Limieten how to

donderdag 5 februari 2009 21:51

Het idee achter limieten is, zoals de naam het al zegt, de limiet te bereken waar x naar a loopt.

In jou voorbeeld valt de waarde 1 gewoon in te vullen, dus hier is een limiet niet nodig, je kan gewoon de waarde 1 invullen en uitrekenen. Limieten zijn juist van belang om de waarde te bepalen waar een functie heen zou gaan als een functie op die plek niet bestaat. Bijvoorbeeld de functie (x^2-1)/(x-1), deze bestaat niet voor x = 1, dan komt er 0/0 uit. Daarom neem je hier de limiet van x--> 1. Wat als uitkomst 2 heeft.

lim x-->1 (x^2-1)/(x-1) = (x-1)(x+1)/x-1)= x+1= 2

Als je in jou geval de limiet wil bepalen moet je dat naar x-->2 doen, immers zijn de teller en noemer dan beide 0, wat betekt dat hij niet bestaat, maar wel is te benaderen met limieten.

Dit is het makkelijkst met de stelling van 'l hopital, al betwijfel ik of je daar wat aan hebt. je kan dan teller en noemer differentieren, dus dan krijg je 3x^2/2x, invullen geeft nu 12/4= 3

[ Voor 25% gewijzigd door Xqlusive op 05-02-2009 21:59 ]

Acties:

anandus

De vraag van de TS zou ook logischer zijn als lim x-->2, lijkt mij?

Anders is het inderdaad gewoon invullen

(2 1/3 komt er dan uit)

[ Voor 9% gewijzigd door anandus op 05-02-2009 21:51 ]

"Always remember to quick save" - Sun Tzu

donderdag 5 februari 2009 21:55

Acties:

LtMarx

ATTENTIOOOON!!!

Voor jouw som betekend dat dus:

(1-8) / (1-4) = -7/-3 = 2 1/3

Je kan het checken door je tabel veel groter te maken, dus na 0.9 ook 0.95 en 0.97 etc tot 0.99999999
Je zal zien dat het antwoord dan steeds dichterbij 2 1/3 komt.

[ Voor 7% gewijzigd door LtMarx op 05-02-2009 21:55 ]

donderdag 5 februari 2009 22:06

Acties:

donderdag 5 februari 2009 22:08

Topicstarter

Bedankt allemaal. Mijn methode is dus wel goed, ik had alleen een stukje verder moeten gaan met 0,9 0,95 0,96 etc..

Lux.Architectuur | Van Dromen tot Wonen | www.Lux-a.nl

Acties:

Hooglander1

Zot intellegent

Sterker nog als je x gewoon kan invullen met het getal, dan is dat je limiet. Je hoeft pas trucs toe te passen als de oplossing niet direct bestaat. Delen door 0 en dergelijken.

Lid van de Tweakers Kenwood TTM-312 club.

donderdag 5 februari 2009 22:09

Acties:

LtMarx

ATTENTIOOOON!!!

Numeriek klopt je methode wel, maar je moet deze problemen ook algebraïsch kunnen oplossen. Dus eigenlijk moet je die methode onder de knie hebben

donderdag 5 februari 2009 22:10

Acties:

donderdag 5 februari 2009 22:41

Ja klopt, de limiet is dus echt waar hij heeeeeel dicht bij 1 komt, dus eigenlijk waar x = 1 , of als je het anders bekijkt (1-x) waar x nadert tot 0.

Vaak is de standaardstrategie voor limieten, eerst nakijken of je niet gewoon kunt invullen, dan kijken wat voor vorm het is, een 0/0 vorm heeft een limiet, een a/0 vorm niet (a >0 of a<0). Dan is het vaak mogelijk om een term in haakjes te ontbinden en weg te delen zodat de limiet wel op te lossen is, dus zoals het voorbeeld wat ik in mijn eerste post gaf.

Bij een 0/0 vorm mag dus ook teller en noemer differentieren, als je goed kan differentieren is dit vaak sneller.

[ Voor 61% gewijzigd door Xqlusive op 06-02-2009 13:37 ]

Acties:

donderdag 5 februari 2009 22:47

Topicstarter

Om te testen of ik het snap ga ik er nog 1 maken:

lim x --> oneidig
4x - 2x² + 17
----------------------
5x - 5x²

Even uitwerking

Lux.Architectuur | Van Dromen tot Wonen | www.Lux-a.nl

Acties:

Does not compute.

Als x -> +inf dan domineren hogere machten van x de uitdrukking over lagere machten.

Dus als x -> +inf, dan:
(4x - 2x^2 + 17) / (5x - 5x^2) --> 2x^2 / 5x^2

x^2 wegdelen, levert 2/5 (0.4) op als resultaat.

Het is ook te zien door steeds grotere getallen in te vullen. 10^10, 10^20, enz...

[ Voor 3% gewijzigd door Rannasha op 05-02-2009 22:47 ]

donderdag 5 februari 2009 22:56

Acties:

donderdag 5 februari 2009 23:17

Topicstarter

@ Species56181.

Ik was inderdaad begonnen met de getallen 10 , 20 enz.
Maar hoe jij hem oplost is veeel makkelijker. Ik kan het ook best goed volgen,
behalve wat je met de 4x en de + 17 doet. Waarom mag/kan je die zomaar weg laten.

Ik pak er gelijk nog een paar bij, om te kijken of jouw methode daar ook werkt.

Lux.Architectuur | Van Dromen tot Wonen | www.Lux-a.nl

Acties:

Andamanen

Trotse eilandengroep

Je ziet dat voor x --> oneindig de termen met een hoge macht van x veel sneller groeien dan de termen met een lagere macht. Voor steeds grotere getallen zullen deze termen niet meer belangrijk zijn en mag je ze weglaten.

donderdag 5 februari 2009 23:17

Acties:

_the_crow_

Rare vogel

Sowieso kan je zeggen dat de limiet naar oneindig gaat naar het quotiënt van de coëfficiënten van de term met de hoogste macht (mits gelijk). In dit geval dus -2/-5=2/5.

Bewijs:
1. f(x)=lim (2x⁴-6x+5) / (3x⁴+2x-1)

2. f(x)=lim (2-(6/x³)+(5/x⁴)) / lim(3+(2/x³-(1/x⁴))

3. f(x)=(2-0+0) / (3+0+0) = 2/3

1. Gegeven 'som'
2. lim A/B = lim A / lim B & alles delen door de hoogste graad van x
3. Limiet naar oneindig is nu simpel uit te rekenen, aangezien alle losse quotiënten naar 0 gaan als x naar oneindig gaat

battler schreef op donderdag 05 februari 2009 @ 22:56:
@ Species56181.

Ik was inderdaad begonnen met de getallen 10 , 20 enz.
Maar hoe jij hem oplost is veeel makkelijker. Ik kan het ook best goed volgen,
behalve wat je met de 4x en de + 17 doet. Waarom mag/kan je die zomaar weg laten.

Omdat die termen het hardst meetellen. Als je een enorm getal als 10^20 invult bijvoorbeeld. En die nog eens kwadrateert. Vergeleken bij het getal wat je dan krijgt, is 17 gewoon peanuts.

Schrödingers cat: In this case there are three determinate states the cat could be in: these being Alive, Dead, and Bloody Furious.

donderdag 5 februari 2009 23:35

Acties:

vrijdag 6 februari 2009 07:45

Topicstarter

ahhhhh logisch eigenlijk

Ik ben nog wel even bezig, maar zonder jullie uitleg was ik nooit zover gekomen.

thanx to all

Lux.Architectuur | Van Dromen tot Wonen | www.Lux-a.nl

Acties:

Verwijderd

Xqlusive schreef op donderdag 05 februari 2009 @ 21:47:
Het idee achter limieten is, zoals de naam het al zegt, de limiet te bereken waar x naar a loopt.

. . . .

Dit is het makkelijkst met de stelling van 'l hopital, al betwijfel ik of je daar wat aan hebt. je kan dan teller en noemer differentieren, dus dan krijg je 3x^2/2x, invullen geeft nu 12/4= 3

Als je een lange beschouwing niet leuk vind moet dit overslaan!

Als je de TS-opgaaf met L'Hospital regel oplost krijg je 3x²/2x zoals al aangegeven is en dat = 3x/2 en voor de waarde x=1 is het antwoord voor de limiet 3/2 =1,5 en niet het juiste antwoord 2,33333 voor de functie voor x=1

Dit heeft dus tot gevolg dat als de functie Lim---->x=1 {F(x)/G(x)} een direct te berekenen waarde heeft op x=1 dan is de uitkomst van Lim---->x=1 {dF/dG} voor x=1 niet gelijk aan de directe waarde voor de functie op x=1 . Dit verbaast me zeer! Ik kan me niet herinneren dat dit ooit in mijn wiskunde studies duidelijk is geworden en het lijkt me dat ik hier iets mist in mijn kennis van deze materie. Het lijkt er op te wijzen dat indien met directe invulling van x=1 er een antwoord geeft dat de L’Hospital Regel dan NIET gebruikt mag worden omdat het een onjuist antwoord uitbraakt. Dat lijkt tegenstrijdig.

Met een ander voorbeeld F=(x³-4)/(x²-1) geeft op x=1 duidelijk aan dat het antwoord niet mogelijk is voor x=1 maar met de L'Hospital Regel is het antwoord 3/2=1,5

Het antwoord voor de limiet voor F(1) = 1,5 klopt dus kennelijk niet als je de functie gaat benaderen met kleine stapjes in Excel zoals hieronder is uitgebeeld:

x. . . . . . . .. . .F(x)
1,2..........-5,163636364
1,1..........-12,70952381
1................4,5036E+15 <--- x heeft kennelijk een waarde niet gelijk aan 1 terwijk dit wel de input is!
0,9............17,21578947
0,8............9,688888889

Dit concludeer ik omdat als je x=1 direct in de functie invoert je het "delen door 0 bericht" krijgt en het antwoord als onbepaald wordt gekenmerkt, zoals we gewend zijn met delen door 0.

Gebruik je nu L'Hospital regel ====> krijg je 3x/2 en als resultaat is dat 1,5 zoals we verwachten:

1,2............1,8
1,1............1,65
1..............1,5
0,9............1,35
0,8............1,2

Als je nu de Excel-Test gaat uitvoeren met een kleiner decrement zie je in eerste instantie dat de waarden dicht bij x=1 alleen maar explosief hoog oplopen de dichter je bij x=1 komt. Het lijkt er dus op dat de limiet op geen enkele manier ooit 1,5 zal worden. In eerste instantie heb ik het decrement in the orde van 0,000000001 gezet en dichtbij x=1 kreeg ik getallen die eerst steeds groter werden en in de orde van -5,48335E+15 uitkwamen en dus dacht dat er niets van de L'Hospital Regel, klopte. . .maar ik was niet tevreden. . .Hoe kan die regel al honderd of meer jaar bestaan als ie niet juist was? Dus ging ik verder met het kleiner maken van het decrement en wat gebeurde er? De gigantische waarden dicht bij x=1 begonnen eerst te stijgen en warempel daarna een beetje te dalen en met het decrement op 12 nullen achter de komma kreeg ik het resultaat dat Excel de waarde van x niet meer kon weergeven anders dan het x=1 te noemen (ik kan de instelling iets veranderen naar me15 achter de komma of zo maar ergens houdt dat op) maar dat het wel in de berekening steeds kleiner werd en 1 benaderde, zodat de berekeningen nog steeds mogelijk waren:

1..............-7,47279E+12 decrement voor x_n=x_n+1-0,0000000000001
1..............-1,48797E+13
1..............-1,68885E+15 <-----Hier is x dicht bij 1
1 ............. <-----Hier ergens is x nog dichter bij 1
1..............1,51297E+13
1..............7,5311E+12
1..............5,01328E+12

Interessant hier is dat de functie eerst zeer sterk stijgt en + en -waarden om x=1 heen onbegrensd lijken te stijgen (zoals het in de typische grafieken voor degelijke functies uitgebeeld wordt: de waarde gaan naar onweindg groot lijkt het) maar dat met steeds dichter bij x=1 de functie-waarde daadwerkelijk begint te dalen! Dit blijkt uit het feit dat met het kleiner maken van het decrement de getallen net x>1 en net x<1 een steeds lagere absolute waarde krijgen! Nabij de waarde x=1 benaderd wordt ontstaat er convergentie en waar deze convergentie gaat eindigen kan je met middelen zoals Excel niet meer aantonen. De praktische rekenmethode om de limiet te vinden werk wel in principe maar er komt een punt dat de waarde van het decrement niet meer te hanteren is zodat er truncatie(het negeren van decimalen) optreedt en in de computer de waarde van het decrement 0 wordt zodat het de Ratio niet meer kan uitrekenen en dan het bericht #deel/0! geeft. In werkelijkheid is er geen sprake van delen door 0.

