De elegantie van het schudden van een stok kaarten

[Dekar]

Vsauce zegt in een van zijn video's dat een stok kaarten zo veel verschillende manieren van schikken heeft, dat wanneer je een stok kaarten schud, die specifieke manier nog nooit is voorgekomen, ooit.

Dus! Ik ben aan het rekenen gegaan:

Een standaard stok speelkaarten heeft 52 verschillende kaarten. Deze kan je op 52 x 51 x 50 x 49 … x 5 x 4 x 3 x 2 unieke manieren schikken. Dit is beter bekend als 52! (52 faculteit). 52! is een enorm getal.

52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000

Het volume van een stok kaarten (lengte x breedte x hoogte) is ongeveer 1,9 x 6,4 x 8,9 cm = 108 224 cm3 = 0,000 108 224 m3. Laten we dit volume voor het gemak V(K) noemen.
Als we dus 52! stokken kaarten nemen, en we zouden deze allen op een unieke manier schikken, en deze opstapelen, dan zou het volume (laten we het V(U) noemen) dat geheel het volgende zijn:

V(U) = (52!) x V(K) = 8,729 x 10^63 m3

Ter vergelijking: het volume van ons melkwegstelsel (V(M)), een sterrenstelsel van ongeveer 100 miljard sterren is ruwweg 6,65 x 10^60 m3 groot.
Als we nu dus V(U) delen door V(M), dan zien we dat we ongeveer 1312 melkwegstelsels kunnen vullen met stokken kaarten, voordat we alle uniek geschikte stokken kwijt zijn.

Anders gezegd: Sinds de Big Bang, het ontstaan van het universum, zijn er ruwweg 435 196 800 000 000 000 seconden vergaan. Oftewel 13,8 miljard jaar maal 31 536 000 seconden in een jaar. Als we met 7 miljard mensen op aarde tegelijk zo lang elke seconde een nieuw stok kaarten zouden kunnen schudden, dan zouden we 3 046 377 600 000 000 000 000 000 000 (3.046e²⁷) verschillende geschikte stokken kaarten hebben. Dat is 0,0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 038% (3,8 x 10^-39) van de totaal aantal mogelijkheden.

Wow. En dat alles in 1 handpalm.



Mijn vraag aan jullie, heeft iemand hier ooit bij stilgestaan? Ik ben absoluut geen wiskundige, maar als hobbyist bij dit soort feitjes vind ik het werkelijk geniaal. Bestaan er soortgelijke hersenspinsels van vergelijkbare alledaagse dingen waar niemand ooit bij stilstaat?

[Tomvanschayk]

Ik heb thuis een boek staan met veel van dit soort feitjes erin, best leuk om een keer te lezen. Weet zo niet hoe het heet..

Wat me bij is gebleven uit dat boek is de vraag hoe vaak je a4-papier zou moeten dubbelvouwen voor die vanaf de grond de maan zou raken. Was bijzonder weinig, uit mijn hoofd rond de 40 keer

[Murmandamus]

Een vel papier van gangbaar formaat kan normaal gesproken niet vaker dan 7 keer worden dubbelgevouwen, omdat het dubbelgevouwen papier dan zo dik en tegelijk zo klein wordt, dat dubbelvouwen niet meer lukt. Toch zijn de Mythbusters er in geslaagd om een vel papier 11 keer dubbel te vouwen. Dit vel was zo groot als een voetbalveld. Ze gebruikten hiervoor een hangar van de NASA. (wiki: Wikipedia: Papier)

[Anoniem: 172410]

Dat papier dubbelvouwen vind ik altijd een beetje vage verhalen en afhangen van nogal veel uitgangspunten en aannames. Een dek kaarten is wat dat betreft veel absoluter.

[vanaalten]

Tomvanschayk schreef op donderdag 06 augustus 2015 @ 23:43:
Wat me bij is gebleven uit dat boek is de vraag hoe vaak je a4-papier zou moeten dubbelvouwen voor die vanaf de grond de maan zou raken. Was bijzonder weinig, uit mijn hoofd rond de 40 keer

Dikte van papier: tussen de 0.07 en 0.18mm. Even voor het gemak: 0.1mm (of: 0.1e^-3 meter)
Afstand aarde-maan: 384000km (of: 384e⁶ meter)

0.1e^-3 * 2^x = 384e⁶

x = ¹⁰log(384e⁶ / 0.1e^-3) / ¹⁰log(2)
x = 41.8

Dus 41 a 42 keer dubbelvouwen van een vel papier om de afstand aarde-maan te overbruggen. Iemand hier die het even in de praktijk controleert? (het stapelen van 7.7 miljard pakken papier is wellicht haalbaarder...)

