dikte wand bepalen

[huub8]

Voor een programma heb ik een functie nodig die de dikte bepaald van een wand, waarvan de vorm bepaald is door een functie, klink waarschijnlijk vaag maar ik zal even een voorbeeld geven:

Ik heb de volgende functie: X^2
Deze is gelijk aan de bovenrand van de wand. De wand heeft overal een dikte van 1, maar nu is het probleem dat ik niet de functie van de onderrand van de wand kan vinden. X^2 - 1 werkt namelijk niet (dan is de wand niet altijd even dik. Ik moet dus op iets van een functie zien te komen die ik kan gebruiken om de dikte die ik van X^2 moet aftrekken te berekenen. Ik dacht dat het iets van een verband met de hellen, dus de afgelijde moest zijn, maar hoe precies kon ik niet vinden.

Kan iemand mij hiermee helpen?

[zwippie]

Je hebt een wand waarvan de bovenrand een parabool is? Ik snap hier eerlijk gezegd maar weinig van...
Misschien even een plaatje maken om het te verduidelijken?

[HuHu]

Ik snap je niet.

[Verwijderd]

Voor een programma heb ik een functie nodig die de dikte bepaald van een wand...

...De wand heeft overal een dikte van 1...

x = 1

[Dido]

Ik begrijp wel wat je bedoelt, maar heb niet meteen een antwoord.

Als ik het goed begrijp wil je een functie die een lijn beschrijft die overal een afstand van 1 heeft ten opzichte van x^2? Dan moet je dus meten over een lijn die de oorspronkelijke functie haaks kruist (de normaal).

Die staat haaks op de afgeleide in elk punt, en die afgeleide is 2x.

[Zsub]

EDIT: wat hij hierboven zegt.

Ah, je probleem is dat als je X^2 hebt en X^2 + 1 dat je verticale verschuiving ('dikte') wel gelijk is, maar je horizontale verschuiving niet, zoals te zien in dit plaatje:


En je vraag is hoe je niet alleen de verticale verschuiving, maar ook de horizontale kan doen zodat die beiden overal 1 zijn?

[ Voor 3% gewijzigd door Zsub op 10-12-2010 15:31 ]

[Dido]

Vanuit (x,y) kun je een vector definieren die de helling van je grafiek volgt met een lengte van 1 en hoek alpha.

tan(alpha) = 2x/1, oftewel 2x. Oftewel je hoek is tan^-1(2x)
alpha - (pi/2) is de hoek die er haaks op staat "naar beneden" (dit geldt even alleen voor de positieve kant van je x-as!)

Nu kun je een vector voorstellen met lengte 1, en hoek tan^-1(2x)-(pi/2).
dx en dy kun je nu uitrekenen als de cosinus en sinus van die hoek,
dx = cos(tan^-1(2x)-(pi/2))
dy = sin(tan^-1(2x)-(pi/2))

Dit geldt telkens vanuit ieder punt x, y van je oorspronkelijke functie, dus dan kun je eea omschrijven naar een daadwerkelijke functie. Maar als het erom gaat die lijn te tekenen, dan heb je hieraan genoeg: voor ieder punt (x, y) dat je plot, plot je ook (x + cos(tan^-1(2x)-(pi/2)), y + sin(tan^-1(2x)-(pi/2)))

[Aandekant]

Voor elk punt op je nieuwe curve is er een punt op je originele curve met dezelfde afgeleide.
Het originele punt ligt 1 eenheid verder in de richting die loodrecht op de raaklijn van je curve staat.

Er moet dus een verband uitgedrukt worden tussen je oude en je nieuwe punt. Dit door middel van een driehoekje waarvan de schuine zijde 1 is en een van de hoeken bepaald kan worden door de afgeleide in je punt.
De rechthoekzijdes zijn deltaX en deltaY, de deltaX heb je nodig om te weten in welk punt je moet afleiden en de deltaY heb je nodig om je nieuwe functiewaarde te berekenen.

En dan kom je op een differentiaalvergelijking denk ik, want je moet afleiden in X+deltaX maar voor deltaX heb je al een afgeleide nodig.

[Dido]

offtopic:
ik hoor iets echoën

[huub8]

De bovenstaande reacties leggen precies uit wat ik bedoelde, heel erg bedankt voor de moeite.
Het enige punt is dat ik eigenlijk wel maar één functie nodig heb (dus niet een functie voor de x en een functie voor de y).

