geheel oppervlak driehoek bedekken cirkels om hoekpunten

[Kid Jansen]

Niet echt een programmeervraag, meer een wiskundig vraagstuk, maar denk dat het hier toch het best op z'n plaats is op GoT.

Gedefinieerd zijn drie punten (als x en y waarde). Je verbindt die drie punten en krijgt een driehoek, waarvan je dan natuurlijk alle drie de zijdes weet. Wat ik vervolgens wil weten is wat de kleinste straal is waarbij je met drie gelijke cirkels, één om elk hoekpunt, het gehele oppervlak van de driehoek kan bedekken.

Wat ik tot nu toe heb is het volgende:

langste zijde / 4 < r ≤ langste zijde / √3

Wat vrij gemakkelijk te beredeneren is:

De ondergrens, kwart van de langste zijde, heb je wanneer de drie punten op één lijn liggen met gelijke afstand tussen het middelste punt en de punten aan de uiteinden van het lijnstuk. Dus een gelijkbenige driehoek met één hoek van 180° en twee van 0°. Doordat de driehoek dan eigenlijk geen driehoek is, telt dit geval zelf niet mee. Dus de straal van de cirkels is groter dan een kwart van langste zijde



De bovengrens, langste zijde gedeeld door √3, heb je bij een gelijkzijdige driehoek (waarbij alle zijdes natuurlijk gelijk zijn en het dus niet uitmaakt welke je pakt). Dan is het namelijk gelijk aan de afstand van een hoekpunt tot het zwaartepunt van de driehoek.




Wat me tot nu toe alleen niet gelukt is, is het bedenken van een algemene formule voor dit probleem. Zoeken op internet heeft ook niks opgeleverd. Zodra je gaat zoeken op iets met cirkels en driehoeken krijg je eigenlijk alleen maar resultaten over de ingeschreven en omgeschreven cirkels van een driehoek.

Hebben jullie enig idee hoe ik de straal van de cirkels bereken op basis van de lengtes van drie zijdes van de driehoek?

[bwerg]

Je wil dat de cirkels elkaar in 'het midden' snijden. Niet overlappen, want dan kan de straal natuurlijk kleiner. Het punt waarin ze snijden heeft dus een gelijke afstand tot elk hoekpunt (dat volgt immers uit de definitie van je drie even grote cirkels), en het probleem is nu dus gereduceerd tot het vinden van dit punt.

Je zoekt dus het punt dat een gelijke afstand heeft tot de drie hoekpunten. Oftewel, het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De straal die je zoekt is dus de straal van de omgeschreven cirkel. Daar zou je wel wat mee moeten kunnen, denk ik.

edit: als het middelpunt van de omgeschreven cirkel buiten de driehoek ligt (wat gebeurt dan en slechts dan als je een hoek hebt van meer dan 90 graden), vindt je hiermee een te grote straal, want dan zoek je helemaal niet het punt waarin de drie cirkels snijden. Dat gebeurt bijvoorbeeld in je eerste voorbeeld, de drie cirkels snijden nergens alle drie. In dat geval lijkt (op basis van wat tekeningetjes) de straal gelijk te zijn aan het snijpunt van de langste zijde met de middelloodlijn van de op één na langste zijde. De twee cirkels aangrenzend aan de op één na langste zijde moeten immers snijden in de langste zijde om die helemaal te bedekken.

Tekeningetje:

edit: ja, ik heb deze post nu al drie keer ge-edit. Blijkt maar weer dat je nooit te snel je gegokte vermoeden als waarheid moet aannemen in de wiskunde.

[ Voor 74% gewijzigd door bwerg op 11-04-2014 01:19 ]

[jeronimo]

Mijn wiskunde is nogal roestig, maar ik denk dat wanneer je het zwaartepunt van de driehoek berekent je genoeg weet.

[duckyvite]

ik dacht dat het zo was dat dit punt (snijpunt drie cirkels) loodrecht op het midden van iedere zijde van de driehoek staat. Ieder wiskunde B boek heeft dit iig achterin gedefinieerd staan

edit: zie reactie verderop

[ Voor 7% gewijzigd door duckyvite op 11-04-2014 00:41 ]

[jeronimo]

duckyvite schreef op vrijdag 11 april 2014 @ 00:19:
ik dacht dat het zo was dat dit punt (snijpunt drie cirkels) loodrecht op het midden van iedere zijde van de driehoek staat. Ieder wiskunde B boek heeft dit iig achterin gedefinieerd staan

Dat dacht ik ook en bij deze driehoek is dat ook het zwaartepunt.

[bwerg]

jeronimo schreef op vrijdag 11 april 2014 @ 00:33:
[...]

