-wiskundig raadsel-

[under-world]

Pas geleden moest ik ineens denken aan iets wat ik een paar jaar geleden bedacht heb. Ik weet niet of dit al eens eerder bedacht is maar ik vind het in ieder geval vrij grappig...

[bold]Vraag :

Wat is de afwijking aanwezig
in een willekeurige driehoek op aarde geproduceerd? ( +eenheid )

Ik heb een antwoord gevonden en hier een interessante theorie over. Eerst even kijken hoe snel jullie hier uit komen.*d:)

[Verwijderd]

Wat is de vraag?

[Bigfoot]

Je bedoelt een afwijking die zou onstaan door de bolling van de aarde ofzo?? Als je een driehoek tekent op een vlak papier heb je geen afwijking toch....

[Ortep]

Daar is een heel apart deel van wiskunde voor. Dat heet 'Bol goniometrie' Die houdt in de formules rekening met de afwijkingen. Een gewone driehoek heeft als som van de hoeken 180 graden. Maar de grootste driehoek op aarde heeft alle drie zijn hoekpunten op de evenaar liggen. En dan is de som van de hoeken 360 graden. Hoe kleiner de driehoek, hoe meer het nadert aan 180 graden.

[under-world]

Bigfoot zit in de goede denkrichting !

[under-world]

bijna goed !

toch klopt het niet helemaal..
hoe wil je drie hoekpunten op de evenaar krijgen ?

ik dacht aan 1 hoek op de noordpool van 90gr
en 2 van 90 gr (idd) op de evenaar.

Dan heb de grootst mogelijke afwijking voor een driehoek zoals waarneembaar op aarde gevonden 3 x 90 gr = 270 gr

dus 90gr afwijking per 40.000/4=10.0000km ?

90/10.000 = 9.10-3 graad/km ?

klopt dit ???

[under-world]

ortep ?

[Bigfoot]

Teken maar zo'n driehoek op een voetbal ofzo, dan is de afwijking relatief veel groter!

[Ortep]

De 3 punten op de evenaar? Heel simpel hoor. Bv een punt in Ecuador, een in Gabon en eentje op Borneo. Dan liggen ze allemaal op de evenaar. Het is wel zo dat het dan toevallig ook een cirkel is geworden. Je kan je voorstellen dat je precies op de Noordpool begint. Een gelijkbenige driehoek met in het midden de pool. De zijden zijn dan bv 10 cm. Dan heb je een heel redelijk normale driehoek. Je ziet de afwijking niet eens. De hoeken zijn samen dan ook ongeveer 180 graden. Maar als je de hoeken steeds verder uit elkaar trekt, kom je steeds verder van de pool af, naar het zuiden dus. Uiteindelijk liggen alle hoekpunten op de evenaar. Een cirkel en de hoeken zijn samen 360 graden. Ga je nog verder naar het zuiden, dan worden hij weer kleiner tot je bij de zuidpool bent. Kijk maar in een wiskunde boek.

Bolgonio is een vak op de zeevaart school bv. Voor zeeschepen is het nogal belangrijk om te weten hoe het gaat

[under-world]

dank je, ik weet hier niet veel vanaf en bovenstaande heb ik ooit maar een keer uitgevogeld. Toch ben ik niet tevreden ik wil immers elke driehoek op aarde kunnen beschrijven hiermee..

Nu weet ik dat mijn gevonden afwijking voor elke gelijkbenige driehoek op aarde anders is als vanuit jouw bewering, die dan luidt :

40000/3 = 13333km per zijde afw.360-180=180
180/13333 = 0,00135 graad/km

Wie heeft er nu gelijk ?

[Ortep]

Het werkt niet met graden afwijking per kilometer. Het werkt op iedere bol hetzelfde. Of het nu een erwt is, een voetbal of de aarde. Jouw berekening zal wel kloppen. Maar die geldt dan alleen voor dit speciefieke geval. Er zijn algemene formules voor

Ik heb het vroeger ooit als vak gehad, maar ik weet de exacte formules niet meer. Het zijn min of meer dezelfde formules die gelden voor de gewone goniometrie. Maar met een paar toevoegingen.

Hier heb je een URL die wat meer info geeft.

http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/

[under-world]

ikke volgens mij, want jouw driehoek is helemaal geen driehoek maar een cirkel !

bv.

je neemt de cirkellijn 1 km onder de noordpool. We projecteren jou stelling op deze verkleinde variant. We vinden dan nog steeds 360 graden totale afwijking, alleen nu op een grootte van enkele kilometers per zijde. -Dus een andere afwijking- ??

wie weet dit ???

