getallenstelsels

[Gnoom]

Ik vraag me af of iemand een idee heeft wat het beste stelsel is. We gebruiken nu het tientallige, maar andere beschavingen hebben ook bijvoorbeeld de twaalftallige gebruikt. Sommige mensen vinden het een beter idee om het elftallige te gebruiken, omdat het een priemgetal is, wat ook weer zn voordeln schijnt te hebben. De wereld zou best wel anders werken met een ander stelsel, alleen al doordat "ronde"getallen anders zijn. Bij het twaalftallige stelsel zouden er bijvoorbeeld (erg stom voorbeeld, ik weet het) meer producten zijn die 144 of 288 gram wegen, maar het heeft juist op veel belangrijkere zaken ook effect, zoals geldbedragen van 1 of een paar miljoen rond , die dan veel minder vaak zouden voorkomen.

[Anoniem: 28377]

Komen er nog zinnige topics?

[FCA]

Wat is zinnig?

11-tallig lijkt me lastig, priemgetallen zijn juist onhandig om breuken mee op te schrijven e.d. 60-tallig is wat veel. 2-tallig wordt veel gebruikt, en is ook 1 van de meest natuurlijke eigenlijk, het is het simpelste bruikbare getallenstelsel.

[LuNaTiC]

10-tallig stelsel is gebaseerd op het menselijk lichaam: vroeger telde men op hun handen (jaja de 10 vingers) en zodoende is dit altijd gebruikt.

Tjah over wat het beste is: het systeem wat gewoon het meest gebruikt wordt denk ik (en wat je gewend bent).

[Lord Daemon]

Alle systemen zijn exact een-op-een equivalent, dus hoe zou de een beter kunnen zijn dan de andere?

[Anoniem: 26266]

het 16-talligstelsel (wordt al gebruikt) heeft zijn voordelen in de computerwereld

[Anoniem: 29427]

Ik denk ook dat het 16-tallig stelsel (=hexadecimaal) het meest handige is. Zo is het omrekenen naar binair en octaal veel makkelijker.

[Larry4]

je kan wel een n-talig stelsel nemen
maar dan moet je dus ook het aantal karakters dat een digit weergeeft n waarde geven

10 tallig 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 tallig 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A

smily-stelsel

= 26 tallig

== 28 [in 10tallig]

[Janoz]

Op maandag 10 september 2001 22:36 schreef Larry4 het volgende:
je kan wel een n-talig stelsel nemen
maar dan moet je dus ook het aantal karakters dat een digit weergeeft n waarde geven

10 tallig 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 tallig 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A

smily-stelsel

= 26 tallig

== 28 [in 10tallig]

Wat gebruik je dan als 0?

[Larry4]

Op maandag 10 september 2001 22:44 schreef Janoz het volgende:

[..]

Wat gebruik je dan als 0?

oja foutje 1 smily doorschuiven

dus = 1

28 =

toch?

[Anoniem: 13700]

Op maandag 10 september 2001 20:45 schreef Lord Daemon het volgende:
Alle systemen zijn exact een-op-een equivalent, dus hoe zou de een beter kunnen zijn dan de andere?

Alle talstelsels zijn equivalent, maar dat betekent niet dat alle talstelsels even geschikt zijn voor een bepaalde taak. Als je een formule hebt die getallen alleen door machten van X deelt en/of vermenigvuldigt, dan is het natuurlijk handig als je dat getal in het X-tallig stelsel noteert.

Daarnaast is het binaire talstelsel een uitzondering, binair vermenigvuldigen en delen is altijd gemakkelijker dan in een ander talstelsel, omdat het slechts een kwestie van verschuiven en optellen/aftrekken is (je hoeft dus geen "tafeltjes" uit je hoofd te leren om binair te kunnen vermenigvuldigen/delen).

[Mx. Alba]

Het twaalftallig stelsel is ook van het menselijk lichaam afgeleid. Het aantal vingerkootjes aan een hand is namelijk 4x3=12. Je kan dan met je duim op je vingerkootjes tellen. Je ene hand de eentallen, op de andere hand de twaalftallen. Twee handen vol is een gros (12x12=144).

[Op.Lijntje]

Het is en blijft niets meer dan een afspraak.

[Anoniem: 23685]

Door Reyn_Eaglestorm - dinsdag 11 september 2001 13:31

--------------------------------------------------------------------------------
Het twaalftallig stelsel is ook van het menselijk lichaam afgeleid. Het aantal vingerkootjes aan een hand is namelijk 4x3=12. Je kan dan met je duim op je vingerkootjes tellen. Je ene hand de eentallen, op de andere hand de twaalftallen. Twee handen vol is een gros (12x12=144).

_______________________

maar hoe werkt het in de praktijk dan?/wat is het voordeel?
Of noem je dan vervolgens de getallen uit het tientallig stelsel gewoonweg anders?
Dus als ik 5 koeien na een berekening overhou, hou ik in het twaalftallig systeem -ik noem maar wat- nu 8 koeien over?

[Mx. Alba]

Op dinsdag 11 september 2001 14:05 schreef 2nra het volgende:
Het is en blijft niets meer dan een afspraak.

Niet helemaal. In het rekenen van alledag zijn er inherente problemen aan het rekenen met een oneven getallenstelsel. Vermenigvuldigen en vooral delen gaan in oneven stelsels namelijk moeizamer dan in even stelsels. Even-tallige stelsels rekenen dus makkelijker, hoewel 2-, 4-, 8- en 16-tallig daarvan het makkelijkst zijn. 10-, 12- en 14-tallig maakt weinig uit. Ligt eraan waar je aan gewend bent. En wij zijn nou eenmaal gewend aan 10-tallig.

[Mx. Alba]

Op dinsdag 11 september 2001 14:18 schreef dokter het volgende:
Door Reyn_Eaglestorm - dinsdag 11 september 2001 13:31
maar hoe werkt het in de praktijk dan?/wat is het voordeel?
Of noem je dan vervolgens de getallen uit het tientallig stelsel gewoonweg anders?
Dus als ik 5 koeien na een berekening overhou, hou ik in het twaalftallig systeem -ik noem maar wat- nu 8 koeien over?

Je hebt het dan over dozijnen. 1 dozijn is 12. 2 dozijn is 24. 3 dozijn is 36. 4 1/2 dozijn is 54. een gros is 12 dozijn is 144. Het wordt (werd) in de praktijk vooral gebruikt voor het tellen van vee. Gebruik je immers geen handen bij, zodat je beide handen hebt om op te tellen, zodat je bijvoorbeeld rechts 1-12 kan tellen, en links het aantal dozijnen bijhouden. En als je een beetje gewend bent aan het rekenen in dozijnen is het helemaal niet moeilijk meer.

[Lord Daemon]

Alle talstelsels zijn equivalent, maar dat betekent niet dat alle talstelsels even geschikt zijn voor een bepaalde taak. Als je een formule hebt die getallen alleen door machten van X deelt en/of vermenigvuldigt, dan is het natuurlijk handig als je dat getal in het X-tallig stelsel noteert.

Ach, dat is alleen een detail. Je gooit het in een PC en je krijgt toch het antwoord wel, of het nou 2 of 2351-tallig is. Als ze wiskundig equivalent zijn, en dat zijn ze, is er vrij weinig reden om de een boven de ander te verkiezen.

[Anoniem: 26633]

Ik denk zelf dat het zestallige stelsel het meest 'perfecte' zou zijn...
Je kunt dan namelijk delen door 2 en 3 en 4 en alle andere veelvouden van 2 en 3, zonder dat je een oneindige breuk krijgt. Zoals 1/3 in het 10-tallig stelsel.

Bij het tientallig stelsel kun je delen door 2 en 5, maar dan sla je de 3 over...
Als je door 2, 3 en ook nog 5 zou willen delen, dan moet je een 2*3*5=30 talligstelsel nemen, dat is nog beter, maar lijkt me iets te veel van het goeie...

De lengte van getallen is niet zo'n probleem. Miljard zou in het zestallig stelsel 11 of 12 cijfers beslaan in plaats van 10 in ons huidig tientallig telsysteem. Dat scheelt weinig.

Het lijkt me alleen wel lastig om van telsysteem te veranderen trouwens. Alhoewel, ze zouden het mooi tegelijkertijd met de Euro kunnen invoeren

[Anoniem: 29886]

Volgens mij zijn alle getallenstelsels even goed

Als je een kind, vanaf zijn geboorte een 16-tallig stelsel zou leren zou hij/zij het 16 tallige stelsel het beste vinden

[Anoniem: 34906]

Op maandag 10 september 2001 20:25 schreef LuNaTiC het volgende:
10-tallig stelsel is gebaseerd op het menselijk lichaam: vroeger telde men op hun handen (jaja de 10 vingers) en zodoende is dit altijd gebruikt.

