de vierde dimensie

[Dorgaldir]

Vanwege de discusie de gestart is in een artikel over de 3D tv wou ik hier een andere discusie starten over de 4e dimensie.

Ik ben het daarover niet eens met einstein (jawel einstein heeft wel fouten gemaakt) dat de 4e dimensie tijd is. En ik heb daar een goede redenering over.

0D = een punt, want zoals we nog weten uit de les wiskunde heeft een punt geen dimensies
1D = meerdere punten = een lijn, een lijn heeft maar 1 dimensie (lengte)
2D = meerdere lijnen = vlak, een vlak heeft 2 dimensies (lengte en breedte)
3D = meerdere vlakken = ruimtefiguur (bv kubus), een ruimtefiguur heeft 3 dimensies (lengte, breedte, hoogte)
4D = meerdere ruimtefiguren = een hyperfiguur, een hyperfiguur heeft 4 dimensies (lengte, breedte, hoogte, onbenaamd)

En ik heb dit heus zelf niet uit mijn mouw geschud, vandaar de wiki link over de 4e dimensie

Let vooral op de grafische voorstelling van de figuren uit de 4e dimensie, iets wat zeer moeilijk te snappen is zonder een beetje inbeelding, een beetje zoals een kubus op een blad tekenen, en dat heeft maar 1 dimensie verschil, dus beeld je in hoe moeilijk het is om iets op een 2D vlak te tekenen dat 2 dimensies meer heeft.

Wat denken jullie ervan of hoe zien jullie dit.

[Verwijderd]

Dit heeft niets met ruimte-tijd te maken, maar met meetkunde.

[Dorgaldir]

dat is dus net de discusie, is de 4e dimensie tijd of meetkunde

[Exphy]

Galen schreef op woensdag 27 januari 2010 @ 15:31:
dat is dus net de discusie, is de 4e dimensie tijd of meetkunde

lineare algebra?

[Confusion]

Er is niet zoiets als de 4e dimensie. In de statistische mechanica is het gebruikelijk om berekeningen te doen in de faseruimte van de plaats en impuls van deeltjes. Je praat dan al snel over een 10²³-dimensionale ruimte. Dit soort discussies zijn zinloos, omdat ze gestart worden op basis van een verkeerde definitie van het concept 'dimensie'.

[Mx. Alba]

Het is onmogelijk om ons voor te stellen hoe een 4-dimensionaal figuur er uit zou zien simpelweg omdat onze hersenen dat niet kunnen bevatten. We kunnen het wel beredeneren en berekenen, maar niet voorstellen.

Om het probleem inzichtelijk te maken, stel je eens een tweedimensionale wereld voor met bijbehorende tweedimensionale wezens die daar leven. Stel dat je zo'n tweedimensionaal wezen een tweedimensionale voorstelling van een kubus zou voorschotelen, zoals wij die op papier tekenen. Hij zou kunnen begrijpen dat die schuine lijnen in een andere dimensie zijn, maar voor hem is het onmogelijk om die dimensie ook daadwerkelijk voor te stellen. Hoe een kubus er echt uit ziet is volledig buiten zijn bevatting.



Dit is een tweedimensionale projectie van een driedimensionale voorstelling van een vierdimensionale kubus. Volgt u hem nog? Wij kunnen ons zo voorstellen hoe dit tweedimensionale plaatje er in drie dimensies uit zou zien. Je ziet er een driedimensionale kubus in, die met schuine lijnen verbonden is aan nog een driedimensionale kubus, en we kunnen beredeneren hoe dat in werkelijkheid in elkaar zou moeten steken, maar dat is nog ver van de werkelijkheid.

Laten we teruggaan naar die tweedimensionale wereld. Laten we een draadkubus nemen en door dat tweedimensionale universum heen duwen en de waarnemingen van een tweedimensionaal wezen beschouwen.

Op het moment dat je een zijkant van de kubus met dat tweedimensionale universum laat snijden ziet een tweedimensionale observator een vierkant. Duw je hem verder, dan ziet hij vier puntjes die de hoekpunten van een vierkant vormen. Als je de laatste zijkant van de kubus ook doorduwt ziet hij weer heel even een draadvierkant.

