[BC3] Hoe berekende Pythagoras wortels?

[iain]

Pythagoras berekende wortels in een tijd dat er geen rekenmachines of rekenlinialen waren. Hoe deed hij dat?

Ook de rekenmachine zelf kan het berekenen. Hoe doet zo''n rekenmachine dat???

[Verwijderd]

Goeie vraag!

Heb ook geen flauw idee wat het antwoord is.

[mbvisiontt]

Die man heeft um toch uitgevonden, of niet? Ik denk dat ie het via een plaatje deed.

[iain]

Op maandag 09 april 2001 10:57 schreef mbvisiontt het volgende:
Die man heeft um toch uitgevonden, of niet? Ik denk dat ie het via een plaatje deed.

Pardon????

Ik denk niet dat Pythagoras wortels heeft uitgevonden. Ik vind het in elk geval knap!

Maar wat bedoel je met een plaatje???

[Tsjipmanz]

Op maandag 09 april 2001 11:01 schreef IainHecker het volgende:

[..]

Ik denk niet dat Pythagoras wortels heeft uitgevonden. Ik vind het in elk geval knap!

Maar wat bedoel je met een plaatje???

Als ie de stelling van Pyth heeft uitgevonden (met a^2+b^2=c^2), dan zal ie ook wel wortels moeten kunnen hebben trekken om er wat aan te hebben.

[Verwijderd]

Er is een manier voor. Je ouders bijvoorbeeld zullen waarschijnlijk geen zakjapanner hebben gehad (mijn moe iig niet). Die moesten het dus aan de hand van een formule uitrekenen.
/me zou nie weten hoe dat moet.

[balk]

Ik denk door te proberen en door veel geduld te hebben. wortel uit tien? ok, 9^0.5=3 dus 10 zal wel 3.1 zijn. 3.1^2 uitrekenen. 3.1^2=9.61 Niet goed dus. hoger, 3.15 ofzow enz enz.

[Verwijderd]

Misschien door te schatten. Kwadrateren is niet zo moeilijk, dus als je een tabel maakt met heel veel kwadraten dan kun je makkelijk de getallen die er het dichste bij liggen opzoeken. Als die getallen hebt kun je door het steeds preciezer gaan berekenen, door eerst precies tussen de 2 getallen in te nemen en als de uitkomst boven je wortel uitkomt ga je iets hoger. Als je dan de uitslag hebt die het dichst erbij in de buurt komt kun je de volgende decimaal gaan berekenen, etc...

Ik weet niet hoe dat tegenwoordig met de 2de fase gaat, maar dit heb ik allemaal op de havo gehad.

[Tsjipmanz]

Op de volgende site staat een manier waaroip je het kan doen, het blijft echter een benadering (maar dat is logisch)

http://www.math.com/school/subject1/lessons/S1U1L9DP.html

[iain]

Ik wil geen benadering weten. Want die ken ik al. Maar een rekenmachine doet het precies, en niet door te benaderen. Hoe????

[Tsjipmanz]

Op maandag 09 april 2001 11:27 schreef IainHecker het volgende:
Ik wil geen benadering weten. Want die ken ik al. Maar een rekenmachine doet het precies, en niet door te benaderen. Hoe????

Dat is het grappige, een rekenmachine doet het ook niet precies, maar geeft ook een benadering. Hoeveel decimalen nauwkeurig denk jij dat een rekenmachine een wortel kan benaderen?
Er is geen manier om wortels met een oneindig aantal decimalen precies te berekenen. Dit is ook de reden dat in berekeningen wortels vaak blijven staan.

[Lord Daemon]

Ik weet hoe ik het zou dien, maar niet hoe pythagoras het deed. Ik neem een Taylor-ontwikkeling. Stel x is iets groter dan 9. Dan:

Sqrt(x) = Sqrt(9) + (x-9) Sqrt''(9) + (x-9)^2 / 2 Sqrt''''(9) + (x-9)^3 / 6 Sqrt''''''(9) + ...

Met Sqrt''(x) de afgeleide van de wortlefunctie in het punt x. Als x in de buurt ligt van 16 vervang je alle 9 door 16, etcetera. Iig moet je een getal nemen waarvan je de wortel wel weet. (En de afgeleiden dus ook, want op constantes na heb je: Sqrt''(x) = 1 / Sqrt(x) ; Sqrt''''(x) = 1 / (x * Sqrt(x)), enxovoort.)

Lord Daemon

[iain]

Dus er is echt geen berekening of een vergelijking of iets dergelijks? Dat valt me tegen!!!

[Bigfoot]

Op maandag 09 april 2001 11:42 schreef IainHecker het volgende:
Dus er is echt geen berekening of een vergelijking of iets dergelijks? Dat valt me tegen!!!

Dat valt je tegen? Van wie???

[iain]

Op maandag 09 april 2001 11:45 schreef Bigfoot72 het volgende:

[..]

Dat valt je tegen? Van wie???

van mr. Root. Square Root...

[Lord Daemon]

Ik heb toch een vergelijking gegeven? Hij werkt perfect, als je er maar oneindig veel tijd in stopt. En dat dat nodig is kan je gemakkelijk inzien, want de meeste wortels zijn irrationeel, en het duurt dus (onaftelbaar) oneindig lang om alle decimalen te vinden. Net zoals pi zeg maar.

Lord Daemon

[Grrrrrene]

Ik heb van mijn wiskundeleraar ooit eens geleerd dat het met vierkantjes te maken had zoals hij erop is gekomen:

Teken aan alle 3 de zijden een vierkant, dus met zijden van de lengte van die driehoek (is dit te volgen?)...

