Paradox van Zeno

[Ivo]

De paradox van Zeno geeft een dubieuze situatie. Het probeert te bewijzen dat onze zintuigen ons "beliegen". Ik vind het moeilijk om zoiets simpels voor waar aan te nemen, maar ik kan het ook niet weerleggen. Kan iemand deze paradox weerleggen?

De paradox gaat als volgt: Er is een hardloopwedstrijd tussen Achilles en een schildpad, waarbij de schildpad halverwege begint en Achilles dus de dubbele afstand moet lopen. Achilles die de beste hardloper van Griekenland wint deze race met gemak!

Nou komt Zeno. Hij zegt dat Achilles de schildpad in feite nooit heeft kunnen inhalen. Omdat in de tijd dat Achilles bij de start van de schildpad komt de schildpad weer een stukje afgelegd heeft. In de tijd dat Achilles bij die nieuwe positie van de schildpad is legt de schildpad weer een stuk af etc.

Ik kan deze redenatie niet weerleggen. Ik kan me wel bedenken dat dit bewijst dat wiskunde als enige taal de werkelijkheid kan verklaren!

[Orphix]

Volgens mij is de redenatie fout omdat de verteller uitgaat van de afstand ipv de tijd. Als je in tijd denkt dan kan je namelijk wel zeggen van 'Achilles heeft in dezelfde tijd een grotere afstand afgelegd dan de schildpad en die kan hij hem inhalen'

beetje moeilijk uit te leggen, maar de redenering van jou die klopt niet omdat het over verschillende tijd-spannes gaat.

[Anoniem: 27031]

Ik kan deze redenatie niet weerleggen. Ik kan me wel bedenken dat dit bewijst dat wiskunde als enige taal de werkelijkheid kan verklaren!

Nou, als bijv. de geestelijke gesteldheid van de hardloper niet zo best is en spontaan de verkeerde kant op loopt.
en dat heeft weinig met wiskunde te maken volgens mij.

[Ivo]

Zet gewoon een minnetje voor zijn v (snelheid). $an geef je de richting ook aan.

[Anoniem: 27031]

Op woensdag 17 oktober 2001 19:17 schreef BlueAngelGoT het volgende:
Zet gewoon een minnetje voor zijn v (snelheid). $an geef je de richting ook aan.

Mee eens, maar je geestelijke gesteldheid hoeft niet precies goed, of slecht te zijn. Hij kan er ook na een x aantal seconden (afhankelijk van of ie dronken is, optijd naar bed is gegaan zeg maar, x-aantal faxtoren) erachter komen dat ie de verkeerde kant op loopt.
En het hoeft natuurlijk ook niet precies 180 graden verkeerd te zijn.

edit:

Daarbij telt dan ook nog eens de weerstand van de lucht etc
een rol.
Er is niet alleen wiskunde nodig om dit te berekenen. Natuurlijke invloeden en omstandigheden zijn er ook nog

[Ivo]

M<et wiskunde bedoel ik ook natuurkunde. In natuurkunde kun je verschillende richtingen met de cos x-graden berekenen en de weerstand van lucht kun je ook gewoon met een formule berekenen. Fres = Fachilles - Flucht ofzoiets.

[Anoniem: 27642]

ummm is het niet gewoon veel simpler.
hardloper rent weet ik veel zeg 5 m/seconde.
en een schildpad loopt 5 m/minuut.

ik denk dat de hardloper de schilpad wel inhaald.

[Ivo]

Maar volgens die redenering niet!

[Anoniem: 27031]

Er is te weinig info beschikbaar om precies te berekenen, vandaar dat zeno misschien wel gewoon zegt dat de hardloper het schildpad nooit in kan halen.

In het luchtledige heeft hij wel gelijk volgens mij.

[Ivo]

Je snapt het niet Reggaeman. In de werkelijkheid wint Achilles ook! Alleen Zeno zegt dat dat niet kan omdat...

Snap je em?

[Anoniem: 27642]

in het boek piramide ([yramids in engels) van terry pratchet van de discoworld word ditzelvde beeld gedemonstreerd.
maar dan met een pijl en een schildpad.
de eenigste manier hoe de philosofen uit het boek het werkend kreegen was door de boog niet al te hard te spannen

net zoals ik geloof ook een werk van zeno dat als je altijd de helft van de afstand aflegt je nooit op de plaats van besteming komt, het wel leuk en aardig is maar niet echt de moeite om er over doortedenken gezien er zover ik kan zien geen realistiesche waarden aan ontrokken kunnen worden.
het is een niets zeggende stelling.