Wat dacht je van 10 tenen tellen ...hehehehe

[Sabbi]

12-tallig is bewezen het beste om breuken met te rekenen... dat is erg fijn vinden sommigen...

ps. je zou natuurlijk ook de 'zoek' functie kunnen gebruiken

[steenz]

Op woensdag 12 september 2001 21:20 schreef Sabbi het volgende:
ps. je zou natuurlijk ook de 'zoek' functie kunnen gebruiken

Hoezo? Ik kan niets vinden wat hier mee te maken heeft hoor!

Op woensdag 12 september 2001 21:20 schreef Sabbi het volgende:
is bewezen

Bewijs eerst maar eens dat er een topic over het nut van getallenstelsel te vinden is...

[Anoniem: 2841]

Op woensdag 19 september 2001 10:25 schreef steenz het volgende:

[..]

Hoezo? Ik kan niets vinden wat hier mee te maken heeft hoor!
[..]

Bewijs eerst maar eens dat er een topic over het nut van getallenstelsel te vinden is...

Zoeken is een kunst:
http://www.dsgb.orbix.co.uk/quotes.html
Twaalftallig is duodecimal.

[Anoniem: 13700]

Bewezen vind ik ook wat ver gaan hoor. Natuurlijk heeft het 12-tallige stelsel meer gehele delers, maar dat heeft alleen nut bij praktische problemen. In het verleden (middeleeuwen) werd er vooral in muntstelsels 12-tallig geteld, omdat er dan minder "hakgeld" ontstond. Hakgeld ontstond door het verdelen van de kleinste munteenheid, men pakte letterlijk een bijl en hakte de munten door, het ging in die tijd enkel om het goud/zilvergehalte van de munt.

Ookal heeft 12 meer gehele delers dan 10, dat maakt het rekenen in het 12-tallig stelsel niet veel makkelijker dan rekenen in het decimaalstelsel: net zoals je voor het decimaalstelsel de tafeltjes tm. 10x10 uit je hoofd moet kennen om er in te vermenigvuldigen en delen, moet je voor het duodecimale stelsel de tafels tm. 12x12 uit je hoofd leren. (Dit lijkt makkelijk voor mensen die decimaal rekenen, ze kennen de tafels tm. 10 en rekenen dan om naar 12-tallig, maar dat neemt niet weg dat ze die decimale tafels geleerd hebben.)

Als je daartegen in het binaire stelsel werkt hoef je alleen de tafels tm. 2x2 uit je hoofd te leren, dat zijn 4 eenvoudige tafeltjes, ipv. 100 bij het decimale, en 144 bij het duodecimale stelsel...

[Lord Daemon]

Ik denk zelf dat het zestallige stelsel het meest 'perfecte' zou zijn...
Je kunt dan namelijk delen door 2 en 3 en 4

Uhm... kan je zes delen door vier?

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 12:31 schreef mietje het volgende:
[argumenten tegen duodecimaal stelsel]

Feit is dat het rekenen, en vooral het vermenigvuldigen en delen, in het 12-tallig stelsel makkelijker is dan in het 10-tallig stelsel. We zijn alleen gewend aan het decimale, ondanks het feit dat het duodecimale stelsel eigenlijk beter is.

Vroeger waren er in Engeland 12 pence in een shilling (en 20 shilling in een pond). Ook waren er 12 ounces in een pound, en 12 inches in een foot. Er werd toen dus zowel in 10-tallig als in 12-tallig gerekend. En er is gebleken dat kinderen het 12-tallige stelsel veel sneller onder de knie hadden dan het 10-tallige stelsel.

In de praktijk zijn de simpele alledaagse berekeningen in het 12-tallige stelsel veel makkelijker dan die zelfde berekeningen in het 10-tallige stelsel. De moeilijke berekeningen zijn in beide net zo moeilijk - en daar heb je immers ook computers en rekenmachines voor. Maar voor hoofdrekenen of op papier cijferen is het duodecimale stelsel ideaal.

Kijk bijvoorbeeld eens naar dit lijstje veelvoorkomende breuken:

code:

breuk decimaal duodecimaal
1/2   0.5   0.6
1/3   0.333... 0.4
1/4   0.25     0.3
1/5   0.2   0.2496496...
1/6   0.1666.. 0.2
1/8   0.125    0.16
1/10  0.1   0.1249249...
1/12  0.0833.. 0.1
1/16  0.0625   0.09
1/32  0.03125  0.046
1/64  0.015625 0.023

In het dagelijks leven komt 1/5 helemaal niet zo vaak voor. De meest voorkomende breuken zijn namelijk 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/4, en dan de achtsten, en die zijn duodecimaal uitgespeld veel makkelijker dan decimaal uitgespeld. Om dat rijtje namelijk eens decimaal te geven:
0.5, 0.333..., 0.25, 0.666..., 0.75, 0.125
En dan duodecimaal:
0.6, 0.4, 0.3, 0.8, 0.9, 0.16

Lijkt me toch vrij duidelijk zo wat in het dagelijks leven makkelijker zou zijn...

[Gnoom]

Wat natuurlijk ook nog een idee is, is een getallenstelsel wat op een hele andere manier werkt, net zoals de Romeinse manier van tellen behoorlijk anders werkt dan 6, 10 fo 12 tallige stelsels. Misschien kan het dus nog wel veel beter dan op de manier waarop we nu allemaal tellen, of is er al bewezen dat dat niet zo is?

[Lord Daemon]

Maar voor hoofdrekenen of op papier cijferen is het duodecimale stelsel ideaal.

Maar waarom dan? Het algorithme is toch precies hetzelfde? Alleen maar omdat het wat makkelijker is om door 3 te delen? Het is weer moeilijker om door 5 te delen, dus zoveel zal dat niet uitmaken.

Wat mij perfect lijkt is als iemand een manier verzint om een rekenmethode te gebruiken die e als gemakkelijk getal heeft; e is toch wel een van de belangrijkste en meest gebruikte getallen.

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 13:46 schreef Gnoom het volgende:
Wat natuurlijk ook nog een idee is, is een getallenstelsel wat op een hele andere manier werkt, net zoals de Romeinse manier van tellen behoorlijk anders werkt dan 6, 10 fo 12 tallige stelsels. Misschien kan het dus nog wel veel beter dan op de manier waarop we nu allemaal tellen, of is er al bewezen dat dat niet zo is?

Het Romeinse talstelsel is in feite een verkapt tientallig stelsel - het rekent net zoals een tientallige Chinese abacus.

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 13:56 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Maar waarom dan? Het algorithme is toch precies hetzelfde? Alleen maar omdat het wat makkelijker is om door 3 te delen? Het is weer moeilijker om door 5 te delen, dus zoveel zal dat niet uitmaken.

Wat mij perfect lijkt is als iemand een manier verzint om een rekenmethode te gebruiken die e als gemakkelijk getal heeft; e is toch wel een van de belangrijkste en meest gebruikte getallen.

Niet alleen makkelijker door 3, maar ook makkelijker door 4, 6 en 8. Eens kijken voor welke delingen welke het beste is:

door 2, gelijk
door 3, 12
door 4, 12
door 5, 10
door 6, 12
door 7, gelijk
door 8, 12
door 9, gelijk
door 10, 10
door 11, gelijk
door 12, 12

Dat is 5 punten voor 12 en 2 punten voor 10, de gelijkspelen niet meetellend.

[Anoniem: 13700]

Ik twijfel er dus sterk aan of kinderen sneller 144 tafeltjes leren dan 100. Daarvoor nog, bij het leren optellen en aftrekken, zullen de duodecimaaltjes in het begin toch twee vingers missen

Ik neem wel onmiddelijk aan dat kinderen veel sneller leren delen als ze eenmaal die tafeltjes kennen; het duodecimale stelsel heeft twee gehele delers meer dan het decimale, dus er ontstaan minder snel breuken. Bij het hoofdrekenen lijkt het me dus praktisch, net zoals bij het gebruik in muntstelsels, lengtematen, enz.

Bij het rekenen op papier (en op de munten) zie je echter dat er meestal toch keihard decimaal gerekend wordt: er zijn geen speciale symbolen voor de cijfers 10 en 11. Dat is nu juist het controversieele aan dit soort beweringen, men rekent niet volledig duodecimaal, en beweert vervolgens dat het makkelijker is. Als je voor 10 het symbool "A" neemt, en voor 11 "B", dan moet je of de duodecimale tafeltjes kennen, of heen en terug rekenen naar decimaal, om te weten dat "A x B = 92", oftewel 10 x 11 = 110 in decimaal. Makkelijk toch...

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 14:21 schreef mietje het volgende:
Ik twijfel er dus sterk aan of kinderen sneller 144 tafeltjes leren dan 100. Daarvoor nog, bij het leren optellen en aftrekken, zullen de duodecimaaltjes in het begin toch twee vingers missen

Ik neem wel onmiddelijk aan dat kinderen veel sneller leren delen als ze eenmaal die tafeltjes kennen; het duodecimale stelsel heeft twee gehele delers meer dan het decimale, dus er ontstaan minder snel breuken. Bij het hoofdrekenen lijkt het me dus praktisch, net zoals bij het gebruik in muntstelsels, lengtematen, enz.

