oplossen met Kwadraatafsplitsing, maar dan net even anders..

[Fantomaz]

Allereerst...
Ik kon geen sectie vinden voor wiskunde vragen, maar werd daar wel naartoe geleid na een Google search.
Wil ik vervolgens wat posten, wordt dit onder softwareontwikkeling geplaatst.
Excuses als ik dat verkeerd doe.

Mijn vraag...
Ik breek al even mijn hoofd hierover.
Ik heb mooie video's gezien over "Vergelijkingen oplossen met Kwadraatafspiting" maar waar ik nu tegenaan loop dekt daar niet de lading.

Het gaat mij niet om het antwoord, maar op de manier hoe ik soorgelijke sommen moet oplossen.

Als ik X² - 2X + 5 moet opsplitsen in Kwadraten, krijg ik:

(X - 1)² -1 (waarbij ik die + 5 nog even moet negeren)

Omdat:
(X - 1) x (X - 1) -1 =
X² - X - X -1 =
X² - 2X -1 =
Die 1 moest ik er weer vanaf trekken, en die 5, die ik eerder kon negeren, moet daar ook weer bij op Dus X² - 2X - 1 + 5
oftewel X² -2X + 4

Nu moet ik hetzelfde doen met:
2X² - 6X - 9

Nu er niet gestart wordt met X maar met 2X, ben ik het spoor bijster.

Kan iemand mij daarin even vlot trekken?

NB... Dat met die 1 (1x1) niet meenemen en later er weer vanaf trekken vind ik ook nog lastig te bevatten.
Dat zal ik ook niet goed in de vraag hebben beschreven. Dat is een wat andere discussie, maar als iemand dáár wat over kan uitleggen is dat ook welkom.

[Sebas1979]

allereerst: om iets 'op te lossen' mist er een = teken.

En als je na bewerkingen van X2 - 2X - 5 ineens X2 - 2X -4 weet te maken, klopt er toch ergens iets niet. Of je geeft veel te weinig informatie wat je precies wil doen (er zijn wel scenario's waar die constante irrelevant kan zijn, maar geen idee of dat in jouw geval van toepassing is).

(en: voor kwadratische vergelijkingen kun je natuurlijk ook gewoon de ABC-formule toepassen).

[ThomasG]

Waar je naar op zoekt bent is: ontbinden in factoren. Als je daar op zoekt zul je veel uitleg en video's vinden.

[KabouterSuper]

Kwadratische vergelijkingen hebben drie vormen

code:

ax²+bx+c,
d(x-e)²+f
g(x-h)(x-i)

De eerste vorm is handig, omdat deze geen haakjes heeft en je de abc-formule gelijk kunt toepassen.
De tweede vorm is handig om de top snel te bepalen (xtop=e, ytop=f). Daarbij kan je de nulpunten redelijk eenvoudig oplossen (f naar de andere kant, dan links&rechts delen door d en dan de wortel trekken).
De derde vorm geeft je gelijk de nulpunten (h en i).


In jouw geval geldt

code:

2x² - 6x - 9
=2(x²-3x)-9
=2(x-3/2)²-2*(3/2)²-9

Je bent nu van vorm 1 naar vorm 2 gegaan.
Je kunt hiermee de nulpunten bepalen:

code:

2(x-3/2)²-2*(3/2)²-9=0
2(x-3/2)²=9+2*(3/2)²    =27/2
(x-3/2)²=27/4
(x-3/2)=±wortel(27/4)=±wortel(27)/2
x=3/2±wortel(27)/2

[ Voor 20% gewijzigd door KabouterSuper op 06-03-2024 15:50 ]

[Fantomaz]

Sebas1979 schreef op woensdag 6 maart 2024 @ 13:41:
allereerst: om iets 'op te lossen' mist er een = teken.

En als je na bewerkingen van X2 - 2X - 5 ineens X2 - 2X -4 weet te maken, klopt er toch ergens iets niet. Of je geeft veel te weinig informatie wat je precies wil doen (er zijn wel scenario's waar die constante irrelevant kan zijn, maar geen idee of dat in jouw geval van toepassing is).

(en: voor kwadratische vergelijkingen kun je natuurlijk ook gewoon de ABC-formule toepassen).

Ik ken de ABC formule wel (inmiddels) maar kreeg sinds kort te maken met een paar "vergelijkingen oplossen met kwadraat afsplitsingen". Zo wordt het in het filmpje van Math met Menno beschreven.
100 punten voor die knul overigens...