Doe nu het zelfde met een vierdimensionale kubus die je door ons driedimensionale universum heen duwt. Heel even zie je een driedimensionale draadkubus; die verdwijnt dan en wat overblijft zijn acht puntjes die de hoekpunten van een kubus vormen. Op het moment dat de andere "zijkant" van de 4d-kubus doorgeduwd wordt zie je weer heel even een draadkubus.

De "zijkant" van een 4d-kubus wordt dus gevormd door een 3d-kubus.

Duw eens een bol door een 2d-universum. Een 2d-observator ziet een cirkel die steeds groter wordt, vervolgens weer steeds kleiner wordt, en tot slot verdwijnt.

Duw nu een 4d-hyperbol door ons 3d-universum. Je zal een groeiende bol waarnemen, die daarna weer krimpt en verdwijnt.

De ware aard van 4d-structuren kan je op die manier beredeneren, maar zoals ik al meermaals zei, het je echt voorstellen zal je nooit lukken.

Maar buiten dit valt er weinig over "hogere dimensies" te discussiëren dus ik vraag me af of dit topic W&L-waardig is

[frankvdtillaart]

Confusion schreef op woensdag 27 januari 2010 @ 15:46:
Er is niet zoiets als de 4e dimensie. In de statistische mechanica is het gebruikelijk om berekeningen te doen in de faseruimte van de plaats en impuls van deeltjes. Je praat dan al snel over een 10²³-dimensionale ruimte. Dit soort discussies zijn zinloos, omdat ze gestart worden op basis van een verkeerde definitie van het concept 'dimensie'.

Definitie van dimensie is inderdaad een goede.

Wat ik dan weer mooi vind is dat de 'visualisatie' van de 4e dimensie door middel van een filmpje gebeurd (wikilink). Oftewel... tijd?

[RayNbow]

RedSoniq schreef op woensdag 27 januari 2010 @ 15:52:
[...]

Definitie van dimensie is inderdaad een goede.

Wat ik dan weer mooi vind is dat de 'visualisatie' van de 4e dimensie door middel van een filmpje gebeurd (wikilink). Oftewel... tijd?

Van een drie dimensionale kubus kan ik ook een filmpje maken waarbij ik alle 6 zijden laat zien. Daaruit kun je toch ook niet concluderen dat de 3e dimensie tijd is?

[page404]

[b][message=33358530,noline]verhaal

mooie uitleg!

[SaiBork]

Als ik nou een spiegel achter een kubus zet zie ik wel de achter kant. Zie ik dan 4d? Of wordt het dan 2x 3d = 6d?

[frankvdtillaart]

RayNbow schreef op woensdag 27 januari 2010 @ 16:05:
[...]

Van een drie dimensionale kubus kan ik ook een filmpje maken waarbij ik alle 6 zijden laat zien. Daaruit kun je toch ook niet concluderen dat de 3e dimensie tijd is?

Hmm, true.

Wel weer een nieuw perspektief op tijd. Deze valt buiten de definitie van 'dimensie'? In ieder geval in deze discussie? ;-)

[page404]

SaiBork schreef op woensdag 27 januari 2010 @ 16:24:
Als ik nou een spiegel achter een kubus zet zie ik wel de achter kant. Zie ik dan 4d? Of wordt het dan 2x 3d = 6d?

volgens mij zie je dan een 3-dimensionale representatie van de voorkant en een 2-dimensionale reflectie van de achterkant. ik kan dat geen 3x2=6D of 3+2=5D noemen

[Rannasha]

RedSoniq schreef op woensdag 27 januari 2010 @ 16:33:
[...]

Hmm, true.

Wel weer een nieuw perspektief op tijd. Deze valt buiten de definitie van 'dimensie'? In ieder geval in deze discussie? ;-)

Je kunt het begrip "dimensie" (tot op zekere hoogte) vergelijken met "vrijheidsgraden". In onze alledaagse ruimte, hebben we 3 vrijheidsgraden, links/rechts, voor/achter, boven/onder. Tijd kun je zien als een 4e vrijheidsgraad: je kunt iets vandaag doen of morgen. Zo kom je dus bij de 4-dimensionale "ruimte-tijd" waarin ons alledaagse leven plaatsvindt. (Diverse natuurkundige theorien spreken over extra dimensies voorbij deze 4, maar voor de alledaagse natuurkunde werkt de "benadering" van 4 dimensionale ruimte-tijd goed genoeg.)