Dat dacht ik ook en bij deze driehoek is dat ook het zwaartepunt.

Maar in het algemeen is het dus het middelpunt van de omgeschreven cirkel, het zwaartepunt is toevallig hetzelfde bij gelijkzijdige driehoeken.

[duckyvite]

Ohh. mijn vorige comment geldt alleen voor gelijkzijdige driehoeken. Het is indd het snijpunt van de lijnen die getrokken zijn tussen de hoeken en het midden van hun overstaande zijdes. (ofwel, zwaartepunt), de lengte van dat punt tot aan een hoek is je straal.

Omdat de lijnen van de hoeken bissectrices zijn heb je de volgende gegevens nodig:
- de lengte van de kortste zijde
- de grootte in graden van een aanliggende hoek

Met de cosinus/sinus/tangens van de helft van de hoek kun je vervolgens de lengte uitrekenen.

Edit, ik krijg hier geen uitlegplaatje bij want iedere driehoek is anders. mocht het niet duidelijk zijn even een gil geven

[ Voor 10% gewijzigd door duckyvite op 11-04-2014 00:43 ]

[bwerg]

duckyvite schreef op vrijdag 11 april 2014 @ 00:41:
Ohh. mijn vorige comment geldt alleen voor gelijkzijdige driehoeken. Het is indd het snijpunt van de lijnen die getrokken zijn tussen de hoeken en het midden van hun overstaande zijdes. (ofwel, zwaartepunt), de lengte van dat punt tot aan een hoek is je straal.

De lengte van het zwaartepunt tot de hoek verschilt voor elke hoek. Als ik de startpost goed interpreteer zijn er drie cirkels met gelijke straal nodig. Volgens mij geldt je tweede post dus juist alleen voor gelijkzijdige driehoeken, en je eerste is algemener.

[ Voor 9% gewijzigd door bwerg op 11-04-2014 00:49 ]

[duckyvite]

bwerg schreef op vrijdag 11 april 2014 @ 00:48:
[...]

De lengte van het zwaartepunt tot de hoek verschilt voor elke hoek. Als ik de startpost goed interpreteer zijn er drie cirkels met gelijke straal nodig. Volgens mij geldt je tweede post dus juist alleen voor gelijkzijdige driehoeken, en je eerste is algemener.

Je hebt gelijk, mijn fout. terug naar de tekentafel.

edit. De grootste van die 3 is dan toch degene die je hebben moet. want kleinere cirkels halen het midden niet en vullen dan niet de hele driehoek.

En de grootste cirkel zit op het hoekpunt van de 2 grootste zijdes.

Maar wat ik me ook net bedenk, cosinus, sinus en tanges werken alleen bij een driehoek met 1 rechte hoek

[ Voor 27% gewijzigd door duckyvite op 11-04-2014 00:59 ]

[franssie]

ongelijke driehoek met gelijke cirkels lijkt mij gewoon niet oplosbaar. raken van cirkels, verkeerd gelezen

[ Voor 22% gewijzigd door franssie op 11-04-2014 01:00 ]

[Kid Jansen]

In alle gevallen overlappen de cirkels, er zullen dus altijd punten zijn binnen de driehoek die in twee cirkels liggen. Er zijn echter nooit punten die in drie cirkels liggen, want dan kan de straal kleiner.

De driehoeken snijden elkaar ook lang niet altijd in één punt. Dat is volgens mij alleen maar het geval bij gelijkbenige driehoek met een tophoek van 60° ≤ α ≤ 90°. Kleiner dan 60° kan niet, want dan is de basis niet meer de langste zijde, en als de hoek groter is dan 90° snijden de cirkels om de uiteinden van de basis elkaar niet meer. Bij een niet gelijkbenige driehoek snijden de drie cirkels volgens mij nooit door hetzelfde punt.

Verder kan de straal veel kleiner worden dan de helft van de langste zijde, namelijk net iets groter, maar oneindig dichtbij, een kwart van de langste zijde.

Als je bijvoorbeeld een driehoek neemt met de punten (0,0), (1,0) en (0.5,0.025) heb je cirkels met een straal van ongeveer 0.25063 (op basis van trial and error in Matlab).

[duckyvite]

Maar als je nu de bovenste hoek naar boven zou trekken tot het een scherpe hoek is gaan de 3 cirkels snijden. ik verwacht dat je een formule krijgt voor stompe, en een voor scherpe hoeken

[duckyvite]

[afbeelding]

Raken deze cirkels of snijden ze?

