Formule nadert 2π, waarom?

[huub8]

Ik weet dat het in princiepe niet de bedoeling is om vragen over huiswerk en dergelijke op dit forum te plaatsen, echter stond er bij dat er wel eens uitzonderingen worden gemaakt bij erg ingewikkelde opgaven, en (zeker voor mij) is dit er wel eentje.

In mijn wiskunde boek staat het volgende,

Y = 1/X * sin(2π * X) nadert 2π wanneer X de 0 nadert, verklaar dit en toon aan dat dit klopt.

Ik heb (evenals mijn vader) een tijd zitten proberen hier een verklaring voor te vinden maar dit wilde helaas niet lukken, daarom mijn vraag of iemand van jullie wellicht de verklaring weet/kan bedenken.


Alvast bedankt!

[Sendy]

Ik weet 't ook niet meer precies, maar ik weet wel dat sin(x) voor kleine x naar de functie f(x) = x gaat. Als je dat weet dan is jouw antwoord natuurlijk snel gevonden.

Nou ja, je kan dus sin(x) als reeks opschrijven (zie Google) en dan is het simpel.

Trouwens, een beetje Googlen vindt ook http://www.ies.co.jp/math/java/calc/LimSinX/LimSinX.html

[ Voor 16% gewijzigd door Sendy op 13-12-2009 22:35 ]

[Brent]

Wat Sendy zegt klopt. Je pakt de taylor benadering van sinx rondom x=0 en vult de eerste term in:

y = 1/x * sin(2πx) => 1/x * 2πx => x/x * 2π = 2π

Dan zie je dat de x'en eruit vallen en je functie 2π is.

[eamelink]

De afgeleide van sin(x) is cos(x). Voor x dichtbij nul is cos(x) dicht bij cos(0) = 1. Dicht bij x=0 is de functie sin(x) dus een rechte lijn met afgeleide 1 door 0. Voor kleine x is dan de waarde van sin(x) ongeveer x.

Je kan ook de taylorreeks opschrijven, dan is het ook snel duidelijk

[huub8]

Heel erg bedankt voor de snelle en duidelijke antwoorden, ik geloof dat ik het nu snap.

[ Voor 200% gewijzigd door huub8 op 13-12-2009 22:46 ]

[Confusion]

Realiseer je bovendien dat 'waarom' niet altijd een nuttige vraag is bij wiskundige feiten. Soms heb je er gewoon geen intuitie voor en is het enige mogelijke antwoord 'omdat de relaties, gegeven de aannames, nu eenmaal zo zijn'.

[MSalters]

Ik vermoed dat het antwoord ligt in de formule lim x->0 f(x)/g(x) = f'(0) / g'(0).

[Confusion]

L'Hospital gaat alleen op als lim x->c f(x) = lim x->c g(x) = 0

[Verwijderd]

Confusion schreef op maandag 14 december 2009 @ 13:24:
L'Hospital gaat alleen op als lim x->c f(x) = lim x->c g(x) = 0

In dit geval dus.

[MSalters]

Als lim x->c f(x) = 1 en lim x->c g(x)=2, dan heb je l'Hôpital niet nodig

[Dutch Lion]

Beetje achteraf maar L'Hospital gaat hier wel op:

lim x-->0 sin(2piX)/x =l'hospital= (2pi cos(2piX))/1

de cosinus wordt 1 en dus staat er 2pi/1 is 2 pi

[GlowMouse]

Dit volgt direct uit de definitie van de afgeleide

Definieer f : IR -> IR door f(x) = sin(2πx). We hebben f'(0) = 2π.

Maar we hebben ook f'(0) = lim_{x \to 0} (f(x)-f(0)) / (x-0) = lim_{x \to 0} f(x)/x = lim_{x \to 0} sin(2πx)/x.