[wiskunde] Afgeleide van een arctan + kettingregel

[Montu]

Ter voorbereiding voor mijn examen ben ik wat sommen aan het maken. De meeste gaan goed, maar bij deze kom ik er gewoon niet uit.

Ik moet de afgeleide berekenen van de arctan( (2x) / (1 - x^2) ).

Hoe ik te werk ga:

Eerst maak ik gebruik van het feit dat de afgeleide van arctan(x) = 1 / (1 + x^2)
Daarna pas ik de kettingregel toe. Dus resultaat van vorige stap maal de afgeleide van (2x) / (1 - x^2)

Ik kom uit op: (-6x^2 + 2) / ((1 - x^2)^2 + 4x^2)

Het antwoord blijkt echter 2 / (x^2 + 1) te zijn.

Hebben jullie enig idee wat ik over het hoofd zie/waar ik de mist in ga?

[Delichon]

Ik vermoed dat je de fout maakt met betrekking tot het toepassen van de ketting regel.

je geeft aan: arctan(x) = 1 / (1 + x^2)

Je hebt echter: arctan(u) = 1 / (1 + u^2) waarbij u = (2x) / (1 - x^2)

Dus deze u moet je ook weer juist invullen en niet de x laten staan.

[Montu]

Delichon schreef op vrijdag 16 oktober 2015 @ 14:52:
Ik vermoed dat je de fout maakt met betrekking tot het toepassen van de ketting regel.

je geeft aan: arctan(x) = 1 / (1 + x^2)

Je hebt echter: arctan(u) = 1 / (1 + u^2) waarbij u = (2x) / (1 - x^2)

Dus deze u moet je ook weer juist invullen en niet de x laten staan.

Ik ben een beetje onduidelijk geweest in mijn post. Ik heb zoals je aangeeft de 'x' natuurlijk vervangen door u.

[Delichon]

Handige truck voor dit soort dingen:

Houd er rekening mee dat (x^2-1)^2 = (1-x^2)^2 . Scheelt veel schrijfwerk.
Verder zie ik in geen mogelijkheid in hoe je tot een 6x^2 boven de deelstreep komt. Volgens mij maak je of slordigheidsfouten of je hebt de afgeleide van de breuk verkeerd uitgeschreven.

[Montu]

Boven de deelstreep kom ik op -6x^2 + 2 na het uitrekenen van de afgeleiden van 'u'. De afgeleiede van u berekende ik dmv gebruik te maken van de quotient regel. Dus afgeleide van 2x /(1 - x^2) = (2*(1-x^2) - 2x * 2x) / ((1-x^2)^2). Dan kom ik uit op: (-6x^2 + 2) / ((1-x^2)^2). Vandaar dus die -6x^2 + 2 boven de deelstreep.

EDIT: na dit bericht zie ik meteen een slordige fout die ik gemaakt heb. Bij het stukje "2x * 2x" moet natuurlijk "2x * -2x" zijn.. Ik ga kijken of ik nu wel uitkom.

EDIT 2: Ik kom er alsnog niet uit. Ik kom nu uit op: (2x^2 + 2) / ((1-x^2)^2 +4x^2)

[ Voor 28% gewijzigd door Montu op 16-10-2015 15:32 ]

[Orion84]

Lees ik het nu verkeerd, of ben je meerdere keren na elkaar de afgeleide aan het berekenen?

Als "de afgeleide van arctan(u) = 1 / (1 + u^2)", dan is het toch enkel een kwestie van u = (2x) / (1 - x^2) invullen en daarna de boel vereenvoudigen? Je kan dan toch niet nog weer een keer afgeleide regels gaan toepassen? Dan ben je de afgeleide van de afgeleide aan het bepalen?

Of begrijp ik je verkeerd?

[Montu]

Orion84 schreef op vrijdag 16 oktober 2015 @ 15:22:
Lees ik het nu verkeerd, of ben je meerdere keren na elkaar de afgeleide aan het berekenen?

Als "de afgeleide van arctan(u) = 1 / (1 + u^2)", dan is het toch enkel een kwestie van u = (2x) / (1 - x^2) invullen en daarna de boel vereenvoudigen? Je kan dan toch niet nog weer een keer afgeleide regels gaan toepassen? Dan ben je de afgeleide van de afgeleide aan het bepalen?

Of begrijp ik je verkeerd?

De kettingregel geeft aan dat je daarna nog moet vermenigvuldigen met de afgeleide van u. Dus enkel de afgeleiede berekenen van arctan(u) is niet genoeg.

Voorbeeld: Afgeleide van cos(2x) is niet sin(2x), maar 2 * sin(2x) (u = 2x, afgeleide u = 2)

[ Voor 5% gewijzigd door Montu op 16-10-2015 15:27 ]

[Orion84]

Meh, dit soort skills heb ik al zo lang niet meer gebruikt dat ze ernstig roestig zijn en al die regels me weinig meer zeggen, dus negeer mijn opmerking gerust als ik er naast zat

[Montu]

Het antwoord waar ik nu op uitkom (zie vorige post, edit 2) is goed, maar ik snap niet hoe dat vereenvoudigd kan worden naar 2 / (x^2 + 1).

EDIT: Ik ben er uit. Boven de deelstreep kan vervangen worden door 2(x^2 +1) en onder de deelstreep door (x^2+1)^2. x^2+1 valt weg dus resultaat: 2/(x^2 + 1).

Bedankt.

[ Voor 40% gewijzigd door Montu op 16-10-2015 15:51 ]

[haarbal]

nevermind

[ Voor 94% gewijzigd door haarbal op 16-10-2015 15:54 ]

[MSalters]

Jirachi schreef op vrijdag 16 oktober 2015 @ 15:38:
EDIT: Ik ben er uit. Boven de deelstreep kan vervangen worden door 2(x^2 +1) en onder de deelstreep door (x^2+1)^2. x^2+1 valt weg dus resultaat: 2/(x^2 + 1).

En om het helemaal netjes te doen laat je zien dat x^2 >= 0 dus x^2+1 > 0 dus je deelt zeker niet door 0.

[Montu]

MSalters schreef op maandag 19 oktober 2015 @ 17:14:
[...]

En om het helemaal netjes te doen laat je zien dat x^2 >= 0 dus x^2+1 > 0 dus je deelt zeker niet door 0.

Er wordt alleen door 0 gedeeld als x^2 = -1, maar er bestaat geen x waarvoor x^2 = -1 (wortel van negatief getal bestaat niet). Dus ik hoef x in dit geval geen interval te geven

[gambieter]

W&L is niet bedoeld om tentamens voor te bereiden of anderszins het huiswerk uit te leggen.