[Kid Jansen]

duckyvite schreef op vrijdag 11 april 2014 @ 01:01:
Maar als je nu de bovenste hoek naar boven zou trekken tot het een scherpe hoek is gaan de 3 cirkels snijden. ik verwacht dat je een formule krijgt voor stompe, en een voor scherpe hoeken

Bij recht snijdt hij ook al, dan is de straal precies de helft van de langste zijde en de cirkels snijden elkaar dan halverwege de langste zijde. Zou inderdaad best kunnen dat je meerdere formules krijgt.

duckyvite schreef op vrijdag 11 april 2014 @ 01:03:
Raken deze cirkels of snijden ze?

Ze snijden, dat is altijd het geval (zie edit). Ze raken elkaar alleen maar in het voorbeeld dat ik de startpost noemde met een gelijkbenige driehoek met een topboek van 180° en de basishoeken allebei 0°. Maar dat is niet echt een driehoek.

EDIT: bedenk me net dat dat niet klopt. De cirkel om het hoekpunt tegenover de langste zijde snijdt altijd met de twee andere cirkels. De twee cirkels om de uiteinden van de langste zijde kunnen elkaar helemaal niet raken, raken en snijden. Bij gelijkbenige driehoeken is dat het geval bij respectievelijke tophoeken groter dan, gelijk aan en kleiner dan 90°.

[ Voor 44% gewijzigd door Kid Jansen op 11-04-2014 01:12 ]

[bwerg]

Mijn >9000 edits gezien in mijn eerste post? Misschien moet ik eens ophouden met editen en gewoon nieuwe posts maken, geheel tegen de policy van tweakers in.

[ Voor 56% gewijzigd door bwerg op 11-04-2014 01:14 ]

[duckyvite]

ik heb geen flauw idee hoe ik hier een plaatje ga krijgen dus ik geef je een onduidelijke uitleg:

voor een stompe hoek:
...............................................B
driehoek ABC.................A........................D...............C
waarvoor geldt dat hoek ABC is groter van 90 graden
Neem nu het punt D op lijn AC waarvoor geldt BD = CD
Dan is BD ofwel CD de lengte van de kleinste straal.

[ Voor 23% gewijzigd door duckyvite op 11-04-2014 01:18 ]

[bwerg]

Eens met duckyvite, want we zeggen effectief hetzelfde.

En nu naar bed.

[Kid Jansen]

bwerg schreef op vrijdag 11 april 2014 @ 01:12:
Mijn >9000 edits gezien in mijn eerste post? Misschien moet ik eens ophouden met editen en gewoon nieuwe posts maken, geheel tegen de policy van tweakers in.

Shit, helemaal over het hoofd gezien. Maar dat lijkt inderdaad te kloppen. Zal er vanmiddag even naar kijken als ik thuis ben. Vraag me alleen af wat dan de straal is bij driehoeken met een rechte of scherpe tophoek, want dat is niet hetzelfde.

offtopic:
Tweakers policy is volgens mij dat je je bericht edit als je de laatste bent die heeft gereageerd. Maar als er al iemand anders op jouw post heeft gereageerd kan je gewoon een nieuwe post maken.

[bwerg]

Je moet dus een gevalsonderscheiding maken. Heb je een hoek groter dan 90 graden (of specifiek in het geval van een gelijkbenige driehoek: een stompe tophoek) dan is het de constructie die duckyvite beschrijft, of die ik beschrijf in het laatste deel van mijn eerste post (duckyvite en ik zeggen daarmee hetzelfde). Zijn alle hoeken kleiner dan 90 graden, of in het geval van een gelijkbenige driehoek dus een scherpe tophoek, dan is het gewoon het middelpunt van de omgeschreven cirkel en daarvoor kun je dus gewoon de formuletjes gebruiken die op wikipedia al beschreven worden.

stomp:

scherp:

n.b. ik zie dat de schuine lijn in het onderste plaatje ook door het hoekpunt rechtsonder gaat maar dat is toeval, die lijn is de middelloodlijn van de zijde linksboven.

offtopic:
Toen ik begon met editen was er nog geen post onder... maar dat editen duurde toen een half uur of zo. Ik neem de volgende keer wel risico op een dubbelpost en verkettering door een moderator.

[ Voor 19% gewijzigd door bwerg op 11-04-2014 13:21 ]

[NMe]

Kid Jansen schreef op donderdag 10 april 2014 @ 23:25:
Niet echt een programmeervraag, meer een wiskundig vraagstuk, maar denk dat het hier toch het best op z'n plaats is op GoT.

Klopt, maar niet in de Devschuur.

