Wiskunde: probleem met een cirkel(boog)

[RudyL90]

Ik heb een opdracht waarin ik het profiel van een (2D) druppel moet beschrijven.
De druppel ontstaat uit een reservoir op de y-as, van 0 tot de hoogte h en vormt een perfecte cirkelboog.
De helling die de druppel met de x-as maakt moet kleiner zijn dan 90 graden.

Met andere woorden:
Vind de functie voor een cirkel die door het punt y = h gaat en op de x-as een hoek theta heeft, met als voorwaarde theta < pi/2 (dus moet ook gelden: R > h).

Mijn aanpak:
Ik ga uit van de formule:
(y+a)^2 + (x+a)^2 = R^2
Hierin is dan de oorsprong van de cirkel (-a,-b)

Oplossen voor y geeft:
y = sqrt( R^2 - (x+a)^2 ) - b

De voorwaarde y(x=0) = h geeft dan b = sqrt(R^2 - a^2) - h

Nu moet de onbekende a nog gevonden worden.
Dit doe ik door een cirkel te tekenen en het contactpunt met de x-as met het centrum van de cirkel te verbinden. Een lijn vanuit het centrum van de cirkel naar de cirkelrand staat loodrecht op de cirkelrand. De lijn maakt onder de x-as een hoek alpha. Hieruit volgt direct dat theta = pi/2 - alpha.
Je hebt nu dus een rechthoekige driehoek met hoek alpha waarvan de schuine zijde (R) en de overstaande rechthoek zijde (b) bekend zijn.
Nu weet je dat sin(alpha) = b/R, ofwel sin(alpha) = (sqrt(R^2 - a^2) - h)/R.
Hieruit is a eenvoudig op te lossen, je vindt:
a = sqrt(R^2 - R^2*cos(theta)^2-2*R*h*cos(theta)-h^2) = sqrt(R^2*sin(theta)^2-2*R*h*cos(theta)-h^2).

Dit model heb ik in het programma 'MATLAB' gegooid om te kijken of ik het probleem opgelost had.
Het resultaat is helaas onzin. Er is dus blijkbaar iets dat ik over het hoofd zie. Of ik pak het gewoon verkeerd aan, of er is een voorwaarde in het model waaraan nog niet voldaan is of iets dergelijks?

Ik ben benieuwd wat jullie van mijn aanpak vinden.

PS: zie foto's voor mijn afleiding

[AxzZzeL]

Even wat kleine opmerkinkjes:

RudyL90 schreef op vrijdag 14 februari 2014 @ 19:34:
Mijn aanpak:
Ik ga uit van de formule:
(y+a)^2 + (x+a)^2 = R^2
Hierin is dan de oorsprong van de cirkel (-a,-b)

je bedoelt: (y+b)^2 + (x+a)^2 = R^2 neem ik aan?

Oplossen voor y geeft:
y = sqrt( R^2 - (x+a)^2 ) - b

je krijgt ook nog een negatieve oplossing y₂ = - (sqrt( R^2 - (x+a)^2 ) - b)

Verder is de vorm van de druppel die je wilt krijgen mij niet echt duidelijk. Als je misschien even een schetjse kan maken in paint of op ruitjespapier en dan inscannen.

[RudyL90]

AxzZzeL schreef op vrijdag 14 februari 2014 @ 22:44:
Even wat kleine opmerkinkjes:


[...]


je bedoelt: (y+b)^2 + (x+a)^2 = R^2 neem ik aan?


[...]


je krijgt ook nog een negatieve oplossing y₂ = - (sqrt( R^2 - (x+a)^2 ) - b)

Verder is de vorm van de druppel die je wilt krijgen mij niet echt duidelijk. Als je misschien even een schetjse kan maken in paint of op ruitjespapier en dan inscannen.

1: Ja dat klopt, typfoutje.
2: Dat is waar, maar de oplossing voor de onderkant van de cirkel is in dit probleem niet nodig.
3: Zie schets hieronder, alle theta's moeten even groot zijn (op de tekening niet helemaal het geval):

[Verwijderd]

kun je niet naar de afgeleide kijken op y=0?

[Sibylle]

Is dit probleem nog actueel? Klinkt leuk en wie weet kijk ik er morgen wel ff naar. Als het nog actueel is dan kijk ik er sowieso naar

Ik kon niet slapen, dus heb hem maar opgelost ( tenminste, dat was de bedoeling).
Je mag zelf proberen of het klopt door een paar waardes te proberen. Of als je ondertussen de opdracht van de oplossing hebt, ook leuk

[ Voor 65% gewijzigd door Sibylle op 01-03-2014 04:53 ]

[Mx. Alba]

Deze kan wel op slot. Het was sowieso een "huiswerkvraag" zonder toestemming (maar wel vrij technisch). Maar TS heeft op GoT slechts twee berichten geplaatst, alleen in dit topic...