Hieruit volgt dat als je deze rekenkundige methode in gedachte voortzet met nog kleinere decrements dan blijkt het dat de functiewaarde voor x=1 daadwerkelijk naar een limiet lijkt convergeren. .. in dit geval moet we concluderen dat deze limiet werkelijk 1,5 is. . .niet alleen met de L'Hospital Regel maar ook met directe berekeningen indien ze uitgevoerd zouden kunnen worden met x-waarden willekeurig dichtbij x=1! Een interessant resultaat.

De betekenis hiervan is belangrijk: De typische conclusie die ik sinds 1970 tot vervelens toe op de universiteit geleerd heb, vanuit de mond van niet-de-minst-domme leraren, dat de waarde van de functie F(x=1) onbepaald is, OMDAT je niet door 0 kan delen. Op zich is dat wel waar als je 4/0 als voorbeeld gebruikt.

Maar nu komt de aap uit de mouw en ik herinner me dat als een functie bijvoorbeeld een uitkomst lijkt te hebben zoals 0/0 dit niet noodzakelijkerwijs een onbepaaldheid is en o.a. 1 kan zijn omdat het een weergave is van de functie y/x waar in de limiet beide getallen de zelfde waarde hebben. . .en dit geldt ook als beide getallen naar 0 convergeren. In feite is het dus zo dat de Ratio 0/0 = 1 gewoon waar is (voor bepaalde functies) en je kan dit desgewenst interpreteren as 0 delen door 0.

In de praktijk kan y/x resulteren in getallen die beide zo klein zijn dat we ze niet meer kunnen opschrijven en ze dus vanuit een praktische overwegen beide als 0 beschouwd worden. Hieruit word dan onjuist geconcludeerd dat "omdat je niet met 0 kan delen" de ratio y/x oneindig groot wordt, terwijl in werkelijkheid de waarde y/x in bepaald gevallen [b] begrensd blijft als y en x beide op het zelfde punt de waarde 0 krijgen. . .dus op het punt y=x=0------> y/x=0/0=1

Anderzijds, zoals we gezien hebben in het voorbeeld Lim_x-->1=1,5 kunnen y en x in de limiet x-----> 1 voor een functie F(x)/(x-1) uitmonden in een resultaat dat ondanks dat de waarde (x-1) nul benaderd je kan zeggen dat het met het gebruik van een decrement-reductie op x, de waarde (x-1) nooit nul wordt, ongeacht hoe dicht er bij je komt en dat daarmee de Ratio F(x)/(x-1) naar een willekeurig getal convergeert ondanks het feit dat het er op lijkt dat je door 0 aan het delen bent als je met praktische getallen werkt.

Dus bijvoorbeeld als voor de functie 3y/2x op het punt x=0 ook nog eens waar is dat y=x dan krijg je dus dat 3/2*0/0=3/2 als uitkomst ondanks dat x=0 waar is.

vrijdag 6 februari 2009 10:51

Acties:

blobber

Sol Lucet Omnibus

Verwijderd schreef op vrijdag 06 februari 2009 @ 07:45:
[...]

Als je een lange beschouwing niet leuk vind moet dit overslaan!

Als je de TS-opgaaf met L'Hospital regel oplost krijg je 3x²/2x zoals al aangegeven is en dat = 3x/2 en voor de waarde x=1 is het antwoord voor de limiet 3/2 =1,5 en niet het juiste antwoord 2,33333 voor de functie voor x=1

Volgens mij mag je L'Hopital alleen maar toepassen bij
Lim x-->x0 f(x)/g(x) waarbij zowel lim x->x0 f(x) = 0 als lim x->x0 g(x) = 0
(en lim x->x0 f'(x)/g'(x) bestaat)

En dat gaat in de TS opgave niet op, immers x-->1 (x³ -8) != 0 evenals x-->1 (x²-4) != 0

[ Voor 8% gewijzigd door blobber op 06-02-2009 10:56 ]

To See A World In A Grain Of Sand, And A Heaven In A Wild Flower, Hold Infinity In The Palm Of Your Hand, And Eternity In An Hour

vrijdag 6 februari 2009 12:16

Acties:

Does not compute.

Verwijderd schreef op vrijdag 06 februari 2009 @ 07:45:
... verhaal ...

Zoals hierboven ook al gepost, de regel van l'Hopital (eigenlijk de regel van Bernoulli, l'Hopital heeft hem betaald om een leuke stelling te bedenken) is alleen toepasbaar als zowel de teller als de noemer naar 0 gaan.

Daarnaast, de functie (x³ - 4) / (x² - 1) heeft *geen* limietwaarde als x -> 1. De teller is mooi continu en convergeert naar -3, maar de noemer gaat naar 0 en levert dus een discontinuiteit op. Enig "vreemd gedrag" in Excel-berekeningen zal komen door de eindige nauwkeurigheid waarmee Excel rekent.

Delen door 0 kan nooit. Het kan zijn dat een functie een limietwaarde heeft als de noemer naar 0 gaat, maar dit is niet hetzelfde als dat de functie een daadwerkelijke functiewaarde heeft in 0.

Neem als voorbeeld de, ietwat flauwe, functie f(x) = x / x. Deze functie gaat duidelijk naar 1 als x -> 0. (Voor de puristen, gegeven ε>0, kies δ=42, enz...). Maar de functiewaarde f(0) bestaat *niet*. Wat ik wel kan doen is een nieuwe functie definieren:
g(x) = f(x) als x != 0, g(x) = 1 als x = 0.
g(0) bestaat nu wel, maar alleen omdat ik expliciet de functiewaarde voor x=0 heb gedefinieerd (en omdat lim (x->0) g(x) = g(0), geldt dat g(x) continu is in 0).

vrijdag 6 februari 2009 13:49

Acties:

zaterdag 7 februari 2009 02:56

Verwijderd schreef op vrijdag 06 februari 2009 @ 07:45:

Dus bijvoorbeeld als voor de functie 3y/2x op het punt x=0 ook nog eens waar is dat y=x dan krijg je dus dat 3/2*0/0=3/2 als uitkomst ondanks dat x=0 waar is.

Dat is dus het hele idee achter limieten, een 0/0 vorm bestaat niet in dat punt, maar is wel te benanderen met een limiet, dit is dus NIET de uitkomst, maar een benadering (belangrijk verschil).

Van een a/x vorm (waar x = 0) is er geen unieke limietoplossing, je kan echter wel de limiet uitrekenen waar x naar 0+ of 0- toeloopt, dus van van boven dicht naar 0 en van onderen (0.0000001 & -0.00000001). Je zal zien dat hier dan een verticale asymtoot ontstaat waarbij de benadering van onderen min oneindig is, en de benadering van boven + oneindig.

De functie 3y/2x is eigenlijk natuurlijk gewoon 3x/2x, want je hebt zelf gesteld dat y=x. Als echter y & x beide variabelen zijn, dan heb je dus de functie: f(x,y)=3y/2x

De limiet in (0,0) hiervan bestaat niet, want als je deze limiet benaderd over de x-as, dus y = 0, dan is deze functie 0. Als je de functie over de y-as benaderd (x=0) dan bestaat de functie niet, en als je hem benaderd in x=y, dan is de functie 3/2. Dit betekent dat de limiet vanuit verschillende richtingen verschillende waardes benaderd, wat dus betekent dat de limiet niet bestaat.

[ Voor 25% gewijzigd door Xqlusive op 06-02-2009 20:15 ]

Acties:

Verwijderd

blobber schreef op vrijdag 06 februari 2009 @ 10:51:
[...]

Volgens mij mag je L'Hopital alleen maar toepassen bij
Lim x-->x0 f(x)/g(x) waarbij zowel lim x->x0 f(x) = 0 als lim x->x0 g(x) = 0
(en lim x->x0 f'(x)/g'(x) bestaat)

Deze beperking lijkt wel zo te zijn maar ik had het nooit geleerd(of in ben het vergeten!) Zoals ik zelf al opmerkte kan 0/0 als resultaat van een limiet dus een willekeurig getal zijn.

En dat gaat in de TS opgave niet op, immers x-->1 (x³ -8) != 0 evenals x-->1 (x²-4) != 0

Je stelt dus dat voor functies f(x)/g(x) waarvoor de waarde van g(x) voor de situatie lim x->x=n g(n) = niet 0 is
dat de L'Hospital regel niet van toepassing is omdat dan de limiet direct berekend kan worden. OK dat lijkt zo te zijn als je het probeert toe te passen en de TS functie is er een demonstratievoorbeeld van.

De vraag is dus wat de formele basis is voor het wel of niet toepassen van de L'Hospital regel.

@Spicies5618

Je hebt uiteraard gelijk dat delen door 0 een onbepaaldheid oplevert maar de expressie 0/0 betekend in principe niet "delen door 0" maar een ratio van twee getallen die ongeacht hoe klein ze zijn een bepaalde verhouding hebben. In dat geval is de expressie x/x geen deling maar een ratio net zoals 3x/x =3 en een constante is, ook voor x=0. Om dit te vergelijken met een operatie wat we "delen" noemen is niet terecht omdat "delen" iets anders is dan het definiëren van een ratio tussen getallen en de ratio tussen de twee getallen met waarde 0 is 1

Maar met een beetje fantasie kan je delen "door 0" wel verantwoorden door een getal in stukjes te verdelen die allemaal de waarde 0 hebben. Het resultaat is eenvoudigweg dat het een onbepaaldheid oplevert. Door het zo te definiëren kan het mag het ook als je maar het resultaat begrijp. Niemand die je het gaat verbieden!

In formele operaties (al dan niet met computers) kan je en mag je eenvoudigweg een 0 als deler invoeren. Het resultaat is duidelijk dat of de machine er geen raad mee weet of dat er een antwoord zoals #deel/0! geprogrammeerd is. . . .in dat geval wee je dus wat er gaande is. Speciaal als je een complexe analyse van een engineering vraagstuk uitvoert gebeurd het vaak dat je van te voren niet weet dat voor een 0-waarde van een variabele er een constructieve situatie verondersteld wordt die in werkelijkheid niet mogelijk is. . .een scherpe punt belasten. . .in dat geval gaat de punt zich in werkelijkheid op elk oppervlak indringen met zelfs een lage last maar in de het theoretische model zal de druk o het punt onbegrensd stijgen. . .in de analyse mag dat en dat gebeurt gewoon. . het theoretische antwoord geeft alleen maar aan dat het ontwerp nog niet volmaakt is.

De interessante vraag is nog steeds hoe L'Hospital [Bernoulli dus :-) ] kon bewijzen dat de regel alleen geldt als in f(x)/g(x) beide functies in de limiet x-->n naar 0 gaan. . .ik neem even aan dat voor x elk willekeurig getal als limietwaarde gebruikt kan worden. . .bijvoorbeeld lim x---> 3 voor (2x³-52)(x^-1-1/3).

Ik vermoed dat het een gevolg is van het feit dat als beide functies als ze een 0-waarde hebben hun differentialen een bepaalde waarde hebben die doorgaans niet-0 zijn maar hoe dat herleid kan worden naar de conclusie dat de ratio of de functie dan gelijk zal zijn aan de ratio van de differentialen. Dus:

lim x--->n f(x)/g(x) = df(n)/dg(n) . . . (A)

en als de differentiaal g(n) 0 is doe je de differentiëring nog een keer.

Wat is hier het fundamentele principe dat de gelijkheid (A) bewijst?

zaterdag 7 februari 2009 04:27

Acties:

Verwijderd

Xqlusive schreef op vrijdag 06 februari 2009 @ 13:49:
[...]

Dat is dus het hele idee achter limieten, een 0/0 vorm bestaat niet in dat punt, maar is wel te benaderen met een limiet, dit is dus NIET de uitkomst, maar een benadering (belangrijk verschil).

Daar ben ik het niet mee eens. Het begrip "bestaan" voor wiskundige relaties is totaal iets anders dan voor objecten in de materiele weren. Je kan stellen dat Kabouter Spillebeen niet bestaat. . .of dat god niet bestaat. . .noem maar iets. In de wiskunde is het veelal een beoordeling c.q. een definitie t.a.z.v. het resultaat van een operatie. Als je voor een ratio functie het resultaat voor x=n 0/0 verkrijgt is het een tegenstrijdigheid om te zeggen dat 0/0 niet bestaat. . je ziet het toch dat het bestaat en het kan elk willekeurig getal zijn. Waar het hier over gaat bewijst dat 0/0 bestaansrecht heeft omdat je met L'Hospital regel je kan berekenen wat het precies is. Dat we de voor ratio 0/0 als we alsnog niet weten welke waarde het heeft voor de specifieke functie waar het uit is ontstaan houd niet in dat het niet bestaat. . . het bestaat als wiskundig begrip wel degelijk en we noemen het onbepaald omdat we nog niet weten welke waarde het heeft. . .net zo goed als we een getal delen met een klein getal zodat de uitkomst 100¹⁰⁰⁰ is, vanuit een praktische benadering met welke computer dan ook geeft het de uitkomst #delen/0 als de deler te klein is om te kunnen registreren. Om te zeggen dat 5/0 niet bestaat is een ontkenning van het begrip oneindigheid dat in de wiskunde zowel al er buiten bestaansrecht heeft.. . je moet er alleen in een niet-tegenstrijdige manier mee kunnen omgaan. Voor veel mensen bestaat (-5)^1/2 ook niet maar we kunnen er inmiddels wel mee omgaan.

