er 99% zeker van.
(Dit is mijn grote probleem met wiskunde, ik weet het antwoordt wel maar niet waarom )

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 12:47 schreef borganism het volgende:

[..]

het is vrij simpel je zorgt dat je op het laatste depot die op 1 tank afstand van het eind 1 tank vol hebt.
Op het een na laatste die op 1/3 tank van de laatste ligt zorg je dat je daar 2 tanks vol hebt.
Op de twee na laatste die op 1/5 tank ligt van de ene laatste zorg dat je 3 tanks vol hebt enz.
Ik heb geen bewijs maar ben er 99% zeker van.
(Dit is mijn grote probleem met wiskunde, ik weet het antwoordt wel maar niet waarom )

Maar waarom is het dat 1/3 afstand, en 1/5 afstand? Wat is daar de logica achter? We moeten het namelijk verder beredeneren voor die 3000 km.

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 12:59 schreef ArchieMacDonald het volgende:
Maar waarom is het dat 1/3 afstand, en 1/5 afstand? Wat is daar de logica achter? We moeten het namelijk verder beredeneren voor die 3000 km.

1/1,1/3,1/5,1/7,1/9,1/11 enz.
1/3 komt van een keer heen rijden en dan nog een keer terug en weer heen om het volgende gedeelte van voorraad op te halen dus dat stukje rijd je 3 keer

[Lord Daemon]

Even denken. Als je over een afstand A een hoeveelheid B benzine in een depot wilt krijgen heb je in totaal 2A/10 + B = A/5 + B liter nodig. Dit kan maximaal 100 zijn, dus bij de beste manier om een depot aan te leggen geldt dat A/5 + B = 100, oftewel A = 500 - 5B.

Je wilt op het laatst in een keer door kunnen rijden. Je hebt 160 liter nodig, waarvan je er 100 mee kan nemen uit het beginpunt. Er moet dus 60 liter in depots zitten, en wel zo dat de totale hoeveelheid bezine in depots voor punt C kleiner is dan C/10, want anders heb je de benzine nog niet op en kan je het niet mee nemen.

Er moet benzine liggen op 600 kilometer, en dit moet 60 liter - alles wat je daarvoor hebt neergedumpt zijn.

Waar leggen we echter nog meer depots aan, en hoeveel dumpen we op 600 kilometer neer? Daar ga ik in mijn volgende post over nadenken.

[Lord Daemon]

Even denken. Als je over een afstand A een hoeveelheid B benzine in een depot wilt krijgen heb je in totaal 2A/10 + B = A/5 + B liter nodig. Dit kan maximaal 100 zijn, dus bij de beste manier om een depot aan te leggen geldt dat A/5 + B = 100, oftewel A = 500 - 5B.
Je wilt op het laatst in een keer door kunnen rijden. Je hebt 160 liter nodig, waarvan je er 100 mee kan nemen uit het beginpunt. Er moet dus 60 liter in depots zitten, en wel zo dat de totale hoeveelheid bezine in depots voor punt C kleiner is dan C/10, want anders heb je de benzine nog niet op en kan je het niet mee nemen.

Er moet benzine liggen op 600 kilometer, en dit moet 60 liter - alles wat je daarvoor hebt neergedumpt zijn.

Depots vullen vanaf het beginpunt

A = 500 - 5B, is hier de belangrijke formule. Dit gooien we samen met B = A/10, want anders ligt er op punt B meer benzine dan we kunnen gebruiken. Wat is hiervan de oplossing?

A = 500 - A/2, 1.5 A = 500, A = 333 1/3 km. Je kan op deze afstand namelijk een depot aanleggen waar je per keer heen en weer rijden maar liefst 100 - 2 * 333 1/3 / 10 = 33 1/3 liter neerleggen. Nu kan je dus tot 333 1/3 kilometer rijden en je daar weer helemaal vol stoppen. Maar we moeten nog een depot hebben, dat komt in mijn volgende post.

[Lord Daemon]

Maar nu heb ik misschien een fout gemaakt, dus geloof mij nog niet. FF wachten.

[Bluppy2]

Op vrijdag 23 november 2001 13:47 schreef Lord Daemon het volgende:
Even denken. Als je over een afstand A een hoeveelheid B benzine in een depot wilt krijgen heb je in totaal 2A/10 + B = A/5 + B liter nodig. Dit kan maximaal 100 zijn, dus bij de beste manier om een depot aan te leggen geldt dat A/5 + B = 100, oftewel A = 500 - 5B.

