de helft van de helft van de helft van de . . . .

[RupS]

Een vriend van me zei laatst het volgende tegen me:

Als je iets laat vallen, valt het op de grond. Hij valt naar beneden en is op een gegeven moment op de helft van de te vallen afstand. Iets later is hij op de helft van de helft, weer iets later op de helft van de helft van de helft....

Snap je?

Hij beweert dus als je het zo bekijkt, een voorwerp nooit de grond raakt. Ik zeg van wel, waarop hij natuurlijk zegt:

Bewijs het maar....

Tsjaa.... toen wist ik het effe niet meer...

Mietje, ik reken op je met deze....



[edit]
te erge typvauten.

[Anoniem: 6927]

bewijzen met de werkelijkheid kan iedereen,bewijs maar eens dat het ding valt ZONDER met dingen te gaan smijten

[Anoniem: 17798]

Deze is ook al langsgekomen in de wiskundige vorm van 1/(2^oneindig),
dus 1 delen door 2, door 2, door 2...enz

We waren eruit dat het toch echt 0 wordt en niet > 0 blijft.

Om maar een eindeloze discussie te voorkomen laten we maar zeggen.

[RupS]

Ja ok...ik ben het wel met je eens eigenlijk, ik hield hier alleen zo'n slapeloze zaterdagnacht aan over, dus ik dacht... ik gil het toch effe het forum op...

Mijn vroegere ex-wiskundeleraar nog maar eens contacten denk ik......

ik wil bewijzen zien !!!

[Anoniem: 15367]

Dit is weer het limietenverhaal. Een limiet naar 0 is 0.

[Anoniem: 3527]

Wat jullie doen is de tijd oneindig dicht een bepaald punt laten naderen. Op die manier is het logisch dat nooit de eindtijd wordt gehaald.

Als je de tijd gewoon lineair lat lopen is er niets aan de hand.

[_Stryker_]

Op een gegeven moment is gewoon de energie van die de bal heeft (kinetisch->hoogte->kinetisch enz.) door wrijving omgezet in warmte en ligt ie weer stil, dat ie steeds de helft minder hoog komt klopt ook niet echt...

edit:

ik heb t weer es niet goed gelezen|:(
het bovenstaande is echter wel waar bij een stuiterende bal.
Apoc2 heeft gelijk...

[Grrrrrene]

Op woensdag 21 maart 2001 16:23 schreef dutchrups het volgende:
Ja ok...ik ben het wel met je eens eigenlijk, ik hield hier alleen zo'n slapeloze zaterdagnacht aan over, dus ik dacht... ik gil het toch effe het forum op...

Mijn vroegere ex-wiskundeleraar nog maar eens contacten denk ik......

ik wil bewijzen zien !!!

OK, deze beredenering berust op het "vergeten" dat iedere keer dat hij de helft weer afgelegd heeft, die afstand even lang heeft geduurd als de vorige.

Een ander leuk voorbeeld is deze: als je een schildpad en een haas een wedstrijdje laat doen en je geeft de schildpad een bepaalde voorsprong (laten we zeggen 10 meter op de 100m totaal), dan kan de haas de schildpad niet inhalen, want als hij op de plaats is waar de schildpad nu is, is de schildpad inmiddels verder. De haas loopt als het ware achter de feiten aan.

[mvds]

Dit kan je helemaal niet baseren op een berekening. De hoogte waarop ie zich bevind en de afstand die dat ding heeft afgelegd is gewoon een maat. Een maat die terug kan lopen naar 0. Heel simpel.

Ehhh... ik schrijf het een beetje vaag op. Maar je maakt het jezelf gewoon moeilijk door over iets makkelijks een wiskundige theorie te maken. En dus makkelijk moeilijk maken.

[Lord Daemon]

Er is geen probleem. Hoewel de bal (aftelbaar) oneindig veel stapjes moet afleggen, wordt de tijd die hij daar over doet steeds kleiner. De totale som over alle stapjes, of de integraal over infinitesimale stapjes, is eindig.

Lord Daemon

[Agent-X]

En de atomen van de bal en grond raken elkaar toch niet eens of wel ?
Jeetje..is al weer ff geleden zo hoor
Dus bij een bepaaalde helft van de helft is een constante gevonden of zoiets..