Bij het rekenen op papier (en op de munten) zie je echter dat er meestal toch keihard decimaal gerekend wordt: er zijn geen speciale symbolen voor de cijfers 10 en 11. Dat is nu juist het controversieele aan dit soort beweringen, men rekent niet volledig duodecimaal, en beweert vervolgens dat het makkelijker is. Als je voor 10 het symbool "A" neemt, en voor 11 "B", dan moet je of de duodecimale tafeltjes kennen, of heen en terug rekenen naar decimaal, om te weten dat "A x B = 92", oftewel 10 x 11 = 110 in decimaal. Makkelijk toch...

Dat is slechts een klein probleem. Er zijn momenteel twee conventies. De een gebruikt X en H als 10 en 11, de ander gebruikt een 2 op de kop als 10 en een omgekeerde 3 als 11.

Hier zijn de tafeltjes, trouwens

code:

 1   2   3   4   5   6   7   8   9   X   H  10
 2   4   6   8   X  10  12  14  16  18  1X  20
 3   6   9  10  13  16  19  20  23  26  29  30
 4   8  10  14  18  20  24  28  30  34  38  40
 5   X  13  18  21  26  2H  34  39  42  47  50
 6  10  16  20  26  30  36  40  46  50  56  60
 7  12  19  24  2H  36  41  48  53  5X  65  70
 8  14  20  28  34  40  48  54  60  68  74  80
 9  16  23  30  39  46  53  60  69  76  83  90
 X  18  26  34  42  50  5X  68  76  84  92  X0
 H  1X  29  38  47  56  65  74  83  92  X1  H0
10  20  30  40  50  60  70  80  90  X0  H0 100

Let eens op die rijtjes joh... 3 6 9 10 13 16 19 20... 4 8 10 14 18 20... 8 14 20 28... 9 16 23 30 39... Makkelijker kan toch bijna niet? Oke, die van 5 is rottig, maar de andere allemaal makkelijker, of iig niet moeilijker.

Ga eens rustig zitten en kijk deze tafels over. De enige conclusie kan zijn dat deze tafels makkelijker zijn dan die in het 10-tallige stelsel omdat er veel meer en veel vaker regelmaat in zit. Bij het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zullen er dus veel vaker zeer herkenbare standaarddingen naar voren komen.

[Mx. Alba]

En er moet dan natuurlijk ook een manier zijn om het allemaal uit te spreken...

1 een
2 twee
...
9 negen
X tien
H elf
10 twaalf
11 eentwaalf (zoals vijftien, zestien, zeventien)
12 tweetwaalf
13 drietwaalf
...
19 negentwaalf
1X tientwaalf
1H elftwaalf
20 twintijn (gewoon uit de lucht gegrepen -ijn als dozijn)
21 eenentwintijn
22 tweeentwintijn
...
30 dertijn (er is immers geen dertien en veertien meer)
40 veertijn
50 vijftijn
...
X0 tientijn
H0 elftijn
100 gros
1000 grozijn (gros maal een dozijn... achja, je verzint wat)
10000 twaalf grozijn
100000 een gros grozijn
1000000 sja, uh, laten we het hierbij maar laten

dus zegmaar:

tweegrosvierendertijn = 234 duodecimaal = 328 decimaal

Let wel, het bovenstaande heb ik net zelf verzonnen. Ik weet niet wat de "officiele" namen binnen het duodecimaal stelsel zijn, als die er al zijn.

[Anoniem: 13700]

Als er meer gehele delers zijn, dan is er ook meer regelmaat in de tafeltjes. Gehele delers veroorzaken regelmatige tafeltjes. Bekijk nu eens deze:

code:

 1  10
10 100

Dit zijn alle tafeltjes die je nodig hebt om binair te rekenen, en dan zie je veel meer wetmatigheden in de getallen, oa. die van het duodecimale stelsel Maw. ik vind dit nogal een zwak argument.

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 14:58 schreef mietje het volgende:
Als er meer gehele delers zijn, dan is er ook meer regelmaat in de tafeltjes. Gehele delers veroorzaken regelmatige tafeltjes. Bekijk nu eens deze:

code:

 1  10
10 100

Dit zijn alle tafeltjes die je nodig hebt om binair te rekenen, en dan zie je veel meer wetmatigheden in de getallen, oa. die van het duodecimale stelsel Maw. ik vind dit nogal een zwak argument.

Ja maar in binair heb je zo fucking veel ruimte nodig om iets op te schrijven.

In duodecimaal heb je het voordeel dat je ietsje minder ruimte nodig hebt om bepaalde getallen op te schrijven - zeker minder ruimte voor bepaalde veelvoorkomende breuken (of wou je soms zeggen dat 0.16 niet korter is dan 0.125? ) en het voordeel dat er bij vermenigvuldiging meer regelmatigheden zijn.

[Anoniem: 13700]

Goed, we zijn het erover eens dat het duodecimale stelsel qua eenvoud onderdoet voor het binaire stelsel, maar dat het meer gehele delers heeft dan het decimale of het hexadecimale, zodat het eenvoudiger dan die talstelsels rekent (hoewel het meer positionele ruimte gebruikt dan het hexadecimale).

Toch blijf ik erbij dat het voor een kind dat net heeft leren tellen, een stuk moeilijker zal zijn om te leren optellen en aftrekken in duodecimaal. Dit is natuurlijk een voorwaarde om later die tafeltjes te begrijpen. Optellen en aftrekken doet de mens van nature decimaal, en dat is niet voor niets.

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 15:32 schreef mietje het volgende:
Toch blijf ik erbij dat het voor een kind dat net heeft leren tellen, een stuk moeilijker zal zijn om te leren optellen en aftrekken in duodecimaal. Dit is natuurlijk een voorwaarde om later die tafeltjes te begrijpen. Optellen en aftrekken doet de mens van nature decimaal, en dat is niet voor niets.

En toch is het zo dat een kind spelenderwijs leert.

Geef een kind 10 blokjes - kan je weinig mee. Je kan 2 groepjes van 5 maken, of 5 groepjes van 2. Maar met 12 blokjes kan je 2 van 6, 3 van 4, 4 van 3 en 6 van 2 maken. Veel interessanter. En ook is de samenhang tussen verschillende hoeveelheden (en dus tussen verschillende getallen) dan veel makkelijker te snappen.

En het verschil tussen 10 tafels leren en 12 tafels leren is niet zo groot. Daarbij komt dat de tafels in het 12-tallige stelsel makkelijker zijn, en dus sneller te leren.

[Anoniem: 13700]

Op woensdag 19 september 2001 15:35 schreef Reyn_Eaglestorm het volgende:
En toch is het zo dat een kind spelenderwijs leert.

Geef een kind 10 blokjes - kan je weinig mee. Je kan 2 groepjes van 5 maken, of 5 groepjes van 2. Maar met 12 blokjes kan je 2 van 6, 3 van 4, 4 van 3 en 6 van 2 maken. Veel interessanter. En ook is de samenhang tussen verschillende hoeveelheden (en dus tussen verschillende getallen) dan veel makkelijker te snappen.

Als het kind wat doorspeelt met die 12 blokjes, bouwt hij een rijtje van 4 blokjes, met daarop een rijtje van 3 blokjes, en daarop weer 2 blokjes, en daarop weer 1 blokje om het trapje te completeren. Houdt ons kind 2 blokjes over...

Vervolgens legt het kind een rijtje met 3 blokjes, met daarnaast een rijtje van 2, en dan weer 1. Het heeft een driehoekje gebouwd en er blijven 6 blokjes over. Ons kind bouwt dus een kleiner driehoekje van 3 blokjes op die driehoek, en legt daarop weer 1 blokje om de pyramide te completeren. Alweer blijven er 2 blokjes van de 12 over...

Wat heb je toch tegen 10, man

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 15:44 schreef mietje het volgende:
Wat heb je toch tegen 10, man

Niets. 12 is gewoon beter. Net zoals OS/2 vs DOS. OS/2 is beter, maar toch gebruikte iedereen DOS. Totaal onlogisch, maar shit happens.

[Anoniem: 13700]

Op woensdag 19 september 2001 15:47 schreef Reyn_Eaglestorm het volgende:
Niets. 12 is gewoon beter. Net zoals OS/2 vs DOS. OS/2 is beter, maar toch gebruikte iedereen DOS. Totaal onlogisch, maar shit happens.

* Anoniem: 13700 zucht

Als iedereen geboren is met DOS (Decimal OS, 10 vingers) dan ligt OS/12, net als OS/2 letterlijk niet voor de hand. Het is dus helemaal niet zo onlogisch.

<edit>
Ik wil niet beweren dat rekenen een aangeboren eigenschap is of zo. Je vingers zijn gewoon het handigste telraam als je leert optellen en aftrekken, en er zitten maar 10 kralen op. (Waarmee je dus binair t/m 1023 kunt tellen )
</edit>

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 15:53 schreef mietje het volgende:

[..]