Je wilt op het laatst in een keer door kunnen rijden. Je hebt 160 liter nodig, waarvan je er 100 mee kan nemen uit het beginpunt. Er moet dus 60 liter in depots zitten, en wel zo dat de totale hoeveelheid bezine in depots voor punt C kleiner is dan C/10, want anders heb je de benzine nog niet op en kan je het niet mee nemen.

Er moet benzine liggen op 600 kilometer, en dit moet 60 liter - alles wat je daarvoor hebt neergedumpt zijn.

Waar leggen we echter nog meer depots aan, en hoeveel dumpen we op 600 kilometer neer? Daar ga ik in mijn volgende post over nadenken.

hee Lord Daemon . Welkom bij de Gang
het gaat er nu eigenlijk om hoe we het met die 3000 km uitrekenen. Dat is het belangrijkste van het hele werkstuk (en tevens ook het moeilijkste... en het saaiste )

[FCA]

Nu komt er illegale hulp bij

Probleem: 160 liter voor de hele reis.
100 liter op 600 km. Dus 40 liter in de tank daarvoor.

100 liter op 600km:

Ik stel voor depot A op 300 km. In 1 keer rijden kan niet, maar elk depot bevordert terugrijden. Om van 300 km 60 liter op 600 ( te krijgen, moet je 2 x 30 liter afleveren.
volgens mij kan dit precies, en moet je daarvoor 2 keer terugrijden.
heb je 2x30 (voor depot) + 2x30 (voor heenreis) + 2x30 (voor terugreis) nodig. = 180 liter in A nodig.
Is dus 3 x zoveel als in B dus gebruik je in totaal 3x zoveel om het in A te krijgen dus in totaal 540 liter. Niet efficiënt dus, omdat je dan helemaal terug moet rijden vlak voor de grote trip.

[FCA]

De infinitesimale methode:
Rijdt 10km verder, dump 98 liter brandstof, en rijdt weer terug.
Heb nu geen tijd verder, maar bekijk dit eens...

[Lord Daemon]

Want stel dat je een depot twee maal wilt gebruiken, eenmaal op de heenweg en eenmaal op de terugweg; dat zou best nuttig kunnen zijn. Dan is de formule dus iets anders:

A = 500 - 5B, B = A/5

A = 500 - A

A = 250 kilometer.

Als je op 250 kilometer een depot aanlegt kan daar 50 liter in. Nu kan je een reis maken tot 750 kilometer, als je op de heen en terugweg tankt bij dat depot. Stel dat we nu tot 600 gaan, ligt daar dan genoeg? Je kan dan 100 - 2 * 350 / 10 = 30 liter bij 600 kilometer leggen. Dat is genoeg als je nog 30 liter meer onderweg hebt liggen.

De langste afstand waarop je 30 liter neer kan leggen in een ries is natuurlijk als volgt: A = 500 - 5B, B = 30, A = 350. Maar de afstand waarop je het nodig hebt is 300 kilometer, hetwelk korter is, dus leg je het daar neer.

Resume:

Je rijdt naar 250 kilometer, waar je 50 liter dumpt. Vervolgens rijdt je terug, en tankt weer vol. Nu rij je naar 600, terwijl je op de heenweg bij het depot 25 liter meeneemt; op 600 maak je dan een depot van 30 liter, je rijdt terug, en net als je bezine op is kan je op het depot bij 250 weer 25 liter tanken en terug rijden naar het begin.

Nu tank je 90 liter (geen 100), rijd je naar 300 kilometer, dump je daar 30 liter, en rijd je terug. Je tankt nu helemaal vol, en bizar genoeg ligt alles precies zo dat je de finish haalt. Maar ik heb nu in totaal maar liefst 390 liter gebruikt, wat meer is dan sommige anderen hier, dus ik ga alles even checken.