Ik alleen nog nooit zoiets omgerekend naar één functie, hoe doe je zoiets?
(of is er een naam voor, zodat ik het kan googlen?)

[Dido]

Hoe doe je zoiets? Even doordenken, lijkt me.

Als ik uitga van mijn formules (het zijn geen functies waarschijnlijk) voor dx en dy, dan is je probleem dus met name dat er een dx is. Oftewel, wel willen de formules zo omwerken dat dx=0, zodat de nieuwe functie geschreven kan worden als y=x²+dy

Vanuit (x,y) kunnen we een punt berekenen dat in ineder geval op de gezchte functie ligt.Dit punt willen we "matchen" met het punt op (y=x^2) dat er recht boven ligt.

Voor een y bij een x moet gelden dat de aftstand tot y=x^2 = 1, dus moet er een punt zijn waarvoor geldt dat het op 1 afstand van x,y ligt en waarvoor geldt dat x'^2 = y'.

We zoeken dus een dx en een dy waarvoor geldt dat dx^2+dy^2 = 1 (dat zijn alle dx, dy paren op een cirkel met straal 1) en y+dy = (x+dy)^2

als dx^2+dy^2=1, dan geldt dat dy = sqrt(1-dx^2)
dan volgt dus y = (x+dx)^2 - sqrt(1-dx^2)

Eh voila! Probleempje, we weten nu nog niet wat dx is als functie van x.

wordt vervolgd.

[ Voor 52% gewijzigd door Dido op 10-12-2010 17:08 ]

[huub8]

ok, alvast bedankt !

[RobIII]

Dit gaat me boven de pet... brrrrr.... weg ermee
PRG >> WL

[Juup]

Je kunt vanuit elk punt op de parabool een vector maken die loodrecht staat op je parabool en lengte 1 heeft:
x' = x + sin(arctan(dy/dx))
y' = y - cos(arctan(dy/dx))

Substitueer daar je orginele functie in (y = x^2) en je krijgt:
x' = x + sin(arctan(2x)) = x + 2x/√(1+4x²)
y' = x² - cos(arctan(2x)) = x² - 1/√(1+4x²)

Als daar x laat lopen van -∞ tot ∞ dan heb je de gewenste curve.

Edit: Dank Osiris: cos en sin omgedraaid, deze parabool ligt onder de orginele. Als je 'm erboven wil moet je -sin en +cos gebruiken.
EditII: Wat een factor 2 vergeten in de x', Dank Dido.

[ Voor 30% gewijzigd door Juup op 10-12-2010 17:48 ]

[Osiris]

Juup schreef op vrijdag 10 december 2010 @ 16:56:
Je kunt vanuit elk punt op de parabool een vector maken die loodrecht staat op je parabool en lengte 1 heeft:
x' = x + cos(arctan(dy/dx))
y' = y - sin(arctan(dy/dx))

Substitueer daar je orginele functie in (y = x^2) en je krijgt:
x' = x + cos(arctan(2x))
y' = x² - sin(arctan(2x))

Als daar x laat lopen van -∞ tot ∞ dan heb je de gewenste curve.

You sure? Want als ik die invul, dan krijg ik voor x=0 natuurlijk y=0 en x'=1 en y'=0, terwijl ik gezien Zsubs grafiek eerder x'=0 en y'=1 zou verwachten?

[huub8]

wat bedoel je precies met "arctan" ?

[Osiris]

huub8 schreef op vrijdag 10 december 2010 @ 17:09:
wat bedoel je precies met "arctan" ?

Wikipedia: Inverse trigonometric functions

Da's dan toch wel weer heel erg simpel op te zoeken met Google hoor

[Dido]

En ik dacht even te moeilijk, of Jaaap te makkelijk.

Jaaap: jouw formules voor x'en y'zijn exact gelijk aan die van mij, met 1 verschil: ik gooi er nog een hoek in van 90 graden.

Zie hem nu ook niet goed gaan... als x groter wordt lopen de twee tegen elkaar aan. Ligt dat aan mij of aan Excel?

