Evenwichtstand bij niet-sinusoïden

[GeeBee]

Hoe bepaal je eigenlijk de evenwichtstand bij een niet-sinusoïde?

Normaal doe je evenwichtsstand = (min + max) : 2

maar geldt dit ook bij bijvoorbeeld een zaagtand? Of moet je eigenlijk de gemiddelde hoogte berekenen dmv de oppervlakte onder de grafiek?

Zoiets: evenw.st. = (1:T) × ∫ ƒ(x) dx

Als een periodieke functie "mooi" verloopt is het vrij duidelijk dat dit overgaat in (min + max) : 2, maar hoe doe je dat bij een grafiek die "grillig" verloopt?

[Henk007]

Leg eens uit wat je met 'evenwichtstand' bedoelt, als jij die definieert met behulp van de genoemde integraal, prima, dan klopt het.

edit:
Na wat google zie ik dat in de middelbareschoolwiskunde dit begrip is geïntroduceerd, vroeger heb ik er nooit van gehoord. Zo te zien is het alleen gedefinieerd mbt tot sinus en cosinus functies, dus bij andere functies bestaat dit niet.

lol: Ik zie net in je profiel dat je wiskundeleraar bent.

[ Voor 9% gewijzigd door Henk007 op 13-06-2013 13:39 ]

[Stoney3K]

Dan kun je het natuurlijk nog altijd toepassen: Een Fourier-reeks bepalen van je (niet-sinusoïdale) periodieke functie, per component daarvan de 'evenwichtsstand' bepalen en die resultaten weer middelen. Kan wel, maar is een heel geklooi met limieten en complexe functies, dus of je daaraan wil beginnen?

Maar ik heb zo'n raar voorgevoel dat dat hetzelfde resultaat oplevert als de normale integraal waarmee je het tijdgemiddelde bepaalt over één periode.

[ Voor 12% gewijzigd door Stoney3K op 13-06-2013 13:38 ]

[Coocoocachoo]

Ik kende het begrip inderdaad ook niet, maar de eerste twee resultaten op google (1, 2) geven aan dat de evenwichtsstand puur het midden van de grafiek is. Dus onafhankelijk van wat voor periodieke grafiek je hebt is de formule ervoor altijd hetzelfde.

(Bij die tweede link ff ".dreamhost" uit de urls van de plaatjes halen om ze te zien.)

Henk007 schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 13:23:
lol: Ik zie net in je profiel dat je wiskundeleraar bent.

offtopic:
mooi gespot

[ Voor 14% gewijzigd door Coocoocachoo op 13-06-2013 13:40 ]

[GeeBee]

Wat ik bedoel is: is de evenwichtstand altijd het gemiddelde van max en min, ongeacht de vorm van de grafiek, of is het de gemiddelde hoogte van de grafiek?
Oftewel is de berekening van de evenwichtstand bij sinusoïden d.m.v. (max + min) : 2 een versimpeling van de genoemde integraal.
In wiskundeboeken staan meestal mooie grafieken waarbij het wel eenvoudig is, maar hoe zit het met grafieken die niet symmetrisch zijn om het zo maar te noemen.

Voorbeeld uit het boek:



Is het hier evenw = (1800 + 1000) : 2 = 1400

of via de oppervlakte:
verdelen in rechthoeken en driehoeken
opp elk deel = hoogte × tijd etc...
opp = 15000
gem = 15000 : 45 = 333,33...
evenw. = 1333,33...

[Stoney3K]

Zo te lezen is het ook geen duidelijk éénduidig wiskundig begrip. Je eerste link zegt dat het iets anders is dan het gemiddelde van een periodieke functie, terwijl de tweede link dat weer tegenspreekt.

[Henk007]

Zonder definitie is er verder niet veel over te zeggen. Zo werkt wiskunde nu eenmaal.

Wat zou je doen met iets als:
f(x)=x+sin(x) ??

De integraal is x^2 /2 -cos(x) +C

[ Voor 34% gewijzigd door Henk007 op 13-06-2013 14:05 ]

[Coocoocachoo]

Stoney3K schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 13:42:
Zo te lezen is het ook geen duidelijk éénduidig wiskundig begrip. Je eerste link zegt dat het iets anders is dan het gemiddelde van een periodieke functie, terwijl de tweede link dat weer tegenspreekt.

De evenwichtsstand is het midden van de grafiek, maar hoeft niet het gemiddelde te zijn. De lijn kan immers voor een groter gedeelte boven het midden zitten of andersom.

De evenwichtsstand is te herkennen als het midden van het bereik van de grafiek.

Daar zeggen ze toch beiden hetzelfde?

Ze geven ook beide dezelfde algemene formule voor de grafiek.

[GeeBee]

Henk007 schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 13:23:
lol: Ik zie net in je profiel dat je wiskundeleraar bent.

Ja leuk he... een wiskundedocent die toegeeft iets niet te weten. Zo zie je ze niet vaak

[haarbal]

Henk007 schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 13:44:
Zonder definitie is er verder niet veel over te zeggen.

idd

[Stoney3K]

Euh...