Dekar1 schreef op donderdag 06 augustus 2015 @ 23:23:
Vsauce zegt in een van zijn video's dat een stok kaarten zo veel verschillende manieren van schikken heeft, dat wanneer je een stok kaarten schud, die specifieke manier nog nooit is voorgekomen, ooit.

Da's natuurlijk er van uitgaande dat 1 keer schudden een compleet willekeurige set oplevert. In de praktijk worden er dagelijks duizenden nieuwe kaartspellen verkocht (met allemaal dezelfde initieele verdeling) en een eerste keer geschudt, veelal op eenzelfde manier. Dus er zullen best wat dubbele sets na schudden geweest zijn.

[Carnoustie]

Vegeet niet dat die unieke verdelingen wel windrichting gebonden zijn (elk geschud spel kunnen we elke keer een kwartslag draaien zodat noord de hand van west krijgt, west die van zuid, zuid die van oost, en oost weer die van noord.) In spelletjes zoals bridge zijn dit inderdaad verschillende spellen omdat de gever en kwetsbaarheid nu anders is, maar als je alleen maar 4 stapeltjes schudt zie je natuurlijk het verschil niet. Sterker nog, als je alleen maar schudt, dan kun je zelfs alle 4 de handen random over de 4 windrichtingen verdelen.

[emnich]

Dekar1 schreef op donderdag 06 augustus 2015 @ 23:23:
Vsauce zegt in een van zijn video's dat een stok kaarten zo veel verschillende manieren van schikken heeft, dat wanneer je een stok kaarten schud, die specifieke manier nog nooit is voorgekomen, ooit.

Mooi verhaal met indrukwekkende getallen, leuk dat je daar nooit bij stilstaat (althans ik niet). In de quote wordt alleen geen rekening gehouden met de birthday paradox. Hoewel ik niet precies weet wanneer de kans groot wordt op een dubbele stok.

[Dekar]

vanaalten schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 08:42:
[...]

Da's natuurlijk er van uitgaande dat 1 keer schudden een compleet willekeurige set oplevert. In de praktijk worden er dagelijks duizenden nieuwe kaartspellen verkocht (met allemaal dezelfde initieele verdeling) en een eerste keer geschudt, veelal op eenzelfde manier. Dus er zullen best wat dubbele sets na schudden geweest zijn.

Dit is inderdaad een aanname geweest, maar blijkbaar zijn er slechts 7 'riffle shuffles' nodig om een nagenoeg uniek deck te krijgen. Bron. Dus je zou kunnen stellen dat het met een mechanisch apparaat haalbaar zou zijn.

Met de veelal gebruikte 'overhand shuffle' zijn zeker 10 000 shuffles nodig om een random deck te genereren, dus die doen we maar niet

emnich schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 09:03:
[...]


Mooi verhaal met indrukwekkende getallen, leuk dat je daar nooit bij stilstaat (althans ik niet). In de quote wordt alleen geen rekening gehouden met de birthday paradox. Hoewel ik niet precies weet wanneer de kans groot wordt op een dubbele stok.

Je hebt gelijk, al denk ik dat dit nog niet echt opgaat bij een percentage van 3,8e^-39%. Wellicht heb ik het verkeerd. Dit zouden we nog eens moeten narekenen. Misschien leuk om te kijken wanneer de kansen op een dubbele stok reëel (P≥0,01) worden. Ik weet alleen niet of ik daar zelf uit ga komen.

Carnoustie schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 09:00:
Vegeet niet dat die unieke verdelingen wel windrichting gebonden zijn (elk geschud spel kunnen we elke keer een kwartslag draaien zodat noord de hand van west krijgt, west die van zuid, zuid die van oost, en oost weer die van noord.) In spelletjes zoals bridge zijn dit inderdaad verschillende spellen omdat de gever en kwetsbaarheid nu anders is, maar als je alleen maar 4 stapeltjes schudt zie je natuurlijk het verschil niet. Sterker nog, als je alleen maar schudt, dan kun je zelfs alle 4 de handen random over de 4 windrichtingen verdelen.

Dit gaat over kansberekenen van een kaartspel, waarbij wanneer de volgorde van het deck van tevoren onbekend is dit niets zegt over de uitkomst. Daarbij zegt het ook niets over de volgorde van het deck zelf. Als ik mijn stok omdraai, dan heb ik nog steeds precies dezelfde volgorde speelkaarten. Uitrekenen hoeveel mogelijke spellen bridge er zijn is onbegonnen werk, omdat je al uitgaat van 52! startposities.

[IceBlackz]

Dekar1 schreef op donderdag 06 augustus 2015 @ 23:23:
...