[Verwijderd]

Op vrijdag 23 november 2001 13:58 schreef bluppy2 het volgende:
het gaat er nu eigenlijk om hoe we het met die 3000 km uitrekenen. Dat is het belangrijkste van het hele werkstuk (en tevens ook het moeilijkste... en het saaiste )

moeilijk niet zo, saai zeker volgens mijn algo zie vorige posts
eerst het aantal depots uitrekenen en de afstand tot de eerste
totale afstand is 3000/1000 = 3 tanks
dus nu de rij 1/1 ,1/3 ,1/5 ,1/7, 1/9 optellen zolang je onder de 3 blijft
reken zucht oei wordt wel een erg lange rij. gaat nog wel even duren

[Lord Daemon]

Pfff, ik had vast een verkeerd algorithme, want volgens mij klopt dat ding van borganism gewoon. Damn, het moet gewoon heel makkelijk zijn, anders zouden ze het toch niet vragen? Ik denk verder.

[Bluppy2]

Op vrijdag 23 november 2001 14:08 schreef Lord Daemon het volgende:
een hoop blabla

volgens mij zit iedereen hier nu echt getallenvoorbeelden te nemen. Terwijl het in dit geval de bedoeling is om er een formule uit te halen. Het vereist dus een andere benadering..

maar welke

[jvdmeer]

jvdmeer schreef in lange post:
2 depots (333 en 666 km geven een verbruik van 493,3liter

dev-null schreef in lange post:
3 depots (200, 400 en 666 km geven een verbruik van 360liter

FCA schreef in een post
De infinitesimale methode:
Rijdt 10km verder, dump 98 liter brandstof, en rijdt weer terug.
Heb nu geen tijd verder, maar bekijk dit eens...

Als ik dit zo bekijk, volgt hier een lijn uit, met hoe meer depots, hoe minder kilometers, en mijn gevoel zegt dat het uiteindelijk verbruik komt op:

2*(1600/10)=320 liter

Je rijdt de hele afstand twee keer minimaal. In verband met het ophalen van benzine.

Ik denk dat de uiteindelijke som komt op:

code:

T=Totaal aantal km=1600
B=Benzineverbruik (l/km)=10
n=Aantal stops
         
                T
           2 * T + ---
                n
Aantal Liters=--------------
               B

resulteert in volgende lijst:

n    Aantal liters
  1 480
  2 400
  3 373,3
  4 360
 10 336
 20 328
100 321,6
160 321

De theoretische onderbouwing mis ik nog, maar ik vergelijk het even met dat raadsel van die mug(vlieg) die heen en weer vliegt tussen twee tegemoetkomende fietsers.

[Lord Daemon]

Ik wil een bewijs! Dat stukje van borganism klinkt best leuk, maar je bewijst niet dat dat het minste is. En zonder bewijs is je antwoord zinloos. We moeten een formule vinden.

Als we een formule opstellen voor de verbruikte brandstof waar alle variabelen, dus de plaatsen van de depots, in voor komen, moeten alle partiele afgeleides nul zijn. Let's do it.

[Theswitch]

Kan iemand misschien mij de complete Wiskunde Olympiada (opgaven) geven? hier posten of een URL? Wil er zelf wel eens over nadenken, maar dan vooral ook over de B en C vragen.

Toen ik die olympiaes aantal jaren geleden maakte, moest je het in je 1tje doen, net als een proefwerk zeg maar?

[Lord Daemon]

Let op! Ik heb alle afstanden door 10 gedeeld, zodat de jeep 1 op 1 rijdt!

Stel je hebt q depots: X(1), X(2), X(3) ... X(q)

Stel we vullen ze door eerst depot 1 te vullen voor zover nodig, dan depot 2, dan depot 3, etcetera. Het aantal maal dat we op of neer rijden tussen X(n-1) en X(n) is N(n). Dan geldt dat het totale brandstofverbruik V gelijk is aan:

V = SOM(i=1 tot q): X(n)N(n)

Bovendien geldt er een verband tussen de hoeveelheid in het depot op zijn hoogtepunt, B(n), en X(n) en N(n), namelijk:

B(n) = (N(n)/2 - 1) * (100 - 2*(X(n)-X(n-1)))

En natuurlijk geldt V = N(1)X(1) + (100 - X(1)) + B(1) = N(1)X(1) + N(2)X(2) + (100 - (X(2)-X(1))) + B(2) = N(1)X(1) + N(2)X(2) + N(3)X(3) + (100 - (X(3)-X(2))) + B(3) = ... = N(1)X(1) + N(2)X(2) + N(3)X(3) + ... + N(q)X(q) + (100 - (X(q)-X(q-1))) + B(q) = N(1)X(1) + N(2)X(2) + N(3)X(3) + ... + N(q)X(q) + 100 = V

Right, let's go.