* Anoniem: 13700 zucht

Als iedereen geboren is met DOS (Decimal OS, 10 vingers) dan ligt OS/12, net als OS/2 letterlijk niet voor de hand. Het is dus helemaal niet zo onlogisch.

Tel eens de vingerkootjes op één hand?

Precies. 12.

Dan leer je je kinderen dus niet om 1 2 3 4 5 - 6 7 8 9 10 op de vingers te tellen, maar 1 2 3 - 4 5 6 - 7 8 9 - X H 10 op de kootjes van de vingers van één hand.

edit:

En als het dus logisch is om 10-tallig te rekenen ipv 12-tallig. Waarom zitten er dan 12 inches in een foot? 12 pennce in een shilling? 12 ounces in een pound? 12 uren in een dag? 12 maanden in een jaar? 13 Hollywoodproducties in een dozijn? Waarom zijn er woorden voor een dozijn en ene gros (een dozijn dozijnen, dus 100 in het duodecimaal stelsel)? Als een 12tallig stelsel zo weinig voor de hand ligt, waarom wordt vee enzo door veehandelaren nog steeds in dozijnen geteld? Waarom is het dan zo dat de meeste "primitieve" overgebleven talstelsels 12-tallig zijn? Niet aan het flamen ofzo - gewoon een ijskoude stortvloed van stijfbevroren feitjes

[Lord Daemon]

Let eens op die rijtjes joh... 3 6 9 10 13 16 19 20... 4 8 10 14 18 20... 8 14 20 28... 9 16 23 30 39... Makkelijker kan toch bijna niet? Oke, die van 5 is rottig, maar de andere allemaal makkelijker, of iig niet moeilijker.

Waarom is 3, 6, 9, 10, 13, 16, 19 etc. beter dan 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 etc.? De laatste is veel simpeler, omdat als je de cijfers bij elkaar optelt je weer een getal in die rij krijgt. (Is in het duodecimale stelsel vast ook zo, maar dan bij een ander getal dan 3.)

Maar even serieus: de enige reden is dus dat delen wat gemakkelijker gaat? Dan lijkt het me nauwelijks de moeite om er veel drukte over te maken. Zolang we die 0 houden ben ik al blij zat.

Het lijkt me trouwens verdedigbaar dat het beter is om het 16-tallig stelsel te nemen, omdat mensen dan beter met computers kunnen omgaan.

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 20:28 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Waarom is 3, 6, 9, 10, 13, 16, 19 etc. beter dan 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 etc.? De laatste is veel simpeler, omdat als je de cijfers bij elkaar optelt je weer een getal in die rij krijgt. (Is in het duodecimale stelsel vast ook zo, maar dan bij een ander getal dan 3.)

Het is makkelijker omdat het zich herhaalt:
3 6 9 10
13 16 19 20
23 26 29 30
33 36 39 40

Maar even serieus: de enige reden is dus dat delen wat gemakkelijker gaat? Dan lijkt het me nauwelijks de moeite om er veel drukte over te maken. Zolang we die 0 houden ben ik al blij zat.

Tellen is in beide stelsels even makkelijk. Optellen en aftrekken zijn in beide stelsels even makkelijk. Maar vermenigvuldigen en delen is in het duodecimale stelsel over het algemeen veel makkelijker omdat de tafels veel simpeler zijn. Ik heb net vandaag van dit duodecimale stelsel gehoord en die site die een eindje terug gelinkt wordt eens doorgelezen, en nu al ben ik er voorstander van, en heb ik de tafels al redelijk door. Een paar maandjes in de praktijk gebruiken is genoeg om er net zo bedreven in te worden als in het 10-tallig stelsel. Nog een paar maandjes om de nieuwe ezelsbruggetjes door te krijgen, en het gaat allemaal veel makkelijker dan in het 10-tallige stelsel.

Het lijkt me trouwens verdedigbaar dat het beter is om het 16-tallig stelsel te nemen, omdat mensen dan beter met computers kunnen omgaan.

Inderdaad. Maar dan het volgende "probleem":

Delers van 12 zijn:
2 3 4 6
Delers van 16 zijn:
2 4 8

Bij 12 zijn dat er dus meer, en zijn ze ook verschillender. Daarbij komt dat je natuurlijk bij het 12-tallig stelsel minder tafels hoeft te leren. Dat zijn dus allemaal rekenkundige voordelen van duodecimaal tov hexadecimaal.

[Anoniem: 13700]

Op woensdag 19 september 2001 16:22 schreef Reyn_Eaglestorm het volgende:
Tel eens de vingerkootjes op één hand?

Precies. 12.

Zonder duim dan Het probleem bij dit soort ingenieuze systemen (net als binair tellen op je vingers) is dat het naast soepele vingers (wat kindervingers niet zijn) vereist gewoon minder makkelijk is dan simpelweg vingers tellen. Kijk eens naar een kind dat leert rekenen, of probeer jezelf te herinneren hoe het was toen jij het leerde. Het was verwarrend, en zeker niet makkelijk...

Onze kalender had eerst tien maanden (december, deca -> 10), maar wat egoistische romeinse keizers wilden graag een "eigen" maand. Voor muntstelsels en lengtematen heb ik de uitleg al gegeven: minder hakgeld en stofresten enz.

Het oudste overgeleverde talstelsel is het sexagesimale (60-tallige) stelsel van de babyloniers. Daarom zitten er 60 seconden in een minuut, 60 minuten in een uur en 24 uren in een etmaal, evenals de verdeling van de cirkel in 360 graden.

Daarnaast zijn al die talstelsels uit de oudheid en de middeleeuwen niet "echt", zoals ik al eerder aangaf. Er werd lustig decimaal gerekend, men vond dat 12 en 60 getallen waren die makkelijk deelbaar waren, maar men had geen aparte symbolen voor de cijfers 10 en 11 cq. 10 t/m 59.

Zie hier hoe babyloniers en egyptenaren met delingen en breuken worstelden, en waarom het in die tijd wel fijn was als je minder snel in breukrekening terecht kwam.

[Lord Daemon]

Tellen is in beide stelsels even makkelijk. Optellen en aftrekken zijn in beide stelsels even makkelijk. Maar vermenigvuldigen en delen is in het duodecimale stelsel over het algemeen veel makkelijker omdat de tafels veel simpeler zijn.

Maar hoe vaak deel je nu door gehele getallen? Nooit eigenlijk. Het lijkt me werkelijk niet dat er veel verschil in zit in de praktijk.

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 21:52 schreef mietje het volgende:

[..]

Zonder duim dan Het probleem bij dit soort ingenieuze systemen (net als binair tellen op je vingers) is dat het naast soepele vingers (wat kindervingers niet zijn) vereist gewoon minder makkelijk is dan simpelweg vingers tellen. Kijk eens naar een kind dat leert rekenen, of probeer jezelf te herinneren hoe het was toen jij het leerde. Het was verwarrend, en zeker niet makkelijk...

Maar zoals ik zei, in Engeland ten tijde van het dubbele systeem (12 pennies in een shilling, 12 inches in een foot, 12 ounces in een pound) bleek dat kinderen het 12-tallig stelsel sneller door hadden dan het 10-tallig stelsel.

Onze kalender had eerst tien maanden (december, deca -> 10), maar wat egoistische romeinse keizers wilden graag een "eigen" maand. Voor muntstelsels en lengtematen heb ik de uitleg al gegeven: minder hakgeld en stofresten enz.

Fout. Het jaar begon vroeger in maart. Januari heette Undecember Mensem (11e maand), en Februari heette Duodecember Mensem (12e maand). Net als September, October, November en December Mensem. Doordat de kalener echter niet perfekt was, ging hij achterlopen. Zoveel dat het begin van het nieuwe jaar niet meer in de winter lag, maar in de lente (maart). Er werd toen dus besloten om de kalender te verschuiven. Undecember Mensem werd Ianuari Mensem, naar Ianus, de God van "Deuropeningen", van het nieuwe begin. Waar Februari vandaan komt ben ik helaas vergeten...

Juli en Augustus zijn idd naar Iulius Caesar en naar Augustus Caesar genoemd. Maar die hebben gewoon de bestaande genummerde maanden op die plek een andere naam gegeven.

Het oudste overgeleverde talstelsel is het sexagesimale (60-tallige) stelsel van de babyloniers. Daarom zitten er 60 seconden in een minuut, 60 minuten in een uur en 24 uren in een etmaal, evenals de verdeling van de cirkel in 360 graden.

Daarnaast zijn al die talstelsels uit de oudheid en de middeleeuwen niet "echt", zoals ik al eerder aangaf. Er werd lustig decimaal gerekend, men vond dat 12 en 60 getallen waren die makkelijk deelbaar waren, maar men had geen aparte symbolen voor de cijfers 10 en 11 cq. 10 t/m 59.

Zie hier hoe babyloniers en egyptenaren met delingen en breuken worstelden, en waarom het in die tijd wel fijn was als je minder snel in breukrekening terecht kwam.