Dan is de oppervlakte van het vierkant aan de schuine zijde even groot als die van de 2 rechte zijden opgeteld.

Die wortels werden vroeger geschat, maar zijn toch niet door pythagoras uitgevonden :?:?

[Verwijderd]

Op maandag 09 april 2001 12:08 schreef Grrrrrene het volgende:
Ik heb van mijn wiskundeleraar ooit eens geleerd dat het met vierkantjes te maken had zoals hij erop is gekomen:

Teken aan alle 3 de zijden een vierkant, dus met zijden van de lengte van die driehoek (is dit te volgen?)...

Dan is de oppervlakte van het vierkant aan de schuine zijde even groot als die van de 2 rechte zijden opgeteld.

Die wortels werden vroeger geschat, maar zijn toch niet door pythagoras uitgevonden :?:?

Dat met die vierkanten is idd de stelling van Pyth., maar daar vind je geen wortels mee. Je kunt daarmee de lengte van de schuine zijde van een driehoek berekenen als je de rechte zijden al twee hebt. De stelling luidt:

"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hypothenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden."

Daar vind je dus geen wortels mee, je hebt ze nodig om ''m op te lossen

Pythagoras heeft zich wel met worteltrekken bezig gehouden, hij heeft onder andere het bestaan van irrationele getallen bewezen, door te bewijzen dat je de wortel uit 2 niet als breuk kunt schrijven.

Maar (volgens mij, weet ik niet zeker) had je Pythagoras echt niet moeten vragen om even de wortel uit 857892347592909 te geven, ook hij had moeten gaan schatten en rekenen...

[toraq]

Dat niemand dit weet, ik heb het zelf eens bedacht toen ik mijn rekenmachine was vergeten bij een wiskunderepetitie, het is zo simpel.

stel, je hebt x, waarvan je de wortel wilt weten, dan bepaal je een startwaarde y (x/2 is over het algemeen wel geen goed getal om mee te beginnen)
en berekent met deze formule de volgende y.
op deze manier kan je met elke stap de waarde steeds dichter benaderen, precies zoals een rekenmachine dat kan.
[edit, haakjes vergeten :)]
y = (x/y + x)/2
[/edit]

[Verwijderd]

Pythagoras was natuurlijk nog niet bekend met Taylorreeksen. Daarvoor heb je eerst differentiaalrekening nodig en werd pas in de 18e eeuw ontdekt (door Gauss en Newton geloof ik).

De Grieken kenden maar 1 wiskunde en dat was meetkunde (vastgelegd door Euclides zo''n 300 vChr in zijn boek ''De Elementen'').

Getallen kenden ze alleen als de lengte van lijnstukjes, optellen was het aan elkaar plakken van lijntjes enz.

Alle andere berekeningen zoals delen, vermenigvuldigen en ook worteltrekken deden ze met passer en lineaal.

Met de passer mag je dan alleen cirkels maken en met de lineaal alleen rechte lijnen trekken en de lengte van een lijnstukje opmeten en ergens anders tekenen. Je mag dus niet de cijfertjes op je lineaal gebruiken om lengtes te meten, of de gradenboog op je passer, maar alleen geconstrueerde hoeken en lengtes.

Begin met het kiezen van 1 punt (je oorsprong) en een eenheidslengte (neem voor het gemak even 1). Met deze 2 gegevens kun je dan nieuwe punten, lijnen, lijnstukjes, en cirkels construeren. Het getal 2 bijvoorbeeld is dan te construeren door twee lijnstukjes met eenheidlengte achter elkaar te plakken. De Grieken zagen het getal 2 dus echt als de lengte van dit lijnstukje!

Met passer en lineaal kun je constructies maken voor: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken, maar dus niet voor bijvoorbeeld derde-machts-wortels.

De constructie voor optellen (aan elkaar plakken van lijntjes) is heel eenvoudig. Voor worteltrekken hadden ze een wat ingewikkeldere manier:

Je wilt de wortel trekken uit een getal a.

- Kies een oorsprong O en een eenheidslengte 1.

- Teken een lijnstukje van lengte a, beginnend in de oorsprong en eindigend in een nieuw geconstrueerd punt A.

- Verleng dit lijnstukje met de eenheidslengte om zo een lijnstukje van lengte a+1 te maken en noem het punt waar je uitkomt B.

- Teken een lijn l door O onder scherpe hoek met lijstukje OB.

- Teken nu de loodlijn vanuit B op l en noem het punt waar deze loodlijn l snijdt C.(loodlijn vanuit B op l = de lijn door B loodrecht op l)

Een loodlijn kun je constreren met je passer door een cirkel tekenen om het punt die de lijn in 2 punten snijdt, trek 2 cirkels om die 2 snijpunten die elkaar in 2 nieuwe punten snijden. De loodlijn is dan de lijn door die 2 punten. Je mag dus strikt genomen niet zomaar de 90 graden lijn van je geodriehoek gebruiken, maar dit kun je wel doen als je in je achterhoofd houdt dat loodlijnen te construeren zijn.

- Trek nu de loodlijn vanuit C op OB.

- De lengte van AC is nu Sqrt(a). (Dit kun je met 3 x Pythagoras toepassen bewijzen.)

Zo berekende Pythagoras dus wortels.

Het is big fun om met passer en linaal ingewikkelde constructies te maken zoals een regelmatige 17-hoek (meer over dit onderwerp is vast wel op internet te vinden).