[jvdmeer]

Hoop dat iemand de theoretisch achtergrond weet, met een eventuele correctie op de formule van mijn formule een paar postings hoger. Ben benieuwd.
Maar ik stel voor om de benzine elke keer met de jeep 1mm te verplaasten, dan kom ik op een totaalverbruik van maar: 320,0000001 l !

[Lord Daemon]

V = N(1)X(1) + (100 - X(1)) + B(1) = N(1)X(1) + N(2)X(2) + (100 - (X(2)-X(1))) + B(2) = N(1)X(1) + N(2)X(2) + N(3)X(3) + (100 - (X(3)-X(2))) + B(3) = ... = N(1)X(1) + N(2)X(2) + N(3)X(3) + ... + N(q)X(q) + (100 - (X(q)-X(q-1))) + B(q) = N(1)X(1) + N(2)X(2) + N(3)X(3) + ... + N(q)X(q) + 100 = V

FF checken aan een getallenvoorbeeld, bijvoorbeeld dat van borganism. O, nee, dat werkt niet, want hij gebruikt een ander schema, waarbij hij niet met 100 wegrijdt de laatste keer - vaag? Nou ja, het zal wel kloppen.

[chris]

Ik kan 3000 kilometer met 5662,941 liter halen. Beterz, of niet? Heb die formule gebruikt.

[Lord Daemon]

Ok, laten we nu eens doen alsof we drie depots hebben, X(1), X(2) en X(3). Ook geldt dat X(3) = 600.

Laten we zien of ik het niet helemaal fout heb gedaan. (De kans dat ik het wel fout heb gedaan is echter best groot. )

O, ik zie nu al een fout! En een hele erge. Hier komen alle formules nog een keer

B(n) = (N(n)/2 - 1) * (100 - 2*(X(n)-X(n-1)))

V =
N(1)X(1) + (100 - X(1)) + B(1) =
N(1)X(1) + N(2)(X(2)-X(1)) + (100 - (X(2)-X(1))) + B(2) =
N(1)X(1) + N(2)(X(2)-X(1)) + N(3)(X(3)-X(2)) + (100 - (X(3)-X(2))) + B(3) =
... =
N(1)X(1) + N(2)(X(2)-X(1)) + N(3)(X(3)-X(2)) + ... + N(q)(X(q)-X(q-1)) + (100 - (X(q)-X(q-1))) + B(q) =
N(1)X(1) + N(2)(X(2)-X(1)) + N(3)(X(3)-X(2)) + ... + N(q)(X(q)-X(q-1)) + 100 =
V

[Lord Daemon]

En nu pakken we drie depots, en X(3)=600.

B(1) = (N(1)/2 - 1) * (100 - 2*X(1))
B(2) = (N(2)/2 - 1) * (100 - 2*(X(2)-X(1)))
B(3) = (N(3)/2 - 1) * (100 - 2*(600-X(2)))

V =
N(1)X(1) + (100 - X(1)) + B(1) =
N(1)X(1) + N(2)(X(2)-X(1)) + (100 - (X(2)-X(1))) + B(2) =
N(1)X(1) + N(2)(X(2)-X(1)) + N(3)(600-X(2)) + (100 - (600-X(2))) + B(3)

Nu gaan we de B(x)-en invullen.

V =
N(1)X(1) + (100 - X(1)) + (N(1)/2 - 1) * (100 - 2*X(1)) =
N(1)X(1) + N(2)(X(2)-X(1)) + (100 - (X(2)-X(1))) + (N(2)/2 - 1) * (100 - 2*(X(2)-X(1))) =
N(1)X(1) + N(2)(X(2)-X(1)) + N(3)(600-X(2)) + (100 - (600-X(2))) + (N(3)/2 - 1) * (100 - 2*(600-X(2)))

Drie vergelijkingen met veel onbekenden, dat klinkt niet erg goed eigenlijk. Maar het heeft natuurlijk ook geen eenduidige oplossing, we gaan gewoon afgeleides nemen denk ik.