Van een a/x vorm (waar x = 0) is er geen unieke limietoplossing, je kan echter wel de limiet uitrekenen waar x naar 0+ of 0- toeloopt, dus van boven dicht naar 0 en van onderen (0.0000001 & -0.00000001). Je zal zien dat hier dan een verticale asymtoot ontstaat waarbij de benadering van onderen min oneindig is, en de benadering van boven + oneindig.

Akkoord. Dat is bekend. . .in mijn geknutsel met Excel heb ik dat even over het hoofd gezien en niet er aan gedacht dat de noemer –4 werd op x=0

De functie 3y/2x is eigenlijk natuurlijk gewoon 3x/2x, want je hebt zelf gesteld dat y=x. Als echter y & x beide variabelen zijn, dan heb je dus de functie: f(x,y)=3y/2x.

Het was mijn bedoeling duidelijk te maken dat y=x ALLEEN op het punt x=0. Dit is aantoonbaar met het eenvoudige geval voor een functie f(x) die op waarde x=0 een waarde van 0 heeft. . .dus door het punt (0,0) loopt. Op het punt (0,0) "bestaat" de wiskundige relatie 0/0 en is berekenbaar met de L'Hospital regel.

De limiet in (0,0) hiervan bestaat niet, want als je deze limiet benaderd over de x-as, dus y = 0, dan is deze functie 0. Als je de functie over de y-as benaderd (x=0) dan bestaat de functie niet, en als je hem benaderd in x=y, dan is de functie 3/2. Dit betekent dat de limiet vanuit verschillende richtingen verschillende waardes benaderd, wat dus betekent dat de limiet niet bestaat.
[/quote] Wat je hier doet is kennelijk iets anders dan wat ik doe. Voor de ratio y(x)/x is de x een getal in het x,y getallen stelsel en als je x van zeg x= -1 naar +1 . . .onder de voorwaarde dat voor dit bereik voor x de functie y(x) gedefinieerd is. . . .laat lopen van loopt y(x) ook door het punt (0,0) omdat ik gedefinieerd heb dat op dat punt y=x van toepassing is. . .x en y(x) bereiken (0,0) op het zelfde moment and de ratio y(x)/x is dus altijd gedefinieerd en op x=0 ontstaat de ratio 0/0=1. . .op elke andere waarde van x dan 0 kan de ratio y/x een willekeurig getal zijn. De limiet van y(x)/x voor x----->0 is een getal en in dit geval is 0/0=1 is van toepassing. Uiteraard voor de functie 3y/2x, indien op (0,0) y=x van toepassing is is de waarde op (0,0) 3/2 maar dat hoeft voor een algemene functie y(x)/x niet zo te zijn.

Ik moet nu even een uiltje gaan knappen

zaterdag 7 februari 2009 12:24

Acties:

Verwijderd

Hooglander1 schreef op donderdag 05 februari 2009 @ 22:08:
Sterker nog als je x gewoon kan invullen met het getal, dan is dat je limiet. Je hoeft pas trucs toe te passen als de oplossing niet direct bestaat. Delen door 0 en dergelijken.

Dit is niet waar... tegenvoorbeeld

f(x) = 10000 als x = 37
= 0 anders

wat is nu lim{x -> 37} f(x) ?

Verwijderd schreef op zaterdag 07 februari 2009 @ 04:27:
is het een tegenstrijdigheid om te zeggen dat 0/0 niet bestaat. . je ziet het toch dat het bestaat en het kan elk willekeurig getal zijn. Waar het hier over gaat bewijst dat 0/0 bestaansrecht heeft omdat je met L'Hospital regel je kan berekenen wat het precies is. Dat we de voor ratio 0/0 als we alsnog niet weten welke waarde het heeft voor de specifieke functie waar het uit is ontstaan houd niet in dat het niet bestaat. . . het bestaat als wiskundig begrip wel degelijk en we noemen het onbepaald omdat we nog niet weten welke waarde het heeft. . .net zo goed als we een getal delen met een klein getal zodat de uitkomst 100¹⁰⁰⁰ is, vanuit een praktische benadering met welke computer dan ook geeft het de uitkomst #delen/0 als de deler te klein is om te kunnen registreren.

Delen door nul kan niet. Je maakt enkele hele vreemde gedachtesprongen. Als 0/0 voor elke functie wat anders is, is het dus niet goed-gedefinieerd... Stel 0/0 = 2, dan zou 2*(0/0) = 2*2 = 0/0 = 4. Huh? Hoe kan dat? Nou precies, omdat het niet goed-gedefinieerd is. Het begrip "bestaansrecht" zul je nader moeten toelichten. Zie ook deze tekst voor meer uitleg waarom je niet door 0 kan delen.

De limiet van y(x)/x voor x----->0 is een getal en in dit geval is 0/0=1 is van toepassing. Uiteraard voor de functie 3y/2x, indien op (0,0) y=x van toepassing is is de waarde op (0,0) 3/2 maar dat hoeft voor een algemene functie y(x)/x niet zo te zijn.

Zoek echt eens op wat limieten zijn, de functie f(x,y) = 3y/2x heeft geen limiet als (x,y) -> (0,0).

[ Voor 67% gewijzigd door Verwijderd op 07-02-2009 12:33 . Reden: aanvulling ]

zaterdag 7 februari 2009 13:41

Acties:

zaterdag 7 februari 2009 13:58

Verwijderd schreef op zaterdag 07 februari 2009 @ 12:24:
[...]

Dit is niet waar... tegenvoorbeeld

f(x) = 10000 als x = 37
= 0 anders

wat is nu lim{x -> 37} f(x) ?

Waarom zou je hier de limiet bepalen, hier kan je gewoon de waarde 37 invullen toch? Als je hier de limiet van gaat proberen te nemen zou je op 0 uit komen, want je hoe dicht je ook naar 37 gaat je komt er nooit, en deze functie is alleen 10000 op exact 37.

Maar dit is toch het hele punt wat hooglander1 probeert te maken? Hier is het gewoon mogelijk om de waarde in te vullen dus is een limiet niet nodig? Of zie ik nu iets verkeerd en probeer je wat anders duidelijk te maken?

Acties:

Verwijderd

Xqlusive schreef op zaterdag 07 februari 2009 @ 13:41:
[...]

Waarom zou je hier de limiet bepalen, hier kan je gewoon de waarde 37 invullen toch? Als je hier de limiet van gaat proberen te nemen zou je op 0 uit komen, want je hoe dicht je ook naar 37 gaat je komt er nooit, en deze functie is alleen 10000 op exact 37.

Maar dit is toch het hele punt wat hooglander1 probeert te maken? Hier is het gewoon mogelijk om de waarde in te vullen dus is een limiet niet nodig? Of zie ik nu iets verkeerd en probeer je wat anders duidelijk te maken?

Inderdaad is het in dit voorbeeld mogelijk. Mijn punt was dat de bewering in het algemeen niet geldt.

zaterdag 7 februari 2009 14:29

Acties:

zaterdag 7 februari 2009 14:47

Verwijderd schreef op zaterdag 07 februari 2009 @ 13:58:
[...]

Inderdaad is het in dit voorbeeld mogelijk. Mijn punt was dat de bewering in het algemeen niet geldt.

Op die manier, je bedoelt dus dat de direct ingevulde waarde NIET altijd gelijk hoeft te zijn aan de limiet van diezelfde waarde. Wat je voorbeeld idd bewijst.

Acties:

dinsdag 10 februari 2009 06:44

Verwijderd schreef op zaterdag 07 februari 2009 @ 04:27:
[...]

Daar ben ik het niet mee eens. Het begrip "bestaan" voor wiskundige relaties is totaal iets anders dan voor objecten in de materiele weren. Je kan stellen dat Kabouter Spillebeen niet bestaat. . .of dat god niet bestaat. . .noem maar iets. In de wiskunde is het veelal een beoordeling c.q. een definitie t.a.z.v. het resultaat van een operatie. Als je voor een ratio functie het resultaat voor x=n 0/0 verkrijgt is het een tegenstrijdigheid om te zeggen dat 0/0 niet bestaat. . je ziet het toch dat het bestaat en het kan elk willekeurig getal zijn. Waar het hier over gaat bewijst dat 0/0 bestaansrecht heeft omdat je met L'Hospital regel je kan berekenen wat het precies is.

Klopt niet, je kan met limieten (waar 'l hopital onderdeel van is), de waarde bepalen die hij benaderd, niet wat het precies is!

Dat we de voor ratio 0/0 als we alsnog niet weten welke waarde het heeft voor de specifieke functie waar het uit is ontstaan houd niet in dat het niet bestaat. . . het bestaat als wiskundig begrip wel degelijk en we noemen het onbepaald omdat we nog niet weten welke waarde het heeft

het heet in deze onbepaald omdat de exacte waarde niet te bepalen is, enkel de limietwaarde (benaderingswaarde)

. . .net zo goed als we een getal delen met een klein getal zodat de uitkomst 100¹⁰⁰⁰ is, vanuit een praktische benadering met welke computer dan ook geeft het de uitkomst #delen/0 als de deler te klein is om te kunnen registreren.

Hier deel je niet door 0, maar door iets heel kleins, dit heeft WEL een exacte waarde, hoe groot deze ook is, dit is exact te bepalen

Om te zeggen dat 5/0 niet bestaat is een ontkenning van het begrip oneindigheid dat in de wiskunde zowel al er buiten bestaansrecht heeft.

Hier gebruik je juist het begrip oneindigheid, 0 is oneindig klein, dus 5/0 wordt ook oneindig positief of negatief (0+, 0-)

,.. . je moet er alleen in een niet-tegenstrijdige manier mee kunnen omgaan. Voor veel mensen bestaat (-5)^1/2 ook niet maar we kunnen er inmiddels wel mee omgaan.

Imaginaire getallen is een heel verhaal apart, en hebben eigenlijk helemaal niks met deze discussie te maken.

[...]
Het was mijn bedoeling duidelijk te maken dat y=x ALLEEN op het punt x=0. Dit is aantoonbaar met het eenvoudige geval voor een functie f(x) die op waarde x=0 een waarde van 0 heeft. . .dus door het punt (0,0) loopt. Op het punt (0,0) "bestaat" de wiskundige relatie 0/0 en is berekenbaar met de L'Hospital regel.

[/quote] Wat je hier doet is kennelijk iets anders dan wat ik doe. Voor de ratio y(x)/x is de x een getal in het x,y getallen stelsel en als je x van zeg x= -1 naar +1 . . .onder de voorwaarde dat voor dit bereik voor x de functie y(x) gedefinieerd is. . . .laat lopen van loopt y(x) ook door het punt (0,0) omdat ik gedefinieerd heb dat op dat punt y=x van toepassing is. . .x en y(x) bereiken (0,0) op het zelfde moment and de ratio y(x)/x is dus altijd gedefinieerd en op x=0 ontstaat de ratio 0/0=1. . .op elke andere waarde van x dan 0 kan de ratio y/x een willekeurig getal zijn. De limiet van y(x)/x voor x----->0 is een getal en in dit geval is 0/0=1 is van toepassing. Uiteraard voor de functie 3y/2x, indien op (0,0) y=x van toepassing is is de waarde op (0,0) 3/2 maar dat hoeft voor een algemene functie y(x)/x niet zo te zijn.

Waar je hier allemaal mee bezig bent slaat volgens mij helemaal de plank mis.

Ik zal even proberen te begrijpen wat je hier doet:

Je hebt een functie y=f(x)

daar stel je dat op x=0 y=0, dus een functie door de oorsprong.

Nou bepaal je het quotient van f(x)/x

wat dus 0/0 is, nu ben jij van mening dat dit een limiet is van de vorm 0/0 dus mag je 'l hopital toepassen

Grote onzin natuurlijk, want de limiet in het punt 0 is 0, dat heb je immers zelf gedefineerd.

Het is ook nog op een andere manier te interpreteren, dus een functie z=f(x,y) ,een functie van 2 variabelen (dus een functie in de r^3)

Als je hier stelt op x=0 y=x=0 slaat dat nergens op, dit is gewoon een coordinaat in het xy-vlak wat gewoon bestaat en misschien een waarde heeft in z.

Je kan hier natuurlijk ook de limiet bepalen in het punt (0,0), dus de oorsprong. Bij de functie z=f(x,y)=3y/2x bestaat de limiet van x,y--> 0,0 niet omdat vanuit verschillende richtingen uit het xy-vlak verschillende benaderingswaardes voor z worden gevonden.