[Anoniem: 1626]

mja die stelling van zeno is toch enigzins met een fout vorrbeeld neergezet

hij gaat er vanuit dat Achilles continue moet lopen naar de startpositie van de schildpad en telkens daar moet stoppen om weer opnieuw te starten en dan weer naar de volgende startpositie van de schildpad moet lopen

in dat geval heeft zeno gelijk

maar dat gaat hier niet op want achilles kan zonder stoppen gewoon doorlopen
en loopt dus vooruit op de positie van de schildpad

en zodra achilles de schildpad voorbij loopt is het dus andersom en is het aan de schildpad om de afstand van achilles te evenaren
en dat is dus het moment van 'inhalen'

[Anoniem: 26266]

Het afstands verschil wordt steeds kleiner, maar ook de tijdsintervallen worden steeds kleiner, beiden zijn limieten die naar het punt naderen dat Achilles en het Schilpad op gelijke hoogte zijn. Op de manier van Zeno kun je dus niet verder beredeneren dan dat punt. Bekijk je het een klein interval later, dan heeft Achilles het Schilpad dus ingehaald.

[Anoniem: 26266]

Op woensdag 17 oktober 2001 20:10 schreef Flamez het volgende:
mja die stelling van zeno is toch enigzins met een fout vorrbeeld neergezet

hij gaat er vanuit dat Achilles continue moet lopen naar de startpositie van de schildpad en telkens daar moet stoppen om weer opnieuw te starten en dan weer naar de volgende startpositie van de schildpad moet lopen

Zeno gaat er NIET van uit dat Achilles steeds moet stoppen, en daarna weer opnieuwstarten.

[Diadem]

De topicstarter geeft de paradox wel degelijk goed weer.

Het leuke was dat deze paradox ten tijde van Zeno inderdaad een onoplosbaar probleem was. Natuurlijk snapte Zeno zelf ook wel dat Achilles de schildpad zou inhalen, maar dat was dus ook de paradox. De redenatie klopt, maar is onjuist.

Inmiddels weten we gelukkig beter, want inmiddels hebben we limiet berekeningen. En inmiddels weten wat dat een oneindige reeks wel degelijk kan convergeren.

Stel Achilles rent dubbel zo snel, schildpad heeft 1 meter voorsprong. Achilles legt 1 meter af, moet dan nog halve meter, Achilles legt halve meter af, moet dan nog kwart meter, etc, etc, etc.

In totaal moet hij dus 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 etc, meter afleggen.

Dit is een oneinige reeks, maar het resultaat, het antwoord van deze som is niet oneindig. De som van deze reeks is namelijk precies 2.

En dus haalt achilles de schildpad in.

[Ivo]

Ik heb geen zin om het uit te proberen op mijn rekenmachine , maar ik durf wel degelijk te beweren dat deze reeks nooit op 2 zal uitkomen. Ze zal als een asymptoot lopen en de 2 nooit raken! Of mis ik iets?

[Anoniem: 6071]

We hebben hier te maken met een wiskundige afspraak, waar ik het zelf ook niet altijd mee eens ben. Maar afspraak is afsrpaak.
Er valt wel iets te zeggen voor de uitspraak "als je iets oneindig dicht benaderd, ben je er". Hier is echter al een topic over geweest.

Maar betekent die berekening ook dat Achilles nooit voorbij de schildpad komt??

Is deze paradox trouwens niet op te lossen door hun relatieve snelheid in te vullen, waardoor het afstandsverschil simpelweg afneemt, en op een goed moment weer toeneemt?

Stel:
Achilles ligt 20 meter achter, hij gaat 2m/s harder dan de schilpad.
Als je nu een st-diagram tekent, dat begint bij s=-20, zul je zien dat Achilles elke seconde 2 meter verder komt. Zijn lijn is gewoon een rechte door de oorsprong...

[Confusion]

De oplossing van de paradox van Zeno ligt in het begrip oneindig.

Een variant op de paradox van Zeno:
Wanneer je een pijl afschiet op een doelwit, zal deze in een zekere tijd de helft van de afstand afleggen. Vervolgens zal het in een zekere tijd de helft van de afstand die over is afleggen, etc... waarbij je dus, aangenomen een vliegsnelheid v van de pijl, ook een oneindige som hebt. De oplossing ligt hem erin dat de [edit: oneindig korte ] stukjes in een oneindig korte tijd afgelegd worden en er worden in een oneindig aantal oneindig korte tijden een oneindig aantal oneindig kleine afstanden afgelegd, die samen precies de gehele afstand vormen.
Oneindig maal iets oneindig kleins is in deze 'paradoxen' 1.

edit:
In de moderne wiskunde staat dit, zoals Diadem zei, bekend als een limiet.

[Ivo]

Dat weet ik! Maar volgens de redenatie van de paradox niet. En inderdaad als de som precies op 2 uitkomt dan zal Achilles naast de schildpad uitkomen.

[Confusion]

BlueAngelGoT schreef:
Dat weet ik! Maar volgens de redenatie van de paradox niet. En inderdaad als de som precies op 2 uitkomt dan zal Achilles naast de schildpad uitkomen.

Omdat de oude Grieken 'oneindig' (groot of klein) niet begrepen.