[ Voor 34% gewijzigd door Dido op 10-12-2010 17:30 ]

[Juup]

Dido schreef op vrijdag 10 december 2010 @ 17:24:
En ik dacht even te moeilijk, of Jaaap te makkelijk.

Jaaap: jouw formules voor x'en y'zijn exact gelijk aan die van mij, met 1 verschil: ik gooi er nog een hoek in van 90 graden.
Die lijkt inderdaad niet nodig.
MAAR: voor kleine x lijkt te gelden dat y bijna gelijk is aan y' terwijl het zou moeten zijn y+1=y'.

Waar gaan we fout?

Zie hem nu ook niet goed gaan... als x groter wordt lopen de twee tegen elkaar aan. Ligt dat aan mij of aan Excel?

y' = x² ± cos(arctan(2x)) = x² - 1/√(1+4x²)
vul x = 0 in => y = -1

[Dido]

Met "als x groter wordt" bedoelde ik eigenlijk meer als x iets anders was dan 0

Nog eens in excel gezet, maar de afstand tussen beide lijnen neemt toch echt af.

Sterker nog, het verschil tussen y en y'mag nooit kleiner zijn dan 1, maar nadert tot 0.

[ Voor 54% gewijzigd door Dido op 10-12-2010 17:34 ]

[Juup]

Dido schreef op vrijdag 10 december 2010 @ 17:30:
Met "als x groter wordt" bedoelde ik eigenlijk meer als x iets anders was dan 0

Nog eens in excel gezet, maar de afstand tussen beide lijnen neemt toch echt af.

Klopt, ik was een factor 2 vergeten in de x'. Gefixt in orginele bericht.

[Dido]

Zie niet wat je gewijzigd hebt?

Maar ik zie wel dat ik waarcshijnlijk verkeerd lees. Jij hebt ook geen functie voor y'als functie van x, jij moet ook eerst nog x' berekenen. Op dat punt was ik een paar posts geleden ook al.

Substitueer je eea nog eventjes naar een f'(x)?

[Osiris]

x'=x-sin(atan(2x))
y'=y+cos(atan(2x))

Zo krijg ik volgens mij iig voor 0 < x < 10 de juiste grafiek?

[Juup]

Dido schreef op vrijdag 10 december 2010 @ 17:37:
Maar ik zie wel dat ik waarcshijnlijk verkeerd lees. Jij hebt ook geen functie voor y'als functie van x

Ehhh... tijd voor een nieuwe bril?

y' = x² - cos(arctan(2x)) = x² - 1/√(1+4x²)

Hoe zou je dit noemen dan?
Edit: ooh wacht ik begrijp nu wat je bedoelt. Dit is inderdaad geen functie van x'.
Je kunt x ook niet als functie van x' schrijven dus dat gaat heel lastig worden.

[ Voor 19% gewijzigd door Juup op 10-12-2010 17:49 ]

[Dido]

Juup schreef op vrijdag 10 december 2010 @ 17:43:
Edit: ooh wacht ik begrijp nu wat je bedoelt. Dit is inderdaad geen functie van x'.
Je kunt x ook niet als functie van x' schrijven dus dat gaat heel lastig worden.

Zoals ik zei, zover was ik dus ettelijke posts geleden ook al, maar het omschrijven naar een enkele functie wordt een stuk lastiger.

Ik was aangekomen op

y = (x+dx)^2 - sqrt(1-dx^2)

Waarbij geldt dat de afstand tot y=x^2 precies 1 is. Het probleempje(?) is om dx nog even in x uit te drukken.

dx en dy waren hier een offset vanaf (x,y) op 1 afstand waar geldt (x+dx)^2 = y+dy. Is dit een heilloze weg, of is er een manier om dx inderdaad in x uit te drukken?

[zeeg]

Kennen jullie deze site: www.wolframalpha.com
Die kan mooi rekenen met dit soort formules.

[Mx. Alba]

Sorry, dit heeft niets te maken met Wetenschap of Levensbeschouwing. Probeer het eens op een programmeersubforum aangezien het om een programma'tje gaat?

Bij nader inzien is het toch wel vrij hoogdravende wiskunde, vandaar dat ik hem weer open gooi. Maar laat dit geen vrijbrief zijn voor andere "vraag en antwoord" topics

[ Voor 36% gewijzigd door Mx. Alba op 10-12-2010 23:38 ]