[ Voor 255% gewijzigd door Xqlusive op 07-02-2009 15:47 ]

Acties:

Verwijderd

We zullen het misschien nooit eens worden.

Xqlusive schreef op zaterdag 07 februari 2009 @ 14:47:
[bestaan van exacte waarden voor 0/0]
Klopt niet, je kan met limieten (waar 'l hopital onderdeel van is), de waarde bepalen die hij benaderd, niet wat het precies is!

Het klopt als een bus, maar ik weet niet hoe een bus klopt. Desondanks kan je met die uitdrukking aangeven dat waar je over praat op een exacte manier uitgelegd kan worden als je de essentie van iets begrijpt. Voor een functie ratio f/g die op 0/0 uitkomt voor x----> n is het 100% mogelijk de exacte waarde van f(n)/g(n) = 0/0 te bepalen door df(n)/dg(n) te bepalen voor x=n. De betekenis hiervan ontgaat de meeste mensen misschien: het betekend dat als x----> n de gradiënten van de functies een bepaalde waarde ten opzichte van elkaar krijgen. Indien de gradiënten van f en g gelijk zijn op x=n dan geeft de ratio f(n)/g(n)=0/0 =1, De gradiënten kunnen ook verschillende waarden krijgen. . .f(n) = 3 en g(n) =1 en dus is the waarde van f(n)/g(n)= 3 precies 3 op x=n. De waarde van n kan net zo goed 0 zijn. . het maakt niets uit of je een limiet van functies bereikt door x=n in te voeren of x=0 in te voeren The limiet van een functie is vaak een exacte waarde. Soms is the limiet onbegrensd en dat is het geval als de waarde van x=n ingevoerd word de functie f een constante is op het punt dat de functie g op x=n gelijk aan 0 is. Je hebt dan een bestaande begrip “oneindigheid” gedefinieerd. Oneindigheid bestaat als een begrip in de wiskunde. . .niet als een getal maar als onbegrensdheid ∞. Het is onjuist om te zeggen 3/0= ∞ omdat oneindigheid geen getal is maar het is wel juist om te schrijven 3/x [x---> 0] ----> ∞ en ∞ bestaat in de wiskunde. In deze is het zeker niet de bedoeling van de expressie ---à om x alleen maar 0 te laten benaderen maar juist om het daadwerkelijk de 0 te laten bereiken en als je dat doet is de functie onbegrensd (∞.) geworden terwijl x=0 bereikt is. Ik heb de school van onbegrensde mogelijkheden gevolgd

[. . .f(y=x)/x voor x=0 geeft f(0)/0 = 1. . .]

Ik zal even proberen te begrijpen wat je hier doet:

Je hebt een functie y=f(x)

daar stel je dat op x=0 y=0, dus een functie door de oorsprong.

Ja!

Nou bepaal je het quotient van f(x)/x

Waarom is dat moeilijk voor je? Het is louter een eenvoudige vorm van f(x)/g(x). Dat dat kan is toch volstrekt duidelijk? Als ik een functie g(x) = (x+1) kan bedenken dan ben ik slim genoeg om q(x) = {g(x) -1} te kunnen bedenken. Ik ben niet slim genoeg om alle zaken van de wiskunde te begrijpen maar het bedenken van y(x)/x was een fluitje van een cent. . nee, het was nog veel gemakkelijker!

wat dus 0/0 is, nu ben jij van mening dat dit een limiet is van de vorm 0/0 dus mag je 'l hopital toepassen

Nee je snapt nog niet wat ik deed. Daar kan je iets aan doen door wat ik hierboven uitgelegd heb nader te beschouwen als een algemene functie-ratio. Omdat op x= 0 er geen definitief antwoord direct te berekenen is kan je twee dingen doen:

1 Je probeert een grafiek te maken (met of zonder Excel) en dan zal je zien dat er voor (y=x)/x, voor x--->0 vanuit + ε of - ∞ het antwoord 0/0 voor (y=x=0)/0 krijgt en dat de ratio precies 1 is. .. ook voor x=0.
2 Je probeert de L’Hospital regel te gebruiken en dan krijg je (dy/dx)/dx = dx/dx =1 op het punt x=0. Dit is uiteraard triviaal maar als je het niet wist is het toch een juiste voorstelling van zaken. Het is niet een questi van benadering meer maar je weet dat met 0/0 precies op x=y=0 zit.

Het feit dat (y=x)/x een triviaal voorbeeld is van y(x)/g(x) doet er niets aan af. Je kan met deze methode ontdekken dat 0/0 precies 4 kan zijn. Je moet alleen weten dat voor elke functie ratio 0/0 een uniek getal kan zijn. Omdat je in het voorbeeld bij voorbaat al weet dat 0/0=1 hiervoor geldt doet niets af aan het principe: 0/0 kan een exacte waarde vertegenwoordigen!

Grote onzin natuurlijk, want de limiet in het punt 0 is 0, dat heb je immers zelf gedefineerd.

Jammer dat je het eerst niet snapte. Nu snap je het uiteraard wel dat 0/0 niet altijd onbepaald of onbegrend is. Je moet echter niet op een knullige manier het resultaat f(0)/g(0) = 0/0 veralgemeniseren en dan een
onterecht voorbeeld gebruiken door de draak te steken met 0/0=1 en 0/0=4 dus 4=1

Dergelijke grapjes kan je ook doen met o.a. deze mooie functie-ratio (of met complexe logs):

(3y-8) = (y³ +7)/(y-x). . . 1

en dat te vereenvoudigen tot

(y-x)*(3y-8) = y³ +7

Nu zijn y en x onafhankelijke variabelen in het (y,x) domein.

Nu geldt voor een bepaalde situatie y=x=2 zodat

0=8+7 = 15. . . . $_/-\o_$ als je het snapt.

als je het niet snapt.

Je zou het vraagstuk kunnen oplossen indien er een functie tussen x en y bestaat y=f(x), dan kan je de substitutie uitvoeren en dan krijg je, voor zover y niet gelijk aan x is, voor (1) een valide functie:

z(x) = g(x)/q(x)

met een algemene waarde. Zodra y=x van toepassing is kan het gebeuren dat z(x)= 0/0=g(x)/q(x). De exacte waarde van z(x) kan je vaak vinden met de L'Hospital regel, maar soms ook niet.

dinsdag 10 februari 2009 10:11

Acties:

Does not compute.

Verwijderd schreef op dinsdag 10 februari 2009 @ 06:44:
Dergelijke grapjes kan je ook doen met o.a. deze mooie functie-ratio (of met complexe logs):

(3y-8) = (y³ +7)/(y-x). . . 1

en dat te vereenvoudigen tot

(y-x)*(3y-8) = y³ +7

Nu zijn y en x onafhankelijke variabelen in het (y,x) domein.

Nu geldt voor een bepaalde situatie y=x=2 zodat

0=8+7 = 15. . . . $_/-\o_$ als je het snapt. als je het niet snapt.

Deze vergelijking is niet gedefinieerd op de lijn x = y. Enige uitspraken over de vergelijking *op* deze lijn hebben dan ook geen enkele wiskundige betekenis.

Wat je niet realiseert is dat er een groot verschil is tussen:
- de limiet van x -> n van f(x) bestaat en is C
en
- de functiewaarde van f(x) in x = n is C.

Voor de meeste functies en punten zijn deze 2 begrippen gelijk (dit is de definitie van continuiteit). Maar er zijn ook heel wat situaties waar dit absoluut niet zo is. Een functie kan een limiet hebben in een punt waar deze niet gedefinieerd is. Bijvoorbeeld f(x) = (x³ - 1) / (x² - 1). Deze functie heeft geen functiewaarde als x=1. Echter kunnen we wel de limiet uitrekenen voor x -> 1. Mbv de regel van l'Hopital vinden we dat deze limietwaarde 1 is.

Eventueel kunnen we nu een nieuwe functie, g(x), definieren die voor x != 1 gelijk is aan f(x) en op x = 1 gelijk is aan 1. In veel gebieden waar wiskunde als hulpmiddel toegepast wordt (natuurkunde, scheikunde, diverse technische richtingen) wordt deze laatste constructie vaak impliciet gedaan en wordt automatisch aangenomen dat f(x) = g(x) voor alle x. Binnen de pure wiskunde is dit echter niet zo.

Om diezelfde reden heeft ook 0/0 in de wiskunde geen waarde, hoewel aan deze uitdrukking in andere vakgebieden soms impliciet een waarde wordt toegekend dmv een limiet-constructie.

dinsdag 10 februari 2009 10:23

Acties:

mr_obb

Lakse Perfectionist

Verwijderd schreef op dinsdag 10 februari 2009 @ 06:44:
Het klopt als een bus, maar ik weet niet hoe een bus klopt.

offtopic:
Daarom is het ook: "Het klopt als een zwerende vinger." of "Het sluit als een bus.". Het klopt als een bus is een lelijke contaminatie...

dinsdag 10 februari 2009 11:57

Acties:

Verwijderd

mr_obb schreef op dinsdag 10 februari 2009 @ 10:23:
[...]

offtopic:
Daarom is het ook: "Het klopt als een zwerende vinger." of "Het sluit als een bus.". Het klopt als een bus is een lelijke contaminatie...

Now zeg, dat is ten minste nuttige informatie! Ik ben al weer 23 jeer terug in Nederland nu pas hoor ik dit.
Bedankt! Ik kan weer verder!
Mijn Nederlands wordt beetje bij beetje iets beters

dinsdag 10 februari 2009 13:10

Acties:

woensdag 11 februari 2009 02:00

Verwijderd schreef op dinsdag 10 februari 2009 @ 06:44:
We zullen het misschien nooit eens worden.

[...]
Het klopt als een bus, maar ik weet niet hoe een bus klopt. Desondanks kan je met die uitdrukking aangeven dat waar je over praat op een exacte manier uitgelegd kan worden als je de essentie van iets begrijpt. Voor een functie ratio f/g die op 0/0 uitkomt voor x----> n is het 100% mogelijk de exacte waarde van f(n)/g(n) = 0/0 te bepalen door df(n)/dg(n) te bepalen voor x=n. De betekenis hiervan ontgaat de meeste mensen misschien: het betekend dat als x----> n de gradiënten van de functies een bepaalde waarde ten opzichte van elkaar krijgen. Indien de gradiënten van f en g gelijk zijn op x=n dan geeft de ratio f(n)/g(n)=0/0 =1, De gradiënten kunnen ook verschillende waarden krijgen. . .f(n) = 3 en g(n) =1 en dus is the waarde van f(n)/g(n)= 3 precies 3 op x=n. De waarde van n kan net zo goed 0 zijn. . het maakt niets uit of je een limiet van functies bereikt door x=n in te voeren of x=0 in te voeren The limiet van een functie is vaak een exacte waarde. Soms is the limiet onbegrensd en dat is het geval als de waarde van x=n ingevoerd word de functie f een constante is op het punt dat de functie g op x=n gelijk aan 0 is. Je hebt dan een bestaande begrip “oneindigheid” gedefinieerd. Oneindigheid bestaat als een begrip in de wiskunde. . .niet als een getal maar als onbegrensdheid ∞. Het is onjuist om te zeggen 3/0= ∞ omdat oneindigheid geen getal is maar het is wel juist om te schrijven 3/x [x---> 0] ----> ∞ en ∞ bestaat in de wiskunde. In deze is het zeker niet de bedoeling van de expressie ---à om x alleen maar 0 te laten benaderen maar juist om het daadwerkelijk de 0 te laten bereiken en als je dat doet is de functie onbegrensd (∞.) geworden terwijl x=0 bereikt is. Ik heb de school van onbegrensde mogelijkheden gevolgd

Op dit stuk hierboven heb ik niks aan te merken, daar zijn we het iig over eens

Wat ik echter bedoelde, en wat misschien niet helemaal goed overkwam, is dat de uitkomst van een limiet zoals je al zegt wel een exacte waarde kan hebben, maar dit is dan dus de waarde die de limiet benaderd als je oneindig dicht in de buurt zit. Het betekent niet dat deze waarde ook daadwerkelijk bestaat in dat punt. Je kan er wel mee verder rekenen, als je maar in je achterhoofd houd dat dit dus een limiet is. Volgens mij zijn we het hier beide wel over eens toch?

Nu de rest van je verhaal wat ik nog steeds erg vaag vind....

Zou je van elk punt dat ik zeg kunnen aangeven of ik nog goed ga of niet?

Ten eerste die ratio functie waar je het de hele tijd over hebt, is dit nou een functie van 1 onafhankelijke variabele of van 2?

Zoals ik het begrijp uit jou verhaal moet het wel een functie met 1 onafhankelijke variabele zijn, anders is l'hopital niet toe te passen volgens mij.

