Rekentrucjes

[Verwijderd]

Ik heb een tijdje geleden in Nijmegen een gastcollege gevolgd van een Amerikaan, ik weet z'n naam niet meer, maar hij was ontzettend handig met getallen. Hij kon supersnel getallen met elkaar vermenigvuldigen, en hij had hier bepaalde trucjes voor.
Zo had hij een basic-trucje voor vermenigvuldigen met elf, en volgens mij ook voor kwadrateren.
Weet iemand toevallig van dit soort trucjes om snel te kunnen hoofdrekenen?

[Verwijderd]

Vermenigvuldigen met elf is gewoon nul erachter + 10%...

[Verwijderd]

Een trucje om van Euro's terug naar guldens te rekenen: (A x 2) + (10% van (A x 2))

[Verwijderd]

Ja, ik bedoel eigenlijk geen Euro-trucjes enzo.... maar iig bedankt..

[Marialice]

Vermenigvuldigen met 9 kun je controleren door de cijfers van de uitkomst op te tellen tot je 1 cijfer overhoudt, dit is altijd 9.

7984631*9 = 71861679
7+1+8+6+1+6+7+9 = 45
4+5 = 9 klopt


Variatie hierop geldt ook voor andere vermenigvuldigingen:
1. De cijfers van de getallen waar je mee vermenigvuldigt optellen als boven.
2. Deze met elkaar vermenigvuldigen. Uitkomst weer optellen.
3. Van de uitkomst van je vermenigvuldiging alle cijfers optellen. Dit moet hetzelfde zijn als bij 2.

12379 * 15798 = 195563442

1.
1+2+3+7+9=22
2+2=4

1+5+7+9+8=30
3+0=3
(In principe mag je bij dit optellen alle negens (of cijfers die samen 9 zijn) weglaten, geeft dezelfde uitkomst)

2.
4*3=12
1+2=3

3.
1+9+5+5+6+3+4+4+2=39
3+9=12
1+2=3 klopt

Heb ook nog een mooie voor een vermenigvuldiging van twee getallen waarbij de som van de laatste cijfers 10 is, maar die komt vanavond.

[Marialice]

Hmm, of toch maar even snel?
(bewijs komt dan vanavond, nu vast een paar voorbeeldjes)

53*57=3021
(5*6=30, dan 3*7 erachter)

21*29=609
(2*3=6, dan 09 erachter)

En zoals beloofd:
(10a+b)(10a+(10-b))
= (10a+b)(10(a+1)-b)
= 100a(a+1)-10ab+10b(a+1)-b^2
= 100a(a+1)-10ab+10ab+10b-b^2
= 100a(a+1)+b(10-b)

[Verwijderd]

Ik heb dit al wel gevonden

http://home.att.net/~mathtrek/musexxxx.htm

Hier staat een groot deel van hem in!

[Chello200]

Handig als ik mijn GR weer vergeet tijdens een repetitie !

[FCA]

Die man heeft gewoon jarenlang zitten oefenen, en heeft tientallen rekentrucjes zitten bedenken.

Er zijn ook mensen die een soort aangeboren gave hebben om grote getallen (van 23 cijfers enzo) met elkaar vermenigvuldigen binnen enkele seconden. Dat is iets heel anders.
Wat grappig is, is dat wetenschappers een schatting hebben kunnen maken van de algoritmes die ze gebruiken, aan de hand van de rekentijd bij verschillende grote getallen.

[Verwijderd]

De tafel van 142857 is heel makkelijk. Je wisselt gewoon de volgorde getallen om!

1 * 142857 = 142857
2 * 142857 = 285714
3 * 142857 = 428571
4 * 142857 = 571428
5 * 142857 = 714285
6 * 142857 = 857142

[Gardocki]

Je bedoelt die gozer die Pi op 60 decimalen weet?

* Gardocki weet Pi maar op negen decimalen; 3.141592653

[Verwijderd]

Is het dan ook mogelijk om heel snel een datum uit te rekenen.

Iemand heeft mij ooit verteld dat daar ook een trucje voor bestaat. dan noem je een datum (bijvoorbeeld: 15 maart 2045) en binnen een seconde wist hij dat dat een woensdag is?

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 14:37 schreef pcreyght het volgende:
Is het dan ook mogelijk om heel snel een datum uit te rekenen.

Iemand heeft mij ooit verteld dat daar ook een trucje voor bestaat. dan noem je een datum (bijvoorbeeld: 15 maart 2045) en binnen een seconde wist hij dat dat een woensdag is?

edit:


Ik ben hier een beetje 'roestig' in geworden. Ik zal vanavond eens even posten hoe het wel werkte.

