Algebraïsch oplossen parabool

[---Roel---]

Geachte,

Ik maak nu VWO-opgaven extra, alleen ik zit te stoeien met een som:

De grafiek van de functie h(x)=ax²+4x+c snijdt de y-as in het punt (0,3).
De top van de parabool heeft de coördinaten (1, 11).
Bereken a en c.

Mijn oplossing:

Deze som gaat over de vorm ax²+bx+c

c=3 (het snijpunt van parabool met de y-as is (0,c))

h(1)=11 (x=1 invullen in de formule en er moet als uitkomst 11 uitkomen)
a * 1²+4x+3=11

a * 1 + 4 * 1 + 3 =11

a + 4 + 3=11

a+7=11

11-7=4=a

Echter, doe ik iets fout. Ik zou het erg waarderen als iemand mij helpt want de formule (4x²+4x+3) heeft zijn top niet in het punt (1,11). Dat duidt erop dat mijn antwoord fout is.
Hopende dat u mij kunt helpen

[Sibylle]

Je hebt één oplossing gevonden voor een parabool door die twee punten, maar ze geven meer informatie:
Het punt (1,11) is niet zomaar een punt, het betreft de top van de parabool. Dat punt heeft een specifieke speciale eigenschap die je kunt/moet gebruiken.

Uit het hoofd kom ik dan nog altijd niet op (1,11), maar op (1,5). Weet je zeker dat alle getallen en de vraagstelling klopt?

[gambieter]

W&L is niet bedoeld voor huiswerkvragen. Ik verplaats het naar Algemene Zaken, maar het is niet de bedoeling dat ze je daar bij het handje nemen

WL >> AZ

[Joep]

Oh leuk, ff proberen. Ik zal m'n antwoord updaten totdat 'ie volledig is.

Edit: Onbekend Verdomme, spuit 11!

Maar wie zegt dat Roel al met de afgeleide mag werken?

[ Voor 42% gewijzigd door Joep op 24-07-2016 14:23 ]

[Onbekend]

Je moet volgens mij de afgeleide van nemen:

spoiler:

f(x)=ax²+bx+c

f '(x)=2ax+b

De top is waar 2ax+b = 0.

x_top=-b / 2a

y_top=ax_top²+bx_top+c

Dus 1 = -b / 2a => 2a = -b
en 11 = ax_top²+bx_top+c

Die b had je al, want die was 4. Dus a moet -2 zijn.
En c bereken je dus 11 = -2 + 4 + c. Dus c = 11 + 2 - 4 = 9.

Maar als je de gevonden waarden voor (0,3) invult, klopt dit niet.

Conclusie:

spoiler:

is dat b=4 fout moet zijn.

[ Voor 5% gewijzigd door Onbekend op 24-07-2016 14:23 . Reden: Spoilers toegevoegd. ]

[bwerg]

Onbekend schreef op zondag 24 juli 2016 @ 14:19:

spoiler:

is dat b=4 fout moet zijn.

spoiler:

Niet per sé: één van de andere eisen is fout, dat zou b=4 kunnen zijn maar ook een andere eis. M.a.w. het enige wat je zeker weet is dat er geen formule bestaat die aan alle eisen voldoet.

Altijd leuke vragen zijn dit. Zo had ik er een op een tentamen. Mijn uitwerking liep dood met 'en hier kom ik niet meer verder', ik kreeg de volle punten. Een klasgenoot kwam op hetzelfde punt en blufte '... dus dit is het antwoord', en dat was fout. Dat terwijl een echte logicus natuurlijk zou stellen dat, omdat de docent aangeeft dat er een oplossing is, een contradictie in terminis is en uit onwaarheid volgt alles, dus er bestaat geen fout antwoord. Maar goed, laat iemand in 4VWO maar eens met dat verweer komen...

[ Voor 27% gewijzigd door bwerg op 24-07-2016 14:43 ]

[---Roel---]

Joep schreef op zondag 24 juli 2016 @ 14:19:
Oh leuk, ff proberen. Ik zal m'n antwoord updaten totdat 'ie volledig is.

Edit: Onbekend Verdomme, spuit 11!

Maar wie zegt dat Roel al met de afgeleide mag werken?