Dus we hebben een functie g(x)= y(x) / f(x)

Dus 2 functies van x welke beide door de oorsprong gaan? ( f(0)=0, g(0)=0 )

Hier kan je 'l hopital op toepassen want het is een 0/0 vorm. Hier kan dus een limietwaarde uitkomen, dit kan idd elke waarde zijn die je maar wil, dat heb ik ook nooit ontkent, dat is juist het hele idee achter lmieten.

Volgens mij weten we beide wel hoe het werkt, echter vind ik je manier van uitleggen soms een beetje cryptisch waardoor ik dingen verkeerd interpreteer (niet dat ik zo duidelijk ben altijd

)

Ik vatte jou voorbeeld op als een functie y=f(x) waar f(x)=g(x) / h(x), nu stelde jij x en y op 0, dit vond ik nogal vreemd omdat y de afhankelijke variabele is van x. Als je nu de dus de limiet wil bepalen dan zoek je dus eigenlijkde waarde van y welke je net op 0 gesteld had. Echter neem ik aan dat jij bedoelde dat g(x) en h(x) beide 0 zijn....

Daarom vatte ik het op als een functie van 2 onafhankelijke variabelen x en y met uitkomst in z waardoor we nogal langs elkaar heen praatten volgens mij.

Nou over dit stukje:

Dergelijke grapjes kan je ook doen met o.a. deze mooie functie-ratio (of met complexe logs):

(3y-8) = (y3 +7)/(y-x). . . 1

en dat te vereenvoudigen tot

(y-x)*(3y-8) = y3 +7

Nu zijn y en x onafhankelijke variabelen in het (y,x) domein.

Nu geldt voor een bepaalde situatie y=x=2 zodat

0=8+7 = 15. . . . als je het snapt. als je het niet snapt.

Je zou het vraagstuk kunnen oplossen indien er een functie tussen x en y bestaat y=f(x), dan kan je de substitutie uitvoeren en dan krijg je, voor zover y niet gelijk aan x is, voor (1) een valide functie:

z(x) = g(x)/q(x)

met een algemene waarde. Zodra y=x van toepassing is kan het gebeuren dat z(x)= 0/0=g(x)/q(x). De exacte waarde van z(x) kan je vaak vinden met de L'Hospital regel, maar soms ook niet.

Je geeft hier 2 functies welke je aan elkaar gelijk stelt. f(x,y)=(3y-8) & g(x,y)=(y3 +7)/(y-x)

Dit is zoals je zelf zegt een functie van 2 onafhankelijke variabelen (dus met uitkomst in de r^3, en nu kijk je in het coordinaat (2,2) en blijkt de ene functie 0 te zijn, en de andere 15, dit is toch helemaal niet vreemd, dit is dus duidelijk een coordinaat waar de functies niet kruisen.

Je wilt dus vinden waar die functies elkaar kruisen, dus welke combinaties van x & y 0 als uitkomst geven. Je wilt hier een relatie tussen x & y vinden, dus y als functie van x schrijven. Je zou dus nu voor elke x coordinaat het bijbehorende y coordinaat vinden waar de functies elkaar kruisen, klopt dat?

[ Voor 41% gewijzigd door Xqlusive op 10-02-2009 18:19 ]

Acties:

Verwijderd

Xqlusive schreef op dinsdag 10 februari 2009 @ 13:10:
[...]
Op dit stuk hierboven heb ik niks aan te merken, daar zijn we het iig over eens Wat ik echter bedoelde, en wat misschien niet helemaal goed overkwam, is dat de uitkomst van een limiet zoals je al zegt wel een exacte waarde kan hebben, maar dit is dan dus de waarde die de limiet benaderd als je oneindig dicht in de buurt zit.

Het is niet alleen een zaak van benaderen maar op het punt x=n waar beide functies in f(n)/g(n) een waarde van 0 hebben is x=n precies op. Je kan x naar waarde n laten lopen op elke denkbare manier. Het is geen benadering en de waarde van het resultaat f(n)/g(n)=0 is een exacte waarde.

Het betekent niet dat deze waarde ook daadwerkelijk bestaat in dat punt. Je kan er wel mee verder rekenen, als je maar in je achterhoofd houd dat dit dus een limiet is. Volgens mij zijn we het hier beide wel over eens toch?

Nee. Op het punt x=n bestaat de functie waarde. Het probleem om dit te erkennen is dat veel mensen geleerd hebben dat 0/0 betekend delen door 0 en dan zegt men "dat kan niet". . .wel, het kan toevallig wel als de noemer ook nul is. . .je het niet met een rekenmachine of computer doen omdat het daar met een eenvoudige functie "verboden is" . Het kan wel met een rekenmachine aantonen dat de ratio van de functies als x----->n een constante wordt . . .ongeacht hoe dichtbij je de waarde x naar n benaderd maar de alle machines hebben een begrenzing aan hoe klein a getal ze kunnen opbergen en dus zal een numerieke analyze op een bepaald punt dicht bij x=n altijd manco gaan omdat de computers het op een gegeven moment als een ouderwetse deling door 0 beschouwen. Theoretisch heb je die belemmering niet en zet je n=x in de L'Hospital regel.

Nu de rest van je verhaal wat ik nog steeds erg vaag vind....

Zou je van elk punt dat ik zeg kunnen aangeven of ik nog goed ga of niet?

Ten eerste die ratio functie waar je het de hele tijd over hebt, is dit nou een functie van 1 onafhankelijke variabele of van 2?

In principe startte ik uit met bijvoorbeeld q=f(x,y,z) als een 3-variable functie om de trivialiteit van x/x te vermijden zodat je bij voorbaat niet kon weten dat y(0,z)=f(0,z). Dus heb je

F(x,y,z)=q(x,y,z)/g(x) met g(x) = x. . .. . .f is een 3-D functie

In de "buurt" van het punt 0,0,z waar x=0 en y=0 liet ik de functie q=(z,y,z) vereenvoudigen tot f(x)=y=x
waardoor er voor het gebied rondom 0,0,0 een 2-D functie-ratio van toepassing was

F(0,0,z) = f(x)/x met f(x)----à y=x

Als je dit als twee functie beschouwd is y=x eenvoudig een rechte lijn in het xy-vlak met gradiënt = 1. . .dat weten we bij voorbaat vanuit ervaring maar als iemand dat niet weet dat er rondom 0,0,0 sprake is van een eenvoudig stukje van een ingewikkelde functie zodat F=y/x = x/x van toepassing voor analyse via L’Hospital, en voor x=0 geeft dat het resultaat 0/0. . .de waarde van de variabele z is in dat gebied niet relevant. Mijn argument was eenvoudig dat voor het deel van de functie L'Hospital wel degelijk van toepassing is omdat je dan met dx/dx=1 uitkomt en dat is precies de gradiënt van de functie y=x in het gebied 0,0,z. . .in dat gebied is y/x gelijk aan x/x =1 . . .dus ook voor 0/0.

In de eindconclusie zijn we het er over eens dat 0/0=1 van toepassing is voor de functie y/x als y=x van toepassing is zoals ik specificeerde. Waar ik het volstrekt niet met eens ben is dat je stelt dat voor de functie x/x op x=0 er geen waarde zou bestaan. De functie heeft het wel degelijk een exacte waarde op x=0 en dat is vaak ook zo voor f(x)/g(x)---->0/0 in het algemeen, maar dan weten we niet bij voorbaat wat de waarde van 0/0 is.. . we moeten er hier ook rekening mee houden dat L’Hospital niet altijd een antwoord geeft

Je bent in je reacties in principe het in grote lijnen het met me eens en je hebt gelijk dat we langs elkaar heen argumenteren!

Nou over dit stukje:

[0=8 :-)]

Je geeft hier 2 functies welke je aan elkaar gelijk stelt. f(x,y)=(3y-8) & g(x,y)=(y3 +7)/(y-x)
. . .

Ja maar dat was een grapje waarmee je 99 uit 100 mensen mee in de zeik kan nemen zonder dat ze er uit komen. . .het was niet bedoeld om te analyseren. . .ik kwam terug op jou gebruik van een voorbeeld waarmee je mijn argumenten mee uitbeeldde:

0/0=1 en 0/0=4 ----> conclusie: 1=4 met

om mij er op te wijzen dat er in mijn redenering iets niet klopte.

Je kan het resultaat voor 2 functies die beide 0/0 als limietwaarde hebben uiteraard niet zinvol aan elkaar gelijk zetten als de niet gelijk zijn. Dat geeft in mijn grapje 0=8 tot gevolg

Ik ga voorlopig even niet meer regeren want de tijd die ik hieraan besteed geeft me problemen met slaaptekort. .

. . .ik heb veel te doen op dit moment dus haak ik even af!

woensdag 11 februari 2009 09:45

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 02:00:
[...]
Het is niet alleen een zaak van benaderen maar op het punt x=n waar beide functies in f(n)/g(n) een waarde van 0 hebben is x=n precies op. Je kan x naar waarde n laten lopen op elke denkbare manier. Het is geen benadering en de waarde van het resultaat f(n)/g(n)=0 is een exacte waarde.

Ik geef je het volgende voorbeeld als hersen voer:

f(x) = x UnitStep(x)
g(x) = Sin(x)

(UnitStep(x) is 0 voor x < 0 en 1 voor x>=0)

Wat is de limiet voor x->0 van f(x)/g(x)?

spoiler:

Zoals je zelf waarschijnlijk wel weet bestaat deze limiet niet. De linker en rechter limiet hebben verschillende waarden (0 en 1 respectievelijk).

Species5618 schreef op dinsdag 10 februari 2009 @ 10:11:
[...]
Voor de meeste functies en punten zijn deze 2 begrippen gelijk (dit is de definitie van continuiteit). Maar er zijn ook heel wat situaties waar dit absoluut niet zo is. Een functie kan een limiet hebben in een punt waar deze niet gedefinieerd is. Bijvoorbeeld f(x) = (x³ - 1) / (x² - 1). Deze functie heeft geen functiewaarde als x=1. Echter kunnen we wel de limiet uitrekenen voor x -> 1. Mbv de regel van l'Hopital vinden we dat deze limietwaarde 1 is.

Je hanteert hier wel een beetje een raar begrip van "de meeste".

In principe kan je voor elke continue functie oneindige veel functies opschrijven die bijna overal gelijk zijn aan die functie maar die nergens continu zijn. (Een eenvoudige manier om dit te bereiken is de indicator functie van de rationale getallen op te tellen bij de functie.)

[ Voor 38% gewijzigd door Verwijderd op 11-02-2009 09:54 ]

woensdag 11 februari 2009 10:42

Acties:

Does not compute.

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 09:45:
[...]
Je hanteert hier wel een beetje een raar begrip van "de meeste".

Ja, ik had wellicht beter "alledaagse" kunnen toevoegen.

woensdag 11 februari 2009 19:14

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 09:45:
[...]

Ik geef je het volgende voorbeeld als hersen voer:

f(x) = x UnitStep(x)g(x) = Sin(x)

(UnitStep(x) is 0 voor x < 0 en 1 voor x>=0)

Wat is de limiet voor x->0 van f(x)/g(x)?

Ha die Trias, leuk om weer eens met je te kunnen "boxen" over zaken die allerlei ondergrondse aspecten hebben die niet verwacht zijn, onmogelijk lijken, niet intuïtief te behandelen zijn, of pakweg gewoon leuk zijn zoals kromme getallen stelsels :-). Als mijn gevoel me niet in de steek laat wordt ik met een paar rake klappen de ring uitgelagen en hou ik er een bloedneus aan over

Je voorbeeld ziet er bij voorbaat al "griezelig" uit vanwege de discontinuïteiten in de stepfunctie. Ik heb nog niet in de spoiler gekeken maar ik zie de "writing on the wall" voor me.

De stepfunctie is niet "smooth" en dus niet differentieerbaar door de continuïteiten heen dus bij voorbaat kan L"Hospital niet gebruikt worden. Dus ondanks het feit dat g(x) op x=0 "smooth" is en 0 is op x=0 is de functie waarde step(0) is niet gedefinieerd op x=0 en heeft de step functie geen "bestaan" omdat de functie voor x=0 geen waarde toegekend is. . .het is dus ook niet oneindigheid en ook niet 0.

In de ratio f(x)/g(x) x----> 0 ontbreekt de waarde voor f(0) omdat het niet een onderdeel van Step(x) is.

Dus krijg je (niets)/0 en dat heeft geen betekenis en word uitgesloten van de ratio f(x)/g(x). Er is dus niets aan de hand! Voor waarden van x met uitzondering van x=0 is de f(x) mijn inziens als volgt

1) f(x) = 0 . . . .ratio = 0/sin(x) OF 2 f(x) = 1. . . . ratio = 1/sin(x)

Voor (1) is de waarde altijd 0 en voor x=0 bestaat de ratio niet
Voor(2) is de waarde gewoon 1/sin x en als sin(x)=0 voor de overige waarden van x = npi n=1,2,3. . . .zal de ratio als oneindigheid ∞ gedefinieerd worden. Voor z= 0 en voor x=npi bestaan er geen limiet- waarden.