[TlighT]

Jaja... Zeno's paradox strikes again. Inderdaad zoals boven gezegd, een som van een oneindig aantal stapjes kan best een eindig resultaat geven. Dus wiskundig gezegd, jouw som komt neer op:

Sn = 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + ... + 1/2^n

1/2Sn = 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + 1/2^5 + ... + 1/2^(n+1)

Sn - 1/2Sn = 1/2^1 - 1/2^(n+1)

2(Sn - 1/2Sn) = 1 - 2(1/2^(n+1))

Sn = 1 - 2/2^(n+1) = 1 - 2^-n

dus lim Sn = 1
als n nadert oneindig. Hiervan gebruik makende op de bovenstaande vraag: Stel een voorwerp valt 10 meter naar beneden met een snelheid van 10m/s, dan kun je het volgende stellen:

op n = 0:
tijd = 0
afstand afgelegd = 0 * 10m/s = 0m

op n = 1:
t = 1/2
a = 1/2 * 10m/s = 5m

op n = 2
t = 1/2 + 1/4
a = (1/2 + 1/4) * 10m/s = 7.5m

op n = 3
t = 1/2 + 1/4 + 1/8
a = (1/2 + 1/4 + 1/8) * 10m/s = 8.75m

...
op n = oneindig
t = 1
a = 1 * 10m/s = 10m

op zo'n manier dacht ik dat het op te lossen was.

[Anoniem: 17931]

Ja kunt het ook in de vorm van een paradox zien:

Tussen twee punten, loopt altijd een lijnstuk. => Een lijnstuk is een verzamelijng punten die in elkaars verlengde liggen, en niet samenvallen. => Tussen elk van die punten is weer een lijstuk. (en zo kun je oneindig doorgaan). => 1ste Conclusie: Het aantal punten tussen punt A en B is altijd oneindig. => Je kunt geen oneindig aantal punten afleggen. => 2de conclusie: beweging bestaat niet.

Is dit ook met die limieten recht te praten?

[Mahena]

Dit kun je ook anders zien.

De afstand tussen de bal (die valt) en de grond (waarop hij valt) is oneindig klein. Als hij 0 is, moeten ze dezelfde ruimte innemen. Wat niet mogelijk is voor twee fysiek tastbare voorwerpen.

[Grrrrrene]

Op woensdag 21 maart 2001 17:25 schreef Lord Daemon het volgende:
Er is geen probleem. Hoewel de bal (aftelbaar) oneindig veel stapjes moet afleggen, wordt de tijd die hij daar over doet steeds kleiner. De totale som over alle stapjes, of de integraal over infinitesimale stapjes, is eindig.

Lord Daemon

Zo zit het precies... Een integraal over een functie met een asymptoot naar 0 hoeft niet oneindig te zijn... Doordat de tijdsintervallen steeds kleiner worden en de afstanden ook heb je een asymptoot naat 0, dus ook een niet-oneindig oppervlak onder de functie.

[blobber]

Kortom voor het laatste oneindige kleine stapje heeft hij ook oneindig weinig tijd nodig

[-=Confuzer=-]

Dat wat LD zegt zeg ik ook maar dan ingewikkelder !!!! (..)

Oneindig klein stapje + oneindig korte tijd = BANG hij ligt op de grond

oow blobber dacht wat ik dacht al 1:20 geleden

[Mahena]

Gee, that must have Hurt !!!:);):)

[Anoniem: 24848]

Volgens mij is dit probleem opgelost door de quantum theorie. In het kort gezegd betekend dat: Theoretisch komt hetgene wat je laat flikkeren nooit op de grond.
In praktijk bestaat er zoiets als een kleinste eenheid van beweging/energie (quanta) die op een geven moment het gat overbrugt.

[Anoniem: 24876]

Op donderdag 22 maart 2001 09:06 schreef src_98 het volgende:
Volgens mij is dit probleem opgelost door de quantum theorie. In het kort gezegd betekend dat: Theoretisch komt hetgene wat je laat flikkeren nooit op de grond.
In praktijk bestaat er zoiets als een kleinste eenheid van beweging/energie (quanta) die op een geven moment het gat overbrugt.

Het probleem met de vallende bal die nooit op de grond terecht komt, is geen echt probleem, maar een drog redenering. De bal komt heus wel op de grond terecht.

