[wiskunde] Vergelijking oplossen

[BetuweKees]

Hi,

Ik hoop dat deze topic hier op zijn plaats is, zo niet, dan bij voorbaat mijn excuus.

Voor een programmaatje wat ik momenteel aan het schrijven ben probeer ik de waarde van x te bepalen in de vergelijking:

y = x + x² + x³ + x⁴ + ... + x³⁰

Ik meen vroeger op school ooit wel iets geleerd te hebben wat hierbij behulpzaam kan zijn, maar loop nu al een tijd te puzzelen en kom er niet uit. Google levert vooralsnog ook niets op, al zal dat waarschijnlijk te maken hebben met het feit dat ik geen idee heb hoe een dergelijke reeks genoemd wordt.

Is er hier allicht een wiskunde-knobbel aanwezig die me uit kan leggen hoe ik deze vergelijking kan oplossen?

[djluc]

Als het om de wiskunde gaat gewoon zoiets:

http://www.wiskundeonline.nl/lessen/kw_type_ax2+bx+c=0.htm

Je vergelijking lijkt trouwens op een vergelijking met een ! ofwel faculteit, wellicht handig om dat ook even te bekijken:

Wikipedia: Faculteit (wiskunde)

[ Voor 51% gewijzigd door djluc op 24-10-2010 20:49 ]

[mux]

Er is geen algemene methode voor alles boven een zesdegraads polynoom, zelfs als deze 1-op-1 mapping heeft op het betreffende getallenvlak.

[Soultaker]

Dat zijn alleen kwadratische vergelijkingen hè. Voor derdemachts- en vierdemachtsvergelijkingen zijn er ook wel formules, maar daarboven is er geen algemene algebraïsche oplossing voor zover ik weet.

Er zijn wel numerieke methoden voor hogere machten, maar ik betwijfel dat die op de middelbare school behandeld worden. Zie bijvoorbeeld Wikipedia over root-finding algorithms.

[g0tanks]

djluc schreef op zondag 24 oktober 2010 @ 20:48:
Als het om de wiskunde gaat gewoon zoiets:

http://www.wiskundeonline.nl/lessen/kw_type_ax2+bx+c=0.htm

Dat is alleen voor tweedegraads vergelijkingen, dat gaat niet werken met x³⁰.

[Verwijderd]

Zoek eens op "n-de graads vergelijking oplossen"
Misschien geeft dit topic een aanknoping: http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=131934

[Kurley]

Beste Betuwekees,

Volgens mij kan je dit oplossen met een meetkundige reekst van de vorm t_n = a*r^(n-1) (zie wikipedia)
Hier is dan a gelijk aan 1 en r gelijk aan x.
Dus je hebt dan als oplossing y = (1-x^n)/(1-x) waar n gelijk is aan 30 in jouw geval.
Hier zou je na wat omschrijven of proberen wel een oplossing voor x uit kunnen halen.

Succes ermee

[Verwijderd]

Heb je een stelsel vergelijkingen tot je beschikking? Zo ja, dan kun je door midden van eliminatie en substitutie een oplossing bepalden voor de onbekenden (x_n).
Als je alleen 1 vergelijking hebt in de vorm y = x₁ + x₂ + ... + _n, heb je oneindig veel oplossingen. Ik denk dat we meer informatie nodig hebben.
^{Even aangenomen dat het in zijn voorbeeld gaat over een vergelijking met 30 onbekenden en geen 30ste graads polynoom. Het eerste lijkt me wat aannemelijker}

[ Voor 18% gewijzigd door Verwijderd op 24-10-2010 21:31 ]

[Kurley]

Verwijderd schreef op zondag 24 oktober 2010 @ 20:55:
Heb je een stelsel vergelijkingen tot je beschikking? Zo ja, dan kun je door midden van eliminatie en substitutie een oplossing bepalden voor de onbekenden (xⁿ).
Als je alleen 1 vergelijking hebt in de vorm y = x¹ + x² + ... + ⁿ, heb je oneindig veel oplossingen. Ik denk dat we meer informatie nodig hebben.
^{Even aangenomen dat het in zijn voorbeeld gaat over een vergelijking met 30 onbekenden en geen 30ste graads polynoom. Het eerste lijkt me wat aannemelijker}

Volgens mij is het 1 vergelijking met 1 onbekende, namelijk x, dus er is 1 unieke oplossing. Je kan het inderdaad natuurlijk ook numeriek oplossen met bijvoorbeeld MATLAB.

[Feanathiel]

Wat als je simpelweg de n-th wortel neemt uit y en deze afrond naar beneden? (Wat uiteraard alleen bij gehele getallen kan)

x = Floor( y^1/n )

Ik ben geen wiskundige, dus neem deze reactie met een korrel zout.

[ Voor 33% gewijzigd door Feanathiel op 24-10-2010 21:22 ]

[_js_]

Kurley schreef op zondag 24 oktober 2010 @ 20:54:
Beste Betuwekees,

Volgens mij kan je dit oplossen met een meetkundige reekst van de vorm t_n = a*r^(n-1) (zie wikipedia)
Hier is dan a gelijk aan 1 en r gelijk aan x.
Dus je hebt dan als oplossing y = (1-x^n)/(1-x) waar n gelijk is aan 30 in jouw geval.
Hier zou je na wat omschrijven of proberen wel een oplossing voor x uit kunnen halen.

Succes ermee

Jouw oplossing geeft niet y maar y/x. Op wikipedia staat het volgens mij wel goed.

[pedorus]

Kurley schreef op zondag 24 oktober 2010 @ 20:54:
Dus je hebt dan als oplossing y = (1-x^n)/(1-x) waar n gelijk is aan 30 in jouw geval.