Leuk vraagstukje. Ik ben het nooit eerder tegen gekomen maar het lijkt me toch trivaal onder de regels van de wiskunde.

Is mijn redenering sluitend of ga je met twee klappen de ring uit meppen?

[ Voor 1% gewijzigd door Verwijderd op 11-02-2009 19:22 . Reden: spelfouten er uitgehaald ]

woensdag 11 februari 2009 19:37

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 19:14:
[...]
In de ratio f(x)/g(x) x----> 0 ontbreekt de waarde voor f(0) omdat het niet een onderdeel van Step(x) is.

Dus krijg je (niets)/0 en dat heeft geen betekenis en word uitgesloten van de ratio f(x)/g(x). Er is dus niets aan de hand!

Waarom "ontbreekt" hier de waarde wel, maar in het geval f(x) = x/x "ontbreekt" deze niet, en denk je een waarde aan 0/0 te kunnen hechten? Het is in principe "toevallig" dat lim_{x->a} f(x) = f(a) voor de "meeste" (ik gebruik de woorden "toevallig" en "meeste" hier informeel) functies (deze functies heten continu als dit geldt voor alle a in het domein).

woensdag 11 februari 2009 19:43

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 02:00:

[...]
Nee. Op het punt x=n bestaat de functie waarde. Het probleem om dit te erkennen is dat veel mensen geleerd hebben dat 0/0 betekend delen door 0 en dan zegt men "dat kan niet". . .wel, het kan toevallig wel als de noemer ook nul is. . .je het niet met een rekenmachine of computer doen omdat het daar met een eenvoudige functie "verboden is" . Het kan wel met een rekenmachine aantonen dat de ratio van de functies als x----->n een constante wordt . . .ongeacht hoe dichtbij je de waarde x naar n benaderd maar de alle machines hebben een begrenzing aan hoe klein a getal ze kunnen opbergen en dus zal een numerieke analyze op een bepaald punt dicht bij x=n altijd manco gaan omdat de computers het op een gegeven moment als een ouderwetse deling door 0 beschouwen. Theoretisch heb je die belemmering niet en zet je n=x in de L'Hospital regel.

Er is een verschil tussen de functiewaarde op een bepaald punt en zijn limietwaarde daar.

f(x) = x/x is niet gedefinieerd op x = 0. Je kunt deze functie wel continu maken met g(x) = 1, nu geldt f(x) = g(x) (bijna overal). Je kunt ook lelijke discontinuiteiten hebben in dit geval.

Overigens is er inderdaad niet altijd een goed antwoord met de L'Hospital-regel.

Bekijk maar eens de volgende functie:

f(x) = exp(-1/x)/exp(-1/x), x > 0. Wat gebeurt er in de limiet naar 0 ?

woensdag 11 februari 2009 21:26

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 19:14:
[...]
De stepfunctie is niet "smooth" en dus niet differentieerbaar door de continuïteiten heen dus bij voorbaat kan L"Hospital niet gebruikt worden. Dus ondanks het feit dat g(x) op x=0 "smooth" is en 0 is op x=0 is de functie waarde step(0) is niet gedefinieerd op x=0 en heeft de step functie geen "bestaan" omdat de functie voor x=0 geen waarde toegekend is. . .het is dus ook niet oneindigheid en ook niet 0.

In de ratio f(x)/g(x) x----> 0 ontbreekt de waarde voor f(0) omdat het niet een onderdeel van Step(x) is.

Ik gebruik expliciet de conventie dat Step(0) = 1. Dus f(0) is weldegelijk gedefineerd. Sterker nog f is continu in 0. De ration f(0)/g(0) =0/0 is echter niet gedefineerd en de limiet x->0 van f(x)/g(x) bestaat niet.

Dus krijg je (niets)/0 en dat heeft geen betekenis en word uitgesloten van de ratio f(x)/g(x). Er is dus niets aan de hand! Voor waarden van x met uitzondering van x=0 is de f(x) mijn inziens als volgt

1) f(x) = 0 . . . .ratio = 0/sin(x) OF 2 f(x) = 1. . . . ratio = 1/sin(x)

Voor (1) is de waarde altijd 0 en voor x=0 bestaat de ratio niet
Voor(2) is de waarde gewoon 1/sin x en als sin(x)=0 voor de overige waarden van x = npi n=1,2,3. . . .zal de ratio als oneindigheid ∞ gedefinieerd worden. Voor z= 0 en voor x=npi bestaan er geen limiet- waarden.

Nee voor x < 0 is f(x) = 0 dus is de ratio f(x)/g(x) 0 overal waar g(x) != 0 . Voor de waarde x = -n pi (met een positief geheel getal) bestaat de ratio niet maar de limiet in die waarde bestaat wel, dus we kunnen eventueel de functie in die waard completeren.
Voor x > 0 geldt f(x) = x en bestaat de ratio f(x)/g(x) bijna overal, behalve in de punten x = n pi, in welke punten de limiet ook niet bestaat. (alleen als je in de 1 punts compactificatie van R werkt kan je de limiet een waarde toekennen.)
Voor x=0 zie de spoiler.

donderdag 12 februari 2009 00:02

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 19:37:
[...]

Waarom "ontbreekt" hier de waarde wel, maar in het geval f(x) = x/x "ontbreekt" deze niet, en denk je een waarde aan 0/0 te kunnen hechten? Het is in principe "toevallig" dat lim_{x->a} f(x) = f(a) voor de "meeste" (ik gebruik de woorden "toevallig" en "meeste" hier informeel) functies (deze functies heten continu als dit geldt voor alle a in het domein).

Dat is eenvoudigweg een gevolg van de definitie van de stepfunctie
step(x) =0 x <a.. . .(a=0 in het voorbeeld van Trias)
step(x) =1 x >a

(Dit is een handige functie om de karakteristieke aspecten van een besturingssysteem vast te stellen)

De functie bestaat niet voor x=a het is een discontinuïteit. De waarde x=a if voor de functie uitgesloten.
Als je bijvoorbeeld

R(x) =step(x)/x definieert en laat x ----> 0 gaan vanuit het negatieve gebied

dan heb je dit

R(x) x---->0 =0/(negatief getal) = 0 ongeacht hoe dichtbij 0 je in de benadering laat doorgaan. Op het moment je in de benadering het laatste stapje zet (als je stapwijs benaderd met gelijke stapjes) verdwijnt de R(x) omdat step(0) niet bestaat. Dat is een gevolg van de definitie van step(x).
Als je in de benadering de stapjes steeds kleiner maakt. . .
zoals stappen vanuit x= -1*(2: 1: 1,2;1/4;1/8;1/16 . . . .) kom je nooit aan x=0 toe en hoef je geen zorgen te maken en dan is de limietwaarde gelijk aan de functie waarde = 0. . .(x=0 is niet gebruikt) in dat geval kan je nog steeds zeggen en (bewijzen) dat op x=0 R(0) niet bestaat. De waarde R(0) ontbreekt.

Als je van het positieve domein x----> 0 benaderd stijgt de waarde van 1/x als x----->0 Nu krijg je een interessante situatie als je op twee manieren x=0 benaderd:

1 stapwijs: zeg in stapjes van 10 ^-10000. Als x----> 0 dan stijgt de waarde van R(x) naar leuk getal als je het op 1-na laatste stapje neemt naar 10 ¹⁰⁰⁰⁰. . .aardig getalletje maar een begrensde waarde. Formeel is dat geen limiet omdat er nog een eindeloos lange weg te gaan is om x=0 te bereiken. Als je dan met de laatste stap x=0 bereikt heb is bestaat de functie R(0) niet en dan kan je huilen of lachen maar de expressie (niets)/0 is een onderdeel van de functie R(x). Er bestaat geen limietwaarde voor x=0

2 series 2; 1; 1,2; 1/4; 1/8; 1/16;. . .) benadering: R=1/x: x----->0 de waarde van x groeit tot zeer hoge waarde maar met deze definitie bereik je de waarde x=0 nooit! Ongeacht hoe klein het laatste stapje wordt je kan er nog steeds een oneindig aantal getallen tussen zetten en de waarde x=0 nog niet bereikt hebben. Op dit punt is de waarde van R(x) x= δ R(δ ) =1/δ en dit is eenvoudigweg een groot getal. Als dan nog verder gaar wordt R alsmaar groter maar het wordt nooit oneindig. Dus heb je dit:

R _{limiet als x----->0} --------->∞ indien de benadering via de serie wordt afgebroken (vanwege tijdgebrek :-)) door bij de op 1-na laatste stap die uitgevoerd wordt x=0 te zetten dan verdwijnt R(x) omdat R(0) niet bestaat. Je kan dan hooguit nog toelichten dat je de waarde R(δ ) desgewenst tot elk willekeurig groot getal kan laten stijgen maar dat er geen limiet bestaat omdat de waarde x=0 voor de functie is uitgesloten.

In de functie R(x)= f(x)/x = x/x heb je per definitie dat de waarde voor het gehele x-domein gelijk aan 1 is. Als je gaat kijken wat er gebeurd is dat voor alle x-waarden beide functies. . .(beide waarden van x). . .blijven gelijk.

Ik heb eerder gezegd dat een Ratio je niet moet zien als een deling maar asl een verhouding. Delen is een operatie met getallen. . .de noemer in gelijke stukjes verdelen. . .maar dat is niet zo voor de definitie van een Ratio zoals R= f(x)/g(x). De wiskundige beschouwing is niet dat f door g gedeeld wordt maar dat de waarde van f tot g in een bepaalde verhouding staat. Voor de functie x/x is het nog steeds onverminderd waar dat de verhouding van 0 tot 0 1 is. . .beide functies hebben gelijke waarde!

Er wordt niet gedeeld!

Als je me zou vragen wat er zou gebeuren als je wel zou gaan delen. . .dus wat is 0:0 ????. . . zoals we dat op de lagere school deden, dan zou ik wel een antwoord hebben:

"Als je 3 door 3 deelt, dus 3:3, doe je in feite dit: je verdeeld de 3 in 3 gelijke stukken en dan beoordeel je de waarde van de noemer op deze manier.

De noemer: 3= 3*(1:3 + 1:3 + 1:3). Dit getal 3 bestaat 3 stukjes elk met waarde 1:3.
De deler is 3. Nu kunnen we in de vergelijking de twee 3-en wegschrappen (of links eb rechts door 3 delen:

3:3=1=(1:3 + 1:3 + 1:3).

Nu bekijk ik de operatie het met 0 in plaats van met 3

Dus eerst de noemer: 0 = 0*( 1:0+1:0 + 1:0 + . . .) Dit getal 0 bestaat uit een onbegrensd aantal stukjes elk met onbegrensde waarde.
De Deler is 0

Dus 0*(1:0+1:0 + 1:0 + . . .[een onbegrensd aantal stukjes, een onbegrensde aantal keren opgeteld])=0 . . .Dit is de noemer en de noemer is, in dit geval, gelijk aan de deler dus je kan in de vergelijking links en rechts door 0 delen. . .de twee nullen wegschrappen. . . . dat kan hier netzo goed als dat voor delen door 3 mogelijk is:

0:0=1=0*(1:0+1:0 + 1:0 +. . . .)

Je kan deze operatie 0:0 ook weergeven als een ratio, en dan krijg je 0:0=0/0=1

Het blijkt dus dat 0/0=1 onomstotelijk waar is. . .QED. . .dat delen door 0 wel kan. . .ik heb het net laten zien!

Mensen zijn veel slimmer dan rekenmachines en zelfs veel slimmer dat grote computers. Computers kunnen deze operatie ook uitvoeren indien ze er voor geprogrammeerd zouden worden. . .een fluitje van een cent voor een programmeur. In normaal rekenwerk gebruikt een rekenprogramma het volgende:

Input: y=34/x ---->: antwoord is verkregen door middel van een opsomming van elementen in subprogramma. Als x zeer klein is wordt y zeer groot, zoals je vorig jaar op de basisschool geleerd heb! Als x nog kleiner wordt kan het zijn dat het getal y niet meer in de computer past. . .zoals bijvoorbeeld een olifant niet in een luciferdoosje past! De computer is begrensd in zijn mogelijkheden.

Een computer heeft daar een antwoord voor:

“Hey, idioot die je bent, rot even op! Die olifant past niet in het doosje waar ik het moet opbergen”. In computertaal zegt hij dat bijvoorbeeld als #!@deel/0!

Het kan ook zo zijn dat de input dit is: y = (10-34)/x en dan kan het gebeuren dat de waarde van x zo klein genomen wordt dat de computer het niet meer kan bevatten omdat bijvoorbeeld x= 10– 345763 . . .dit getal is te klein om te kunnen definiëren met een opsomming van kleine getalletjes en de computer maakt er 0 van en komt met een berichtje: “Stomme idioot, je getal is 0 en je weet bij voorbaat dat als ik daarmee ga delen dan is y oneindig en daar kan ik niets mee, ik heb geen oneindig groot doosje waar ik dat antwoord kan opbergen. “

In computer taal is dat #!@deel/0!