Inderdaad. De Romijnen hadden ook een tientallig stelsel, afgeleid van de hand. I = vinger, V = hand. X = twee handen. Beetje primitief, niet? Kan best beter. Maarja, in Europa zat men in het Romeinse systeem vast. En toen het "Arabische" cijferschrift kwam, werd dat vingertelsysteem aangehouden. Het tientallig stelsel is definitief doorgedrukt door de Franse Revolutie. Ze wilden toen breken met alles wat oud en koloniaal was. Dus geen duimen en voeten meer, maar meters, en kilogrammen, en liters.

Zoals gezegd, het is in Engeland gebleken dat kinderen het rekenen in het 12tallig stelsel, dus vroeger voor geld, lengte-, oppervlakte- en inhoudsmaten, veel sneller doorhadden dan rekenen in het 10tallig stelsel. Je kan ook zelfs uitrekenen dat het 12tallig stelsel beter is - het wiskundig aantonen.

Stel dat we een duodecimaal stelsel hadden, en we gingen met computers werken. Welke getallen komen dan vaak voor?

code:

    4     4
    8     8
   16    14
   32    28
   64    54
  128    X8
  256   194
  512   368
 1024   714
 2048  1228
 4096  2454
 8192  48X8
16384  9594
32768 16H68

Kijk eens naar die rijtjes? In decimaal heb je alleen de achterste decimaal die 2 4 8 6 herhaalt. In duodecimaal heb je de achterste duodecimaal die 4 8 herhaalt - veel simpeler. Ook de tweede duodecimalen van achteren herhalen zich trouwens in een regelmatig patroon!

code:

   14     28     54     X8    194    368
  714   1228   2454   48X8   9594  16H68
31H14  63X28 107854 2134X8 426994 851768

Dus 4 8 herhalend op de laatste plek, en 1 2 5 X 9 6 herhalend op de tweede.

En kijk eens van links naar rechts naar de derde duodecimaal van achteren op die onderste twee regels?

7 2 4 8 5 H
H X 8 4 9 7

Dat zal wel deel zijn van een hogere orde regelmatigheid...

Probeer nu nog eens te beweren dat het 10tallig stelsel makkelijker rekent. Zelfs in de moderne tijd van computers is 12-tallig dus makkelijker dan 10-tallig.

edit:
spellvautjez

[Mx. Alba]

Op woensdag 19 september 2001 23:23 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Maar hoe vaak deel je nu door gehele getallen? Nooit eigenlijk. Het lijkt me werkelijk niet dat er veel verschil in zit in de praktijk.

In de praktijk, in het dagelijks leven, juist wel. Het gewone hoofdrekenen dat je op de markt doet. Zoveel voor 3 kilo - hoeveel dan voor een pond? Dat soort dingen worden allemaal veel makkelijker.

Maar omdat hoofdrekenen met simpele getallen makkelijker wordt, wordt natuurlijk ook het hoofdrekenen met deci..uh..duodecimalen achter de komma ook makkelijker. En het moeilijkere spul doe je toch op papier, op een zakjapanner of op een computer, dus daar zal geen verandering in zijn.

[Anoniem: 13700]

Op donderdag 20 september 2001 09:26 schreef Reyn_Eaglestorm het volgende:
Fout. Het jaar begon vroeger in maart. Januari heette Undecember Mensem (11e maand), en Februari heette Duodecember Mensem (12e maand). Net als September, October, November en December Mensem. Doordat de kalener echter niet perfekt was, ging hij achterlopen. Zoveel dat het begin van het nieuwe jaar niet meer in de winter lag, maar in de lente (maart). Er werd toen dus besloten om de kalender te verschuiven. Undecember Mensem werd Ianuari Mensem, naar Ianus, de God van "Deuropeningen", van het nieuwe begin. Waar Februari vandaan komt ben ik helaas vergeten...

Je redenatie klopt gewoon niet. In de romeinse tijd waren er 10 maanden in het jaar, tot keizers Augustus en Julius. In de late middeleeuwen werd er overgegaan van de juliaanse naar de gregoriaanse kalender, en toen is men ook januari als begin van het jaar gaan rekenen. Dat neemt niet weg dat het jaar in de romeinse tijd 10 maanden had...

Inderdaad. De Romijnen hadden ook een tientallig stelsel, afgeleid van de hand. I = vinger, V = hand. X = twee handen. Beetje primitief, niet? Kan best beter. Maarja, in Europa zat men in het Romeinse systeem vast. En toen het "Arabische" cijferschrift kwam, werd dat vingertelsysteem aangehouden. Het tientallig stelsel is definitief doorgedrukt door de Franse Revolutie. Ze wilden toen breken met alles wat oud en koloniaal was. Dus geen duimen en voeten meer, maar meters, en kilogrammen, en liters.

Kijk nu eens op die links en zie hoe egyptenaren en babyloniers getallen schreven. Beide systemen zijn vergelijkbaar met het romeinse, waarbij het babylonische nog ingewikkelder is, omdat het half werkt zoals het romeinse, en half positioneel (arabisch/modern), waar bij die positionele notatie geen nul gebruikt wordt (later wel, maar alleen midden in de getallen, niet op het einde). Babyloniers konden dus geen onderscheid maken tussen bv. 60 en 3600, en vroeger ook niet tussen 3601 en 216001.

Het is niet het decimale talstelsel maar het decimale eenhedenstelsel dat door de fransen werd doorgedrukt. De revolutionairen erkenden dat een gewoon mens decimaal rekent, en dat het hanteren van een 12-tallig matenstelsel terwijl je 10-tallig rekent alleen maar voor verwarring zorgt. Dat de engelsen en hun kolonien hier niet aan mee wensen te doen, en nog steeds in idiote maten als "furlongs per forthnight" kunnen werken als ze dat willen, is een goed argument voor de duidelijkheid en simpelheid voor het (franse) decimale SI-stelsel.

Let goed op dit verschil tussen talstelsels en eenhedenstelsels. Zo lang als er geen aparte symbolen voor de getallen 10 en 11 zijn, is het gewoon in het decimale talstelsel; hoeveel van die decimale eenheden er in een grotere maateenheid gaan is een totaal andere zaak.

Je kan ook zelfs uitrekenen dat het 12tallig stelsel beter is - het wiskundig aantonen.

Ik kan aantonen dat alle talstelsels volledig equivalent zijn. Ik kan ook aantonen dat het binaire talstelsel het meest eenvoudige is.

Jouw patroon in binair:

code:

  1    1
  2   10
  4  100
  8 1000
 16     10000
 32    100000
 64   1000000
128  10000000

Goh, wat een duidelijk patroon Voor het aantonen van allerlei wetmatigheden in de getaltheorie is de binaire schrijfwijze nog altijd het meest praktische.

[Mx. Alba]

Op donderdag 20 september 2001 12:05 schreef mietje het volgende:

Je redenatie klopt gewoon niet. In de romeinse tijd waren er 10 maanden in het jaar, tot keizers Augustus en Julius. In de late middeleeuwen werd er overgegaan van de juliaanse naar de gregoriaanse kalender, en toen is men ook januari als begin van het jaar gaan rekenen. Dat neemt niet weg dat het jaar in de romeinse tijd 10 maanden had...

Dan moet je maar eens met mijn docenten Latijn spreken.

Dat de engelsen en hun kolonien hier niet aan mee wensen te doen, en nog steeds in idiote maten als "furlongs per forthnight" kunnen werken als ze dat willen, is een goed argument voor de duidelijkheid en simpelheid voor het (franse) decimale SI-stelsel.

Simpel qua layout, ja. Simpel qua berekeningen, nee.

Let goed op dit verschil tussen talstelsels en eenhedenstelsels. Zo lang als er geen aparte symbolen voor de getallen 10 en 11 zijn, is het gewoon in het decimale talstelsel; hoeveel van die decimale eenheden er in een grotere maateenheid gaan is een totaal andere zaak.

Maar dan nog. Lees die site maar die een stukje terug werd aangehaald, van de Duodecimal Soceity of England of hoe ze ookalweer heten...

Ik kan aantonen dat alle talstelsels volledig equivalent zijn. Ik kan ook aantonen dat het binaire talstelsel het meest eenvoudige is.

Jouw patroon in binair:

code:

  1    1
  2   10
  4  100
  8 1000
 16     10000
 32    100000
 64   1000000
128  10000000

Goh, wat een duidelijk patroon Voor het aantonen van allerlei wetmatigheden in de getaltheorie is de binaire schrijfwijze nog altijd het meest praktische.

Ja, natuurlijk zijn alle stelsels equivalent!

Maar berekeningen zijn in het duodecimale stelsel makkelijker dan in het decimale stelsel. Inderdaad, in binair zijn ze nog makkelijker, maar het verschil tussen 1000000000000 en 10000000000000 binair is zo slecht te zien. Het verschil tussen 4096 en 8192 decimaal (of 2454 en 48X8 duodecimaal) is heel duidelijk.