[Lord Daemon]

Hoewel, dat mogen vast geen partiele afgeleides zijn, of wel? Vraag dat eens aan jullie wiskunde leraar, of de partiele of de totale afgeleides van V nul moeten zijn?

[Verwijderd]

N(n) = 2n - 1

Op vrijdag 23 november 2001 14:43 schreef dev-null het volgende:
Ik kan 3000 kilometer met 5662,941 liter halen. Beterz, of niet? Heb die formule gebruikt.

hoe heb je dat zo snel uitgerekent?

[Lord Daemon]

Ik doe het vast veel te ingewikkeld - jullie hebben helemaal geen partiele afgeleides en/of differentiaalrekening gehad. Er moet gewoon een simpele (en bewijsbare) methode zijn om dit op te lossen.

(Ik deel nog steeds alle afstanden door 10.)

Als je naar X moet op Y liter benzine, en je hebt bij X1 een depot met Y1 liter benzine, en je vorige depot is op X2, dan moet je uit X2 vertrekken met (X2-X1) + Y - Y1 liter benzine. Je bent dan al N1 maal op en neer gereden om X1 te vullen - dan moest er (X2-X1)*2*N1 + Y1 - (X2-X1) + Y - Y1 = (2 * N1 - 1) * (X2 - X1) + Y liter zijn geweest bij X2 toen je daar voor het eerst aankwam. Bovendien geldt dat N1 = INT( Y / (100 - 2 (X2-X1))). Als we later eisen dat N1 een integer is kunnen we nu dus zeggen: N1 = Y / (100 - 2 * (X2-X1))

Omdat we ook weten dat Y = 100 kunnen we dus zeggen:

N1 = 100 / (100 - 2 * (X2-X1)), dus toen de auto langs X2 kwam om van daar af zijn reis voort te zetten moest daar:

((2 * 100 / (100 - 2 * (X2-X1))) - 1) * (X2 - X1) + 100 liter benzine aanwezig zijn.


....


Nou, ik weet het ook allemaal niet meer, wat een baggersom, we missen gewoon iets heel simpels waarschijnlijk.

[Bluppy2]

ik heb ook wat zitten klooien bij C1, dit is het resultaat.
Je moet even weten dat mijn bestuurder Joop heet .

code:

Joop is kennelijk steeds op zoek naar een nieuwe uitdaging.
In dit laatste onderdeel wil hij een plan van aanpak.
Hierin moet duidelijk worden hoe we de totale hoeveelheid benzine, die nodig is om de afstand te overbruggen, bepalen.
Om een bepaalde afstand af te leggen moet je depots plaatsen op 
Afstand Depot(n-1)  ((10*100)/k) km van de startplaats.
Waar n = het laatste depot en waar k = 3,5,7,9,11 etc. Want bij het eertste depot moet de auto 3x rijden:
A-----B
Van A naar B, van B naar A en weer van A naar B = 3x heen en weer.  
Bij het tweede  depot:
A-----B-----C
Van A naar B, van B naar C, van C naar B, van B naar A en van A naar C = 5x heen en weer.
Etc.
 
Bij A2 kreeg je dus:
600 - ((10*100)/3) = 266 2/3 km
266 2/3 -((10*100)/5) = 66 2/3 km.

De hoeveelheid benzine die elke keer vervoert kan worden tussen de start en Depot A is  100 - ((10 / (afstand Depot n, en depot n+1)) * 2) liter benzine. Waarbij het eerste depot is hetzelfde als de start. 
Joop rijd dan net zolang tussen elk depot tot geen benzine meer in is.

[Lord Daemon]

Heb je daar ook een bewijs voor? Waarom klopt die formule?

[Bluppy2]

Op vrijdag 23 november 2001 16:19 schreef Lord Daemon het volgende:
Heb je daar ook een bewijs voor? Waarom klopt die formule?

zoveel tijd had ik niet.. en ze vroegen ookniet letterlijk om bewijs.. dit moet genoeg zijn voor een 6je

[Lord Daemon]

OK. Veel succes, ook aan mijn zusje.

[jvdmeer]

Volgens mij bekijken jullie het helemaal fout, en moet ik nog steeds op mijn gevoel afgaan. Maar laat ik eens de vraag omdraaien:
Voorbeeld":
Men heeft 300l benzine, hoever kan men nu komen als je max. 100 liter mag meenemen.