Daar wordt zonder nadere uitleg de stap gemaakt van:
X² + 4X - 7 = 0
naar:
(X + 2)² - 4 - 7 = 0

Even los van het verhaal dat hier plotseling 4 vanaf gehaald moet worden, wat ik niet begrijp, was dit redelijk te behappen en te repliceren.
Maar toen ik iets kreeg als dit:
2X² - 6X - 9 kon ik dat niet zomaar overzetten zoals bij die som hierboven.

Wat dat -5 en verderop -4 betreft, dat was ergens in mijn omschrijving van het probleem wat fout gegaan.
Want ergens is er een 1² die ik niet hoef te gebruiken oid en daarbij moet weghalen. Dus -1 + 5 wordt dan 4.

Maar zoals gezegd gaat het me er om dat ik niet begreep hoe ik dat eerste kwadraat, wat in dit geval 2X² is moest verwerken

@ThomasG Ik weet dat er de nodige filmpjes van zijn. Maar NIET zo 123 met een 2X² ipv X²

@KabouterSuper
Jouw uitleg, in je tweede code veldje is wat ik zocht.
Ik snap nu de overgang van stap 1 naar stap 2. Ik zal me even verdiepen in hoe je bij stap 3 komt, maar dat is een kwestie van redeneren, denk ik... Daar ga ik wel uitkomen.
Heel erg bedankt!

[Fantomaz]

@KabouterSuper

even ter afronding...
Beredeneer ik het zó goed?

2X² - 6X - 9 is gelijk aan 2(X² - 3X) - 9
Om de volgende reden:
2(X- 3X) ² - 9

2 (X - 3) x (X - 3) - 9

dat is 2x (X x X) + (-3 x X) + (X x -3) + (-3 x -3) - 9
oftewel:
2x X² + (2x -3X) + 9 -9
oftewel:
2x X² + -6X + 9 -9 Omdat we die +9 niet willen (wat ik niet begrijp) wordt er nog een keer extra 9 vanaf gehaald.
Dus.
2x X² - 6X + 9 -9 -9
Dus
2X² - 6X -9

Waar ik mij ook steeds over verbaasde en waar ik op stuk liep, was die 2x voor elke stap.
Uiteindelijk wordt die 2x gebruikt om uitsluitend die X² te verdubbelen.
Maar dit gebeurt niet met die -6X.
Dus een groter getal wordt verminderd dmv een aftreksom die gelijk blijft, terwijl het getal waar dit vanaf getrokken wordt, wél wordt verdubbeld.

En ik begrijp (zie ik nu net) ook niet dat die 6X plotseling positief is geworden nadat ik 2x -3 heb gedaan.
Het is logisch, maar had ik daar 2x - (3) moeten doen (of iig om die uitkomst negatief te houden)?
[edit] Dit stukje zie ik nu! Dat kwintje valt ook goed.

[ Voor 3% gewijzigd door Fantomaz op 06-03-2024 21:58 ]

[ThomasG]

Fantomaz schreef op woensdag 6 maart 2024 @ 20:45:
[...]

@ThomasG Ik weet dat er de nodige filmpjes van zijn. Maar NIET zo 123 met een 2X² ipv X²

Het probleem is denk ik dat je niet inzien dat bijvoorbeeld x² + 8x + 4 eigenlijk 1x² + 8x + 4 is, en dat kun je ook schrijven als 1(x² + 8x + 4). Of wel, alles tussen de haakjes wordt vermenigvuldigd met 1 om terug bij het origineel te komen. Bij 2x² + 8x + 4 is het geen 1, maar een 2. Dus bij het herschrijven moet er nog iets gebeuren. En daarna is het hetzelfde als voorheen.

[Fantomaz]

ThomasG schreef op woensdag 6 maart 2024 @ 21:35:
[...]
Het probleem is denk ik dat je niet inzien dat bijvoorbeeld x² + 8x + 4 eigenlijk 1x² + 8x + 4 is, en dat kun je ook schrijven als 1(x² + 8x + 4). Of wel, alles tussen de haakjes wordt vermenigvuldigd met 1 om terug bij het origineel te komen. Bij 2x² + 8x + 4 is het geen 1, maar een 2. Dus bij het herschrijven moet er nog iets gebeuren. En daarna is het hetzelfde als voorheen.

Helemaal duidelijk!
Dan weet ik ook hoe ik het volgende vraagstuk moet oplossen, waar alles draait om 1/2 X²