Een leuke anekdote over de regelmatige 17-hoek is dat Gauss op zijn 18e verjaardag een constructie bedacht om een regelmatige 17-hoek met passer en lineaal te construeren. Hij vond dit zo leuk, dat hij besloot wiskunde te gaan studeren (i.p.v. taalkunde). Gauss groeide uit tot één van de grootste wiskundigen ooit.

[Ook]

Kijk, Pythagoras hoefde eigenlijk helemaal geen wortels te kunnen trekken...
Hij heeft gewoon de formule bedacht en hem getoetst adhv een paar simpele voorbeeldjes.
Als die paar sommetjes kloppen in de formule dan geldt er in de wetenschap:"Iedereen die het beter weet mag het zeggen!"
En dat is dus tot op de dag van vandaag nog niet gebeurt...

Je denk toch niet dat Pyth elke waarde in die formule heeft gestopt om te bewijzen dat ie klopt....?

Ook

[Tomas Zwinkels]

met een tabelenboek toch??? der hebben gewoon een paar nonnen niks te doen gehad en die hebben toen de wortels vaan superveel getalen uitgerekend en in een boekie geschreven??? zoiets toch

[Tsjipmanz]

Op maandag 09 april 2001 14:50 schreef Ook het volgende:
Als die paar sommetjes kloppen in de formule dan geldt er in de wetenschap:"Iedereen die het beter weet mag het zeggen!"
En dat is dus tot op de dag van vandaag nog niet gebeurt...

Dit is geen bewijs. Wel is het zo dat je aan de hand van een tegenvoorbeeld kan bewijzen dat iets NIET klopt.

Je denk toch niet dat Pyth elke waarde in die formule heeft gestopt om te bewijzen dat ie klopt....?

Nee, want dan ben je oneindig lang bezig omdat je een oneindig aantal voorbeelden kan invullen. Hij heeft het vermoedelijk wel bewezen, maar dat zul je wel ergens op internet kunnen vinden.

[Verwijderd]

Dit heb ik op school geleerd:
http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/sqrootform.html

Om snel even een worteltje te doen is het van belang om te beseffen dat (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

vb: sqr(17)
a=4(gokje)
2x4xb + b^2 = 1
8b + b^2 = 1
b^2 verwaarlozen, -> b=0.125
dus sqr(17) = +/- 4.125

Dit kan heel snel convergeren.
Volgende iteratie b.v. :

4.125^2 = 17.015625, dus
2ab + b^2 = -0.015625
8.25b = -0.015625 (b^2 wederom verwaarlozen)
b = -0.0018939

dus sqr(17) = +/- 4.1231061
en volgens japan: 4.1231056

[Verwijderd]

Sandalf: wel een interessant verhaal. Ik weet niet of je ''the crest of the peacock'' toevallig gelezen hebt? (ik nog niet, ligt nog op de stapel)
Dat is een boek over de geschiedenis van wiskunde, over uitvindingen van babyloniers, egyptenaren, chinezen...

Op maandag 09 april 2001 13:57 schreef Sandalf het volgende:
Een leuke anekdote over de regelmatige 17-hoek is dat Gauss op zijn 18e verjaardag een constructie bedacht om een regelmatige 17-hoek met passer en lineaal te construeren. Hij vond dit zo leuk, dat hij besloot wiskunde te gaan studeren (i.p.v. taalkunde). Gauss groeide uit tot één van de grootste wiskundigen ooit.

<offtopic stukkie>
Ik heb ook weleens een geinige Gauss-anekdote gehoord, weet niet wat er van waar is: (deze is ook niet zo schokkend, dit kunnen wel meer mensen verzinnen)

Het verhaal gaat dat ie als jochie op de (basis ?) school zit, en z''n wiskundeleraar overspannen voor de klas staat. In een laatste poging orde te houden geeft ie de leerlingen de opdracht om de natuurlijke getallen van 1 to 100 bij elkaar op te tellen. Ze moeten hun smoel houden tot ze het antwoord hebben...

Alle leerlingen gaan druk aan het tellen, maar Gauss is na een seconde of tien nadenken klaar.

ik zal ''m nog ff niet vertellen, wie weet ''m...

</offtopic stukkie>

[Goofyduck384]

Pythagoras berekende wortels in een tijd dat er geen rekenmachines of rekenlinialen waren. Hoe deed hij dat?

offtopic:
Geen idee, ik zelf heb op mn wiskunde proefwerkendag meestal een konijntje, dwergje, mee in mn tas. Pass ''em de opgave en hij rekend het uit...

goh wat ben ik flauw zeg, sorry...

[Tsjipmanz]

edit:
Als antwoord op AtariJunkie

(1+100)+(2+99) + ... + (50+51) = 50 * 101 = 5050.

Oftewel, als je 1 tot en met N bijelkaar optelt krijg je N(1+N)/2 (ofzo) toch?

[edit2]
Heb zelf ook een keer een dergelijke methode bedacht... Ik zat redelijk stoned met een vriend van mij naar een dartbord te staren om een logische volgorde te vinden in de permutatie van de getallen. Omdat dit niet lukte gingen we maar proberen alle getallen bijelkaar op te tellen, maar stoned als we waren kwamen we steeds op iets anders uit.

Toen viel het kwartje: als je nu 20 bij 1 optelt, 19 bij 2 enzovoort, krijg je 10*21 is 210!!

Ben ik nu slimmer dan Gauss omdat ik toen ik deze vondst deed onder invloed van geestverruimende middelen was?
[/edit2]

[Verwijderd]

En de koelkast (of de verzilverde geodriehoek) is voor Tsjipmanz!!