Als we nu abstract gaan kijken naar een wiskundig model van 10 deeltjes die elk een positie (3 coordinaten, dus 3 vrijheidsgraden) en een snelheid (ook weer 3 vrijheidsgraden) hebben, dan heeft dit systeem 60 vrijheidsgraden. Men spreekt dan ook van een "60-dimensionale fase-ruimte". Maar dit is een puur wiskundige abstractie.

[MistrX]

Binnen M-theorie heb je 11 dimensies. Waarvan gravitatie naar de 11e dimensie zou stromen (als ik het conecpt goed begrijp (geen makkelijke materie dit)).

[BadRespawn]

Het is niet zo dat "de 4e dimensie" óf tijd, óf ruimtelijk is.

Het hangt er van af wat je wilt;

Als je een 4e ruimtelijke dimensie nodig hebt dan definieer je een extra ruimtelijk dimensie als 4e dimensie. En als je er nog meer nodig hebt dan voeg je die toe. Dat doen ze bvb in String-theorie.

Als je zoals Einstein naast 3 ruimtelijke dimensies ook de tijd dimensie nodig hebt dan definieer je tijd als 4e dimensie.

De Relativiteitstheorie zou niet werken (en daarmee zou bvb GPS niet werken) als je daar ipv tijd een 4e ruimtelijk dimensie zou nemen.

[Zakkenwasser]

zoiets dus als dit

[Verwijderd]

MrJey schreef op donderdag 28 januari 2010 @ 12:19:
zoiets dus als dit

[video]

Neeeeee!!!

[MistrX]

Ik kan het filmpje niet bekijken. Waar gaat het over?

[Verwijderd]

Even een korte (maar imo wel passende) oneliner:

Wikipedia: Flatland

Een boek (uit 1884) over precies dat waar Albantar het over heeft: een 2d wereld. Alle bewoners van die wereld zijn polygonen, met hoe meer hoeken hoe beter. Soldaten zijn bijvoorbeeld een driehoek en filosofen een cirkel (een cirkel is een polygoon met oneindig veel hoeken). O ja, en vrouwen hebben nul hoeken en zijn dus een rechte lijn.

Het verhaal gaat over een simpel vierkantje wat op een dag wordt bezocht door een bol die aan hem de derde dimensie probeert uit te leggen. Een beetje zoals hier nu ook gebeurt dus.

[Peregrine]

Als je deze vraag een beetje filosofisch bekijkt, dan is de vraag eigenlijk: Wat IS een dimensie?

De TS gaat er vanuit dat we meetkundige dimensies als basis nemen, en vraagt naar de keuze van de 4e. Zoals we allemaal weten kent de natuur (zoals wij die waarnemen) slechts 3 van deze dimensies. Een 4e 'bijverzinnen' is in deze context onzin, aangezien deze altijd andere eigenschappen heeft dan de '1e drie'.

Dat wil niet zeggen dat 4D denken onzin is. Afhankelijk van de toepassing kunnen zeker meerdere dimensies relevant zijn. De meetkundige dimensies hoeven hierbij zelfs niet (allemaal) worden gebruikt.

Voorbeeld? Neem de Algemene gaswet. Deze geeft aan wat de druk is die een gas. Deze bevat 4 dimensies: Druk, Volume, Aantal deeltjes, en Temperatuur.

Einstein vond het voor zijn theorie dus nodig om tijd als 4e dimensie erbij te schuiven. Dit wil niet zeggen dat deze 4 'bij elkaar horen' op basis van hun eigenschappen. Toevallig was het in dit geval nuttig. Bij een andere toepassing zal misschien de temperatuur, of een virtuele meetkundige dimensie, die in het dagelijks leven geen betekenis heeft.

[Mx. Alba]

Verwijderd schreef op donderdag 28 januari 2010 @ 12:56:
[...]

Neeeeee!!!

Want?

[Verwijderd]

Mx. Alba schreef op donderdag 28 januari 2010 @ 13:16:
[...]


Want?

Omdat dat dat filmpje slaat als een tang op een varken?

(tot 3 of 4d slaat het nog een beetje ergens over. Daarna heeft het niks meer te maken met het begrip dimensie.)

Peregrine schreef op donderdag 28 januari 2010 @ 13:14:
Voorbeeld? Neem de Algemene gaswet. Deze geeft aan wat de druk is die een gas. Deze bevat 4 dimensies: Druk, Volume, Aantal deeltjes, en Temperatuur.

