Terugkaatsende lijnen in een parabool

[Witte]

Ik wil bewijzen dat alle lijnen die (loodrecht) een parabool binnenvallen in 1 punt samenkomen. Ik loop vast bij de richtingscoefficienten van de terugkaatsende lijnen.

Het probleem is het volgende:

Stel ik heb een met richtingscoefficient r.
Deze lijn is dus: y = r * x + p.
Deze lijn maakt een hoek alfa met de y-as.
(dit is een raaklijn van een parabool)

Nu heb ik tweede lijn met richtingscoefficient b.
Deze lijn is dus: y = b * x + q.
Deze lijn maakt een hoek beta met de y-as.
(dit is de terugkaatsende lijn)

Nu geldt er: beta = 2 * alfa
Wat is dan b, uitgedrukt in r?

[Rannasha]

Ik zou persoonlijk een iets andere aanpak nemen...

Claim: Als je een lijn hebt met f1(x) = r x + p, dan is de terugkaatsende lijn gegeven door de uitdrukking:
x = - r y - p oftewel:
f2(x) = - (p + x) / r

Bewijs: Zoek het snijpunt van de beide lijnen, dus stel gelijk en los op:
y1(x) = y2(x).
Hiermee vindt je het snijpunt (x0, y0) van beide lijnen.

Verplaats je assenstelsel nu zo dat dit snijpunt in de oorsprong ligt, dus waar een punt op lijn 1 in het oorspronkelijke assenstelsel coordinaten (x, f1(x)), zal dit punt in het nieuwe assenstelsel coordinaten (x - x0, f1(x) - y0) hebben. Idem voor f2.

In dit assenstelsel vallen de vectoren behorende bij de punten op lijnen 1 en 2 samen met lijn 1 en 2 respectievelijk. Om te bewijzen dat deze loodrecht op elkaar staan moet je enkel het inproduct nemen:
(x - x0, f1(x) - y0) . (x - x0, f2(x) - y0)
Uitwerken levert dat dit 0 is, dus de lijnen zijn loodrecht en de claim dat de terugkaatsende lijn aan de vergelijking x = - r y - p voldoet is bewezen.

Overigens heb ik de algebra-uitwerkingen weggelaten, ze zijn niet ingewikkeld, maar kosten wel wat ruimte en dat zou het overzicht van het bewijs wat hebben aangetast. De afleiding en het bewijs van de formule voor de terugkaatsende lijnen (rare term trouwens, maar goed) kan vast en zeker simpeler en eleganter, maar dit is het eerste dat bij me op kwam en het werkt, dus ik ben tevreden

[kaconst]

Wat jij hebt gedaan is gewoon zorgen dat je tweede lijn loodrecht op de eerste, wat helemaal niet relevant is voor zijn probleem.

Hij moet gewoon het snijpunt berekenen van de invallende straal met de parabool. Daar de helling berekenen, en daarmee een functievoorschift opstellen icm de coordinaten van het reflectiepunt. Dan aantonen dat deze allemaal door hetzelfde punt gaan.

[Opi]

Disclaimer; wat lopen puzzelen en is nog niet af, maar ga nu koken.

Stel de parabool f = cx²+dx+e.

De raaklijn van de parabool is;
y = 2cx+d

Neem aan snijpunt parabool en lijn (x₂, y₂)

De richtingscoefficient van de lijn loodrecht op de parabool is;
-1/(2x₂c+d)

De bijbehorende lijn is
y = -1/(2x₂c+d)x+b (waarin b bepaald kan worden op basis van het snijpunt en afh is van e)

Vanwege symmetrie kun je stellen dat het punt x₁,y₁ dezelfde x-waarde heeft als het punt waar de helling 0 is; f'(x₁) = 0 -> 2cx₁+d = 0; x₁ = -d/2c

[Rannasha]

kaconst schreef op donderdag 04 juni 2009 @ 17:32:
Wat jij hebt gedaan is gewoon zorgen dat je tweede lijn loodrecht op de eerste, wat helemaal niet relevant is voor zijn probleem.

Hij moet gewoon het snijpunt berekenen van de invallende straal met de parabool. Daar de helling berekenen, en daarmee een functievoorschift opstellen icm de coordinaten van het reflectiepunt. Dan aantonen dat deze allemaal door hetzelfde punt gaan.

De TS meldde dat hij op zoek was naar de richtingscoefficient van de lijn loodrecht op parabool. Deze lijn staat loodrecht op de raaklijn (zoals de TS ook al had geconcludeerd). De raaklijn is eenvoudig te bepalen (afgeleide van de parabool in het punt geeft een richtingscoefficient, de coordinaten van de parabool geven de rest van de informatie).

Ik heb een formule gegeven voor deze loodrechte lijn, gegeven een formule voor de raaklijn, precies waar de TS vast zat.