Mensen kunnen wel met 0 delen en weten het resultaat te definiëren als een oneindigheid ∞:

Ylimiet x--->0 --->Getal/x ----> ∞

donderdag 12 februari 2009 01:15

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 00:02:
1 stapwijs: zeg in stapjes van 10 ^-10000. Als x----> 0 dan stijgt de waarde van R(x) naar leuk getal als je het op 1-na laatste stapje neemt naar 10 ¹⁰⁰⁰⁰. . .aardig getalletje maar een begrensde waarde. Formeel is dat geen limiet omdat er nog een eindeloos lange weg te gaan is om x=0 te bereiken. Als je dan met de laatste stap x=0 bereikt heb is bestaat de functie R(0) niet en dan kan je huilen of lachen maar de expressie (niets)/0 is een onderdeel van de functie R(x). Er bestaat geen limietwaarde voor x=0

Als je een rij hebt x_1, x_2, ... in (waar 0 < x_i voor alle i) die naar 0 gaat, bereik je 0 nooit. De "laatste stap" en "op een na laatste stap" bestaan niet.
Ik weet dat R(x) geen limiet heeft in x = 0.

2 series 2; 1; 1,2; 1/4; 1/8; 1/16;. . .) benadering: R=1/x: x----->0 de waarde van x groeit tot zeer hoge waarde maar met deze definitie bereik je de waarde x=0 nooit! Ongeacht hoe klein het laatste stapje wordt je kan er nog steeds een oneindig aantal getallen tussen zetten en de waarde x=0 nog niet bereikt hebben. Op dit punt is de waarde van R(x) x= δ R(δ ) =1/δ en dit is eenvoudigweg een groot getal. Als dan nog verder gaar wordt R alsmaar groter maar het wordt nooit oneindig. Dus heb je dit:

Je intuitie voor "oneindig" is helemaal verkeerd. Er is nooit sprake van een "laatste stap".

Je kan dan hooguit nog toelichten dat je de waarde R(δ ) desgewenst tot elk willekeurig groot getal kan laten stijgen maar dat er geen limiet bestaat omdat de waarde x=0 voor de functie is uitgesloten

Dit is NIET de reden dat de limiet niet bestaat. De reden dat er geen limiet bestaat is dat geen enkele M is zodanig dat f(x) --> M (x --> 0) (eenvoudig te bewijzen)

In de functie R(x)= f(x)/x = x/x heb je per definitie dat de waarde voor het gehele x-domein gelijk aan 1 is. Als je gaat kijken wat er gebeurd is dat voor alle x-waarden beide functies. . .(beide waarden van x). . .blijven gelijk.

Je gebruikt hier "per definitie". Slechts als je met het gehele x-domein de set van alle getallen zonder 0 bedoelt, heb je gelijk. Normaliter moet je bij een functie drie dingen opschrijven:
* het domein
* het codomein
* een functievoorschrift (of een relatie, of op een andere manier iets definieren. Tot nu toe kiezen we in dit topic altijd voor het functievoorschrift)

Het functievoorschrift R(x) = x/x definieert *geen* waarde voor x = 0.
Als jij zou opschrijven, ik definieer R als volgt,

R(x) = x / x, als x /= 0, en 1, anders
dan is de functie zelfs nog continu ook. Er is echter niets inherent aan R(x)=x/x opschrijven, dat de functie voor 0 definieert.

Ik heb eerder gezegd dat een Ratio je niet moet zien als een deling maar asl een verhouding. Delen is een operatie met getallen. . .de noemer in gelijke stukjes verdelen. . .maar dat is niet zo voor de definitie van een Ratio zoals R= f(x)/g(x). De wiskundige beschouwing is niet dat f door g gedeeld wordt maar dat de waarde van f tot g in een bepaalde verhouding staat.

Dat is het wel. f / g bestaat niet (normaliter), f(x)/g(x) wel.
De formele constructie van breuken is trouwens precies door middel van verhoudingen (zie hier, onder "formal construction")

Voor de functie x/x is het nog steeds onverminderd waar dat de verhouding van 0 tot 0 1 is. . .beide functies hebben gelijke waarde!

En in het geval 2x/x hebben beide functies ook dezelfde waarde! Toch vind je het daar geen 1.

Er wordt niet gedeeld!

Jawel. Er staat een deelstreep.

Als je me zou vragen wat er zou gebeuren als je wel zou gaan delen. . .dus wat is 0:0 ????. . . zoals we dat op de lagere school deden, dan zou ik wel een antwoord hebben:

"Als je 3 door 3 deelt, dus 3:3, doe je in feite dit: je verdeeld de 3 in 3 gelijke stukken en dan beoordeel je de waarde van de noemer op deze manier.

De noemer: 3= 3*(1:3 + 1:3 + 1:3). Dit getal 3 bestaat 3 stukjes elk met waarde 1:3.
De deler is 3. Nu kunnen we in de vergelijking de twee 3-en wegschrappen (of links eb rechts door 3 delen:

3:3=1=(1:3 + 1:3 + 1:3).

Nu bekijk ik de operatie het met 0 in plaats van met 3

Dus eerst de noemer: 0 = 0*( 1:0+1:0 + 1:0 + . . .) Dit getal 0 bestaat uit een onbegrensd aantal stukjes elk met onbegrensde waarde.
De Deler is 0

Dus 0*(1:0+1:0 + 1:0 + . . .[een onbegrensd aantal stukjes, een onbegrensde aantal keren opgeteld])=0 . . .Dit is de noemer en de noemer is, in dit geval, gelijk aan de deler dus je kan in de vergelijking links en rechts door 0 delen. . .de twee nullen wegschrappen. . . . dat kan hier netzo goed als dat voor delen door 3 mogelijk is:

0:0=1=0*(1:0+1:0 + 1:0 +. . . .)

Je kan deze operatie 0:0 ook weergeven als een ratio, en dan krijg je 0:0=0/0=1

Het blijkt dus dat 0/0=1 onomstotelijk waar is. . .QED. . .dat delen door 0 wel kan. . .ik heb het net laten zien!

Het begint vermoeiend te worden. Wat je hier doet is 0 * oneindig. Er is geen onderscheid tussen "oneindig" en "twee keer oneindig".

Mensen zijn veel slimmer dan rekenmachines en zelfs veel slimmer dat grote computers. Computers kunnen deze operatie ook uitvoeren indien ze er voor geprogrammeerd zouden worden. . .een fluitje van een cent voor een programmeur. In normaal rekenwerk gebruikt een rekenprogramma het volgende:

Men is niet achterlijk. Er is een reden dat dit niet gebeurt. De reden is dat delen door 0 niet gedefinieerd is.

Input: y=34/x ---->: antwoord is verkregen door middel van een opsomming van elementen in subprogramma. Als x zeer klein is wordt y zeer groot, zoals je vorig jaar op de basisschool geleerd heb! Als x nog kleiner wordt kan het zijn dat het getal y niet meer in de computer past. . .zoals bijvoorbeeld een olifant niet in een luciferdoosje past! De computer is begrensd in zijn mogelijkheden.

De meeste computerprogramma's werken met floating point arithmetic, en niet met arbitrary precision. Dit heeft een reden: efficientie. Er zijn programma's/libraries en programmeertalen waarmee je met arbitrary precision arithmetic kan werken. Ook hier kan je niet door nul delen.
Trouwens, als er 1 uit zou komen, waarom kan de computer dat dan niet uitrekenen?

Een computer heeft daar een antwoord voor:

“Hey, idioot die je bent, rot even op! Die olifant past niet in het doosje waar ik het moet opbergen”. In computertaal zegt hij dat bijvoorbeeld als #!@deel/0!

Het kan ook zo zijn dat de input dit is: y = (10-34)/x en dan kan het gebeuren dat de waarde van x zo klein genomen wordt dat de computer het niet meer kan bevatten omdat bijvoorbeeld x= 10– 345763 . . .dit getal is te klein om te kunnen definiëren met een opsomming van kleine getalletjes en de computer maakt er 0 van en komt met een berichtje: “Stomme idioot, je getal is 0 en je weet bij voorbaat dat als ik daarmee ga delen dan is y oneindig en daar kan ik niets mee, ik heb geen oneindig groot doosje waar ik dat antwoord kan opbergen. “

Mensen kunnen wel met 0 delen en weten het resultaat te definiëren als een oneindigheid ∞:

Ylimiet x---0 --àGetal/x ----à ∞

Nee, mensen kunnen niet door 0 delen. Je kan een computer zo programmeren dat er bij 0/0 1 uit komt. Waarom 1? Waarom niet 37? Waarom niet 18446744073709551616?
1/0 is zelfs niet +oneindig, maar is met evenveel recht -oneindig. 1/0 is niet gedefinieerd. 37/0 is niet gedefinieerd. 0/0 is ook niet gedefinieerd.
Oneindig kun je trouwens prima representeren, bijvoorbeeld in Haskell:

data Vortex2Getallen = NormaalGetal (Ratio Integer) | Oneindig | MinOneindig

Hier kun je dan operaties + en * op definieren.

Weet je wat, we spreken het volgende af. We hebben een verzameling X van "alle getallen". We definieren twee operaties, + en *. We hebben twee (verschillende) getallen 0 en 1. We kunnen nu de volgende dingen doen:

a + b = b + a,
(a+b)+c = a+(b+c),
a*b = b*a
(a*b)*c = a*(b*c),
Voor ieder getal a , is er een -a, zodanig dat
a + (-a) = 0
Voor ieder getal (niet-nul) a, is er een 1/a, zodanig dat
a * (1/a) = 1
Tot slot,
a*(b+c) = a*b + a*c

Als jij nu binnen dit systeem een deling door nul kan definieren, dan vind ik je a) knap, en b) zal ik een fout in je redenering aantonen.

Als jij een heel ander rekensysteem voorstelt, dan hoor ik graag welk rekensysteem je voorstelt, dan kunnen we het daarover hebben.
Voordat je dat doet, bekijk eerst eens het verschil tussen "functie" en "functievoorschrift". Wiskundigen zijn hier vaak slordig in, laten we dat vanaf nu niet meer doen.

donderdag 12 februari 2009 01:35

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 21:26:
[...]

Ik gebruik expliciet de conventie dat Step(0) = 1. Dus f(0) is weldegelijk gedefineerd.

Dat heb je aanvankelijk niet gedefinieerd.
Nu wijzig je de betekenis van de functie en dus de betekenis van de R(x) =f(x)g(x). Het resultaat van de analyse zal dan uiteraard anders uitkomen. Dit wordt geen eerlijke boxwedstrijd als je de afgesproken regeltjes gaat veranderen en ze gaat afdwingen. Je dient mijn analyse te beoordelen op basis van je eigen definitie:

step(x) bestaat niet voor x=0!
Dus verwerp ik je opmerkingen die betrekking hebben op je aangepaste definitie dat step(0)=1. . . je mag niet onder de gordel slaan!

Stel dat je als Professor Wiskunde je deze vraag in een examen gesteld had. Hoe zou je dan reageren op juist geformuleerde antwoorden die volgen uit je verzuim om step(0)=1 er bij te zetten?

Sterker nog f is continu in 0.

Niet dus, omdat step(0) niet bestaat. Dat is allen zo met jou aangepaste definitie!

Vortex 1
Trias 0

Wordt dit een 10-ronder?

De ration f(0)/g(0) =0/0 is echter niet gedefineerd en de limiet x->0 van f(x)/g(x) bestaat niet.

Dit antwoord heeft geen betrekking op de vraagstelling omdat f(0) niet bestaat in je examenvraag

Geen score!
[...]

Nee voor x < 0 is f(x) = 0 dus is de ratio f(x)/g(x) 0

Dat is precies wat ik concludeerde. Wat bedoel je met "Nee"?

overal waar g(x) != 0 .

Ik ken de notatie !=0 niet. Ik hou dit in bewaring voor een toelichting.
Voor het geval x=0 bestaat f(x) niet en g(0)=0 Dus over de expressie ( )/0 kan je niets zeggen anders dat het niet bestaat, dan wel dat het geen betekenis heeft

Voor de waarde x = -n pi (met n een positief geheel getal) bestaat de ratio niet maar de limiet in die waarde bestaat wel, dus we kunnen eventueel de functie in die waarde completeren.