Einstein vond het voor zijn theorie dus nodig om tijd als 4e dimensie erbij te schuiven. Dit wil niet zeggen dat deze 4 'bij elkaar horen' op basis van hun eigenschappen. Toevallig was het in dit geval nuttig. Bij een andere toepassing zal misschien de temperatuur, of een virtuele meetkundige dimensie, die in het dagelijks leven geen betekenis heeft.

Er zit wel iets meer achter dan dat. Als men het heeft over tijd als vierde dimensie in SRT, dan bedoelt men ook dat de lineare combinatie van een plaats en een tijd iets betekennis vols is. Dit in tegenstelling tot de algemene gas wet, waar P+T niets betekend.

[ Voor 59% gewijzigd door Verwijderd op 28-01-2010 17:17 ]

[Mx. Alba]

Verwijderd schreef op donderdag 28 januari 2010 @ 17:14:
(tot 3 of 4d slaat het nog een beetje ergens over. Daarna heeft het niks meer te maken met het begrip dimensie.

Nee? Het is een vrij gangbare theorie dat het universum in een 4e ruimtelijke dimensie op zichzelf terug buigt, en dus als het ware een 4-dimensionale hyperbol vormt. Als je maar lang genoeg in één richting gaat, kom je uiteindelijk weer op de zelfde plek terug, terwijl je constant rechtdoor bent gegaan. Dat verklaart ook hoe het universum tegelijk oneindig is (het heeft geen randen) maar niet oneindig groot is, en kan uitdijen en, eventueel, krimpen. Het verklaart ook de evenredige uitdijing van het universum, en de onmogelijkheid om een centrum van het universum aan te wijzen; het centrum van het universum ligt namelijk buiten het universum, want het is het middelpunt van de hyperbol waarvan het universum het 3-dimensionale "oppervlak" is.

Ook de uitleg van tijdlijnen als dimensie komt overeen met de quantummechanische uitleg van tijd en kansen.

[ Voor 5% gewijzigd door Mx. Alba op 28-01-2010 17:19 ]

[Verwijderd]

Mx. Alba schreef op donderdag 28 januari 2010 @ 17:18:
[...]


Nee? Het is een vrij gangbare theorie dat het universum in een 4e ruimtelijke dimensie op zichzelf terug buigt, en dus als het ware een 4-dimensionale hyperbol vormt.

Nee, dat is een gangbare misconceptie. Er is helemaal geen extra dimensie nodig voor kromming. Het feit dat de ruimtetijd gekromd is, impliceert niet dat er een vijfde dimensie is bijvoorbeeld.

Het gelinkte filmpje versterkt dit soort misconcepties alleen maar.

Ook de uitleg van tijdlijnen als dimensie komt overeen met de quantummechanische uitleg van tijd en kansen.

Het probleem is dat het filmpje de ruimte van alle mogelijke tijdslijnen beschouwt als vijf dimensionaal, terwijl in werkelijkheid dat nou precies een voorbeeld van een oneindig dimensionale ruimte.

[Mx. Alba]

Verwijderd schreef op donderdag 28 januari 2010 @ 17:53:
Nee, dat is een gangbare misconceptie. Er is helemaal geen extra dimensie nodig voor kromming. Het feit dat de ruimtetijd gekromd is, impliceert niet dat er een vijfde dimensie is bijvoorbeeld.

Het gelinkte filmpje versterkt dit soort misconcepties alleen maar.

De ruimte-tijd is vier-demensionaal. Hoe kan die gebogen zijn zonder dat er een 5e dimensie in het spel is?

Neem een vel papier (twee-dimensionaal). Die is plat en ongebogen. Als hij wel gebogen is, is er minstens een 3e dimensie in het spel.

Het probleem is dat het filmpje de ruimte van alle mogelijke tijdslijnen beschouwt als vijf dimensionaal, terwijl in werkelijkheid dat nou precies een voorbeeld van een oneindig dimensionale ruimte.

Kan je dan een referentie geven waarin het wel goed wordt uitgelegd?

[Verwijderd]

Mx. Alba schreef op vrijdag 29 januari 2010 @ 07:36:
[...]


De ruimte-tijd is vier-demensionaal. Hoe kan die gebogen zijn zonder dat er een 5e dimensie in het spel is?