[Ivo]

Dan zal ik het ook wel niet begrijpen. Leg uit!

[FCA]

Ik zal het proberen uit te leggen:
Volgens de wiskunde is een limiet van een functie gelijk aan een bepaalde waarde, als voor elke omgeving van de waarde, er een omgeving van de variabelen van de functie bestaat waarvoor geldt dat voor alle variabelen binnen de omgeving de bijbehorende functiewaarden binnen de omgeving van de waarde liggen.

Plat gezegd: Als x nadert naar a nadert f(x) naar de limietwaarde.

Snappu?

[Anoniem: 19806]

Jij bezit de gave van het uitleggen!
Niet te geloven!

[Diadem]

Op donderdag 18 oktober 2001 00:19 schreef FCA het volgende:
Ik zal het proberen uit te leggen:
Volgens de wiskunde is een limiet van een functie gelijk aan een bepaalde waarde, als voor elke omgeving van de waarde, er een omgeving van de variabelen van de functie bestaat waarvoor geldt dat voor alle variabelen binnen de omgeving de bijbehorende functiewaarden binnen de omgeving van de waarde liggen.

Plat gezegd: Als x nadert naar a nadert f(x) naar de limietwaarde.

Snappu?

Allemachtig, wat een uitleg. Zelfs ìk snap het nu niet meer

Op woensdag 17 oktober 2001 23:32 schreef BlueAngelGoT het volgende:
Dat weet ik! Maar volgens de redenatie van de paradox niet. En inderdaad als de som precies op 2 uitkomt dan zal Achilles naast de schildpad uitkomen.

Precies! De paradox gaat er vanuit dat deze som oneindig is, dat het dus oneindiglang duurt voordat Achilles de schildpad heeft ingehaald. Maar deze soms is dus niet oneindig, zij is 2.

Even heel simpel uitgelegd waarom dit zo is:

1/2 + 1/4 = 1 - 1/4, mee eens?
1/8 + 1/16 = 1/4 - 1/16, mee eens?
1/32 + 1/64 = 1/16 - 1/64, mee eens?
etc, etc, etc

dus 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 etc, etc = 1 - 1/4 + 1/4 - 1/16 + 1/16 - 1/64 + 1/64 - 1/256, etc, etc. = 1

dus 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 etc, etc = 2

[Confusion]

Diadem schreef:
dus 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 etc, etc = 2

Inderdaad. Toch hebben veel mensen er nog steeds moeite mee dat 0.999... gelijk is aan 1.

[Anoniem: 37519]

Toevallig heb ik een tijdje terug een uitleg over deze paradox gelezen. Hij schijnt opgelost te zijn!!!!!

(Diclaimer: ik ben niet zo'n ster in hogere wiskunde, er zullen dus wel wat fouten in mijn redenering zitten)

De afstand tussen Achilles en de schildpad wordt uiteindelijk (1/Aleph-0) oftewel oneindig klein, nietwaar? Nu is er in de hele vergelijking NOG een (Aleph-0), namelijk in de tijd. Immers, de afstand wordt (1/aleph-0) na (aleph-0) tijd. Deze oneindigheden kunnen we in een kruisvergelijking of iets dergelijks tegen elkaar wegstrepen en voila! Achilles haalt de schildpad in.

Rekenen met oneindigheid is een theorie van nog geen 30 jaar oud, en slechts weinigen kunnen ermee overweg. Weet je wat pas ECHT eng is? Er bestaan ook een Aleph-1 en 2, 3, 4, etc. Dat zijn MACHTEN van oneindigheid.

AAAARRRGGGGHHHHH! Ik word gek!

[Confusion]

SAPman schreef:
Rekenen met oneindigheid is een theorie van nog geen 30 jaar oud, en slechts weinigen kunnen ermee

Gelukkig kunnen we dat al veel langer en kan iedere beta-wetenschapper ermee overweg. Tenzij je over oneindigheden in de veldentheorieen praat, die inderdaad nog niet zo lang zijn opgelost met behulp van renormalisatie<blaat>, waarvoor onze landgenoten 3 jaar geleden de Nobelprijs kregen.

overweg. Weet je wat pas ECHT eng is? Er bestaan ook een Aleph-1 en 2, 3, 4, etc. Dat zijn MACHTEN van oneindigheid.

Ja, dat is wel lastig gedoe, maar gelukkig in de meeste fysica niet nodig
Aleph is trouwens de TeX notatie voor het oneindigheidsteken.

[Enigma69855]

Op donderdag 18 oktober 2001 09:02 schreef SAPman het volgende:
.......

Rekenen met oneindigheid is een theorie van nog geen 30 jaar oud, en slechts weinigen kunnen ermee overweg. Weet je wat pas ECHT eng is? Er bestaan ook een Aleph-1 en 2, 3, 4, etc. Dat zijn MACHTEN van oneindigheid.

