[Algoritme] Snijpunten cirkels in poolcoordinaten

[Jurgle]

Wellicht kan iemand die wat recentere (school)ervaring heeft met wiskunde dan dat ik heb, mij even op weg helpen met een snijpuntenprobleem van twee cirkels. (Toepassing: ik wil een (water)leidingenstelsel tekenen op een grid, waarbij leidingen op een tegel in dat grid over/onder elkaar doorlopen). Ik heb het probleem tot het volgende weten te beperken:

Men neme een vierkant V (zijden Boven, Rechts, Onder en Links met lengte L). De hoek linksonder noemen we Q_lo, de hoek rechtsboven noemen we Q_rb. Deze Q's zijn middelpunten van cirkels met beiden dezelfde straal R, met 0 <= R <= L. Van beide cirkels valt (dus) een kwart binnen het vierkant V. De omtrek van de cirkel om Q_lo loopt van zijde Links naar Onder en die om Q_rb loopt van zijde Rechts naar Boven.

De afstand tussen Q_lo en Q_rb is altijd Sqrt(L² + L²), aldus Pythagoras. Als beide cirkels elkaar raken, hebben ze dus een R_raak van Sqrt(L² + L²) / 2. Als R kleiner is, dan raken of snijden de cirkels elkaar niet, maar als R groter is, dan zijn er twee snijpunten A en B. De hoeken die de lijnstukken R_lo-A en R_lo-B maken maken met zijde Links heten respectievelijk α en β. Gegeven is (volgens mij) dat 90 - α = β (of (π/2) - α = β).

Hoe druk ik α uit als functie van R waarbij R_raak < R <= L? Met andere woorden: Hoe neemt de lengte van lijnstuk A-B toe als R groter wordt? (Zowel A als B liggen altijd op de diagonaal haaks op de diagonaal R_lo-R_rb, toch?)

Ik weet dat x² + y² = r² en dat bijv x = sin(t) met y = cos(t) en als ik Google op "circles intersections" kom ik bijvoorbeeld bij Wolfram die het met net wat andere condities best mooi uitlegt, maar mijn wiskunde is al veel te ver weggezakt om dit even om te schrijven naar α en β.

[Knutselsmurf]

Omdat beide cirkels dezelfde straal hebben, liggen beide snijpunten op de diagonaal van linksboven naar rechtsonder. Ook is de afstand tussen beide snijpunten en het midden van de vierkant gelijk,

Je kunt nu een driehoek tekenen tussen het hoekpunt linksonder, het middelpunt van je vierkant en snijpunt A (of B ).

Van deze driehoek weet je twee lengtes. De ene lengte is R, en de andere lengte is 1/2*Sqrt(2)*L.

Met de basis-definities van sin(α) en cos(α) kun je de hoek α bepalen. Voor de afstand tussen beide snijpunten is deze echter niet nodig. Die kun je met Pythagoras uit deze driehoek halen.

[Djordjo]

Construeer een rechthoekige driehoek met twee zijden over de diagonalen van het vierkant en de schuine zijde met lengte R. (Met punten Qlo, middelpunt vierkant en snijpunt dus)

Knutselsmurf was me voor

[ Voor 14% gewijzigd door Djordjo op 30-01-2020 11:54 ]

[Jurgle]