Mijn vraag aan jullie, heeft iemand hier ooit bij stilgestaan? Ik ben absoluut geen wiskundige, maar als hobbyist bij dit soort feitjes vind ik het werkelijk geniaal. Bestaan er soortgelijke hersenspinsels van vergelijkbare alledaagse dingen waar niemand ooit bij stilstaat?

De XKCD What If's behandeld vergelijkbare vraagstukken, al vind ik de een leuker dan de andere. Vooral de 'notes' zijn vaak erg grappig en bevatten bizarre feiten/onderzoeken.

[emnich]

Dekar1 schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 10:35:
[...]

Je hebt gelijk, al denk ik dat dit nog niet echt opgaat bij een percentage van 3,8e^-39%. Wellicht heb ik het verkeerd. Dit zouden we nog eens moeten narekenen. Misschien leuk om te kijken wanneer de kansen op een dubbele stok reëel (P≥0,01) worden. Ik weet alleen niet of ik daar zelf uit ga komen.

Volgens mij heb je na 1.2e³³ een kans van 1% op een dubbele en na 1.05e³⁴ `al` 50% kans op een dubbele. Na 2.7e³⁴ heb je 99% kans op een dubbele.

[Carnoustie]

Dekar1 schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 10:35:
[...]
Dit gaat over kansberekenen van een kaartspel, waarbij wanneer de volgorde van het deck van tevoren onbekend is dit niets zegt over de uitkomst. Daarbij zegt het ook niets over de volgorde van het deck zelf. Als ik mijn stok omdraai, dan heb ik nog steeds precies dezelfde volgorde speelkaarten. Uitrekenen hoeveel mogelijke spellen bridge er zijn is onbegonnen werk, omdat je al uitgaat van 52! startposities.

Als je op zoek bent allen mogelijke verdelingen is de "startpositie" zoals die noemt natuurlijk compleet irrelevant. Het grappige is nu juist dat als die wel relevant zou zijn, je dus automatisch kunt concluderen dat je toch niet goed hebt geschud. Dat perfecte "mechanisch" schudden kun je trouwens wel vergeten, omdat goed schudden (die 7x klopt wel ja,) nu juist gebruik maakt van kleine imperfecties om een "random" spel te krijgen. stel namelijk dat jij zelf "perfect" zou schudden en met een nieuwe stok kaarten begint. Dan is na 1x schudden de volgorde rood/zwart/rood/zwart enz (en weet ik ook waar welke exacte kaart zit.) Na 7x weet iki dan (theoretisch ook).
Het is ook een beetje een definitiekwestie: een perfect geschud spel heeft ansich helemaal niet met het schudmechanisme te maken, maar is simpelweg een spel wat "aan de kansberekening" voldoet. Als we dus bv. 10000 spellen schudden, moet de verdeling dus voldoen aan wat je theoretisch mag verwachten, dan is het "perfect" geschud. Overigens is hier al heel veel over geschreven, omdat het erg moeilijk bleek te zijn om computers perfect te laten schudden. Als je hierin echt geinteresseerd bent zou ik hier eens kijken:
http://sater.home.xs4all.nl/doc.html
Dit is tegenwoordig de "to-go-to" software voor het schudden van spellen, en met een goede uitleg

[Dekar]

Carnoustie schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 11:19:
[...]

Als je op zoek bent allen mogelijke verdelingen is de "startpositie" zoals die noemt natuurlijk compleet irrelevant. Het grappige is nu juist dat als die wel relevant zou zijn, je dus automatisch kunt concluderen dat je toch niet goed hebt geschud. Dat perfecte "mechanisch" schudden kun je trouwens wel vergeten, omdat goed schudden (die 7x klopt wel ja,) nu juist gebruik maakt van kleine imperfecties om een "random" spel te krijgen. stel namelijk dat jij zelf "perfect" zou schudden en met een nieuwe stok kaarten begint.

Ik ben niet bekend met bridge, maar als het hetzelfde werkt als rikken of hartenjagen, dan heb je inderdaad gelijk.
Zou je dan kunnen stellen dat je bij deze kaartspellen precies 52! mogelijke spellen hebt? Speler 1 heeft 52 mogelijke zetten, speler 2 op zijn beurt 51 enz. = 52!

In het casino (poker, blackjack, punto banco) gebruiken ze ook mechanische schudmachines. Ik wilde puur stellen dat het niet ondenkbaar is om een methode te ontwikkelen voor compleet willekeurig schudden.

emnich schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 11:17:
[...]

Volgens mij heb je na 1.2e³³ een kans van 1% op een dubbele en na 1.05e³⁴ `al` 50% kans op een dubbele. Na 2.7e³⁴ heb je 99% kans op een dubbele.

