[BC3] de 3 hoogte en zwaarte lijnen in een driehoek?

[BC3 Victim]

heeft iemand echt een duidelijk bewijs en uitgebreid bewijs waarom ze elkaar kruisen bij een scherpe 3hoek?

zodat ik dat kan uitprinten en kan geven! (wat zal hij blij zijn)

[BC3 Victim]

ik werk als vakkenvuller bij de edah en daar komt ook een vaste klant!
die klant is een oude chinees die allerlei titels voor zijn naam heeft en heel de dag alleen maar theorieen verzint bewijst en uitrekend. Waarom? dat weet ik niet!

nu vroeg hij een maand geleden aan mij en een paar andere vakkenvullers of wij wisten waarom de 3 hoogte en zwaarte lijnen in een driehoek elkaar snijden! wij wisten dat niet en zeiden dat dat logisch is omdat het een driehoek was! waarop de man zij maar ik wil een bewijs een berekening ofzo.

dus een paar dagen geleden zag ik de man weer en hij vroeg of ik het al wist! Ik zij: nee, u? maar ik kan het misschien wel vragen voor u op internet!
misschien zijn er mensen die me kunnen helpen!

hij zij hoeveel kost dat! ik zij nix natuurlijk!

zHij was toen helemaal blij en vroeg gelijk wanneer ik weer moest weken ik zij zaterdag en hij zij tot zaterdag!

zo een heel verhaal!
maar het komt erop neer dat ik een bewijs of berekening wil hebben waarom de 3 hoogte en zwaarte lijnen in een driehoek elkaar snijden.

weten jullie dit of kunnen jullie mij helpen om die man te helpen?

[drm]

owww...

is al een tijdje terug, die wiskunde...

hoogtelijn is de lijn van het midden van 1 zijde naar de overstaande punt in een rechte hoek... ofzo...

ik weet het echt niet meer....


Maar waar hij misschien wel wat aan heeft is boeken van de duitse (geloof ik) wiskundige Euler. Die heeft zich nog al bezig gehouden met dat soort dingen.

[Anoniem: 7690]

Ik zou zeggen, gooi die driehoek in een coordinatenstelsel er stel de vergelijkingen van de 3 hoogtelijnen op en kijk waar die elkaar snijden. Als het goed is moet daar bij elk paar hoogtelijnen het zelfde punt uitkomen.

[Anoniem: 17989]

De lijn van A naar het midden van BC: de zwaartelijn uit A
De lijn door A loodrecht op BC: de hoogtelijn uit A
De lijn die de hoek BAC in tweeën deelt: de bissectrice van hoek BAC
En verder zie je nog een lijn

de lijn loodrecht door het midden van BC: de middelloodlijn van BC


1.Bij een gelijkzijdige driehoek vallen de hoogtelijn en zwaartelijn samen, en dus ze snijden niet. Bij een gelijkbenige maar in 1 hoek, en

2. Bij elke andere driehoek snijden ze.

[Anoniem: 15367]

Ze snijden elkaar omdat elke hoogte en zwaartelijn naar de tegenoverliggende hoek gaat. In een driehoek moeten ze elkaar dan wel snijden. Wiskundig bewijs laat ik aan anderen over .

[Anoniem: 17242]

Zie het boek WB2 deel 1 hoofdstuk 2.
Ik ben nu net zelf met dat soort dingen bezig en ben nu aangekomen in hoofdstuk 2 waar ik deze stelling ook al heb geformuleerd, maar nog niet bewezen.
Dit kun je namelijk heel mooi weergeven met het programma cabri géomètre 2.
Bedenk wel dat iets aantonen met cabri niet hetzelfde is als het leveren van een bewijs.
Veredrop in dit hoofdstuk komt dit bewijs waarschijnlijk nog wel terug, maar ik heb ff geen zin om dit zelf te gaan opzoeken of bewijzen.

[Lord Daemon]

Poeh, ff proberen. De zwaartelijn is fysisch heel simpel: alle zwaartelijnen moeten door het zwaartepunt gaan (het punt waar je de driehoek kan ophangen zoals je wilt zonder dat hij gaat draaien, zeg maar). Dus moeten ze alle 3 door 1 punt gaan.

Maar een bewijs kan ik ook nog wel vinden denk ik, maar even niet nu want ik ga offline. Weet je wat, ik ICQ onze hof-wiskundige wel even, minder werk.

[Anoniem: 22716]

Bladzijde 5 en 6 (stelling 1.2 en 1.5) van http://www.educadbv.nl/Daedalus/Geometer/De_geometer_H1.pdf

Hier heb je dus wel acrobat reader voor nodig.