Feit is, de meeste alledaagse berekeningen zijn in het duodecimale stelsel veel eenvoudiger voor de menselijke hersenen.

De meest optimale stelsels, waarin de afweging tussen de betekenis van getallen en de makkelijkheid van het berekenen het best is, liggen tussen 8 en 16-tallig. Voor het makkelijk maken van berekeningen moeten er zoveel mogelijk delers zijn.

code:

basis    delers
    8    2 4
    9    3
   10    2 5
   11
   12    2 3 4 6
   13
   14    2 7
   15    3 5
   16    2 4 8

Bijvoorbeeld, stel, je wilt het getal 100 delen door 3. In decimaal kom je uit op 33.333333... In decimaal 100 is in duodecimaal 84.

code:

3 / 84 \ 25.4
   -6 
    24
   -23
     10
     10

Of neem een priemgetal, 111, wil je delen door *duimzuig* 4.

code:

4 / 111 \ 27.75
    -8
     31
    -28
    30
     -28
     20
     20

decimaal 111 in duodecimaal is 93

code:

4 / 93 \ 23.9
   -8
    13
   -10
     30
     30

Je kan zo vele berekeningen doen, en over het algemeen zal het in duodecimaal gewoon makkelijker zijn. Het probleem is natuurlijk dat je aan duodecimaal niet gewend bent waardoor het wat moeizamer gaat, maar als je het eenmaal doorhebt is het heel makkelijk.

edit:

Of neem er eentje die in decimaal heel makkelijk is: 135/5
[code]decimaal:
5 / 135 \ 27
-10
35
-35

duodecimaal:
5 / H3 \ 23
-X
13
-13[/code]

[Lord Daemon]

In de praktijk, in het dagelijks leven, juist wel.

In het dagelijks leven reken ik meestal dingen uit waarbij er Pi of e in het antwoord staat. Maar ik snap wat je bedoelt. Maar nogmaals, het voordeel lijkt me te klein om moeite voor te doen.

[Mx. Alba]

Op donderdag 20 september 2001 13:14 schreef Lord Daemon het volgende:

In het dagelijks leven reken ik meestal dingen uit waarbij er Pi of e in het antwoord staat. Maar ik snap wat je bedoelt. Maar nogmaals, het voordeel lijkt me te klein om moeite voor te doen.

Maar wat ik niet snap... De hele wetenschap wordt constant verbeterd. Als er een theorie of methode gevonden wordt die beter is dan de gebruikte, dan wordt de gebruikte overboord gegooid en de nieuwe gebruikt. Waarom dan hier niet? Over de afgelopen twee eeuwen is al door vele wetenschappers wiskundig bewezen en in de praktijk aangetoond dat het duodecimale stelsel voor het menselijk brein makkelijker werkt dan het decimale stelsel. Waarom zijn we dan nog steeds met z'n allen decimaal aan het rekenen?

[Anoniem: 13700]

Op donderdag 20 september 2001 12:48 schreef Reyn_Eaglestorm het volgende:
Ja, natuurlijk zijn alle stelsels equivalent!

Juist. Als je dus eenmaal begrijpt hoe je een getal van decimaal naar duodecimaal omzet, begrijp je ook hoe je getallen van decimaal naar een willekeurig ander talstelsel omzet. Dan kun je dus "the right tool for de right job" gebruiken. Heb je berekeningen met veelvouden van 2 en 3 -> 6-tallig (of 12-tallig, enz), heb je berekenigen met veelvouden van 3 en 7 -> 21-tallig, en ga zo maar door. Dit is wat ik aandraag in mijn eerste post.

Je kunt ook complexe fenomenen uitdrukken als getallen, als je je niet aan een talstelsel bindt. Voorbeeld: in een doolhof kan iemand vooruit naar links of naar rechts. Je kunt dan een willekeurige weg door het doolhof beschrijven als een 3-tallig getal, en je kunt zelfs met die getallen rekenen. Zo zijn er nog honderden toepassingsmogelijkheden.

Feit is, de meeste alledaagse berekeningen zijn in het duodecimale stelsel veel eenvoudiger voor de menselijke hersenen.

Feit is, dat als je hoofdrekent je geen hele tafeltjes opzegt, maar meteen de uitkomst van bv. 8 x 9 of H x 7 moet kunnen noemen. Hoe systematisch de tafels in het N-tallig stelsel ook zijn, je zult alle N^2 tafeltjes uit je hoofd moeten leren. Daarnaast lijkt het mij toch zeer onwaarschijnlijk, dat je een kind net zo snel duodecimaal als decimaal optellen en aftrekken leert. Het kind kan niet eenvoudig zijn vingers aftellen, maar moet ingewikkelde vingerbewegingen maken om te kunnen rekenen. Dat is conceptueel en motorisch gewoon moeilijker.

Ik beseft dus heel goed dat het duodecimale stelsel voordelen heeft, maar die wegen volgens mij niet op tegen de extra moeite van het leerproces. Daarnaast is het natuurlijk niet erg practisch een kind een manier van rekenen te leren die de grote meerderheid van de wereldbevolking niet gebruikt. (Dit is geen echt argument, maar je zult het je kind maar aandoen.)

[Mx. Alba]

Op donderdag 20 september 2001 14:12 schreef mietje het volgende:

Juist. Als je dus eenmaal begrijpt hoe je een getal van decimaal naar duodecimaal omzet, begrijp je ook hoe je getallen van decimaal naar een willekeurig ander talstelsel omzet. Dan kun je dus "the right tool for de right job" gebruiken. Heb je berekeningen met veelvouden van 2 en 3 -> 6-tallig (of 12-tallig, enz), heb je berekenigen met veelvouden van 3 en 7 -> 21-tallig, en ga zo maar door. Dit is wat ik aandraag in mijn eerste post.

Maar je bent dan langer bezig met het converteren dan met het berekenen...

Feit is, dat als je hoofdrekent je geen hele tafeltjes opzegt, maar meteen de uitkomst van bv. 8 x 9 of H x 7 moet kunnen noemen. Hoe systematisch de tafels in het N-tallig stelsel ook zijn, je zult alle N^2 tafeltjes uit je hoofd moeten leren.

Je leert eerst de rijtjes natuurlijk. Als je dan 7 x H moet hebben, ga je de tafel van H langs tot 7, of de tafel van 7 tot H. In het begin. Zo leert iedereen het. Op een gegeven moment heb je het zo vaak gedaan dat je het antwoord meteen weet. Maar het begint natuurlijk bij optellen en aftrekken. Dat heb ik nu na twee dagen zijdelings tijdens mijn werk erover nadenken al door. Vermenigvuldigen en delen gaat heel stroef natuurlijk, maar dat ging het bij iedereen in de 1e klas ook...

Daarnaast lijkt het mij toch zeer onwaarschijnlijk, dat je een kind net zo snel duodecimaal als decimaal optellen en aftrekken leert. Het kind kan niet eenvoudig zijn vingers aftellen, maar moet ingewikkelde vingerbewegingen maken om te kunnen rekenen. Dat is conceptueel en motorisch gewoon moeilijker.

En toch, zoals ik al minstens 2x eerder heb gezegd, bleek dus dat kinderen in Engeland het duodecimaal rekenen met shillings, inches en ounces eerder doorhadden dan het decimaal rekenen met appels en peren. Ik weet ook niet waarom dat zo is - ik weet slechts dat het zo is.

Ik beseft dus heel goed dat het duodecimale stelsel voordelen heeft, maar die wegen volgens mij niet op tegen de extra moeite van het leerproces. Daarnaast is het natuurlijk niet erg practisch een kind een manier van rekenen te leren die de grote meerderheid van de wereldbevolking niet gebruikt. (Dit is geen echt argument, maar je zult het je kind maar aandoen.)

Inderdaad, het systeem omgooien is een gigantisch karwei, en er zal in ieder geval een hele generatie overheengaan voordat het echt volledig ingeburgerd is. Maar het is zeker te doen.

Het probleem is dat het heel moeilijk is beide systemen naast elkaar te gebruiken. De meeste mensen kunnen niet met het duodecimale systeem omgaan. Alles staat in decimaal aangegeven. Dus om van de voordelen van het duodecimale systeem gebruik te kunnen maken moet je tweemaal converteren. Daar gaat je voordeel.

[Lord Daemon]

De hele wetenschap wordt constant verbeterd. Als er een theorie of methode gevonden wordt die beter is dan de gebruikte, dan wordt de gebruikte overboord gegooid en de nieuwe gebruikt. Waarom dan hier niet?

Juist omdat het voor wetenschappers niet boeit: die houden zich niet bezig met delen en vermenigvuldigen van simpele getallen, over het algemeen. Geloof me, wetenschappers zijn gek genoeg om de lichtsnelheid op 1 te stellen en zo als dat ze handig uitkomt... maar dit komt ze gewoon niet echt handig uit. Het maakt namelijk nauwelijks uit.

(Meer praktisch: weet je hoe duur het zou zijn om dat om te zetten?)