AAAARRRGGGGHHHHH! Ik word gek!

Ik probeer mij groepsgenoten al 2 jaar uit te leggen dat die Alephen bestaan. en ze gaan door to Aleph-oneindig dat is nog veel krommer, en dat noemen ze dan Omega. (Zie ik weer een leuke link naar startrek waar het omega deeltje oneindig complex is)

[Anoniem: 6921]

Ben ik dan 1 van de weinige die rekenen met oneindigheden niet moeilijk vind?

[Diadem]

Pff, je hebt voor deze paradox al die hogere oneindigheden dus helemaal niet nodig.

Het enige wat je nodig hebt is die reeks die ik je gegeven heb. De grieken konden niet met reeksen overweg, en konden dit probleem dus niet oplossen. Maar inmiddels kan men dat toch al wel flink wat eeuwen.

Iedereen met middelbareschool wiskunde moet toch mijn redenatie kunnen begrijpen?

[Anoniem: 6921]

In totaal moet hij dus 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 etc, meter afleggen.

Dit is een oneinige reeks, maar het resultaat, het antwoord van deze som is niet oneindig. De som van deze reeks is namelijk precies 2.

Sorry maar zonder de hogere wiskunde snap je dit echt niet hoor en dat krijg je niet op de havo.

[Tupolev]

Op donderdag 18 oktober 2001 09:02 schreef SAPman het volgende:
Toevallig heb ik een tijdje terug een uitleg over deze paradox gelezen. Hij schijnt opgelost te zijn!!!!!

ROFLMAO, wat een humor. ik lig echt helemaal dubbel. Hij zal inderdaad wel al opgelost zijn, maar dan wel minimaal een paar honderd jaar geleden.

[Enigma69855]

Deze paradox hebben we op de havo wel gehad, en het antwoord leek zeker op die van Diadem. Twas alleen al weer zolang geleden dat ik er zo ff niet meer op kon komen.

[Diadem]

Op donderdag 18 oktober 2001 12:42 schreef sjorsie het volgende:

[..]

Sorry maar zonder de hogere wiskunde snap je dit echt niet hoor en dat krijg je niet op de havo.

Het lijkt me toch niet moeilijk in te zien dat 1 + 1 - 1/4 + 1/4 - 1/16 + 1/16 - 1/64 + 1/64 - 1/256 + 1/256 - 1/1024 + 1/1024 - 1/4096 etc, etc, etc, precies gelijk is aan 2.

En als je dat niet ziet moet je toch zeker zien dat als het geen 2 is het er toch akelig dicht bij zal liggen, en dus definitely niet oneindig groot zal zijn. Dus haalt Achilles de schildpad in. Na 'ongeveer' 2 meter, als hij dubbel zo snel loopt en de schilpad 1m voorsprong krijgt.

het bewijs voor elk willekeurig snelheidsverschil is iets complexer, daarom heb ik ook 2 genomen als voorbeeld, maar ik neem aan dat je me zo ook wel geloofd, hoop ik.

[Anoniem: 6071]

Maar gaat achilles ook voorbij die schildpad??

En kan iemand mij uitleggen wat er fout is aan "mijn" oplossing, die me een stuk eenvoudiger leek?

(voor iedereen zodner scrollwiel: Zet gewoon een st-diagram uit voor de plaats van Achilles ten opzichte van de Schildpad, met hun relatieve snelhedi als richtingscoefficient)

[Diadem]

Op donderdag 18 oktober 2001 13:24 schreef ^JaapvR^ het volgende:
Maar gaat achilles ook voorbij die schildpad??

En kan iemand mij uitleggen wat er fout is aan "mijn" oplossing, die me een stuk eenvoudiger leek?

(voor iedereen zodner scrollwiel: Zet gewoon een st-diagram uit voor de plaats van Achilles ten opzichte van de Schildpad, met hun relatieve snelhedi als richtingscoefficient)

met jouw oplossing los je de paradox niet op, want de paradox zegt nu juist dat jouw oplossing niet klopt

[Anoniem: 6071]

Maar met jouw oplossing zal hij nooit een voorsprong krijgen op de schildpad (toch?), en los je de paradox dus ook niet op.

[Diadem]

Jawel toch?

Mijn reeks geeft het moment aan waarop Achilles de schildpad inhaalt. Als dit oneindig is haalt hij hem dus nooit in. Maar hij is niet oneindig, hij is eindig, en positief.

En dus haalt Achilles de schildpad in, QED.

[Anoniem: 13700]

Waarom werken jullie allemaal in afstand of tijd, en niet in beide, snelheid dus? Als A(chilles) een hogere constante snelheid heeft dan S(childpad), dan moet A S inhalen als de voorsprong van S niet te groot is. Als Zeno beweert dat A S niet kan inhalen, dan beweert hij dus (impliciet!) dat A en/of S niet met constante snelheid lopen, hij stelt immers dat de voorsprong niet te groot is.