Klopt helemaal. Als je het weet is ie heel simpel maar vrijwel iedere rationele probleemoplosser begint 1 + 2+ 3 + 4... te doen...

[in antwoord op edit2]
Haha, waar een joint al niet goed voor kan zijn. Ik weet natuurlijk niet wat Gauss allemaal spoot of slikte
[/in antwoord op edit2]

[Tsjipmanz]

waar kan ik de koelkast afhalen?

Nog meer van dit soort vragen? Vinnik wel leuk namelijk.

[Verwijderd]

Op maandag 09 april 2001 15:52 schreef Tsjipmanz het volgende:
waar kan ik de koelkast afhalen?

Eehmz, kut ik heb er maar één dan wordt m''n bier warm...
Hou het maar op een virtuele koelkast!
/me beloofd teveel

Nog meer van dit soort vragen? Vinnik wel leuk namelijk.

Nou, dan dreig ik een beetje af te gaan dwalenvan het onderwerp van deze thread.

Wat ik nog wel een hele mooie vind is Euclides'' methode om de grootste gemene deler van twee getallen te vinden.
(om nog maar ff bij de stoffige grieken te blijven, ''t is inderdaad geweldig wat die jongens konden zonder de casio fx-81 )

Die gaat als volgt:

Neem de twee getallen, deel ze door elkaar tot ''t niet meer kan en onthou wat er overblijft. Neem nu het laagste van de oorspronkelijke twee getallen, en deel die door het resultaat van je eerste deling. Zo ga je door tot je een deling tegenkomt die perfect op 0 uitkomt, het laagste getal van die deling is de grootste gemene deler van je oorspronkelijke twee getallen.

(ik weet niet of ie zo duidelijk is, maar hij is prachtig )

[Nappa]

Op maandag 09 april 2001 11:42 schreef IainHecker het volgende:
Dus er is echt geen berekening of een vergelijking of iets dergelijks? Dat valt me tegen!!!

De berekening die ik ooit gebruikt heb om een wortelberekeningsprogrammaatje te schrijven was de volgende. Als voorbeeld zal ik de wortel van 2 nemen, maar het idee is uit te breiden naar een algemeen geval.
Als je sqrt(2) wilt weten, kun je de volgende vergelijking maken:
sqrt(2) = x
=> (kwadrateren)
2 = x^2
=>
x^2 - 2 = 0
Noem deze functie f(x)
Dan:
f(x) = x^2 -2
f''(x) = 2x

Neem nu x = 10
Dan: f(10) = 98
Het punt A:(10,98) ligt dus op f.
f''(10) = 20
De raaklijn aan punt A wordt gegeven door:
rl: 20x + c
Nu moeten we c weten.
rl gaat door (10,98)
dus dan weten we dat rl(10) = 98
Oftewel:
20*10 + c = 98
c = 98 - 200
c = -102
Dan is de vgl van de raaklijn:
rl: 20x -102
Nu ga je bereken waar deze lijn de x-as raakt, oftewel waar die 0 is.
20x -102 = 0
20x = 102
x = 102/20
= 5,1

Dit is Stap 1.
Je hebt nu berekend dat sqrt(2) = 5,1
Maar... Als je deze stappen herhaalt, waarbij je als nieuwe x steeds het resultaat van de vorige berekening neemt, kom je steeds dichter bij het exacte antwoord van sqrt(2).
( ga nu dus nemen:
f(5,1) = ..
f''(5,1) = ...
ga de raaklijn berekenen in het punt (x,f(x))
en ga na waar deze de x-as snijdt.
enz..
)
De grap van deze methode is beter te zien in een plaatje waarin de grafiek en de steeds dichterbij komende raaklijn is te zien.


...

Waar is iedereen???

[Virgol]

Ik ben ervan overtuigd dat je beter je computer een Taylorreeks had kunnen laten nemen.

[Nappa]

Op maandag 09 april 2001 16:27 schreef Virgol het volgende:
Ik ben ervan overtuigd dat je beter je computer een Taylorreeks had kunnen laten nemen.

Hmm... Die methode had ik ook maar van m''n middelbare school wiskunde leraar. Toen had ik nog geen idee wat een Taylorreeks was.

(En nu ben ik het al lang weer vergeten )

[BC3 Victim]

Ik kan me nog steeds niet voorstellen dat een rekenmachine geen steenvaste formule heeft om een wortel te berekenen, maar toch door middel van proberen het juiste antwoord geeft.

[whoami]

Ik heb ooit eens een algoritme moeten schrijven die de SQRT berekende van een geheel getal.
Dat ging zo:

code:

int getal, oneven, vierkw;
cin >> getal;
oneven = 1
while(getal >= oneven)
{
  getal -= oneven;
  oneven += 2;
} 
vierkw = --oneven/2;

je moet dus bepalen wat het grootste oneven getal was dat je kon aftrekken van het getal vanwaar je de sqrt wou van hebben, en dat oneven getal verminderen met 1, dat resulteert in de sqrt.

[iain]

Op maandag 09 april 2001 20:12 schreef whoami het volgende:
je moet dus bepalen wat het grootste oneven getal was dat je kon aftrekken van het getal vanwaar je de sqrt wou van hebben, en dat oneven getal verminderen met 1, dat resulteert in de sqrt.

Sqrt(9) -> grootste oneven getal is 7, min 1 = 6.... DAT IS GEEN 3!!!

[Verwijderd]

Lezen is ook een kunst.

Good luck with your ignorance.

[Koen_R]

Op maandag 09 april 2001 20:12 schreef whoami het volgende:

vierkw = --oneven/2;

Op maandag 09 april 2001 21:31 schreef IainHecker het volgende:

[..]