PRG>>W&L

[Kid Jansen]

Ik heb het eens bekeken voor het voorbeeld in Kid Jansen in "geheel oppervlak driehoek bedekken cirkels om hoekpunten" en het klopt toch niet helemaal. Het snijpunt van de middelloodlijn van de op één na langste zijde (in dit geval gedeelde plaats doordat het gelijkbenige driehoek is) met de langste zijde geeft een straal van 401/1600, wat decimaal gezien 0.250625 is. Die straal is alleen net iets te klein. Met heel wat trial and error benaderen in Matlab kom ik op 0.2506340768647056.

[bwerg]

Is dat niet gewoon een afrondingsfout van de berekening in Matlab? Ik zou niet weten welk stuk van de driehoek dan buiten de cirkel zou vallen. De cirkels snijden elkaar duidelijk in het snijpunt van de middelloodlijn en de langste zijde (zo is de straal namelijk gedefinieerd, en de afstand tot dat punt is duidelijk gelijk voor elk hoekpunt wegens symmetrie om de middelloodlijn). M.a.w. ze raken elkaar op de langste zijde. Beide cirkelbogen gaan vanuit dat punt verder naar onderen, dus er kan daar nooit een punt van de driehoek buiten de cirkel vallen.

[ Voor 27% gewijzigd door bwerg op 11-04-2014 22:03 ]

[Kid Jansen]

bwerg schreef op vrijdag 11 april 2014 @ 21:58:
Is dat niet gewoon een afrondingsfout van de berekening in Matlab?

Geen idee, maar lijkt me sterk, want had "format long" aan staan.

Ik zou niet weten welk stuk van de driehoek dan buiten de cirkel zou vallen.

Het groene stuk in onderstaand figuur

De cirkels snijden elkaar duidelijk in het snijpunt van de middelloodlijn en de langste zijde (zo is de straal namelijk gedefinieerd, en de afstand tot dat punt is duidelijk gelijk voor elk hoekpunt wegens symmetrie om de middelloodlijn). M.a.w. ze raken elkaar op de langste zijde. Beide cirkelbogen gaan vanuit dat punt verder naar onderen, dus er kan daar nooit een punt van de driehoek buiten de cirkel vallen.

Ik snap het ook niet, want jouw oplossing klopt wel exact (in ieder geval zo nauwkeurig als Matlab maximaal kan) voor een driehoek met hoeken van 91°, 49° en 40° (semi-random voorbeeld dat ik gekozen had). Zou best kunnen dat het alleen werkt voor niet-gelijkbenige stompe driehoeken.



De lengte van de zijdes zijn in dit geval 1, sin49/sin91 en sin40/sin91. De straal van de cirkels is dan sin49/(2*sin91*cos40).

Lijkt me sterk dat Matlab het bijna de ene driehoek perfect zou doen en bij de andere driehoek niet.

EDIT: ik heb er nog eens over nagedacht en het moet gewoon kloppen wat je zegt. Als ik het in Matlab na reken klopt het ook. Je moet blijkbaar gewoon niet uit gaan van de plots in Matlab als controle, want dan lijkt het fout, terwijl het goed is.

[ Voor 13% gewijzigd door Kid Jansen op 11-04-2014 23:18 ]

[duckyvite]

[afbeelding]


dit figuur klopt ook niet want ze horen te snijden op de lijn, en hier snijden ze uberhaupt niet op de langste zijde

[Kid Jansen]

Daar was ik ook al achter, zie edit van vorige post. Een plot gebruiken ter controle in Matlab is blijkbaar een slecht idee, want de ene keer klopt het wel en de andere keer niet.

[KopjeThee]

Mijn intuïtie zou zijn:
Kijk naar de 2 cirkels aan de (een) 1-na-langste zijde.Die moeten elkaar zodanig overlappen dat een snijpunt op de langste zijde terecht komt.

[ Voor 186% gewijzigd door KopjeThee op 13-04-2014 11:17 ]

[Zoijar]

Kan je matlab niet laten constraint minimizen? Ik weet niet zeker of hij deze vorm aan kan:

Drie hoekpunten, p0, p1, p2.

x = a*p0+b*p1+c*p2
constraint: a+b+c=1 (barycentrisch elk punt in de driehoek)

For all a,b,c, minimize r, under ||p0-x|| <= r, ||p1-x|| <= r, ||p2-x|| < r (and a+b+c=1)

Natuurlijk niet zo mooi, maar wellicht praktisch genoeg? (dus met zoiets: http://www.mathworks.nl/help/optim/ug/fmincon.html Ik ben er altijd wel voor om niet al te lang na te denken en er een numerieke constrained non-linear optimization tegen aan te gooien )

[ Voor 22% gewijzigd door Zoijar op 13-04-2014 12:05 ]