[younix]

Op woensdag 17 oktober 2001 18:50 schreef BlueAngelGoT het volgende:
De paradox van Zeno geeft een dubieuze situatie. Het probeert te bewijzen dat onze zintuigen ons "beliegen". Ik vind het moeilijk om zoiets simpels voor waar aan te nemen, maar ik kan het ook niet weerleggen. Kan iemand deze paradox weerleggen?

De paradox gaat als volgt: Er is een hardloopwedstrijd tussen Achilles en een schildpad, waarbij de schildpad halverwege begint en Achilles dus de dubbele afstand moet lopen. Achilles die de beste hardloper van Griekenland wint deze race met gemak!

Nou komt Zeno. Hij zegt dat Achilles de schildpad in feite nooit heeft kunnen inhalen. Omdat in de tijd dat Achilles bij de start van de schildpad komt de schildpad weer een stukje afgelegd heeft. In de tijd dat Achilles bij die nieuwe positie van de schildpad is legt de schildpad weer een stuk af etc.

Ik kan deze redenatie niet weerleggen. Ik kan me wel bedenken dat dit bewijst dat wiskunde als enige taal de werkelijkheid kan verklaren!

In deze redenatie worden eigenlijk appels met peren vergeleken. "In de TIJD dat Achilles bij die nieuwe positie van de schildpad is legt de schildpad weer een STUK af etc."
Hier wordt dus een tijdseenheid vergeleken met een eenheid voor afstand. Als je ook nog de snelheid meeneemt waarmee ze bijden bewegen, dan pas kun je iets over de plaats zeggen waar ze zich allebei bevinden. Er wordt in de stelling niets gezegd over het gelijktijdig ergens zijn van de schildpad en achilles en dus kun je daaruit ook niet concluderen dat achilles de schildpad nooit kan inhalen.

Eigenlijk is dit geen paradox, maar meer een niet volledige beschrijving van een situatie.

[Anoniem: 37519]

... Zoals ik al zei: ik weet er te weinig van. Ik kan alleen vertellen wat ik heb gehoord en met mijn (beperkte) capaciteiten kan deduceren.

[FCA]

OK, de huidige wiskunde kan deze paradox op de volgende manier oplossen:
Door middel van een combinatie van een bewijs met volledige inductie en een epsilon delta bewijs. Dat was wat ik eerder probeerde uit te leggen. In wiskundige termen:
Limiet x gaat naar a van f(x) is gelijk aan c, als voor iedere epsilon > 0 er een delta > 0 zodanig dat als |x-a|<delta
|f(x) - c| < epsilon.

In dit geval is er een limiet naar oneindig van de volgende reeks: 1/x^n gesommeerd voor n=0 tot oneindig, met x de relatieve snelheid van Achilles ten opzichte van de schildpad, dus x= v_achilles / v_schildpad.
Hypothese: de limiet gaat naar x/(x-1), als we de voorsprong van de schildpad op 1 stellen. Dit kan, omdat de rest van de grootheden dimensieloos is. Als x>1, dus als Achilles sneller is, dan zal Achilles op een eindig tijdstip (namelijk tijdstip a*x/(x-1) ) op gelijke voet met de schildpad zijn. Omdat Achilles natuurlijk sneller is, zal Achilles de schildpad dan verder inhalen.

In dit geval, omdat we naar oneindig naderen, moet je in plaats van delta, kiezen voor alle m> N, met N een bepaald getal. Kies nu N> log epsilon/log (x^(-1))

Met inductie: voor n=0 geldt dat de som gelijk is aan x/(x-1) - x^(-n)/(x-1) immers de som = 1 en
x/(x-1) - x^0/(x-1)= x/(x-1) - 1/(x-1) = (x-1)/(x-1) = 1
Stel, geldt voor n, dan geldt voor n+1:
som is x/(x-1) - x^(-n)/(x-1) + x^(-n-1) (volgens inductiehypothese)
= x/(x-1) - x^(-n)/(x-1) + x^(-n-1)*(x-1) / (x-1)
= x/(x-1) - x^(-n)/(x-1) + x^(-n)/(x-1) - x^(-n-1)/(x-1)
= x/(x-1) - x^(-n-1)/(x-1)

Dus, voor alle n element van de natuurlijke getallen geldt dat de som gelijk is aan x/(x-1) - x^(-n)/(x-1)

Als m>N>log epsilon/log(x^(-1))
Dan geldt dus |som - x/(x-1)| = |x^(-m)/(x-1)|, volgens de uitkomst van het inductie bewijs
|x^(-m)/(x-1)|<|x^(-m)| als x>1
en |x^(-m)|< |x^(- log epsilon/log(x^(-1)), immers, x^(-m) is een strict dalende functie voor x en m reëel.
|x^(-log(epsilon)/log(x^(-1)))| =
|x^(xlog(epsilon))| Met xlog de logaritme met basis x
=|epsilon| = epsilon.
Dus |som(m) - x/(x-1)|< epsilon als m> - xlog(epsilon)
Oftewel, voor willekeurig kleine epsilon is er een N te vinden zodanig dat als m>N, |som(m)-x/(x-1)|< epsilon.