De wiskundige oplossing voor dit "probleem" luidt als volgt:

Stel de afstand van de bal tot de grond is x en de bal valt met snelheid v (we gaan er voor het gemak even van uit dat de bal niet versnelt, we leiden dus een bovengrens voor de valtijd af).
Als de bal de helft van de te vallen afstand heeft afgelegd, zijn er

(1/2)*(x/v) seconden

verstreken.
Als de bal de helft van de te vallen afstand plus de helft van deze afstand heeft afgelegd, zijn er

(1/2)*(x/v) + (1/2)*(1/2)*(x/v) seconden

verstreken.
De totale valtijd kan dus uitgedrukt worden in de vorm van een som, namelijk:



Dit is een harmonische reeks die netjes convergeert tot de volgende oplossing (dit kan bewezen worden met bijvoorbeeld het binomium van Newton of de stelling van Leibniz):



In de limiet van n -> oneindig vinden we als antwoord op ons "probleem":

t = x/v

Wat natuurlijk de welbekende relatie tussen snelheid, afstand en tijd is die we op middelbare school geleerd hebben.
We hebben dus geen quantum mechanica nodig om dit "probleem" op te lossen

[Anoniem: 6071]

En als we nou net uitgaan van die bal die richting grond gaat? Want het lijkt me vrij duidelijk dat die bal land (OK, quantummechanisch gezien net niet...).

Als ik iets oneindig vaak door 2 deel, kom ik echt niet op 0 uit hoor:

y=1/(2^x)

Hoe groot ik x ook kies, y zal altijd een positieve breuk blijven.

Wat mis ik hier???

[Anoniem: 24876]

Je deelt iets oneindig vaak door 2. Dus door 2^x, waarbij x naar oneindig gaat. 2 tot de macht oneindig is oneindig. Dus

y = 1/(2^x) = 1/oneindig = 0

Wat je dus hebt, is een som van termen die steeds kleiner worden

afstand = 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... + 0

Je kan wiskundig bewijzen dat som van al de termen in deze oneindige reeks gelijk is aan 1 (zie voorgaande posts). Met andere woorden de bal doet

afstand/snelheid = 1 / v seconden

over zijn val. Vul nu voor v een of andere snelheid in en je ziet dat de bal NIET oneindig lang valt.

[Anoniem: 6071]

x/oneindig is 0...

Daar houd het voor mij op. Iets gedeeld door oneineindig is oneindig klein, maar nooit 0....

[Anoniem: 24876]

Je haalt nu twee dingen door elkaar. Oneindig klein ligt niet in de buurt van 0, maar is gelijk aan -oneindig. Je hebt het dan dus over negatieve getallen:

-oneindig___________0____________oneindig

Wat jij met oneindig klein bedoelt, is infinitesimaal klein. Dat ligt wel in de buurt van 0, maar dat is niet de uitkomst van x/oneindig. De uitkomst van x/oneindig is 0. Dit komt omdat we oneindig zo gedefinieerd hebben. Oneindig is geen echt getal, maar een gedefinieerd begrip.

[Anoniem: 24840]

Op woensdag 21 maart 2001 16:16 schreef Hustla het volgende:
Deze is ook al langsgekomen in de wiskundige vorm van 1/(2^oneindig),
dus 1 delen door 2, door 2, door 2...enz

We waren eruit dat het toch echt 0 wordt en niet > 0 blijft.

Om maar een eindeloze discussie te voorkomen laten we maar zeggen.

ik heb het uitgerekend met mijn rekenmachine (die er zo'n 1,5 minuut voor nodig had) en daar kreeg ik uit:1658.4275241

[Anoniem: 6071]

OK, sorry, ik bedoelde natuurlijk oneindig dicht bij 0, of infini-dinges .

Maar welke aap heeft er dan bedacht dat oneindig dichtbij erop is??? Dat lijken mij twee compleet andere begrippen...

[TlighT]

Op donderdag 22 maart 2001 19:45 schreef ^JaapvR^ het volgende:
OK, sorry, ik bedoelde natuurlijk oneindig dicht bij 0, of infini-dinges .

Maar welke aap heeft er dan bedacht dat oneindig dichtbij erop is??? Dat lijken mij twee compleet andere begrippen...

Nee, oneindig dichtbij is erop. Oneindig dichtbij betekent dat het niet méér dichterbij kan dan het al is. En als het niet méér dichterbij kan dan het al is, ligt het er dus op.