Sqrt(9) -> grootste oneven getal is 7, min 1 = 6.... DAT IS GEEN 3!!!

6 / 2 = 3

sqrt(16) -> grootste oneven getal is 15, min 1 = 14 / 2 is 7 ??????????
volgens mij klopt er verder weinig van mij OF het algoritme....

[iain]

Op maandag 09 april 2001 22:33 schreef Koen Rotteveel het volgende:

sqrt(16) -> grootste oneven getal is 15, min 1 = 14 / 2 is 7 ??????????
volgens mij klopt er verder weinig van mij OF het algoritme....

Dat is inderdaad een beter voorbeeld...
maar hij zei ook dat het alleen werkt bij wortels die op hele getallen eindigen...

[GeeBee]

Ik denk dat je nog eens terug moet gaan naar je docent, want wat bedoeltie met wortels die eindigen op een heel getal? sqrt(16) = 4 en 4 is toch een heel getal???

M''n pa heeft het me ooit eens proberen uit te leggen hoe het op papier werkt. Ging met een vergelijkbaar schema als een staartdeling...

2-B-continued

[whoami]

Mijn algoritme klopt, maar mijn uitleg is inderdaad onduidelijk, om niet te zeggen verkeerd.
Je moet niet het grootste oneven getal bepalen dat je kan aftrekken van het getal, maar je moet die oneven getallen iedere keer aftrekken van dat getal. Van het laatste oneven getal dat je hebt kunnen aftrekken moet je nog eens het volgende oneven getal nemen en dat met 1 verminderen en delen door 2. Dan heb je de vierkantswortel.
vb: 16
16 - 1 = 15
15 - 3 = 12
12 - 5 = 7
7 - 7 = 0
--> 7 + 2 = 9 (is het volgende oneven getal), (9 -1)/2 = 4

Test het maar eens op dezelfde manier uit met 9, 25, ...

[Lord Daemon]

Zal ik ook een leuk raadseltje geven als we daar toch mee bezig zijn? Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn. (Als je bijvoorbeeld Sandlaf heet hoef je hier niet op te reageren ) Je hebt er geen enge rekenmachines of wat dan ook voor nodig, Euclides kon het ook.

Lord Daemon

[GeeBee]

Op dinsdag 10 april 2001 10:01 schreef whoami het volgende:
Mijn algoritme klopt, maar mijn uitleg is inderdaad onduidelijk, om niet te zeggen verkeerd.
Je moet niet het grootste oneven getal bepalen dat je kan aftrekken van het getal, maar je moet die oneven getallen iedere keer aftrekken van dat getal. Van het laatste oneven getal dat je hebt kunnen aftrekken moet je nog eens het volgende oneven getal nemen en dat met 1 verminderen en delen door 2. Dan heb je de vierkantswortel.
vb: 16
16 - 1 = 15
15 - 3 = 12
12 - 5 = 7
7 - 7 = 0
--> 7 + 2 = 9 (is het volgende oneven getal), (9 -1)/2 = 4

Test het maar eens op dezelfde manier uit met 9, 25, ...

Ook dit kan ik niet volgen. 15 is wel het grootste oneven getal dat je van 16 af kunt trekken, maar 12 is niet het grootste oneven getal dat je van 15 af kunt trekken.
Toch?

[Tsjipmanz]

Op woensdag 11 april 2001 01:12 schreef Hustla het volgende:

Neem X = (2*5*7) = 105

Weet je dat wel zeker? Ik kom toch eerder op 70 uit.

[Verwijderd]

Op maandag 09 april 2001 15:46 schreef Tsjipmanz het volgende:

edit:
Als antwoord op AtariJunkie

(1+100)+(2+99) + ... + (50+51) = 50 * 101 = 5050.

Oftewel, als je 1 tot en met N bijelkaar optelt krijg je N(1+N)/2 (ofzo) toch?

[edit2]
Heb zelf ook een keer een dergelijke methode bedacht... Ik zat redelijk stoned met een vriend van mij naar een dartbord te staren om een logische volgorde te vinden in de permutatie van de getallen. Omdat dit niet lukte gingen we maar proberen alle getallen bijelkaar op te tellen, maar stoned als we waren kwamen we steeds op iets anders uit.

Toen viel het kwartje: als je nu 20 bij 1 optelt, 19 bij 2 enzovoort, krijg je 10*21 is 210!!

Ben ik nu slimmer dan Gauss omdat ik toen ik deze vondst deed onder invloed van geestverruimende middelen was?
[/edit2]

Gauss deed dat geloof ik op z''n 8ste. Op zijn 18e had ie een constructie van een regelmatige 17-hoek met passer en lineaal gevonden. Als slimmer wilt zijn dan Gauss, moet je maar eens een constructie voor een regelmatige 257 hoek proberen te vinden .

[whoami]

Op dinsdag 10 april 2001 15:07 schreef GeeBee het volgende:

[..]

Ook dit kan ik niet volgen. 15 is wel het grootste oneven getal dat je van 16 af kunt trekken, maar 12 is niet het grootste oneven getal dat je van 15 af kunt trekken.
Toch?

Je moet iedere keer het volgende oneven getal nemen. Kijk naar het voorbeeld. Als je het eerste oneven getal (1) aftrekt van 16, bekom je 15. VAn 15 moet je dan het volgende oneven getal aftrekken (3)... Dit moet je doen zolang het oneven getal groter of gelijk is aan het verschil dat je iedere keer uitkomt. Dan moet je nog een keer het volgende oneven getal bepalen... Bekijk het algoritme eens, en pas het zelf eens toe op een voorbeeldje, dan snap je het wel denk ik.