[Mx. Alba]

Op donderdag 20 september 2001 23:01 schreef Lord Daemon het volgende:

(Meer praktisch: weet je hoe duur het zou zijn om dat om te zetten?)

Veel. Heel veel. Te veel, waarschijnlijk. Maar het feit blijft dat duodecimaal beter is.

[Anoniem: 26633]

Op woensdag 19 september 2001 12:53 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Uhm... kan je zes delen door vier?

Ja, want 6/4 in het tientallig stelsel is gelijk aan 10/4 = 1.3 in het zestallig stelsel.

[BurningSheep]

Op woensdag 12 september 2001 14:39 schreef Creation25 het volgende:

[..]

Wat dacht je van 10 tenen tellen ...hehehehe

De Maya's gebruikte idd een 20-tallig getallenstelsel misschien dat ze ook op hun tenen telden, maar het lijkt me voor de hand liggender dat ze in contact geweest zijn met twintig-vingerige-aliens

[Lord Daemon]

Ja, want 6/4 in het tientallig stelsel is gelijk aan 10/4 = 1.3 in het zestallig stelsel.

Welnee. 6/4=1.5 in tientallig, en 6/4=1.5 in duodecimaal. Dat maakt niets uit.

[Anoniem: 13700]

Op zaterdag 22 september 2001 16:04 schreef Lord Daemon het volgende:
Welnee. 6/4=1.5 in tientallig, en 6/4=1.5 in duodecimaal. Dat maakt niets uit.

Hij had het over 6-tallig, maar dan nog klopt je berekening niet: 6/4=1.5 (1 + 5/10) decimaal is 6/4=1.6 (1 + 6/12) duodecimaal en 10/4=1.3 (1 + 3/6) zestallig.

[Lord Daemon]

O, zestallig. Sorry, dat had ik niet gezien.

Uhm... maar in het zestallig stelsel heb je helemaal geen 6?

O wacht, nu snap ik het.

Dan heb je: (10 / 4)₆ = (6 / 4)₁₀ = 1.5₁₀ = 1.3₆

Ja, dat klopt. Maar dan heb je nog steeds geen integer, dus 6/4 kan niet in het 6-tallig stelsel.

[Anoniem: 13700]

Op zaterdag 22 september 2001 16:28 schreef Lord Daemon het volgende:
Ja, dat klopt. Maar dan heb je nog steeds geen integer, dus 6/4 kan niet in het 6-tallig stelsel.

Maar die deling lukt natuurlijk nooit zonder rest in een normaal talstelsel (waar het grondtal een element van N en > 1 is)

[Mx. Alba]

Op zaterdag 22 september 2001 16:28 schreef Lord Daemon het volgende:
Maar dan heb je nog steeds geen integer, dus 6/4 kan niet in het 6-tallig stelsel.

Als een deling geen geheeltallige oplossing heeft in één talstelsel, dan ook niet in een andere. Simpel. Maar dat betekent niet dat het niet makkelijker kan.

Meerdere keren achter elkaar door 2 delen bijvoorbeeld komt in de praktijk vrij vaak voor. Hieronder staan ze steeds eerst in decimaal, dan in duodecimaal.

1/2 = 0.5
1/2 = 0.6

1/4 = 0.25
1/4 = 0.3

1/8 = 0.125
1/8 = 0.16

1/16 = 0.0625
1/14 = 0.09

1/32 = 0.03125
1/28 = 0.046

1/64 = 0.015625
1/54 = 0.023

1/128 = 0.0078125
1/X8 = 0.0126

1/256 = 0.00390625
1/194 = 0.0073

1/512 = 0.001953125
1/368 = 0.00476

1/1024 = 0.0009765625
1/714 = 0.00249

Vertel me nu maar eens in welk talstelsel die delingen dus het makkelijkst zijn?

[Anoniem: 26633]

Op zaterdag 22 september 2001 16:28 schreef Lord Daemon het volgende:
Ja, dat klopt. Maar dan heb je nog steeds geen integer, dus 6/4 kan niet in het 6-tallig stelsel.

Wat ik bedoel te zeggen is dat je in het zestallig stelsel kan delen door 2,3,4,6,8,9,12,15... zonder dat je een oneindige breuk achter de komma te krijgt. Voor het tientallig stelsel zijn dit de getallen: 2,4,5,8,10,15...

Het lijkt me voordelig als je een talstelsel kiest dat zo weinig mogelijk oneindige breuken heeft. Tja als je eenmaal een computer gaat gebruiken maakt het misschien ook niet veel meer uit.

[Tupolev]

Wat is een oneindige breuk? Die term heb je zeker zelf verzonnen. En jouw streven om zoveel mogelijk 'nette' getallen in de wiskunde te krijgen is natuurlijk onzinning . Breuken zijn in de wiskunde ook 'nette' getallen.

In het echte leven zullen meetwaarden, etc. nog steeds allerlei vormen aannemen, dus je schiet er niks mee op.

En waarom worden alle zogenaamde getallenstelsels nog steeds in het decimale stelsel weergegeven? Zo kun je naatuurlijk nooit zien welk stelsel eventueel het beste zou zijn.

[Mx. Alba]

Op zaterdag 22 september 2001 19:21 schreef marsz het volgende:

[..]

Wat ik bedoel te zeggen is dat je in het zestallig stelsel kan delen door 2,3,4,6,8,9,12,15... zonder dat je een oneindige breuk achter de komma te krijgt. Voor het tientallig stelsel zijn dit de getallen: 2,4,5,8,10,15...

Maar toch is dan 12-tallig beter dan 6-tallig, omdat je dan minder ruimte nodig hebt om een getal op te schrijven. Het is dan dus makkelijker in één oogopslag te zien hoe groot een getal is.

Het lijkt me voordelig als je een talstelsel kiest dat zo weinig mogelijk oneindige breuken heeft. Tja als je eenmaal een computer gaat gebruiken maakt het misschien ook niet veel meer uit.

Inderdaad. Voor een computer maakt het geen fsck uit in welk talstelsel de invoer en uitvoer is. Intern is het immers toch allemaal binair. Maar voor de mens maakt het echter wel uit.

[Anoniem: 13700]

Op zaterdag 22 september 2001 21:07 schreef Tupolev het volgende:
Wat is een oneindige breuk? Die term heb je zeker zelf verzonnen. En jouw streven om zoveel mogelijk 'nette' getallen in de wiskunde te krijgen is natuurlijk onzinning . Breuken zijn in de wiskunde ook 'nette' getallen.

Hij bedoelt repeterende breuken in de vorm van 0.11111... of 0.125252525... Of een breuk repeterend wordt ligt wel degelijk aan het talstelsel waarin hij genoteerd wordt (schrijf bv. maar eens 1/2 in 3-tallig).

In het echte leven zullen meetwaarden, etc. nog steeds allerlei vormen aannemen, dus je schiet er niks mee op.

Klopt volledig. Het enige voordeel dat rekenen in andere talstelsels oplevert is dat (simpele) hoofdberekenigen eenvoudiger zijn. Dit zou dus voordeel kunnen opleveren bij het kinderen leren rekenen, ware het niet dat duodecimaal een moelijker abstract concept is dan decimaal rekenen.

Het hele argument draait dus eigenlijk hierom: wat is een moeilijker concept om te leren; repeterende breuken, of een talstelsel met en grondtal anders dan 10. Merk daarbij op dat ook in die andere talstelsels repeterende breuken niet te vermijden zijn, er ontstaan er alleen gemiddeld wat minder, afhankelijk van het gekozen grondtal.

[Anoniem: 26633]

Tupolev:
En waarom worden alle zogenaamde getallenstelsels nog steeds in het decimale stelsel weergegeven?

Omdat je niet zomaar efkes van getallenstelsel verandert natuurlijk. Dat tientallig stelsel zit er al eeuwen in. Je verandert ook niet zomaar van de gulden naar de euro.

Mietje:
Het hele argument draait dus eigenlijk hierom: wat is een moeilijker concept om te leren; repeterende breuken, of een talstelsel met en grondtal anders dan 10.

Misschien wel interessant om te onderzoeken wat voor problemen je tegen aan loopt al zou je het talstelsel willen veranderen.

[Tupolev]

Op zondag 23 september 2001 14:42 schreef marsz het volgende:

[..]

Omdat je niet zomaar efkes van getallenstelsel verandert natuurlijk. Dat tientallig stelsel zit er al eeuwen in. Je verandert ook niet zomaar van de gulden naar de euro.

101101110001 Ziet er toch binair uit of niet soms. Dus zo moeilijk is het niet.

[Mx. Alba]

Op zondag 23 september 2001 15:23 schreef Tupolev het volgende:

[..]

101101110001 Ziet er toch binair uit of niet soms. Dus zo moeilijk is het niet.

Oké, dan veranderen we van decimaal naar duodecimaal. Moet je wel meteen al het geld ook nieuw maken bijvoorbeeld, omdat er dan immers 144 centen in een euro zitten ipv 100.