Door dat er zoiets bestaat als intrensieke kromming? En aangezien dat bestaat is er geen a priori reden om aan te nemen dat de ruimtetijd zich in die bijzonder toestand bevindt die we "vlak" noemen.

Overigens is gebogen voor veel leken een wat misleidende term. Als ik ART probeer uit te leggen aan niet fysici heb ik het daarom ook meestal over vervormde ruimtetijd.

Neem een vel papier (twee-dimensionaal). Die is plat en ongebogen. Als hij wel gebogen is, is er minstens een 3e dimensie in het spel.

Een cylinder oppervlak is nog steeds een volledig 2d object en daarbij ook nog eens intrensiek vlak, een flatlander op een cylinder kan niet met lokale waarnemingen het verschil tussen een cylinder en plat vel bepalen. De omtrek van een cirkel is bijvoorbeeld gewoon 2pi keer de straal.

Toch noemen we een cylinder krom, maar dat is wat in jargon extrensieke kromming heet.

De is een verschil met een bol oppervlak. Dat is namelijk wel intrensiek gekromd. Als je bijvoorbeeld als flatlander op een bol de omtrek van een cirkel meet blijkt deze kleiner dan 2pi keer de straal te zijn.

[...]
Kan je dan een referentie geven waarin het wel goed wordt uitgelegd?

Flatland is een boekje dat redelijk goed het concept van dimensie uitlegd. (En daar naast wat hilarische victoriaanse vrouwonvriendelijke ideeen er op na houdt.) Beperkt zich wel tot max vier ruimtelijke dimensies. Verder is misschien een willekeurig dictaat lineaire algebra het beste om een idee te krijgen wat technisch bedoelt wordt met dimensie.

[Mx. Alba]

Verwijderd schreef op vrijdag 29 januari 2010 @ 08:16:
Een cylinder oppervlak is nog steeds een volledig 2d object en daarbij ook nog eens intrensiek vlak, een flatlander op een cylinder kan niet met lokale waarnemingen het verschil tussen een cylinder en plat vel bepalen. De omtrek van een cirkel is bijvoorbeeld gewoon 2pi keer de straal.

Toch noemen we een cylinder krom, maar dat is wat in jargon extrensieke kromming heet.

De is een verschil met een bol oppervlak. Dat is namelijk wel intrensiek gekromd. Als je bijvoorbeeld als flatlander op een bol de omtrek van een cirkel meet blijkt deze kleiner dan 2pi keer de straal te zijn.

Wat ik nou juist begrepen heb is dat het universum wel intrinsiek gekromd is, maar dat die kromming zo klein is dat je het op menselijke schaal niet waar kunt nemen; immers, het universum is verschrikkelijk groot, dus moet je ook een verschrikkelijk grote cirkel hebben om erachter te komen dat de straal inderdaad iets kleiner is dan 2πr.

[Verwijderd]

Mx. Alba schreef op vrijdag 29 januari 2010 @ 08:56:
[...]


Wat ik nou juist begrepen heb is dat het universum wel intrinsiek gekromd is, maar dat die kromming zo klein is dat je het op menselijke schaal niet waar kunt nemen; immers, het universum is verschrikkelijk groot, dus moet je ook een verschrikkelijk grote cirkel hebben om erachter te komen dat de straal inderdaad iets kleiner is dan 2πr.

Klopt. Mijn punt was juist dat er voor intrensieke kromming geen extra dimensies nodig zijn.

[Mx. Alba]

Verwijderd schreef op vrijdag 29 januari 2010 @ 10:06:
Klopt. Mijn punt was juist dat er voor intrensieke kromming geen extra dimensies nodig zijn.

Maar hoe ontstaat die kromming dan, als er geen extra dimensie(s) nodig zijn?

[KatirZan]

Mx. Alba schreef op vrijdag 29 januari 2010 @ 10:49:
[...]


Maar hoe ontstaat die kromming dan, als er geen extra dimensie(s) nodig zijn?

Tijd

Klinkt als een simpel antwoord, maar tijd is het antwoord......

Extra dimensies zijn in onze perceptie van de wereld niet nodig, maar wel nodig om het onverklaarbare verklaarbaar te maken. Hoe kan het dat wij, als zijnde zo klein, in zo'n groot universum kunnen overleven...antwoord : Tijd.
Hoe groot is het universum? Zo groot als de Tijd
Hoe klein is het universum? Zo kort/klein als de Tijd.