Ik heb nog geen 'echte' les over de afgeleide, echter heb ik het wel eens aan mijn docent gevraagd.
Dit is wat ik er van begrepen heb:
Het heeft iets met de hoek/helling van een functie te maken. Zo begint de sinusfunctie met 45 graden als ik correct ben.
Ik weet dat:
sin(x)'=cos(x)
cos(x)'=-cos(x)
-cos(x)'=cos(x)

bwerg schreef op zondag 24 juli 2016 @ 14:35:
[...]

spoiler:

Niet per sé: één van de andere eisen is fout, dat zou b=4 kunnen zijn maar ook een andere eis. M.a.w. het enige wat je zeker weet is dat er geen formule bestaat die aan alle eisen voldoet.

Altijd leuke vragen zijn dit. Zo had ik er een op een tentamen. Mijn uitwerking liep dood met 'en hier kom ik niet meer verder', ik kreeg de volle punten. Een klasgenoot kwam op hetzelfde punt en blufte '... dus dit is het antwoord', en dat was fout. Dat terwijl een echte logicus natuurlijk zou stellen dat, omdat de docent aangeeft dat er een oplossing is, een contradictie in terminis is en uit onwaarheid volgt alles, dus er bestaat geen fout antwoord. Maar goed, laat iemand in 4VWO maar eens met dat verweer komen...

Ik vraag altijd bij bèta vakken om de VWO opdrachten
Ik zat op 3 HAVO en heb mijn uiterste best gedaan voor een VWO-advies.
Helaas ga ik volgend shooljaar naar 4 HAVO
Ik heb geen toegang tot een antwoordenboek vandaar vraag ik het op het tweakers-forum

Hartelijk dank voor jullie inzet

[ Voor 1% gewijzigd door ---Roel--- op 24-07-2016 16:31 . Reden: Bedankje vergeten :( ]

[Onbekend]

Je zit in 3 havo en maakt opgaven voor 4 vwo. Dan kan het inderdaad zo zijn dat je bepaalde kennis (nog) niet hebt omdat dat pas later komt.

Je hebt de vraag wel goed gelezen en overgeschreven uit het boek, of is het een deelopgave?

Of valt dit onder het kopje imaginaire getallen? ( x² = -1 )

[---Roel---]

Onbekend schreef op zondag 24 juli 2016 @ 16:54:
Je zit in 3 havo en maakt opgaven voor 4 vwo. Dan kan het inderdaad zo zijn dat je bepaalde kennis (nog) niet hebt omdat dat pas later komt.

Je hebt de vraag wel goed gelezen en overgeschreven uit het boek, of is het een deelopgave?

Of valt dit onder het kopje imaginaire getallen? ( x² = -1 )

Dit zijn VWO 3 opdrachten. Ik heb de opgave exact overgeschreven.

[Rannasha]

Er zit een fout in de opgave.

Het gaat om een functie ax^2 + bx + c en je hebt 4 gegevens:

- b = 4
- de functie snijdt de y-as op (0, 3) ==> c = 3
- de functie gaat door het punt (1, 11) ==> a + 7 = 11
- de functie heeft als top het punt (1, 11) ==> -b / 2a = 1^(*) ==> 2a = -4

Item 3 en 4 zijn in directe tegenspraak met elkaar. (3) impliceert a = 4, (4) impliceert dat a = -2.

^(*): De x-coordinaat van het maximum/minimum van een parabool wordt altijd gegeven door -b / 2a. Om in te zien waarom, bedenk dan dat het extremum altijd precies midden tussen de twee nulpunten van de functie ligt (als de functie geen reele nulpunten heeft, verschuif hem dan omhoog of omlaag). Volgens de ABC-formule worden de nulpunten gegeven door -b / 2a +/- <stuff>, het ene nulpunt is dus -b / 2a + <stuff>, het andere -b / 2a - <stuff>. Het punt hier precies middenin is dus -b / 2a. Alternatief bewijs mbv de afgeleide: De afgeleide van een generieke parabool is h'(x) = 2a + b. Dit is 0 precies wanneer x = -b / 2a.

edit: Dit probleem heeft ook geen oplossingen in de imaginaire / complexe getallen. De 4 gegevens die ik hierboven heb genoemd zijn alle 4 effectief lineaire vergelijkingen met reele coefficienten. En die hebben altijd reele oplossingen.

[ Voor 10% gewijzigd door Rannasha op 24-07-2016 20:45 ]

[bwerg]

Rannasha schreef op zondag 24 juli 2016 @ 20:43:
Item 3 en 4 zijn in directe tegenspraak met elkaar. (3) impliceert a = 4, (4) impliceert dat a = -2.