[GeeBee]

Heeee, geinig het werkt!
Weer wat leuks erbij om mij leerlingen te vertellen

Blijven de volgende vragen over:
- hoe bereken je SQRT(3), bijv door SQRT(3) = SQRT(300) uitrekenen volgens het algoritme en dan delen door 10, als benadering (of SQRT(3000000):1000, etc)
- deed Pythagoras het ook op deze manier, back to topic dus...

[Verwijderd]

Op maandag 09 april 2001 16:04 schreef Atari_Junkie het volgende:

...

Die gaat als volgt:

Neem de twee getallen, deel ze door elkaar tot ''t niet meer kan en onthou wat er overblijft. Neem nu het laagste van de oorspronkelijke twee getallen, en deel die door het resultaat van je eerste deling. Zo ga je door tot je een deling tegenkomt die perfect op 0 uitkomt, het laagste getal van die deling is de grootste gemene deler van je oorspronkelijke twee getallen.

Klinkt leuk, maar het rammelt nog wat.

Het is een afgeleide van de volgende stelling:

(A,B) = (A-B,B)
Grootste gemene deler van A en B is gelijk aan de grootste gemene deler van A-B en B.

Als je dit doorvoerd, kom bij 2 veel kleinere getallen uit en maakt dit het veel makkelijker om de grootste gemene deler te vinden, maar de beschrijving die jij geeft klopt niet echt.

Voorbeeldje voor de niet begrijpende:

(455,39)
(455-(11*39), 39)
(26,39-(1*26))
(26-(2*13), 13)
(0,13)

Je hebt hem dus gewoon vereenvoudigd,
grootste gemene deler van 0 en 13 is dus 13.
MAAR het hoeft dus helemaal niet zo te zijn dat je op 0 uitkomt, kan ook 1 zijn, dan is uitkomst dus altijd 1.


Tot zover de les getaltheorie

Op dinsdag 10 april 2001 13:11 schreef Lord Daemon het volgende:
Zal ik ook een leuk raadseltje geven als we daar toch mee bezig zijn? Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn. (Als je bijvoorbeeld Sandlaf heet hoef je hier niet op te reageren ) Je hebt er geen enge rekenmachines of wat dan ook voor nodig, Euclides kon het ook.

Lord Daemon

Eitje:

Door middel van de priemfactorstelling.
Die zegt dat elk getal te ontbinden is in priemgetallen.

Even kort voorbeeld:

60984 = 2^3 X 3^2 X 5^0 X 7^1 X 11^2

Dit geintje werkt echt voor elk willekeurig getal.

Even bewijsvoering:

Aanname: Er zijn eindig veel priemgetallen.
Er is dus een getal k dat gelijk is aan het totaal aantal priemgetallen.
Neem nu een getal q dat k+1 is. Dit getal is ook te ontbinden in priemgetallen, => aanname is onjuist =>
Er zijn oneindig veel priemgetallen.

[Verwijderd]

Vorige bewijst klopt niet (en dan ben ik nog aardig ).

Aanname: er zijn eindig veel priemgetallen: p1, p2, p3, ..., pn.

Neem een getal x = (p1 * p2 * p3 * ... * pn) + 1.
x is groter dan het grootste priemgetal en niet deelbaar door p1, p2, p3 ... of pn.

Dus x is priem en de aanname onjuist. Gevolg: oneindig veel priemgetallen.

[edit]
haakjes voor de duidelijkheid

[Verwijderd]

Vorige bewijst klopt niet (en dan ben ik nog aardig ).

Doe dan maar eens onaaardig en leg maar eens uit wat er niet aan klopt, want ik weet 100% zeker dat hij wel klopt.

Ik heb hem verkort opgeschreven idd, omdat ik uitging van wat basiskennis van de lezer.

Sterker nog, ik stel dat jouw bewijsvoering helemaal niet klopt(en dan ben ik nog aardig )

Neem een getal x = (p1 * p2 * p3 * ... * pn) + 1.
x is groter dan het grootste priemgetal en niet deelbaar door p1, p2, p3 ... of pn.

Ik ga niet tot Pn, maar dat is ook niet nodig om te bewijzen dat hij niet klopt.
Neem X = (2*5*7) = 105
Allemaal vermenigvuldigingen van priemgetallen.
X+1 = 106

106 is toch echt deelbaar door 2, dus dit is helemaal geen priemgetal.
Dus je hebt geen sluitend bewijs.

Wat ben ik toch weer aardig.

[Jesse]

is kwadrateren niet maal zichzelf doen
dus: 8^2 = 8*8
dan zou dat niet zo heel ingewikkeld moeten zijn.

[Verwijderd]

Aanname: Er zijn eindig veel priemgetallen. Er is dus een getal k dat gelijk is aan het totaal aantal priemgetallen. Neem nu een getal q dat k+1 is.

Aangezien het aantal priemgetallen kleiner is dan het aantal getallen kies je een getal dat kleiner is dan "het grootste priemgetal".

Behalve dat bewijs je niet dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Dat getallen in priemgetallen zijn te ontbinden zegt niets over de eindigheid van de verzameling priemgetallen.

Dit getal is ook te ontbinden in priemgetallen, => aanname is onjuist =>
Er zijn oneindig veel priemgetallen.