Tijd is perceptie, een kromme lijn van punt A naar punt B. De stappen die tijd moet nemen om bij B te komen gaat via verschillende dimensies, het is geen rechte lijn. Daarom is tijd niet voorspelbaar. Hoe lang duurt het voor een planeet om te ontstaan? Geen idee... etc..etc...

Wat ik al die jaren heb begrepen van de hele discussie over meerdere dimensies is dat het allemaal draait om tijd, de duur (uitgedrukt in wat wij Tijd noemen) van punt A om bij punt B te komen. Punt A zijnde de perceptie van wat wij als "begin" en Punt B zijnde de perceptie van wat wij als "einde" of "tussenstop" zien.

Tijd is namelijk het enige in het universum wat als oneindig is verklaard, er zijn geen andere zaken die langer duren dan de Tijd.

Mijn idee : Tijd is alle dimensies bij elkaar, of dit er nu 1, 2, 3, 4 of 20 zijn. Dimensies zijn relatief, het is de perceptie van omvang, van duur.

Mijn uitleg kan ik jammer genoeg niet duidelijk geven...

Dit trouwens wel bedoelt als uitleg waarom er meerdere dimensies moeten zijn, niet een uitleg van waarom een kromme ontstaat, of in welke dimensie deze zich bevindt

[ Voor 5% gewijzigd door KatirZan op 29-01-2010 11:27 . Reden: verduidelijking tekst ]

[MSalters]

Mx. Alba schreef op vrijdag 29 januari 2010 @ 10:49:
[...]
Maar hoe ontstaat die kromming dan, als er geen extra dimensie(s) nodig zijn?

Zwaartekracht cq. massa.

Nu is dat een beetje cyclische definitie; het is lastig om objectief vast te stellen dat de kromming het gevolg is van de massa, of dat massa het gevolg is van de kromming.

[Verwijderd]

Mx. Alba schreef op vrijdag 29 januari 2010 @ 10:49:
[...]


Maar hoe ontstaat die kromming dan, als er geen extra dimensie(s) nodig zijn?

Zoals gezegt die is intrensiek aan de ruimte. Er is geen enkele referentie aan extra dimensies nodig om die kromming te beschrijven. Hoe die kromming reageert op de aanwezigheid van energie wordt verder beschreven door de Einstein vergelijking.

[Confusion]

Mx. Alba schreef op vrijdag 29 januari 2010 @ 10:49:
Maar hoe ontstaat die kromming dan, als er geen extra dimensie(s) nodig zijn?

Los van de bovenstaande antwoorden: dat men het 'kromming' noemt, komt voornamelijk door de wiskunde die er aan ten grondslag ligt en die sterke gelijkenissen vertoont met beschrijvingen van fysieke gekromde voorwerpen. Die term is eigenlijk net zo misleidend als de term 'relativistische massa': er is niet echt iets dat gekromd is. Een voorwerp is altijd gekromd in de ruimte, ten opzichte van de ruimte. De ruimte is gekromd van zichzelf en dat zouden we misschien eigenlijk anders moeten noemen; dat zou een hoop crackpottheorieen schelen.

[MistrX]

Maar hoe werkt het dimensie systeem dan in de String/M-theorie? Die verondersteld wel een vast gesteld aantal dimensies.

[Matis]

MistrX schreef op vrijdag 29 januari 2010 @ 16:45:
Maar hoe werkt het dimensie systeem dan in de String/M-theorie? Die verondersteld wel een vast gesteld aantal dimensies.

Ja, 11 dimensies volgens mij.

Ah, het klopt

quote: http://en.wikipedia.org/wiki/M-theory

In theoretical physics, M-theory is an extension of string theory in which 11 dimensions are identified. Because the dimensionality exceeds the dimensionality of five superstring theories in 10 dimensions, it is believed that the 11-dimensional theory unifies all string theories (and supersedes them). Though a full description of the theory is not yet known, the low-entropy dynamics are known to be supergravity interacting with 2- and 5-dimensional membranes.

Al kan ik me geen 11 dimensies voorstellen, maar om die reden heb ik ook geen Theoretische Natuurkund gestudeerd

[ Voor 55% gewijzigd door Matis op 29-01-2010 16:47 ]