Mierenneuken: de gehele set van gegevens geeft een tegenspraak, niet per sé (3) en (4). Laat je een ander gegeven weg, dan kun je ook een oplossing vinden.

[Henk007]

edit:
Rannasha hierboven had de mogelijkheid van complexe oplossingen al onderzocht

[ Voor 65% gewijzigd door Henk007 op 25-07-2016 01:23 ]

[Sibylle]

Rannasha schreef op zondag 24 juli 2016 @ 20:43:
Er zit een fout in de opgave.

Het gaat om een functie ax^2 + bx + c en je hebt 4 gegevens:

- b = 4
- de functie snijdt de y-as op (0, 3) ==> c = 3
- de functie gaat door het punt (1, 11) ==> a + 7 = 11
- de functie heeft als top het punt (1, 11) ==> -b / 2a = 1^(*) ==> 2a = -4

Item 3 en 4 zijn in directe tegenspraak met elkaar. (3) impliceert a = 4, (4) impliceert dat a = -2.

^(*): De x-coordinaat van het maximum/minimum van een parabool wordt altijd gegeven door -b / 2a. Om in te zien waarom, bedenk dan dat het extremum altijd precies midden tussen de twee nulpunten van de functie ligt (als de functie geen reele nulpunten heeft, verschuif hem dan omhoog of omlaag). Volgens de ABC-formule worden de nulpunten gegeven door -b / 2a +/- <stuff>, het ene nulpunt is dus -b / 2a + <stuff>, het andere -b / 2a - <stuff>. Het punt hier precies middenin is dus -b / 2a. Alternatief bewijs mbv de afgeleide: De afgeleide van een generieke parabool is h'(x) = 2a + b. Dit is 0 precies wanneer x = -b / 2a.

edit: Dit probleem heeft ook geen oplossingen in de imaginaire / complexe getallen. De 4 gegevens die ik hierboven heb genoemd zijn alle 4 effectief lineaire vergelijkingen met reele coefficienten. En die hebben altijd reele oplossingen.

b = 4
c = 3
a+b+c=11
2a + b = 0

Vier onafhankelijke vergelijkingen voor drie variabelen geeft een overgedefinieerd systeem zonder oplossingen, het is NIET zo dat #3 en #4 met elkaar in tegenspraak zijn. Laat welke van de vier dan ook weg en je kunt een oplossing vinden.

[---Roel---]

Rannasha schreef op zondag 24 juli 2016 @ 20:43:
- b = 4
- de functie snijdt de y-as op (0, 3) ==> c = 3
- de functie gaat door het punt (1, 11) ==> a + 7 = 11

Het wordt mij nu allemaal te ingewikkeld, als de opgave fout in het boek staat kan ik hem simpelweg niet oplossen met de kennis die in mijn boek staat. Bovendien ben ik al bij de andere paragraaf wat over de vorm a(x-s)(x-t) gaat.

Ik vraag me wel af welk trucje je gebruikt bij je derde punt.
Doe je dan a+b+c=11? Zo ja, heeft de y-waarde geen invloed op dit trucje?

[Rannasha]

---Roel--- schreef op donderdag 28 juli 2016 @ 11:36:
[...]


Ik vraag me wel af welk trucje je gebruikt bij je derde punt.
Doe je dan a+b+c=11? Zo ja, heeft de y-waarde geen invloed op dit trucje?

De functie heeft de vorm ax^2 + bx + c. Omdat deze door het punt (1, 11) gaat, weet je dat:
11 = a * 1^2 + b * 1 + c
dus
11 = a + b + c

Bekend is dat b = 4, c = 3. Dus dan moet gelden dat a = 4.

[---Roel---]

Rannasha schreef op donderdag 28 juli 2016 @ 12:00:
[...]

De functie heeft de vorm ax^2 + bx + c. Omdat deze door het punt (1, 11) gaat, weet je dat:
11 = a * 1^2 + b * 1 + c
dus
11 = a + b + c

Bekend is dat b = 4, c = 3. Dus dan moet gelden dat a = 4.

Nu weet ik het weer, daar was ik zelf toen ook al achtergekomen. Het zat volgens mij ook in een van de vorige opdrachten

Conclusie: opdracht staat fout in het boek

Topic mag wat mij betreft op slot

[Bobmeister]

Welk boek heb je?

[---Roel---]

Awsom schreef op donderdag 28 juli 2016 @ 12:09:
Welk boek heb je?

Moderne wiskunde 10e editie VWO 3B
En ik heb geen fysiek boek helaas, ik doe het via de site van noordhoff.