[Anoniem: 6071]

OK, er is dus sprake van een definitie-kwestie. Dichtbij en erop zullen voor mij nooit hetzelfde zijn. Niet dichterbij kunnen zou ik willen omschrijven als "ertegenaan", maar niet "op dezelfde plek".

Maraja, dat is mijn opvatting, die dus botst met een afspraak die ooit gemnaakt is...

[Anoniem: 13325]

Je kan het ook zo bekijken...

stel je hebt een absolute leeftijd van 20 jaar (19 jaar + 3 maanden + 9 maanden bij moeders in de buik).
Op een gegeven moment was je de helft van de leeftijd die je nu was.
10 jaar.
er was ook een moment dat je ook daar de helft van was.
5 jaar.

Als je zo oneindig lang door gaat, kom je op het moment dat je ontstond. ( een bevruchte eicel).

Als je vriend gelijk zou hebben, dan zou je niet bestaan.
Als jij gelijk zou hebben, zou je wel bestaan.

Aangezien jij bestaat heb je dus gelijk.

Het is misschien wel (heel) ver gezocht, maar ik zou het zou bewijzen

[Anoniem: 21629]

even op m'n boerenverstand.

Als je iets boven de grond los laat zal het vallen omdat het door de zwaartekracht naar de aarde wordt toegetrokken. Wanneer het voorwerp nergens door tegengehouden zou worden, zal het naar het middelpunt van de aarde willen "vallen". Voordat het dit punt echter kan bereiken is het al tegengehouden door de aardkorst waar het dus te pletter op zal slaan.

Hoe dit te bewijzen? Pak een (ongekookt) ei en laat dit uit je handen vallen. Knappe jongen als je het heel kunt laten.

[Het]

Op donderdag 22 maart 2001 17:34 schreef Sickness het volgende:

[..]

ik heb het uitgerekend met mijn rekenmachine (die er zo'n 1,5 minuut voor nodig had) en daar kreeg ik uit:1658.4275241

Dan zou ik toch maar mijn rekenmachine na laten kijken...
1/x waarbij x > 0 (oneindig > 0) zal niet snel 1658 worden... dus hoe je dat hebt gedaan vraag ik me toch lichtelijk af...

edit:
vage typo

[Sequence]

kan aan mij liggen, maar als ik een glas laat vallen raakt ie toch echt de grond.. (en is ie dus kapot )..

want zoals die vriend van je zegt zou dan niets op de grond staan maar alles net 'iets' boven de grond zweven

[0rbit]

Dit soort problemen komt door een variabele stapgrootte in de tijd. Net als dat verhaal van die schildpad en die Griek...

[aatos]

Op woensdag 21 maart 2001 19:14 schreef sjoulibsky het volgende:
Ja kunt het ook in de vorm van een paradox zien:

Tussen twee punten, loopt altijd een lijnstuk. => Een lijnstuk is een verzamelijng punten die in elkaars verlengde liggen, en niet samenvallen. => Tussen elk van die punten is weer een lijstuk. (en zo kun je oneindig doorgaan). => 1ste Conclusie: Het aantal punten tussen punt A en B is altijd oneindig. => Je kunt geen oneindig aantal punten afleggen. => 2de conclusie: beweging bestaat niet.

Is dit ook met die limieten recht te praten?

conclusie 1 is juist.
de aanname "je kunt geen oneindig aantal punten afleggen" is niet correct. je maakt deze aanname waarschijnlijk vanuit de gedachte dat het tijd kost om een punt af te leggen. dat is niet juist. je zou nog kunnen zeggen: er zit tussen a en b een oneindig aantal oneindig kleine afstandjes, en elk afstandje kost tijd. dat is wel zo, maar het afleggen van een oneindig klein afstandje kost wel oneindig weinig tijd. dus kan de totale afstand wel in een bepaalde tijd afgelegd worden.

[Gardocki]

Ik denk dat het niet een kwestie is van delen door de helft, maar gewoon een kwestie van min..

..toch?

[Anoniem: 18161]

precies, die bal legt niet steeds de helft af van de afstand die hem nog rest in een bepaalde tijd, maar legt in een vaste tijdseenheid een vaste afstand af... dan legt de bal naarmate de tijd langer duurt een grotere afstand af, en komt dus de grond tegen.

edit:
vage denkfout