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 15:02 schreef Kyori het volgende:
Ik ben hier een beetje 'roestig' in geworden. Ik zal vanavond eens even posten hoe het wel werkte.

Je bedoelt het doomsday algoritme?

[cervelaatworst]

Die truukjes zijn al sinds jaar en dag bekend. Had er ooit eeb boekje voor uit de bibliotheek (ik weet helaas niet meer hoe het heette. Geloof iets van: leer hoofdrekenen in 30 dagen). Bijvoorbeeld: x5^2=x*x+1*100+25 oftewel x met x+1 vermenigvuldigen en er 25 achter plakken. voorbeeld: 85^2=7225. Dat truukje om met elf te vermenigvudigen is door het laatse getal van het getal dat met elf wordt vermenigvuldigd te laten staan, het getal daarna bij het eerste op te tellen, etc. voorbeeld: 34567*11= 380237 (eerst zeven, dan zeven plus zes, een onthouden, etc...)werkt overigens met 101, 1001 enzo beter (makkelijker). Ook truukjes zoals met vier vermenigvuldigen is 2 keer verdubbelen, door vijf delen is gewoon verdubbelen en een door 10 delen, etc. Veel van die truukjes kun je zelf verzinnen mbv breuken, en door een getal te schrijven als een string letters (gecombineerd met bekende getallen): x5^2 namelijk is:
x5
x5 *
----------
50x + 25
100x^2 + 50x +
-------------
100x(x+1) + 25 zoals ik al had aangegeven.(je moet wel zien dat dit handig is: die keer 100 zorgt er juist voor dat je de 25 er mooi achter mag zetten!) x mag overigens willekeurig groot zijn, maar aan 2376585*2376586 heb je niet zo veel .
Ik weet zeker dat als je een beetje nadenkt en fatsoenlijke wiskundesoftware hebt, je dit soort identiteiten bij dozijnen in een handomdraai kunt afleiden. Wel leuk overigens.

Wellicht ook indrukwekkend als je de tabellen voor de vijdemachtwortel uit je hoofd kent: het laatste getal van de vijfde macht van een getal is het getal zelf (2^5 = 32, 3^5=243, etc.). Bekijk zelf eens waar de vijfdemachten liggen, en je kunt vaak wel een schatting geven welk getal ervoor komt (vijdemacht groeit namelijk erg hard!)
Als je wat verder in de wiskunde bent kun je nog veel meer eigenschappen van getallen (en dan ook wortels) afleiden mbv integralen enzo. Deze truukjes werden natuurlijk ontzettend veel toegepast toen er nog geen computers waren.
Gauss berekende bijvoorbeeld met pen en papier het aantal priemgetallen onder de drie miljoen , tot op enkele milliprocenten korrekt .

PS: hoofdrekenen is een kwestie van oefenen. Een hoofdreken"wonder" uit Duitsland heeft ooit PET-scans ondergaan terwijl hij hoofdrekende. Wat bleek? Hij gebruikte voornamelijk zijn lange-termijngeheugen, terwijl ongeoefende mensen hun korte-termijn gebruiken voor dit soort berekeningen. Is overigens geen wonder dat die vent er zo goed in was: na 2 jaar lang elke dag minimaal 4 uur lang hoofdrekenen zou ik ook zonder P9 1,289 THz binnen luttele seconden een encryptiesleutel kraken!

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 18:36 schreef mietje het volgende:

Je bedoelt het doomsday algoritme?

Neen. Ik bedoel dit:

Nummers voor de maanden:

code:

Januari    2
Februari   5
Maart   4
April   0
Mei   2
Juni     5
Juli     0
Augustus   3
September  6
Oktober    1
November   4
December   6

Nummers voor de eeuwen:

code:

1700  4
1800  2
1900  0
2000  6
2100  4
2200  2
2300  0
2400  6
(etc)

Formule

1. Converteer de maand naar zijn numerieke equivalent (uit de bovenstaande lijst).
2. Neem de dag en haal daar het veelvoud van 7 vanaf dat er het dichtste bij in de buurt ligt. Onthoud de 'rest'.
3. Neem het nummer voor de eeuw.
4. Neem de laatste twee cijfers van het jaar en haal hier een veelvoud van 7 vanaf, welke het dichtste in buurt ligt van dat jaar. Onthoud de 'rest'.
5. Deel de laatste twee cijfers van het jaar door 4 (deel het zodat er een heel getal uitkomt). Vergeet de 'rest'.
6. Tel alle uitkomsten bij elkaar op.
7. Kijk welk veelvoud van 7 het dichtste bij die uitkomst ligt en haal dit eraf. Zoek het resultaat hiervan op in deze lijst:

code:

1  Zondag
2  Maandag
3  Dinsdag
4  Woensdag
5  Donderdag
6  Vrijdag
7  Zaterdag

Voorbeeld: 25 april 2002

1. Maand converteren: april = 0.
2. Veelvoud van 7 dichtste bij 25 is 21. Rest 4.
3. Nummer van de eeuw. 2000 = 6.
4. Hier kan ik geen 7 afhalen, dus wordt de 'rest' 2.
5. Gaat niet, dus ook 0.
6. Alles optellen: 0 + 4 + 6 + 2 + 0 = 12
7. Veelvoud van 7; wordt 7, rest 5.

Opzoeken in de lijst: datum valt op een donderdag.

Beetje oefenen, dan lukt het wel.

[TromboneFreakus]

Op woensdag 31 oktober 2001 18:52 schreef ceidhof het volgende:
Weet iemand toevallig van dit soort trucjes om snel te kunnen hoofdrekenen?

Volgens mij is dat vooral veel doen en vervolgens door ervaring goed kunnen schatten.

Mijn docent natuurkunde op het VWO kon vaak een uitkomst correct schatten op duizendsten, maar zeker op honderdsten (vermenigvuldigen, delingen, worteltrekkingen, enz).

[Verwijderd]

Op woensdag 31 oktober 2001 18:52 schreef ceidhof het volgende:
Weet iemand toevallig van dit soort trucjes om snel te kunnen hoofdrekenen?

Voor vermenigvuldigen is er ook een leuke. Normaal doen we vermenigvuldigen van rechts naar links en aantallen te onthouden. Voorbeeld:

code:

 432
  45x
 ----
 2160
1728
-----
19440

Kan namelijk sneller.
- 5x2=10: eerste cijfer 0; 1 onthouden
- 5x3+4x2=23 + 1 (vorige rgl) is 24. 2de cijfer een 4. 2 onthouden.
- 5x4+4x3=32+2=34; 3de cijfer een 4; 3 onthouden.
- 4x4+3 onthouden=19 zijn de laatste 2 cijfers.

Voorbehoud: dit is uit mijn hoofd
-

[Verwijderd]

Op donderdag 01 november 2001 20:48 schreef ItSnows het volgende:

[..]

Voor vermenigvuldigen is er ook een leuke. Normaal doen we vermenigvuldigen van rechts naar links en aantallen te onthouden. Voorbeeld:

code:

 432
  45x
 ----
 2160
1728
-----
19440

Kan namelijk sneller.
- 5x2=10: eerste cijfer 0; 1 onthouden
- 5x3+4x2=23 + 1 (vorige rgl) is 24. 2de cijfer een 4. 2 onthouden.
- 5x4+4x3=32+2=34; 3de cijfer een 4; 3 onthouden.
- 4x4+3 onthouden=19 zijn de laatste 2 cijfers.

Voorbehoud: dit is uit mijn hoofd
-

Werkt heel leuk.

Nu nog voor deze vermenigvuldigingen:

code:

1132
  29x

2733x
 372x

2737
3838x

27327
   32x

23734
  289x

Enzovoorts.
(ik probeer de 'discussie' levend te houden en er nog wat van te leren )

[Verwijderd]

Hier staan echt handige dingen bij!
Ik denk dat ik maar eens een maandje ga oefenen

[Marialice]

Heb nog wat gevonden:

Vermenigvuldigen tot 20*20 (bv. 13*15)

- Eerste getal + laatste cijfer tweede getal. (15+3=18)
- Nul erachter. (10*18=180)
- Twee laatste cijfers vermenigvuldigen. (5*3=15)
- Optellen. (180+15=195)

a en b zijn getallen onder de tien
(10+a)(10+b) = 100+10b+10a+ab
= 10*(10+a+b)+ab

---

Vermenigvuldigen met 11:

11 x 54321 = 5 4+5 4+3 3+2 2+1 1
= 597531

11 x 9527136 = 9 9+5 5+2 2+7 7+1 1+3 3+6 6
= 104798496

---

Zie ook:

http://mathforum.org/k12/mathtips/beatcalc.html
http://personal.cfw.com/~clayford/