(derde link)

De evenwichtsstand is gemiddelde waarde van een periodieke functie, zoals een sinus.

Dat wijst toch weer naar het tijdgemiddelde...

[Coocoocachoo]

Mjah ok, die site spreekt zichzelf tegen. Bij een sinus is het gemiddelde natuurlijk hetzelfde als het midden van het bereik. Maar bij de uitgebreidere uitleg wordt toch eenduidig (als je de plaatjes ff opsnort) uitgelegd dat het het midden van het bereik is, niet per definitie het gemiddelde.

[Stoney3K]

Coocoocachoo schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 13:47:
Mjah ok, die site spreekt zichzelf tegen. Bij een sinus is het gemiddelde natuurlijk hetzelfde als het midden van het bereik. Maar bij de uitgebreidere uitleg wordt toch eenduidig (als je de plaatjes ff opsnort) uitgelegd dat het het midden van het bereik is, niet per definitie het gemiddelde.

Maar beperken ze zich bij die uitleg dan alleen tot functies die evenveel oppervlak hebben ónder de nullijn als erboven, of gaan ze daar ook verder op in?

Bij een stapfunctie met 75% duty cycle is de evenwichtsstand dus echt iets anders dan het gemiddelde. Die laatste heeft daarom ook echt nut, die eerste veel minder.

[Coocoocachoo]

Ze geven aan dat je bij élke grafiek de evenwichtsstand kan bepalen door: deze formule te gebruiken

/edit:
hmm...ze hebben het bij wiskunde-begrippen wel over goniometrie (het is iig een submenu item onder dat kopje), ze benoemen geen andere grafieksvormen.

Dan komen we dus toch gewoon terug op "wat is de definitie?". Een wiskunde leraar heeft daar toch wel goede bronnen voor mag ik hopen? (Beter dan een topic waar ook idioten als ik hun mening kunnen geven )

[ Voor 49% gewijzigd door Coocoocachoo op 13-06-2013 13:58 ]

[Stoney3K]

Coocoocachoo schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 13:54:
Ze geven aan dat je bij élke grafiek de evenwichtsstand kan bepalen door: deze formule te gebruiken

Bij elke grafiek?

Probeer het voor de grap maar eens bij iets simpels als een tangens-functie of zelfs een delta-functie, dan kom je er echt niet zo maar uit (zonder limieten te gebruiken).

[Dido]

Dan is "evenwicht" een rare benaming voor bijvoorbeeld
f(x) = |sin(x)|

Zo periodiek als de ziekte, en de "evenwichtsstand" is 0,5 maar ik zie geen enkel evenwicht

[Coocoocachoo]

Stoney3K schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 13:57:
[...]


Bij elke grafiek?

Probeer het voor de grap maar eens bij iets simpels als een tangens-functie of zelfs een delta-functie, dan kom je er echt niet zo maar uit (zonder limieten te gebruiken).

Zie mijn edit boven, ik had niet door dat het onder het kopje goniometrie viel, dus het slaat waarschijnlijk alleen op goniometrische functies.

En ja, als je een minimum en een maximum nodig hebt om iets te berekenen moeten die inderdaad wel bestaan.

[Stoney3K]

Coocoocachoo schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 14:01:
[...]

Zie mijn edit boven, ik had niet door dat het onder het kopje goniometrie viel, dus het slaat waarschijnlijk alleen op goniometrische functies.

Maar Fourier zegt niet voor niets dat je elke willekeurige periodieke functie kan benaderen door een reeks aan goniometrische functies.

* Stoney3K duikt gauw weg achter zijn academische schoolbank.

[Henk007]

Mijn voorlopige conclusie is dat de moderne middelbareschoolwiskunde voornamelijk bestaat uit 'kunstjes', maar eigenlijk weinig met wiskunde te maken heeft.

[Coocoocachoo]

Stoney3K schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 14:03:
[...]


Maar Fourier zegt niet voor niets dat je elke willekeurige periodieke functie kan benaderen door een reeks aan goniometrische functies.

* Stoney3K duikt gauw weg achter zijn academische schoolbank.

Maar wordt de evenwichtsstand dan het midden van het bereik van de evenwichtsstanden van die reeks goniometrische functies, of het gemiddelde ervan?

[GeeBee]

Henk007 schreef op donderdag 13 juni 2013 @ 14:04:
Mijn voorlopige conclusie is dat de moderne middelbareschoolwiskunde voornamelijk bestaat uit 'kunstjes', maar eigenlijk weinig met wiskunde te maken heeft.

Ook weer niet overdrijven hè. Zo lang wiskundeexamens nog de moeite waard gevonden worden om te stelen, valt dat nog wel mee

[Coocoocachoo]

http://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1061357 geeft aan dat ik een idioot bent en dat de evenwichtsstand het gemiddelde is.

De vraag is dus waar je de meest betrouwbare definitie vandaan haalt...(En wat die zegt natuurlijk.)

Als het het gemiddelde is zou ik de naam "gemiddelde" wel logischer vinden...