[under-world]

vergeet bovenstaande dan maar het bevestigd alleen maar jou uitspraken !!

[under-world]

okay, thanks voor de URL
*DILL CHECK IT !!*D

[Ortep]

Op Thursday 15 March 2001 10:05 schreef osama het volgende:
ikke volgens mij, want jouw driehoek is helemaal geen driehoek maar een cirkel !

Klopt, het is ook een cirkel. Het is de limiet van de vervorming. De zijden van een driehoek op een bol zijn altijd gebogen. En 'toevallig' is de buiging op de evenaar zo groot dat ze samen een cirkel vormen. Maar als je 10 cm naar het noorden schuift heb je dus al wel 3 echte hoeken. Bijna niet waarneembeer natuurlijk

Mijn wiskunde leeraar zei altijd: Een rechte is alleen maar een bijzondere kromme

[under-world]

Op Thursday 15 March 2001 09:29 schreef Bigfoot72 het volgende:
Teken maar zo'n driehoek op een voetbal ofzo, dan is de afwijking relatief veel groter!

klopt idd. op een kleine bol grote afwijking

Op een oneindig grote bol dan geen afwijking

[Ortep]

Op Thursday 15 March 2001 10:43 schreef osama het volgende:
Op een oneindig grote bol dan geen afwijking

Klopt helemaal!!! Een oneindig grote bol heeft een oneindig grote straal en een oneindig kleine kromming. Meestal noemen we zoiets een plat vlak Dan gelden de normale regels die je op de middelbare school hebt geleerd. De bolgonio regels gelden eigenlijk altijd. Maar de straal staat er altijd ergens in. En als die naar oneindig gaat, kan de factor waar hij invloed op heeft worden weggestreept. Die loopt dan nl naar nul.

[under-world]

*D-schitterend-*D

[Diadem]

Als een driehoek hebt met de 3 hoekpunten op de evenaar, dan heeft toch elke hoek een grote van 180 graden? Dan is de som van de hoeken toch 540 graden, en niet 360?

[Ortep]

Mijn optellen is blijkbaar nog slechter dan mijn bol gonio. Tis ook al weer ZOOOO lang geleden.

[Verwijderd]

Ik vind het helemaal geen driehoek dan. Een driehoek heeft 3 hoeken, zo'n eentje met een punt 10 cm te noorden van de evenaar heeft nog steeds geen 3 hoeken. Blijft volgens mij altijd een cirkel dan.

[Ortep]

Op Thursday 15 March 2001 17:15 schreef wVm het volgende:
Ik vind het helemaal geen driehoek dan. Een driehoek heeft 3 hoeken, zo'n eentje met een punt 10 cm te noorden van de evenaar heeft nog steeds geen 3 hoeken. Blijft volgens mij altijd een cirkel dan.

Probeer maar op een voetbal. Gewoon een 3 hoek er op tekenen en dan steeds groter maken

[Verwijderd]

Op Thursday 15 March 2001 19:33 schreef Ortep het volgende:

[..]

Probeer maar op een voetbal. Gewoon een 3 hoek er op tekenen en dan steeds groter maken

Ik geloof het wel en snap het wel, maak ik vind niet meer dat je het dan een driehoek mag noemen, het heeft namelijk meer dan 3 hoeken dan (gaat over een gebogen oppervlak=>oneindig veel hoeken).

[Diadem]

Tussen de 3 hoeken bevinden zich toch rechte lijnen? Dan is het toch een driehoek?

een rechte lijn is dus gedefinieert als de kortste verbinding tussen 2 punten.

[Ortep]

Het probleem hier is dat het geen rechte lijnen zijn maar kromme lijnen op het boloppervlak. Als je de zaak definieert als 'de kortste afstand tussen twee punten' dan klopt het wel. Op een bol is dat toevallig een kromme. Rechter kan je het niet maken, krommer wel Osama zag het ook al, als je die bol maar steeds groter maakt, dan wordt het uiteindelijk een plat vlak.

Dit is een typisch gaval van wat mijn wiskunde docent altijd zei:

Een rechte is alleen maar een bijzondere vorm van een kromme.

wVm: je hebt gelijk, het is OOK een cirkel. Maar OOK een driekhoek. Je kan er gewoon aan rekenen en alle goniometrie er op los laten.

[Verwijderd]

Een driehoek zonder afwijking bestaat op papier niet. Een perfecte geometrische vorm bestaat in het echt niet; ze bestaan alleen in onze abstracte denkwereld.