Daar zit je met mijn berekening nog met een slordige factor miljoen vanaf volgens mij, namelijk 3.046e²⁷. We hoeven ons er dus nog niet druk over te maken

[ Voor 17% gewijzigd door Dekar op 07-08-2015 11:52 ]

[emnich]

Dekar1 schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 11:43:
[...]


Ik ben niet bekend met bridge, maar als het hetzelfde werkt als rikken of hartenjagen, dan heb je inderdaad gelijk.
Zou je dan kunnen stellen dat je bij deze kaartspellen precies 52! mogelijke spellen hebt? Speler 1 heeft 52 mogelijke zetten, speler 2 op zijn beurt 51 enz. = 52!

Dan ga je voorbij aan de regels van het spel, zoals kleur bekennen. Maar stel dat dat er niet is, dan heb je bij één spel al heel veel verschillende mogelijkheden.

Speler 1 heeft 13 mogelijke zetten, speler 2 heeft er dan ook nog 13, etc. Bij de tweede ronde hebben ze er allemaal 12. Het totaal aantal zetten is dan iets van 13^4*12^4....*1^4, volgens mij kom ik dan op 1.5e³⁹ mogelijkheden uit voor één geschud stok.

[edit]
Overigens zijn er wel minder start posities dan 52!. Voor speler 1 maakt het niet uit in welke volgorde hij het in zijn handen heeft. Stel iedereen krijgt maar 2 kaarten dan is de set harten aas + klaver twee gelijk aan de set klaver twee + harten aas terwijl dat bij de 52! wel een andere set is.

[ Voor 20% gewijzigd door emnich op 07-08-2015 12:04 ]

[Carnoustie]

Dekar1 schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 11:43:
[...]


Ik ben niet bekend met bridge, maar als het hetzelfde werkt als rikken of hartenjagen, dan heb je inderdaad gelijk.
Zou je dan kunnen stellen dat je bij deze kaartspellen precies 52! mogelijke spellen hebt? Speler 1 heeft 52 mogelijke zetten, speler 2 op zijn beurt 51 enz. = 52!

In het casino (poker, blackjack, punto banco) gebruiken ze ook mechanische schudmachines. Ik wilde puur stellen dat het niet ondenkbaar is om een methode te ontwikkelen voor compleet willekeurig schudden.

We hebben het toch alleen over het schudden van een spel? Hoe het spel verder verloopt heb ik het niet over. Dat van die casino's heb ik mij altijd over verbaasd ja. "Schudden" ze daar vaak niet door de kaarten over de tafel uit te spreiden en dan in die schudmachine te doen? Waarchijnlijk vinden ze dat (en alle spelers blijkbaar, of die hebben (waarschijnlijker) gewoon geen idee...)wel "goed genoeg" ofzo.
Het aantal mogelijke (bridge) spellen is trouwens 52!/(13!^4). (52 kaarten, 13 kaarten per speler(windrichting) en 4 spelers(windrichting)

[ Voor 6% gewijzigd door Carnoustie op 07-08-2015 12:15 ]

[Dekar]

emnich schreef op vrijdag 07 augustus 2015 @ 11:17:
[...]

Volgens mij heb je na 1.2e³³ een kans van 1% op een dubbele en na 1.05e³⁴ `al` 50% kans op een dubbele. Na 2.7e³⁴ heb je 99% kans op een dubbele.

Geweldig dit. Ik dacht (paradoxaal ) dat kan niet waar zijn, zo'n miniscuul getal tov 52!. Maar ik heb het nagerekend via Deze website en het klopt inderdaad!

[Rannasha]

Zouden we, pretty please, de juiste notatie kunnen gebruiken?

Ik zie hier overal getallen van de vorm 4e¹² langskomen, waar toch zeer zeker bedoeld wordt 4 * 10¹². "10" en "e" zijn nogal verschillende getallen.

Dat een simpele rekenmachine soms uitkomsten in de vorm "4E12" weergeeft is slechts een verwarrende notatie, waarmee 4 * 10¹² wordt bedoeld.

[Huubertus]

Het zijn leuke feitjes!

Ik moest ook gelijk denken aan de verjaardagenparadox. Iets wat ook leuk is om in de praktijk te brengen. Een aantal jaar terug tijdens de introductie van een college kansrekenen werd dit voorbeeld genoemd. Bij een rondvraag naar alle data van verjaardagen (groep van +- 30 man) waren de eerste twee personen die werden aangewezen op dezelfde dag jarig.

Edit: whoops overheen gelezen dat het al eerder was ingebracht.

[ Voor 16% gewijzigd door Huubertus op 28-09-2015 16:26 ]