[Verwijderd]

Hustla: Sterker nog, ik stel dat jouw bewijsvoering helemaal niet klopt(en dan ben ik nog aardig )



Neem X = (2*5*7) = 105 Allemaal vermenigvuldigingen van priemgetallen.
X+1 = 106

Leuk, maar neem dan nu x = (2*3*5*7) + 1 = 211 en vertel me de delers.

[Verwijderd]

Aangezien het aantal priemgetallen kleiner is dan het aantal getallen kies je een getal dat kleiner is dan "het grootste priemgetal".

Ok restatement:
mijn aanname blijft, maar kies k gelijk aan het grootste priemgetal.
Zo duidelijker ?

Als je toch nog steeds vind dat er geen ruk van klopt, mag je mij en ook 3 hoogleraren ervan overtuigen dat het echt niet kan met de priemfactorstelling, dan kunnen ze meteen hun boek herschrijven.

Weet je dat wel zeker? Ik kom toch eerder op 70 uit.

Fijn dat er mensen zijn die opletten, de 2 moest een 3 zijn, bedankt voor je geweldige bijdrage.

[Verwijderd]

Hustla: Mijn aanname blijft, maar kies k gelijk aan het grootste priemgetal.
Zo duidelijker?

Ehmm... dan zou dus in jouw voorbeeld het hoogste priemgetal 7 zijn, k = 7 + 1 =8. En 8 is te ontbinden in factoren. Leuk en waar enzo, maar wat heeft dat met het aantal priemgetallen te maken? In dit geval zijn de delers 2, 2 en 2, dus het aantal priemgetallen "blijft" 4: 2,3,5,7.

Als je toch nog steeds vind dat er geen ruk van klopt, mag je mij en ook 3 hoogleraren ervan overtuigen dat het echt niet kan met de priemfactorstelling, dan kunnen ze meteen hun boek herschrijven.

Als ze hiermee bewijzen dat het aantal priemgetallen oneindig is, dan vraag ik me af hoe het hoogleraren zijn geworden. Je bewijst iets (ik heb geen idee waar het heen moet), maar niet dat het aantal priemgetallen oneindig is.

[typo]

[Verwijderd]

Ik zal het dan nog ff duidelijker uitleggen, ik wist niet dat het zo moeilijk kon zijn.

1. Ik wil bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
2. Ik doe een aanname ''Er zijn eindig veel priemgetallen'', ik weerleg die aanname, dus daarmee bewijs ik dat er oneindig veel zijn.

Even verbaal die weerlegging:

Ik neem dus aan dat er eindig veel priemgetallen zijn.
Dan moet er dus een getal zijn wat het hoogste priemgetal is.
Dat getal noem ik ''k''.

Ik neem een 2de getal ''x'' wat waarde k+1 heeft.
Dit getal is dus groter dan het grootste priemgetal.
Omdat de priemfactorstelling zegt dat elk getal te ontbinden is in priemgetallen(en dat is ook zo, bewijs volgt hier niet)
Als je daar van uit gaat zou het dus niet mogelijk zijn om die x te ontbinden, maar dat is dus wel zo.
Stelling weerlegt, dus tegendeel is waar.

Ik hoop dat het hiermee duidelijk is, anders kijk nog maar eens een boekje over getaltheorie in. (Vaak geschreven door hoogleraren die het zijn geworden door loze dingen op te schrijven)

[iain]

Nou wordt het mij toch te moeilijk. Ik zit maar in 4vwo, en ik had maar een "simpel" vraagje. Maar als jullie door willen gaan over priemgetallen mag dat, ik snap alleen nog niet hoe het komt dat een rekenmachine een wortel zo snel kan bereken, gezien het feit dat hij bij vele andere berekeningen langer moet nadenken. (ik heb een Casio cfx9850gb+)

[iain]

Op maandag 09 april 2001 16:04 schreef Atari_Junkie het volgende:
Zo ga je door tot je een deling tegenkomt die perfect op 0 uitkomt,

een deling precies op nul????

[whoami]

Op woensdag 11 april 2001 16:30 schreef IainHecker het volgende: ik snap alleen nog niet hoe het komt dat een rekenmachine een wortel zo snel kan bereken, gezien het feit dat hij bij vele andere berekeningen langer moet nadenken. (ik heb een Casio cfx9850gb+)

Nog een keertje, zo dus:

code:

int getal, oneven, vierkw;
cin >> getal;
oneven = 1
while(getal >= oneven)
{  
getal -= oneven;  
oneven += 2;
} 
vierkw = --oneven/2;

[Verwijderd]

Op woensdag 11 april 2001 16:48 schreef IainHecker het volgende:
een deling precies op nul????

Je hebt gelijk, beetje kromme formulering. Ik bedoelde de rest die je overhoud na de deling, het % tekentje voor de C programmeur.

(dus 42 / 21 = 2, rest 0)

[Verwijderd]

Hustla: Ik zal het dan nog ff duidelijker uitleggen, ik wist niet dat het zo moeilijk kon zijn.

Het is niet moeilijk, het klopt niet. Dat is wat anders.

1. Ik wil bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
2. Ik doe een aanname ''Er zijn eindig veel priemgetallen'', ik weerleg die aanname, dus daarmee bewijs ik dat er oneindig veel zijn.

Als je de aanname weerlegt klopt dat inderdaad.

Even verbaal die weerlegging: Ik neem dus aan dat er eindig veel priemgetallen zijn.
Dan moet er dus een getal zijn wat het hoogste priemgetal is. Dat getal noem ik ''k''.

Tot zover zijn we het eens.

Ik neem een 2de getal ''x'' wat waarde k+1 heeft. Dit getal is dus groter dan het grootste priemgetal.