Ik zou als ik jou was bladzijde 4,5 en 6 ff uitprinten. Hiermee valt het helemaal te begrijpen, en val je tenminste niet midden in het verhaal.

[Gir]

Stom antwoord, ik heb ff nagedacht en weet nu wat die man bedoelt. Ik moet alleen ff heel diep nadenken hoe je dat ook alweer kon bewijzen

[Gir]

Ik zal straks even in cabri een tekening maken en het bewijs geven (of athans een bondig bewijs...)

[Anoniem: 958]

De 3 hoogtelijnen van een driehoek gaan door 1 punt, omdat het
de 3 middelloodlijnen van een grotere driehoek zijn, die
ontstaat door om de driehoek 3 congruente driehoeken te leggen.

De middelloodlijnen van een driehoek gaan door het middelpunt
van de omgeschreven cirkel, omdat de middelloodlijn van AB
de verzameling punten is die even ver van A als van B af liggen,
dus het snijpunt van de middelloodlijnen van AB en BC ligt even
ver van A als van B als van C en de middelloodlijn van BC gaat
dan natuurlijk ook door dat punt.

De zwaartelijnen gaan ook door 1 punt. Natuurlijk vanwege het
feit dat een voorwerp natuurkundig gezien maar 1 zwaartepunt
kan hebben, maar er is een ''mooier'' bewijs:

Teken een driehoek met daarin de 3 zwaartelijnen die dus van
het midden van een zijde naar de overliggende hoek gaan.
Het snijpunt van deze lijnen ligt binnen de driehoek die ontstaat
door de 3 middens te verbinden (even nadenken). De drie lijnen
zijn zelfs ook de zwaartelijnen van deze kleinere driehoek.
Neem van deze kleine driehoek weer de middens en verbindt ze
met elkaar. Het snijpunt ligt nu weer binnen deze nog kleinere
driehoek. De oppervlakte van deze driehoekjes convergeert naar
0, dus moeten de 3 lijnen wel door 1 punt gaan.

De 3 bissectrises van een driehoek gaan ook door 1 punt: het
middelpunt van de ingeschreven driehoek, maar dat bewijs ben
ik even vergeten...

Sandalf

[Gir]

Ok sorry ik was dus toch te laat

[Anoniem: 958]

Er is nog 1 bewijs over. Die van de 3 bissectrices die door het middelpunt van de ingeschreven cirkel gaan...

Daar kun je misschien nog een bewijs voor zoeken. Ik ben em ff kwijt...

[drm]

Leuke probleempjes, dit.

Kun je nagaan dat de Griekse wiskundige (of beter gezegd, filosoof, toentertijd) Euclidies zich hier al mee bezig hield, 200 jr. v Chr.?!

Als je nog eens een bewijs zoekt voor dergelijke dingen moet je volgens mij eens zoeken op die naam. Daar komt nl. de Euclidische meetkunde ook vandaan, en dat zijn echt typisch dit soort probleempjes.

Dat was ook die mafkees die het bewijs voor de oneindige priemgetallen had bedacht. Heel simpel, maar je moet er maar ff opkomen :

! is faculteit, dat weet iedereen wel, neem ik aan
n! is oneindig, omdat bij een getal X altijd nog Y opgeteld kan worden. En faculteit is een recursieve optelling

n! +1 is altijd een priemgetal. ga maar na
lache he?

Niet dat ik nou onwijs help met het probleem, maar dit is ook vast zo iets wat die chinees ooit een dag of 3 bezig heeft gehouden

[Anoniem: 958]

Euhm... Dat klopt niet hoor...

Dat een getal n!+1 niet deelbaar is door een getal kleiner dan n klopt, maar dit hoeft niet te betekenen dat n!+1 priem is. Dit zou ook betekenen dat je heel snel grote priemgetallen zou kunnen vinden, maar dat is absoluut niet waar!

Het bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn, lijkt er wel een beetje op. Dat gaat zo:

Stel er zijn eindig veel priemgetallen: {a1,a2,...,an} dan is het product van deze getallen +1 priem omdat het door GEEN ENKEL PRIEMGETAL te delen is (levert altijd rest 1 op). Dus er is dan een groter priemgetal, wat een tegenspraak geeft met dat {a1,a2,...,an} de enige priemgetallen zijn.
Dus de aanname dat er eindig veel priemgetallen zijn, is onwaar.

Dit is een bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn, zonder een manier te geven om grote priemgetallen te maken.

[BC3 Victim]

voorbeeld dat het niet klopt:

4! = 24
24 + 1 = 25