Wiskundig diffentiaal probleempje

[KappuhH]

Ik moet de volgende differentiaalvergelijking oplossen maar kom er niet uit:

y'(t) = y(t)^2

Ik weet dat het heel basic is maar aan de hand van mn studieboeken en internet kan ik er met geen mogelijkheid uitkomen. Waarschijnlijk zie ik iets over het hoofd...

[RetroTycoon]

Gokje: 1*y(t)

[KappuhH]

Nee, was nog vergeten dat het antwoord ook bekend is:

y(t) = -1 / ( y(t)+C )

Maar hoe ze er bij komen...

[ Voor 3% gewijzigd door KappuhH op 20-04-2009 22:47 ]

[Opi]

Je kunt veronderstellen dat y(t) de vorm heeft van y(t) = Ce^kx. Kun je aangeven wat je allemaal al geprobeerd hebt? Een e-macht valt om te schrijven naar een sinus en een cosinus. Dat combinerend moet het denk ik wel lukken.

[ Voor 52% gewijzigd door Opi op 20-04-2009 22:39 ]

[KappuhH]

y'(t)/y(t)^2 = 1

1/y dy = 1 dt (substitutie)

ln(y) = 1t

ln(y(t)^2) = t

e^ln*y(t)^2 = e^t

y(t)^2 = e^t

y(t) = sqrt(e^t)

Maarja dat klopt dus niet...

[JJJ]

y'(t) = y(t)^2

dy/dt = y^2
y^-2 dy = dt
Beide kanten integreren
t = -y^-1 + cst
y = 1/(-t - cst)
Vul dan de constante cst in afhankelijk van je randcondities.

[KappuhH]

Volg alleen deze stap niet:

dy/dt = y^2
y^-2 dy = dt

[Opi]

Ik zette je op het verkeerde spoor. Even boeken ingedoken en onder de term nonlinear differential equations de al gegeven oplossing voor het probleem gevonden. Er wordt aan beide kanten gedeeld door y^2 en vermenigvuldigd met t.

[Verwijderd]

KappuhH schreef op maandag 20 april 2009 @ 22:14:
Nee, was nog vergeten dat het antwoord ook bekend is:

y(t) = -1 / ( y(t)+C )

Maar hoe ze er bij komen...

JJJ gaf je al een afleiding, maar heel vaak zie je in de praktijk dat men gewoon wat probeert en dan terugrekent of een oplossing voldoet aan de vergelijking. Invullen van e-machten is een bekende truc, net zoals machtreekssubstitutie. Zeker bij non-lineaire vergelijkingen is het eerder uitzondering dan regel dat men analytische oplossingen kent.

[Opi]

Aangestoken door dit topic heb ik me weer eens in de materie verdiept. Ik kan echter geen oplossingsmethoden bedenken voor hogere orde non-lineaire (non-homogene) vergelijkingen;
y" + ay' + by + cy² = 0

Heeft iemand wellicht een idee in welke richting ik een oplossing kan zoeken?

[Verwijderd]

KappuhH schreef op maandag 20 april 2009 @ 22:50:
y'(t)/y(t)^2 = 1

1/y dy = 1 dt (substitutie)

...

zou moeten zijn:
1/y^2 dy = 1 dt

Voor de rest zie de oplossig van JJJ

[Verwijderd]

Opi schreef op maandag 27 april 2009 @ 17:11:
Aangestoken door dit topic heb ik me weer eens in de materie verdiept. Ik kan echter geen oplossingsmethoden bedenken voor hogere orde non-lineaire (non-homogene) vergelijkingen;
y" + ay' + by + cy² = 0

Heeft iemand wellicht een idee in welke richting ik een oplossing kan zoeken?

Dergelijke vergelijkingen hebben zelden een oplossing in termen van elementaire functies, als er al oplossingen bekend zijn is dat meestal in termen van speciale functies. (meestal gedefineerd als oplossing van een bepaalde differentiaal vergelijking.)
Ik heb even gechecked in mathematica, en deze kent geen oplossingen van bovenstaande vergelijking. Meestal betekend dat dat deze helemaal niet bekend zijn. De manier om toch wat te weten te komen over y, is deze te schrijven als machtsreeks en deze orde voor orde op te lossen voor de coefficienten.

[Witte]

Is het niet zo:

y' = y(t)^2

... de afgeleide is de functie in het kwadraat...

stel: de functie y(t) = p t^q (een simpele machtsfunctie lijkt me het proberen waard!)

kwadrateren levert: p^2 t^2q
differentieren levert: p/q t^q-1

gelijkstellen levert:
p^2 = p/q en 2q = q-1
dus: q = -1 en p = 1/q ofwel p = -1

dus:

y(t) = - 1 / t

briljant!

[ Voor 10% gewijzigd door Witte op 28-04-2009 11:57 ]

[Verwijderd]

Witte schreef op dinsdag 28 april 2009 @ 11:54:
Is het niet zo:

y' = y(t)^2

... de afgeleide is de functie in het kwadraat...

stel: de functie y(t) = p t^q (een simpele machtsfunctie lijkt me het proberen waard!)

kwadrateren levert: p^2 t^2q
differentieren levert: p/q t^q-1

gelijkstellen levert:
p^2 = p/q en 2q = q-1
dus: q = -1 en p = 1/q ofwel p = -1

dus:

y(t) = - 1 / t

briljant!

Een "ansatz" methode is doorgaans zeker handig. In dit geval mis je dan echter wel de integratie constante.

[Witte]

Klopt. Mijn oplossing is een oplossing, uit vele mogelijke oplossingen.

[Nick The Heazk]

Opi schreef op maandag 27 april 2009 @ 17:11:
Aangestoken door dit topic heb ik me weer eens in de materie verdiept. Ik kan echter geen oplossingsmethoden bedenken voor hogere orde non-lineaire (non-homogene) vergelijkingen;
y" + ay' + by + cy² = 0

Heeft iemand wellicht een idee in welke richting ik een oplossing kan zoeken?

Je kunt natuurlijk altijd een machtreeks gaan ontwikkelen rond het gevraagde punt. Laat ons even stellen dat dat t = 0 is, dan stel je: y(t) = sum_i=0^\infty a_i t^i. Die handel dan invullen in het gedrocht, beetje met de indexen van de sommatie spelen, product voor machtreeksen gebruiken en dan tenslotte nog de identiteitsstelling voor machtreeksen er tegenaan gooien en dan heb je een uitdrukking voor al je coëfficiënten van je machtreeks. Met wat geluk kun je deze impliciete recursie dan in een gesloten vorm gieten en dan ben je er .

Edit: even over de post van Trias gekeken. Met hem dus .

[ Voor 3% gewijzigd door Nick The Heazk op 02-05-2009 01:14 ]

[Mr Alfabet]

Opi schreef op maandag 27 april 2009 @ 17:11:
Aangestoken door dit topic heb ik me weer eens in de materie verdiept. Ik kan echter geen oplossingsmethoden bedenken voor hogere orde non-lineaire (non-homogene) vergelijkingen;
y" + ay' + by + cy² = 0

Heeft iemand wellicht een idee in welke richting ik een oplossing kan zoeken?

Matrixen, op de uni gebruiken we Calculus, a complete course van A. Adams, misschien het doorkijken waard?
http://www.google.nl/sear...official&client=firefox-a