[Henk007]

Wat zou dan het juiste antwoord moeten zijn op vraag d?

d. Waarom kun je bij de grafieken van f en g niet spreken van een evenwichtsstand y=1/2

Naar mijn idee zou dit moeten zijn:
f(x) , g(x) ∉ D ('evenwichtsstandfunctie')

[KopjeThee]

Ik kan mij maar 1 ding voorstellen bij evenwicht:
∫ ƒ(x)-e dx = 0
De functie balanceert als het ware op de lijn e.

[ Voor 48% gewijzigd door KopjeThee op 18-06-2013 20:06 ]

[GeeBee]

@KopjeThee
Dan mis ik nog de (1:T), of zou het ∫ ƒ(x) dx - e = 0, oftewel ∫ ƒ(x) dx = e moeten zijn?

Ennieweej...
Laten we het er maar op houden dat de evenwichtstand niet hetzelfde is als de gemiddelde waarde van de functie.
Bij sinusoïden is dat wél zo, maar bij grillige, niet "horizontaal- symmetrische functies", is dat níet zo.

[ Voor 16% gewijzigd door GeeBee op 19-06-2013 16:07 ]

[Coocoocachoo]

@GeeBee Heb jij als wiskundeleraar niet een beter naslagwerk dan Google voor de definitie voor de evenwichtsstand? Ik ben namelijk toch wel benieuwd hoe het begrip daarin uitgelegd wordt.

[MSalters]

De logica van een "evenwichts"stand komt uit de natuurkunde hoek. Denk aan een pendulum (slinger). Dat is een tweedegraadssysteem: je hebt een kracht die naar het evenwichtspunt wijst, maar het systeem schiet door het evenwichtspunt vanwege inertie.

Een klassieke slinger heeft geen sinusoidale uitwijking. Dat is een simpele benadering van de werkelijke functie, zodat je er iets mee kunt op de middelbare school. Desondanks is er sprake van een evenwichtstoestand.

Je kunt dus de evenwichtssituatie makkelijk definieren als er sprake is van een symmetrische functie met f(T) = E -f(T+c). In dat geval is de evenwichtstoestand E. Logischerwijs geldt E = min+max/2.

Is de functie niet symmetrisch, dan is het een stuk moeilijker. Je moet dan gaan kijken naar de onderliggende dynamische vergelijking. Als je een demping zou introduceren, waar komt het systeem dan tot rust?

Kortom, doe wat alle wiskundeleraren doen met moeilijke vragen: loop naar je collega van Natuurkunde

[ Voor 6% gewijzigd door MSalters op 20-06-2013 17:34 ]

[Henk007]

Met deze redenering zou je uitkomen bij een definitie in de richting van het nulpunt van de tweede afgeleide.
Dus dan zou gelden voor het evenwichtspunt d²/dx² (f(x)) = 0
Maar hoe te handelen bij niet (tweede orde) differentieerbare functies ?

[MSalters]

Dan heeft y=x alleen maar evenwichtspunten. Nee, dat wordt'm niet.

Ik zit ook te denken aan de functie sin(x) + sin(x*x). Het lijkt me triviaal dat de som van twee functies met evenwichtsstand 0 een andere functie is met evenwichtsstand 0.

[KopjeThee]

GeeBee schreef op woensdag 19 juni 2013 @ 16:06:
@KopjeThee
Dan mis ik nog de (1:T), of zou het ∫ ƒ(x) dx - e = 0, oftewel ∫ ƒ(x) dx = e moeten zijn?

Volgens mij toch wat ik eerder opschreef ( ∫ ƒ(x)-e dx = 0 ). Je verschijft de functie een beetje (e), zodat er net zoveel boven als onder de x-as ligt. Maar goed ik ken het concept verder niet.

[ Voor 15% gewijzigd door KopjeThee op 21-06-2013 15:44 ]

[GeeBee]

Coocoocachoo schreef op woensdag 19 juni 2013 @ 16:16:
@GeeBee Heb jij als wiskundeleraar niet een beter naslagwerk dan Google voor de definitie voor de evenwichtsstand? Ik ben namelijk toch wel benieuwd hoe het begrip daarin uitgelegd wordt.

Mijn eigen boek is onduidelijk. Ze geven wel (max + min) : 2, maar ook "gemiddelde waarde".
Vandaar de verwarring.

[Henk007]

MSalters schreef op vrijdag 21 juni 2013 @ 14:07:
Dan heeft y=x alleen maar evenwichtspunten. Nee, dat wordt'm niet.

Ik zou persoonlijk f(x)=x niet meteen een periodieke functie willen noemen. Hoe zinvol is het om dan überhaupt over een evenwicht te spreken ?

Ik zit ook te denken aan de functie sin(x) + sin(x*x). Het lijkt me triviaal dat de som van twee functies met evenwichtsstand 0 een andere functie is met evenwichtsstand 0.

Dat is best een grillig ding dat intuïtief veel (lokale) evenwichten (buigpunten) heeft.
Maar goed, uiteindelijk zal het verzanden in een semantische discussie, bij gebrek aan voldoende solide gedefinieerde fundamenten.