Oftewel, de limiet van n gaat naar oneindig van de som
Som[x^(-n)] van 0 naar n = x/(x-1), als x>1, dus Achilles haalt de schildpad altijd in na een eindige tijd als hij sneller als de schildpad is.

Zeno kende de epsilon-delta methode niet, dus zou hij de paradox niet hebben kunnen oplossen.





Phew... dat was een klerewerk zeg. Maar het staat er nu dan ook onweerlegbaar.

edit: Fout(je) verbeterd (verbetering in bold)

[Anoniem: 8718]

Pfff... Komen jullie met allemaal moeilijke berekeningen terwijl het antwoord heel makkelijk is:

Deze redenatie gaat er van uit dat Achilles en de schildpad steeds stoppen en dan opnieuw starten. Dan kan het. Echter, dit is niet geval.

Probeer het maar is uit met twee vingers op je bureau. Een vinger is Achilles, de andere de schilpad. Doe het nu een keer door steeds te stoppen. Nu kan Achilles de schilpad niet inhalen. Doe het nu nog een keer, maar blijf je vingers bewegen. Nu boekt Achilles de schilpad eruit als een Thunderbird tegenover een Cyrix...

[FCA]

Op donderdag 18 oktober 2001 17:55 schreef ---X2--- het volgende:
Pfff... Komen jullie met allemaal moeilijke berekeningen terwijl het antwoord heel makkelijk is:

Deze redenatie gaat er van uit dat Achilles en de schildpad steeds stoppen en dan opnieuw starten. Dan kan het. Echter, dit is niet geval.

Probeer het maar is uit met twee vingers op je bureau. Een vinger is Achilles, de andere de schilpad. Doe het nu een keer door steeds te stoppen. Nu kan Achilles de schilpad niet inhalen. Doe het nu nog een keer, maar blijf je vingers bewegen. Nu boekt Achilles de schilpad eruit als een Thunderbird tegenover een Cyrix...

De paradox gaat er helemaal niet vanuit dat Achilles en de schildpad steeds stoppen.
De paradox gaat erover dat hoewel Achilles er een steeds kortere tijd over doet om de afstand tussen hem en de schildpad te halveren, die tijd nooit precies nul wordt.
Helemaal niks met stoppen en weer doorgaan.
Natuurlijk kunnen wij allemaal met eigen ogen zien dat Achilles de schildpad inhaalt, maar het Zeno vond dat je nooit zeker wist of je zintuigen je bedrogen en dus alleen maar op je verstand mocht vertrouwen.
Zo kon hij ook beredeneren dat er helemaal geen beweging mogelijk was. Die redenering kon ook pas weerlegd worden toen men een goed gedefiniëerd limiet begrip invoerde.

Deze paradoxen kunnen ook begrepen worden door te werken met zogenaamde "non-standard analysis", waarin oneindig kleine getallen bestaan enzo, maar dat is ook uitermate lastig, en levert op andere terreinen weer problemen op.

[Anoniem: 8718]

Op donderdag 18 oktober 2001 18:25 schreef FCA het volgende:

[..]

De paradox gaat er helemaal niet vanuit dat Achilles en de schildpad steeds stoppen.
De paradox gaat erover dat hoewel Achilles er een steeds kortere tijd over doet om de afstand tussen hem en de schildpad te halveren, die tijd nooit precies nul wordt.
Helemaal niks met stoppen en weer doorgaan.
Natuurlijk kunnen wij allemaal met eigen ogen zien dat Achilles de schildpad inhaalt, maar het Zeno vond dat je nooit zeker wist of je zintuigen je bedrogen en dus alleen maar op je verstand mocht vertrouwen.
Zo kon hij ook beredeneren dat er helemaal geen beweging mogelijk was. Die redenering kon ook pas weerlegd worden toen men een goed gedefiniëerd limiet begrip invoerde.

Deze paradoxen kunnen ook begrepen worden door te werken met zogenaamde "non-standard analysis", waarin oneindig kleine getallen bestaan enzo, maar dat is ook uitermate lastig, en levert op andere terreinen weer problemen op.

Ok, ik zal me er niet meer mee bemoeien... 1-0
Vorig jaar deed natuurkunde van me precies hetzelfde proefje (op het bord dan) en gaf dat als antwoord... (nee, 'k heb het idd niet zelf bed8)

[FCA]

Op donderdag 18 oktober 2001 18:39 schreef ---X2--- het volgende:

[..]