Daar ben ik het ook mee eens al heb je hier voor de rest van je bewijs niet aan.

Omdat de priemfactorstelling zegt dat elk getal te ontbinden is in priemgetallen(en dat is ook zo, bewijs volgt hier niet) Als je daar van uit gaat zou het dus niet mogelijk zijn om die x te ontbinden, maar dat is dus wel zo. Stelling weerlegt, dus tegendeel is waar.

Waarom zou het niet mogelijk zijn om x te ontbinden? Volgens de priemfactorstelling die je zelf gebruikt is elk getal te ontbinden in een produkt van priemgetallen, dus dat geldt ook voor x.

Ik hoop dat het hiermee duidelijk is, anders kijk nog maar eens een boekje over getaltheorie in.

Zal ik binnenkort sowieso wel weer doen, maar niet om dit op te zoeken. Misschien moest jij dat ook maar doen?

(Vaak geschreven door hoogleraren die het zijn geworden door loze dingen op te schrijven)

Nogmaals: als dit het bewijs is voor de oneindigheid van de verzameling priemgetallen van een hoogleraar: arme universiteit die de fraudeur heeft aangenomen. Het "bewijs" gaat nergens over.

Het bewijs dat ik gaf:
Stel er zijn eindig veel priemgetallen: p1, p2, p3, ..., pn.
Ik neem een x = (p1*p2*p3*...*pn) + 1 > pn
Dit getal is niet deelbaar door p1, p2, p3, ..., of pn.
Dus is er een groter priemgetal dan pn, waarmee de aanname onwaar gebleken is en het bewijs voor oneindig veel priemgetallen geleverd.

Ik heb nog niet gezien dat je kon vertellen waar dit bewijs fout gaat. Zou het kunnen dat dat niet lukt omdat het bewijs klopt?

[Verwijderd]

Zucht, maar ok.

Waarom zou het niet mogelijk zijn om x te ontbinden? Volgens de priemfactorstelling die je zelf gebruikt is elk getal te ontbinden in een produkt van priemgetallen, dus dat geldt ook voor x.

Voorbeeld met de aanname:
Er zijn eindig veel priemgetallen.
Voor het gemak neem ik het hoogste priemgetal even 17.
Nu zou het dus zijn dat het getal 19, niet meer te ontbinden is in priemfactoren, want daar zou je het priemgetal 19 voor moeten hebben en dat bestaat dus niet als er eindig veel priemgetallen zijn.

Omdat de priemfactorstelling zegt dat dus wel ELK getal te ontbinden is en er oneindig veel getallen zijn, moeten er dus ook oneindig veel priemgetallen zijn.

Zal ik binnenkort sowieso wel weer doen, maar niet om dit op te zoeken. Misschien moest jij dat ook maar doen?

Ik beheers de stof al, dus dat lijkt me voor mij niet echt nodig, maar jij veel suc6, je zult het nodig hebben.

Ik heb nog niet gezien dat je kon vertellen waar dit bewijs fout gaat. Zou het kunnen dat dat niet lukt omdat het bewijs klopt?

Wat wil je nou ?
Ik heb je al aangegeven waar de knik zit in je bewijs en dat hij niet onomstotelijk is, want dat heb ik met een voorbeeld al laten zien.
En al zou hij wel goed zijn, so what ?
Er zijn meerdere manieren om te bewijzen dat een stelling waar/onwaar is.

Als het nu nog niet overgekomen is, dan mag je er van mij best vanuit gaan dat jouw bewijs wel klopt en het mijne niet....

[Verwijderd]

Hustla: Voorbeeld met de aanname: Er zijn eindig veel priemgetallen. Voor het gemak neem ik het hoogste priemgetal even 17.
Nu zou het dus zijn dat het getal 19, niet meer te ontbinden is in priemfactoren, want daar zou je het priemgetal 19 voor moeten hebben en dat bestaat dus niet als er eindig veel priemgetallen zijn.

19 is niet 17+1=18. (Zie jouw bewijs eerder, k=17, dus k+1=18=2*9.)

Omdat de priemfactorstelling zegt dat dus wel ELK getal te ontbinden is en er oneindig veel getallen zijn, moeten er dus ook oneindig veel priemgetallen zijn.

Nee, dat valt nog te bewijzen.

Ik beheers de stof al, dus dat lijkt me voor mij niet echt nodig, maar jij veel suc6, je zult het nodig hebben.

Zullen we met die conclusie nog maar even wachten?

Ik heb je al aangegeven waar de knik zit in je bewijs en dat hij niet onomstotelijk is, want dat heb ik met een voorbeeld al laten zien.

Een voorbeeld dat niet klopte. (Als 7 het "hoogste priemgetal" is, zijn "alle" priemgetallen dus 2, 5, 7 en 3)

En al zou hij wel goed zijn, so what?

Dan zou het wel eens zo kunnen zijn dat ik dit stukje wiskunde misschien wel een beetje begrijp?

Er zijn meerdere manieren om te bewijzen dat een stelling waar/onwaar is.

Waar.

Als het nu nog niet overgekomen is, dan mag je er van mij best vanuit gaan dat jouw bewijs wel klopt en het mijne niet.

Dat deed ik al. Maar misschien dat sandalf(?) er wat over kan zeggen dat je overtuigt?

[edit]
typo''s...

[AtomicShockwave]

ff logica, de mens heeft het rekenmachientje uitgevonden dus er zijn methodes voor, wat die methodes zijn is dan al niet belangrijk meer. zonder methodes was er geen rekenmachientje en dus weet je zeker dat die er waren, einde verhaal