Oplossingen:

Veronderstel: Depot 1 500km van het begin:
• De 1e keer 100 l gaat op aan heen en weer naar het depot.
• De 2e keer 100 l gaat op aan heen en weer naar het depot.
• De 3e keer 100 l gaat op aan 1000km rijden.

Totaal 1000km gereden

Depot staat duidelijk te ver weg


2e poging:
Veronderstel: Depot 1 400km van het begin:
• De 1e keer 100 l gaat op voor 80l op aan de rit en 20 l in het depot.
• De 2e keer 100 l gaat op voor 80l op aan de rit en nogmaals 20 l in het depot.
• De 3e keer 100 l gaat op 40l naar het depot rijden, 40l bijvullen van het depot,
• en dan nog 1000km rijden om de tank leeg te maken.

Totaal 1400km gereden

Is al beter, nog een stukje dichterbij:

3e poging:
Veronderstel: Depot 1 250km van het begin:
• De 1e keer 100 l gaat op voor 50l op aan de rit en 50 l in het depot.
• De 2e keer 100 l gaat op voor 50l op aan de rit en nogmaals 50 l in het depot.
• De 3e keer 100 l gaat op 25l naar het depot rijden
• Deze tank vullen we aan vanuit het depot. Blijft 75 liter in het depot achter.

• Vanuit het depot rijden we weer 250km naar het volgende depot, en dumpen daar 50l, en keren terug naar depot 1.
• De tank is leeg, en daar gooien we de laatste 75l in uit het depot.
• We rijden naar depot 2 en legen het depot door daar de tank aantevullen tot 100l.
• Nu rijden we met 1000km nog even de tank leeg.

Totaal 1500km gereden

Misschien wordt het nu duidelijker, dat hoe dichterbij de depots, hoe verder je komt. Nu is de vraag, welke formule leiden we hieruit af?

PS: Volgens mij zijn limieten al behandeld in de betreffende klassen. Dus die mogen ook gebruikt worden.

[FCA]

Volgens mij infinitesimale methode:
telkens stappen van 5 kilometer.
Begin met 330 liter.
eerste keer 4 keer heen en weer rijden naar depot A. kost 4*2*0.5 -0.5 (laatste keer niet terug) = 3.5 liter.
326.5 liter over. Herhaal dit tot je bij 300 liter uitkomt, je zit dan volgens deze formule op ongeveer 43 kilometer.
Dan hoef je elke keer maar 3 keer heen en weer te rijden, dus dus dan nog maar 3*2*0.5 - 0.5 = 2.5 liter per 5 kilometer. na 40 keer dus 200 kilometer zit je op 200 liter.
Dan hoef je nog maar 2x te rijden.
dus kosten per 5 km = 2*2*0.5 - 0.5 = 1.5
na 100/1.5 = 67 keer rijden zit je dan op 333+200+43 = 576 km. Net niet genoeg... om dan met de laatste 100 liter naar het eind te rijden.
je moet ongeveer voor 2.4 * (4 *2* 0.5 - 0.5 ) 8.4 liter meenemen. Beter dan elke oplossing die ik hier heb gezien.
338.4 liter.
Maar goed, geen 320 liter dus.

edit: Mosterd na de maaltijd noemt men dat

[jvdmeer]

Op vrijdag 23 november 2001 17:04 schreef FCA het volgende:
Maar goed, geen 320 liter dus.

Die 320km was ook een gokje, maar herhaal die procedure nu eens met stappen van 1km?

Waarschijnlijk gebruik je dan nog minder benzine.

Doe het daarna nog eens in stappen van 100m. Nog minder benzine?

Ben benieuwd waar de grens ligt, want de limiet ervan heb ik nog niet gevonden.

[chris]

Op vrijdag 23 november 2001 14:57 schreef borganism het volgende:
N(n) = 2n - 1
[..]

hoe heb je dat zo snel uitgerekent?

Bx+1 = Bx - (1000 / (2(x+1)+1)
Net zolang totdat je een negatief getal als uitkomst bij x hebt. Het aantal depots is dan x. Vervolgens reken je bij die x de bijbehorende B uit.
A = 100*x
en de bijbehorende a. Tel je bijmekaar op en