Ok, ik zal me er niet meer mee bemoeien... 1-0
Vorig jaar deed natuurkunde van me precies hetzelfde proefje (op het bord dan) en gaf dat als antwoord... (nee, 'k heb het idd niet zelf bed8)

Even mijn bewijs overpennen en dan goed uit je hoofd leren, en dan je natuurkunde leraar verrassen.
Is goed dat je erover nadenkt. Denk alleen niet dat het erg makkelijk is.
Wiskundigen hebben zich er tot in de vorige eeuw het hoofd over gebroken.
Natuurkundigen hebben zich er nooit wat van aangetrokken trouwens, die rekenden rustig met oneindig kleine getallen.

[Diadem]

Bovenstaande verhaal van FCA is dus het formele bewijs waarom van wat ik op intuitieve manier heb uitgelegd....

[Anoniem: 27031]

Op woensdag 17 oktober 2001 19:42 schreef BlueAngelGoT het volgende:
Je snapt het niet Reggaeman. In de werkelijkheid wint Achilles ook! Alleen Zeno zegt dat dat niet kan omdat...

Snap je em?

Nu begint het wel een beetje te dagen ja.

Maar toch... stel dat schiltpad laat een dikke ruft met een kracht van 7 op de schall van richter (de schaal van ruft bestaat nog niet volgens mij) en schiet enkele milimeters vooruit.

In het reeele geval lijkt me deze kwestie onberekenbaar.

[Confusion]

FCA schreef:
en een epsilon delta bewijs.

Ik word misselijk

[Lord Daemon]

Overigens kan je ook infinitesimalen als echte getallen aanvaarden (bijvoorbeeld dmv de hyperreal numbers) en dan een claculus opstellen die werkt met infinitesimalen. Dan kan je de ruimte zien als een Absoluut Continuum, en is de paradox niet meer.

Gezien de quanttummechanica lijkt mij dit volledig zinloos, maar dat etrzijde.

[FCA]

Op donderdag 18 oktober 2001 20:24 schreef Lord Daemon het volgende:
Overigens kan je ook infinitesimalen als echte getallen aanvaarden (bijvoorbeeld dmv de hyperreal numbers) en dan een claculus opstellen die werkt met infinitesimalen. Dan kan je de ruimte zien als een Absoluut Continuum, en is de paradox niet meer.

Gezien de quanttummechanica lijkt mij dit volledig zinloos, maar dat etrzijde.

Dat kan ja, dan werk je met non-standard analysis. Maar die heeft weer zo z'n eigen problemen. Een consistente non-standard analysis is pas in de eerste helft van de 20e eeuw bedacht. Ik geloof dat je de dx in differentiëren en integreren dan kunt beschrijven als een coraakvectorbundel.
Of zoiets
Precies weten doe ik het niet meer.

Maar waarom zou dat gezien de quantummechanica zinloos zijn?
Sinds wanneer laten wiskundigen zich afleiden door de werkelijke wereld?

[Lord Daemon]

Maar waarom zou dat gezien de quantummechanica zinloos zijn?

Omdat we die wiskunde nu willen toepassen op de paradox van Zeno, en de paradox van Zeno is een fysische situatie.

Sinds wanneer laten wiskundigen zich afleiden door de werkelijke wereld?

Nou, daar kan ik wel wat interessants over zeggen. Ik moet voor volgende week donderdag een paper schrijven voor het vak Infinity and the Mind, en laat ik het nu juist doen over dit. Help me eraan herinneren dat ik het volgende week post. (Ik betoog in die paper dat als wiskunde iets anders wil zijn dan fictie zij zich ofwel moet baseren op 'actualities' (finitistische wiskunde) ofwel op 'possibilities' (niet-finitistische wiskunde).)

[Anoniem: 1722]

Een variant op deze paradox (sorry dat ik zo laat post ) staat in het verhaal "Diabologica", van de schrijver "Moet ik Thuis Nog Even Opzoeken", in de SF-bundel "En Deze Dus Ook Thuis Opzoeken"

Deze stelt: "Een kogel kan een rennende man nooit inhalen, want als de kogel op de plaats aankomt waar de man was, is de man weer verder, dus moet de kogel weer die afstand afleggen etc etc" (exacte quote komt later wel, als ik dus weer thuis ben).

Staan er trouwens nog een stel bij (offtopic, ik weet het, maar niettemin toch leuk om over te discussieren):

- Is een blad ook groen als er geen licht is?
- Geen kat heeft 8 staarten. Elke kat heeft 1 staart meer dan geen kat, dus heeft elke kat 9 staarten.
- Als er een wereld is waarbij het ene halfrond uit alleen water bestaat en het andere uit alleen land, heb je dan een meer of een eiland?

Zulke dingen dus

[Confusion]

Gul'Dan schreef:
- Is een blad ook groen als er geen licht is?

Gezien de uniformiteit van de natuur, mogen we aannemen dat onder gelijke omstandigheden altijd dezelfde situatie optreedt. Een vallende boom maakt dus ook geluid als er niemand is om het te horen, mits je geluid definieert als luchttrillingen en erkent dat een vallende boom een fysisch proces is dat luchttrillingen voort moet brengen, omdat het dat altijd doet.