En je wil dan ook niet meer munten enzo van 1, 2, 5, 10, 20, 50 hebben, maar 1, 2, 6, 10, 20, 60.

Overal moeten alle getallen veranderd worden. Ook pi, e en wortel 2 veranderen. Niet van waarde, maar wel van weergave. De maximumsnelheid op de snelweg wordt X0, op autowegen 80 (of 86), buiten de bebouwde kom 66, in de kom 40 en in woonwijken 26. De maximumsnelheid voor bromfietsen wordt 40, voor snorfietsen wordt 20, en voor landbouwvoertuigen 16.

Je ziet dat hier en daar snelheden een beetje aangepast worden. 80₁₂ bijvoorbeeld is 96₁₀. Je kan ook 86₁₂ kiezen, wat op 102₁₀ uitkomt. In de bebouwde kom wordt 2km/h langzamer gereden, immers 40₁₂ = 48₁₀. En brommers mogen 3km/h harder rijden, en rijden dan dus even hard als de auto's binnen de kom. Wel zo handig eigenlijk.

Oh, en ook percentages moeten veranderd worden. Je hebt dan immers pergrossages. 50%₁₀ = 60%₁₂. 25%₁₀ = 30%₁₂.

Het probleem is dus dat alles wat met getallen te maken heeft veranderd moet worden, wat voor heel erg veel verwarring zou zorgen...

[Tupolev]

Ik bedoelde dus ook stelsels zo opschrijven zoals ze eruit zien, en niet coverteren naar het decimale stelsel.

[Lord Daemon]

Vertel me nu maar eens in welk talstelsel die delingen dus het makkelijkst zijn?

Het tweetallig stelsel. Veruit. Dan hoef je alleen maar de komma te verschuiven.

[Anoniem: 26633]

Op zondag 23 september 2001 22:07 schreef Lord Daemon het volgende:

[..]

Het tweetallig stelsel. Veruit. Dan hoef je alleen maar de komma te verschuiven.

Alleen dan word je wel een beetje gestoord van al die 0-en en 1-en, niet?

[Anoniem: 958]

En wat dachten jullie van de tafel van 142857? Die is toch veel makkelijker in 10-tallig dan in elk ander stelsel?

1 x 142857 = 142857
2 x 142857 = 285714
3 x 142857 = 428571
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285
6 x 142857 = 857142
7 x 142857 = 999999
8 x 142857 = 1142856
9 x 142857 = 1285713
10 x 142857 = 1428570
32 x 142857 = 4571424
157 x 142857 = 22428549

De getallen schuiven alleen maar een paar plaatsjes op! En bij grotere getallen tel je gewoon de eerste getallen bij de laatste op, om weer 142857 te krijgen.

Nou, als dat geen voordeel is van een 10-tallig stelsel weet ik het ook niet meer!

[Mx. Alba]

Op maandag 24 september 2001 11:30 schreef Sandalf het volgende:
En wat dachten jullie van de tafel van 142857? Die is toch veel makkelijker in 10-tallig dan in elk ander stelsel?

1 x 142857 = 142857
2 x 142857 = 285714
3 x 142857 = 428571
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285
6 x 142857 = 857142
7 x 142857 = 999999
8 x 142857 = 1142856
9 x 142857 = 1285713
10 x 142857 = 1428570
32 x 142857 = 4571424
157 x 142857 = 22428549

De getallen schuiven alleen maar een paar plaatsjes op! En bij grotere getallen tel je gewoon de eerste getallen bij de laatste op, om weer 142857 te krijgen.

Nou, als dat geen voordeel is van een 10-tallig stelsel weet ik het ook niet meer!

Twee bezwaren.

1) Dat getal zal je in de praktijk vrijwel nooit tegenkomen.
2) In elk talstelsel zijn er wel van dat soort dingen te vinden.

Het gaat erom dat er in het 12tallige stelsen bij lage, veelvoorkomende getallen van dit soort dingen vaker optreden dan in het 10tallige stelsel.

[Bigfoot]

Ik vind het een onzinnige discussie, de stelling dat men beter over kan gaan naar een niet tientallig stelsel omdat een aantal delingen dan "mooier" uitkomen. So what? Wat voor voordelen zijn daar aan verbonden?

Is het goed voor de economie? Of kunnen de wetenschappers er voordeel mee behalen? Liijkt me echt niet hoor.

[Anoniem: 27642]

moet het eens zijn met bigfoot, je moet rekenen niet als een stelsel zien maar meer de stelsels als verschilende talen waarin je hetzelvde doet.
en het 10 talig stelsel (aka engels ofzo) word gewoon veel gebruikt, maar in andere vakgebieden worden wel eens andere stelsels gebruikt en in princiepe mag je best een ander stelsel gebruiken maar je moet er dan wel rekening mee houden dat een groter gedeelte van de menshijd een ander stelsel gebruikt.

wat mij intresant lijkt is of het mogelijk is om een andere manier van rekenen te maken, maar ik zuig in wiskunde dus mij zal het niet lukken.

[Lord Daemon]

Nou, als dat geen voordeel is van een 10-tallig stelsel weet ik het ook niet meer!

LOL

Wat een zinloze discussie is dit geworden overigens. Eigenlijk is niemand het met elkaar oneens, alleen vinden sommige mensen de voordelen van het 12-tallig stelsel overweldigend en anderen vinden ze niet boeiend.

[Anoniem: 35783]

Laat ik nou toevallig hier een programmeeropgave voor m'n neus hebben over Claude Elwood Shannon (30-4-1916 tot 24-2-2001)

Ik lees voor.

Begin dit jaar overleed op 84-jarige leeftijd de Amerikaanse wetenschapper en elektrotechnisch ingenieur Claude Elwood Shannon. Met enekele baanbrekende artikelen, die hij in de jaren na de Tweede Wereldoorlog publiceerde, onstonden hele nieuwe vakgebieden zoals informatie- en coderingstheorie. Eerder was hij al de eerste die de overeenkomst opmerkte tussen schakel-elektronica en Boolse algebra, en ook schreef hij een klassiek artikel over hoe je een computer zou kunnen programmeren om schaak te spelen, waarin hij het befaamde minimax algoritme introduceert.

Naast dit serieuze werk was hij ook een fervent jongleur en liefhebber van vreemde apparaten. Toen het binaire stelsel al lang gemeengoed was voor elektronische computers ontwierp hij de THROBAC, een computer die intern in het Romeinse(!?) talstelsel rekent. Een ander tegendraads artikel van zijn hand gaat over een alternatieve representatie voor getallen. Deze opgave gaat over deze 'Shannongetallen'.

Wanneer we een geheel getal G in het r-tallig stelsel uitdrukken gebruiken we daarvoor N cijfers a_i, met 0 <= i < N en ai element van {0,1,...,r-2,r-1}, zodanig dat geldt: G = som van (i=0 tot N-1) van a_i*rⁱ

Deze 'normale' getalrepresentatie heeft vele mooie eigenschappen. Echter, het is zeker niet de enige manier om efficient getallen te representeren!

Een alternatieve representatie die zeer veel lijkt op de bovenstaande krijgen we door in plaats van de cijfers {0,1,...,r-2,r-1}, de cijfers {-(r-1)/2, -(r-1)/2 + 1, ..., (r-1)/2 - 1, (r-1/2)} te nemen. Dit werkt alleen voor een oneven grondtal r. In de rest van deze opgave nemen we het grondtal r = 11 constant, zodat we de cijfers {-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5} hebben. Wanneer we nu de negatieve cijfers noteren met een accent (dus 5' in plaats van -5), krijgen we de Shannonrepresentatie.

Een voorbeeld helpt wellicht om dit te verduidelijken. Het getal 12'3'405' kunnen we als volgt converteren naar decimaal:

12'3'405' = (-5)*11⁰ + (0) * 11¹ + (4)*11² + (-3)*11³ + (-2)*11⁴ + (1)*11⁵ = -5 + 0 + 484 - 3993 - 29282 + 161051 = 128255

De Shannon-representatie biedt, vanwege de symmetrische verdeling van de cijfers, bepaalde voordelen tegenover de normale getalrepresentatie. Zo zijn de vermenigvuldigingstafels dankzij de symmetrie zeer eenvoudig, hetgeen belangrijk zou kunnen zijn met het oog op machinale verwerking.
Het belangrijkste voordeel wordt ook al door Shannon opgemerkt: het is onmogelijk voor winkeliers om 'bedrieglijke' prijzen te hanteren zoals 4,99 of 99,95 !

Voorbeeld: 1000 -> 13'31' en -1000 -> 1'33'1

Ok, welteruste ppl.

.edit: superscript: sup ipv super proberen...

[Anoniem: 35783]

Hier heb het antwoord op die opgave

code:

void s(int G) {
  int d;
  if (G = (G - (d = (G + 123456789) % 11) + 5) / 11) s();
  putchar(d["54321012345"]); 
  if (d < 5) putchar('\'');
}

Vraag me niet hoe het werkt, ik weet het niet ;P