Die reeks begint echter bij x^0, dus je bedoelt y=(1-x^31)/(1-x)-1

Hier zou je na wat omschrijven of proberen wel een oplossing voor x uit kunnen halen.

Wil ik je zien doen. Hint: een programma als maple kan dit niet, of je moet rootof als een oplossing zien.. Wolfram Alpha geeft hetzelfde

[NMe]

BetuweKees schreef op zondag 24 oktober 2010 @ 20:42:
Ik hoop dat deze topic hier op zijn plaats is, zo niet, dan bij voorbaat mijn excuus.

Als je niet zeker weet waar je zijn moet, vraag het dan even.

PRG>>W&L

[Kurley]

_js_ schreef op zondag 24 oktober 2010 @ 21:24:
[...]

Jouw oplossing geeft niet y maar y/x. Op wikipedia staat het volgens mij wel goed.

Ja weet ik, maar hij weet volgens mij y en dan kan je daarmee x vinden door te kijken welke x de goede y geef door een beetje proberen, of door de functie analytisch om te schrijven.

[BetuweKees]

Dank voor de reactie! Ik kom er nu achter dat hetgeen ik wilde allicht toch ingewikkelder was dan gedacht, flink nadenken ook bij het doorlezen van al die wiskundige stukken!


Wat ik wil is op basis van een vooraf gegeven doelbedrag, looptijd en rente uitreken wat initiële inleg of de jaarlijkse bijdrage behoort te zijn. Een van die twee is dan dus ook al gegeven.

Met een simpele n-de machtsvergelijking kan uitgerekend worden wat er met de initiële inleg zal gebeuren; initiële inleg * rente^looptijd.

Voor de jaarlijkse inleg geldt echter dat er over het bedrag dat betaald wordt in het eerste jaar rente^looptijd wordt uitbetaald, voor het bedrag in het tweede jaar rente^{looptijd - 1}, etc.

Aldus de formule

y = ax + ax² + ax³ + ax⁴ + ... + axⁿ

waarbij:
a = jaarlijkse bijdrage
x = rente
y = doelbedrag - initiële inleg * renteⁿ
n = looptijd (in dit geval 30 jaar)

Ik hoop dat deze toelichting extra duidelijkheid kan geven over hetgeen ik probeer te bereiken.

[Henk007]

Dus alleen x is onbekend?
Dan is een brute force methode volgens mij nog het simpelste. Reken wel die machten niet allemaal één voor één uit maar vermenigvuldig met y(n-1).
Dus y (n) = (y(n-1)+a)*x

edit:
Ik zie net deze forumule:
FV = PMT * [ ( ( 1 + i )^N - 1 ) / i ]

Met
FV = Eindbedrag
PMT = inleg per periode
N = aantaal periodes
i = rente per periode

[ Voor 38% gewijzigd door Henk007 op 24-10-2010 21:55 ]

[Nick The Heazk]

BetuweKees schreef op zondag 24 oktober 2010 @ 21:40:
Wat ik wil is op basis van een vooraf gegeven doelbedrag, looptijd en rente uitreken wat initiële inleg of de jaarlijkse bijdrage behoort te zijn. Een van die twee is dan dus ook al gegeven.

Met een simpele n-de machtsvergelijking kan uitgerekend worden wat er met de initiële inleg zal gebeuren; initiële inleg * rente^looptijd.

Voor de jaarlijkse inleg geldt echter dat er over het bedrag dat betaald wordt in het eerste jaar rente^looptijd wordt uitbetaald, voor het bedrag in het tweede jaar rente^{looptijd - 1}, etc.

Aldus de formule

y = ax + ax² + ax³ + ax⁴ + ... + axⁿ

waarbij:
a = jaarlijkse bijdrage
x = rente
y = doelbedrag - initiële inleg * renteⁿ
n = looptijd (in dit geval 30 jaar)

Ik hoop dat deze toelichting extra duidelijkheid kan geven over hetgeen ik probeer te bereiken.

Je wil dus a berekenen. Probeer eens a = y / (reeks in x) .

Voor de muggenzifters: voor alle redelijke waarden van de rente is dit goed gedefinieerd. Althans toch voor de rentes waarin ik geïnteresseerd ben .

[ Voor 6% gewijzigd door Nick The Heazk op 24-10-2010 22:04 ]

[Soultaker]

BetuweKees schreef op zondag 24 oktober 2010 @ 21:40:
Wat ik wil is op basis van een vooraf gegeven doelbedrag, looptijd en rente uitreken wat initiële inleg of de jaarlijkse bijdrage behoort te zijn. Een van die twee is dan dus ook al gegeven.

Zoek je dan niet naar oplossingen van de vergelijking y = axⁿ? Immers krijg je over de rente voor het gespaarde/geleende bedrag in het ene jaar ook weer rente in het volgende jaar. Voor de meeste dingen die je aan die formule wil berekenen zijn vrij simpele gesloten vormen te vinden.

[Mx. Alba]

Sorry maar dit voldoet niet aan de eisen van een W&L-topic

Topics hier moeten goed onderbouwd zijn en er moet een goede aanzet zijn tot een interessante discussie. Dit soort topics zijn eigenlijk afgelopen op het moment dat de oplossing er is en dan valt er niets meer de discussiëren... Het zit ook vrij dicht tegen de categorie "huiswerkvragen" aan. Allemaal een beetje grijs gebied, te grijs voor W&L

[ Voor 79% gewijzigd door Mx. Alba op 25-10-2010 21:08 ]