- Als er een wereld is waarbij het ene halfrond uit alleen water bestaat en het andere uit alleen land, heb je dan een meer of een eiland?

Dat is net als vragen of een glas halfvol of halfleeg is, waarbij het antwoord niets verandert aan de situatie en er dus geen verschil tussen de antwoorden is. Beide antwoorden zijn dus correct. Mensen in zo'n wereld zullen echter het verschijnsel zee, meer en oceaan niet kennen, netzomin als eiland, schiereiland, continent, etc. en waarschijnlijk zijn de verschijnselen dus slechts bekend als 'de watermassa' en 'de landmassa'.

[Anoniem: 1541]

Op maandag 05 november 2001 10:31 schreef Gul'Dan het volgende:
Geen kat heeft 8 staarten. Elke kat heeft 1 staart meer dan geen kat, dus heeft elke kat 9 staarten.

"geen kat" heeft een ongedefinieerd aantal staarten en niet acht. Dus een kat heeft een ongedefinieerd aantal meer starten dan geen kat

[Anoniem: 1722]

Op maandag 05 november 2001 15:44 schreef jona het volgende:

[..]

"geen kat" heeft een ongedefinieerd aantal staarten en niet acht. Dus een kat heeft een ongedefinieerd aantal meer starten dan geen kat

Idd, ik vond die ook niet echt kloppen

Blahdieblahdatumentijdhierzo schreef Fused het volgende:

[..]

Gezien de uniformiteit van de natuur, mogen we aannemen dat onder gelijke omstandigheden altijd dezelfde situatie optreedt.

Maar hoe weet je dat als er niemand is die het kan observeren? Krijg je dan niet net zoiets als het experimentje met de kat van Schrodinger (je kan het niet weten tenzij je de doos opendoet, of in dit geval het licht aandoet)

[FCA]

Op maandag 05 november 2001 10:31 schreef Gul'Dan het volgende:
Een variant op deze paradox (sorry dat ik zo laat post ) staat in het verhaal "Diabologica", van de schrijver "Moet ik Thuis Nog Even Opzoeken", in de SF-bundel "En Deze Dus Ook Thuis Opzoeken"

Deze stelt: "Een kogel kan een rennende man nooit inhalen, want als de kogel op de plaats aankomt waar de man was, is de man weer verder, dus moet de kogel weer die afstand afleggen etc etc" (exacte quote komt later wel, als ik dus weer thuis ben).

Staan er trouwens nog een stel bij (offtopic, ik weet het, maar niettemin toch leuk om over te discussieren):

- Is een blad ook groen als er geen licht is?

Als je een blad eenmaal hebt waargenomen, blijft hij, afgezien van invloeden van buitenaf, in dezelfde toestand. Dus als ie eenmaal groen is, blijft hij groen. Fundament van de Quantummechanica

- Geen kat heeft 8 staarten. Elke kat heeft 1 staart meer dan geen kat, dus heeft elke kat 9 staarten.

Een hond is geen kat. Een hond heeft 1 staart. Een kat heeft geen 1 staart meer als een hond. QED.

- Als er een wereld is waarbij het ene halfrond uit alleen water bestaat en het andere uit alleen land, heb je dan een meer of een eiland?

Zulke dingen dus

Laatste is flauw. Een meer of een eiland is niet echt goed gedefiniëerd. Misschien is het een continent, een zee, een baai, etc.
Het is net zoveel een eiland als ieder continent, en net zoveel een meer als alle zeeën van deze aarde bij elkaar....

Wel heel erg flauwe "paradoxen".

[Lord Daemon]

Als je een blad eenmaal hebt waargenomen, blijft hij, afgezien van invloeden van buitenaf, in dezelfde toestand.

Was er niet iets met degenererende golffuncties?

[FCA]

Op maandag 05 november 2001 17:29 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Was er niet iets met degenererende golffuncties?

Ik heb nu slechts QME1A gehad. Misschien komen die later...
Maar ik dacht dat zonder invloed van buitenaf het object toch echt in een eigentoestand bleef (iig voor energie, i.v.m. behoud van energie)

Net even opgezocht: Heet decoherence, is een hypothetische verklaring voor de niet-begrepen instantane collapse van de golffunctie.

[toraq]

Ik weet ook nog wel een aardige,
Stel, je hebt een vliegje die tussen twee treinen, A en B heen en weer vliegt met een snelheid van 50 km per uur.
A en B bevinden zich als het tafereel begint 150 km/s van elkaar af, A rijdt met een snelheid van 40 km per uur, B met een snelheid van 35 km per uur. Hoe groot is de afstand die het vliegje heeft afgelegd als hij tussen de twee botsende treinen geplet wordt ?
/edit
Ow, hij staat al in het andere topic.