Bewijzen dat al deze lijnen vervolgens samenvallen mag de TS zelf doen, maar dat was ook niet het punt waar hij was vastgelopen.

[ Voor 5% gewijzigd door Rannasha op 04-06-2009 19:12 ]

[kaconst]

Species5618 schreef op donderdag 04 juni 2009 @ 19:11:
[...]


De TS meldde dat hij op zoek was naar de richtingscoefficient van de lijn loodrecht op parabool. Deze lijn staat loodrecht op de raaklijn (zoals de TS ook al had geconcludeerd). De raaklijn is eenvoudig te bepalen (afgeleide van de parabool in het punt geeft een richtingscoefficient, de coordinaten van de parabool geven de rest van de informatie).

Ik heb een formule gegeven voor deze loodrechte lijn, gegeven een formule voor de raaklijn, precies waar de TS vast zat.

Bewijzen dat al deze lijnen vervolgens samenvallen mag de TS zelf doen, maar dat was ook niet het punt waar hij was vastgelopen.

Ik denk dat je in de war bent bij het woordje loodrecht; de TS had het over loodrecht als in vertikaal, niet loodrecht op de parabool.

[Rannasha]

kaconst schreef op vrijdag 05 juni 2009 @ 11:28:
[...]

Ik denk dat je in de war bent bij het woordje loodrecht; de TS had het over loodrecht als in vertikaal, niet loodrecht op de parabool.

... en ...

Ik wil bewijzen dat alle lijnen die (loodrecht) een parabool binnenvallen in 1 punt samenkomen. Ik loop vast bij de richtingscoefficienten van de terugkaatsende lijnen.

komen niet echt overeen.

Sowieso is de TS niet erg duidelijk, het zou helpen als hij z'n post kon toelichten ^^

[Witte]

Okee, sorry voor de onduidelijkheid.

De parabool heeft (uiteraard) als functie: y = ax ^ 2
(dit is in feite iedere parabool na translatie)

Dan komen er (loodrecht op de x-as) lijnen binnen.
Deze lijnen hebben de functie: x = p
Deze snijden de parabool in een punt P (p; ap^2).

De rc van de parabool in punt P noem ik r (is gelijk aan 2ap)
De raaklijn maakt een hoek alfa met de y-as,
De terugkaatensende lijn maakt logischerwijs een hoek 2 * alfa met de y as.

Wat is nu de richtingscoefficient van de terugkaatsende lijn? Het liefst uitgedrukt in r (of in termen a en p)?

kaconst schreef op donderdag 04 juni 2009 @ 17:32:
Wat jij hebt gedaan is gewoon zorgen dat je tweede lijn loodrecht op de eerste, wat helemaal niet relevant is voor zijn probleem.

Hij moet gewoon het snijpunt berekenen van de invallende straal met de parabool. Daar de helling berekenen, en daarmee een functievoorschift opstellen icm de coordinaten van het reflectiepunt. Dan aantonen dat deze allemaal door hetzelfde punt gaan.

Exactly

Alle terugkaatsende lijnen zullen in hetzelfde punt de y-as snijden, en ik wil dat aantonen door te laten zien dat het snijpunt van de terugkaatsende lijn met de y-as onafhankelijk is van p, maar wel van a

[ Voor 43% gewijzigd door Witte op 05-06-2009 11:57 ]

[Rannasha]

Ah, oke, zie de parabool als een spiegel en de lijnen als lichtstralen. Dan wordt het een stuk duidelijker

En dan slaat mijn eerste post niet echt ergens op (al is het wel correct!).

[Rannasha]

Oke, in dat geval...

Neem aan dat je alpha hebt, die is niet moeilijk te bepalen, je hebt de raaklijn en de lijn van inval.

De lijn van terugkaatsing is nu de reflectie van de invallende lijn in de normaal van de parabool (de lijn loodrecht op de raaklijn).

Beschouw het punt van de parabool waar de hele boel plaatsvindt even als oorsprong van het assenstelsel. De invallende lijn heeft parameter voorstelling (0,t). De normaal maakt een hoek van 90 - alpha (in graden) met de x-as (teken het even uit, dan zie je dat wel).

Voor een reflectie in een lijn die een hoek u maakt met de x-as geldt de volgende transformatie matrix (noem em M)

code:

cos(2u)   sin(2u)
sin(2u)   cos(2u)

De parameter voorstelling van de gezochte lijn is nu de matrix-vermenigvuldiging van M met (0, t)^T.

Tenslotte weer even de oorsprong terugverplaatsen en je hebt de parameter voorstelling van de teruggekaatste lijn en het originele assenstelsel. Hieruit kun je vrij eenvoudig de richtingscoefficient bepalen.