Ik weet in dit geval niet wat "complementeren" inhoudt. . .misschien een kopstoot waardoor ik de ring uitvlieg?
maar inderdaad, hier stel je iets dat ik in de analyse vergeten ben: om -npi te beschouwen! OK ff kijken: voor elke benadering van x----> een -npi gaat sin(x) naar 0. Op het punt sin(-npi) is de gradiënt cos(-npi)=1 of -1 en R(-npi) wordt 0/0 en dat is zeker onbepaald: er hier geen sprake is van een gelijkwaardige benadering tot waarde 0 voor f(x) en g(x) in de ratio R. Functie f(x) is een constante met waarde 0 en de g(x) gaat naar 0 over een lijn met gradiënt=1 (dan wel –1). De Ratio bevat duidelijk een discontinuïteit op die punten en de waarde R links/rechts van g(-npi) is +/- oneindig. . .door het punt -npi heen ondergaat de waarde R dus een switch: vanuit +oneindig naar -oneindig (de formele taal er voor ontbreekt me). In de zin dat ik deze onderliggende extraatjes niet hebt opgemerkt (de +/- switch) heb je gescoord omdat die extraatje ook gelden voor R zoals ik het gebruikt heb. In elk geval heb ik een aantal dingen correct dus krijg ik 0,5 punten en jij 1:

Vortex 1,5
Trias 1

Voor x > 0 geldt f(x) = x

Je bedoeld dat in het positieve domein f(x)=1

en bestaat de ratio f(x)/g(x) bijna overal, behalve in de punten x = n pi, in welke punten de limiet ook niet bestaat.

Akkoord, maar ook hier gaat de waarde van g(x) door die punten van + naar - en heb je die +/-switch ook.

Vortex 2,5
Trias 2

(alleen als je in de 1 punts compactificatie van R werkt kan je de limiet een waarde toekennen.)
Voor x=0 zie de spoiler.
[/quote]
Ik moet je geloven. Geen idee wat de 1 punts compactificatie betekend. Dat was een slag uit het niets maar ik weet niet of het een onderdeel van het boxen is. . .ik geef je 0,5 er voor, uit coulance.
De spoiler heb ik nog niet gezien.

Vortex 2,5
Trias 2,5

. . . .deze keer?
De boiler heeft geen stoom meer. . .
Ik ga voor deze keer maar een keertje vroeg slapen: er is vandaag wat werk aan de winkel.

donderdag 12 februari 2009 02:11

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 01:15:
. . . .

[. . .er wordt niet gedeeld. . .]

Jawel. Er staat een deelstreep.

Dus in de unquote expressie hierboven wordt er gedeeld: [ /quote] Wat is het antwoord van deze deling?

Ik heb 100 +/- 3 fouten gemaakt in een verhaal dat ik geschreven heb. Hier wort + door - gedeeld!

Ik heb op een draaibank een turbine as gedraaid.
De gewenst tolerantie 30 cm +/- 0,01 mm.

Er word uiteraard hier (+) gedeeld door (-0,01mm): (+)/(-0,01mm)= -100 mm^-1 Iedereen snapt uiteraard dat er gedeeld wordt en wat het antwoord betekend.

Ik kan hoog/laag springen maar ik win de loterij toch niet. Hier wordt hoog door laag gedeeld!

Vandaag wordt er weer sneeuw/regen verwacht. Het moet dan wel sneeuwen en tegelijkertijd regenen, anders kan er niet gedeeld worden

Ik ga nu echt slapen.

Advies: Als je vermoeid raakt hou dan op en ga slapen!

donderdag 12 februari 2009 02:18

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 01:35:
[...]

Dat heb je aanvankelijk niet gedefinieerd.

oh nee?

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 09:45:
[...]

Ik geef je het volgende voorbeeld als hersen voer:

f(x) = x UnitStep(x)
g(x) = Sin(x)

(UnitStep(x) is 0 voor x < 0 en 1 voor x>=0)

Wel dus. Overigens maakt het niet uit welk conventie je voor UnitStep(0) gebruikt (de meest voorkomende zijn 0, 1/2 en 1), aangezien we keken naar f(x) = x UnitStep(x) dus f(x) = 0, onafhankelijk van de waarde van unitstep(0). (tenzij je hem ongedefineerd laat, maar dat had ik daarom expres niet gedaan.)

Een beetje lezen kan geen kwaad.

[...]

Ik ken de notatie !=0 niet. Ik hou dit in bewaring voor een toelichting.

!= betekend is niet gelijk aan.

[...]
Je bedoeld dat in het positieve domein f(x)=1

Nogmaals, beter lezen luiwammes. Ik stelde f(x)= x UnitStep(x)

donderdag 12 februari 2009 09:58

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 02:18:
[...]

oh nee?

Wat was hier [. . . } het onderwerp?
In elk geval er is nu leven op het Forum! Het was maanden lange een vreselijk saaie boel!

[...]

Wel dus. Overigens maakt het niet uit welk conventie je voor UnitStep(0) gebruikt (de meest voorkomende zijn 0, 1/2 en 1), aangezien we keken naar f(x) = x UnitStep(x) dus f(x) = 0, onafhankelijk van de waarde van unitstep(0). (tenzij je hem ongedefineerd laat, maar dat had ik daarom expres niet gedaan.)

Een beetje lezen kan geen kwaad.

In je definitie stel;de je dit:

(UnitStep(x) is 0 voor x < 0 en 1 voor x>=0). . .dus voor x=0 bestaat het niet. Ook niet als je het meervoud z er van maakt: 0*( ) heeft geen betekenis. Dat er conventie voor bestaan om de functie op x=0 een waarde toe te kennen is iets dat op het betrekking hyebbende punt dus nitt van belang is. Of het voor x>0 0 iet veranderd lijkt me wel maar dan alleen dat de waarde voor x*step(x) gestaag groeit en niet 1 is:

Voor x=0+e is de gradient dx =1 van toepassing. . .er veranderd dus wel iets omdat f(x) du wel differentieerbaar is. Ik ga er later weer naar kijken,

Leuke wedstrijd! Misschien ben ik alsnog de ring uitgeslaren

Vanvond weer verder. Ik ga nu wat brood verdienen!

[...]

!= betekend is niet gelijk aan.

[...]

Nogmaals, beter lezen luiwammes. Ik stelde f(x)= x UnitStep(x)

Ok, soms mis ik iets!
Je bent nog steed een kei in wiskunde!

donderdag 12 februari 2009 10:08

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 09:58:
[...]

In je definitie stel;de je dit:

(UnitStep(x) is 0 voor x < 0 en 1 voor x>=0). . .dus voor x=0 bestaat het niet.

Uh, ">=" betekent nog altijd "groter of gelijk aan". Ik geef daar dus expliciet een definitie voor x=0.

Voor x=0+e is de gradient dx =1 van toepassing. . .er veranderd dus wel iets omdat f(x) du wel differentieerbaar is. Ik ga er later weer naar kijken,

f is nog steeds niet differentieerbaar.

[ Voor 23% gewijzigd door Verwijderd op 12-02-2009 10:10 ]

donderdag 12 februari 2009 18:03

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 01:15:
[...]

Als je een rij hebt x_1, x_2, ... in (waar 0 < x_i voor alle i) die naar 0 gaat, bereik je 0 nooit. De "laatste stap" en "op een na laatste stap" bestaan niet.
Ik weet dat R(x) geen limiet heeft in x = 0.

Je intuïtie voor "oneindig" is helemaal verkeerd. Er is nooit sprake van een "laatste stap".

Misschien heb de zelfde kwaal als ik (kippigheid) en heb je onzorgvuldig gelezen wat ik stelde over x---->0
Specifiek heb ik twee manieren opgezet om x naar 0 te laten gaan. . ik ben vrij omdat te doen.

1) Dit was x----> in gelijkwaardige stappen zodat je met de laatste stap precies op 0 uitkomt. De waarde van 1/x heeft op de op 1 na laatste stap een waarde van een groot getal. De waarde van 1/x heeft op x=0 dan de betekenis van oneindig (∞) .
2) Dit was met stappen die alsmaar kleiner worden en daarbij melde ik precies dat x=0 dan nooit bereikt wordt.Voor 1/x stijgt de waarde onbegrensd de dichter x ---->0: 1/x---->(∞)

En in het geval 2x/x hebben beide functies ook dezelfde waarde! Toch vind je het daar geen 1.

Dit is ouwe koek waar niet over getwist wordt De waarde op x=0 is 2 . voor het gehele x-domein is de ratio waarde 2. Met de serie-stappen 1;1/2;1/4;1/8 +. . .is er uiteraard geen laaste stap dus is 1/0 niet van toepassing.

donderdag 12 februari 2009 18:54

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 10:08:
[...]

Uh, ">=" betekent nog altijd "groter of gelijk aan". Ik geef daar dus expliciet een definitie voor x=0.

Toen ik je opstelletje met de stepfunctie voor het eerst zag heb ik er diverse keren naar terug gekeken en ik was er van overtuigd dat er x>0 stond. Op dit forum is het mogelijk om achteraf correcties aan te brengen. Toen je de eerste keer reageerde en stelde dat er x=>0 was voorgeschreven vermoede ik even dat je misschien het =je er later bijgezet zou hebben, maar ik kon me eigenlijk niet indenken dat jij dit zou doen dus accepteer ik dat ik kippig ben en een leesbril nodig heb

Voor zover ik er eerder over gedacht heb heeft definitie zoals jij het stelt met x*step(x) alleen in plaats van 1*step(x) alleen een belangrijk verschil op x=0 omdat dan 0/0 ontstaat en voor alle andere positieve waarden voor wordt het
x>0: R(x)=x/(sin(x)en op elke x=npi krijg je dus npi/0.. . .geen limiet voor die punten zoals ook voor 1/(sin(x)) het geval is.

Maar op x=0 lijkt me er een speciale situatie te ontstaan die nergens anders plaatsvindt
R(0) is dan 0/0. De gradiënt van x =1 en de gradiënt d/x(sin x)=cos x en voor x=0 is dat ook 1.

Zo op basis van dit zou de waarde R(0) = 1 moeten zijn. Op basis wat je hieronder stelt:

f is nog steeds niet differentieerbaar

zou L'Hospital niet werken maar ik heb het net uitgevoerd en het werkt wel. Ik begrijp niet waarom df/dx= 1 niet geldig is als je definieert dat voor x=>0 f(x)= x. . .dit is een conclusie van de stepfunctie zoals je het definieerde.

Een toelichting op dit punt zou ik wel op prijs stellen.

donderdag 12 februari 2009 22:00

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 18:54:
[...]

Toen ik je opstelletje met de stepfunctie voor het eerst zag heb ik er diverse keren naar terug gekeken en ik was er van overtuigd dat er x>0 stond. Op dit forum is het mogelijk om achteraf correcties aan te brengen. Toen je de eerste keer reageerde en stelde dat er x=>0 was voorgeschreven vermoede ik even dat je misschien het =je er later bijgezet zou hebben, maar ik kon me eigenlijk niet indenken dat jij dit zou doen dus accepteer ik dat ik kippig ben en een leesbril nodig heb

Voor zover ik er eerder over gedacht heb heeft definitie zoals jij het stelt met x*step(x) alleen in plaats van 1*step(x) alleen een belangrijk verschil op x=0 omdat dan 0/0 ontstaat en voor alle andere positieve waarden voor wordt het
x>0: R(x)=x/(sin(x)en op elke x=npi krijg je dus npi/0.. . .geen limiet voor die punten zoals ook voor 1/(sin(x)) het geval is.

Maar op x=0 lijkt me er een speciale situatie te ontstaan die nergens anders plaatsvindt
R(0) is dan 0/0. De gradiënt van x =1 en de gradiënt d/x(sin x)=cos x en voor x=0 is dat ook 1.

Zo op basis van dit zou de waarde R(0) = 1 moeten zijn. Op basis wat je hieronder stelt:

[...]

zou L'Hospital niet werken maar ik heb het net uitgevoerd en het werkt wel. Ik begrijp niet waarom df/dx= 1 niet geldig is als je definieert dat voor x=>0 f(x)= x. . .dit is een conclusie van de stepfunctie zoals je het definieerde.

Een toelichting op dit punt zou ik wel op prijs stellen.

Het punt is nu juist dat als je 0 van boven benadert de quotient 1, maar als je 0 van onder benadert de quotient 0 is. Immers voor x<0 is geldt f(x) = 0 en in de buurt van 0 is g(x) ~ x, dus f(x)/g(x) ~ 0/x = 0.

Dit geldt trouwens even goed voor de afgeleiden van f(x), en precies daarom bestaat de afgeleiden van f(x) op het punt 0 niet. L'Hopital kan je alleen toepassen als de limiet x->0 f'(x)/g'(x) bestaat.

vrijdag 13 februari 2009 17:43

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 18:03:
[...]

Misschien heb de zelfde kwaal als ik (kippigheid) en heb je onzorgvuldig gelezen wat ik stelde over x---->0
Specifiek heb ik twee manieren opgezet om x naar 0 te laten gaan. . ik ben vrij omdat te doen.

1) Dit was x----> in gelijkwaardige stappen zodat je met de laatste stap precies op 0 uitkomt. De waarde van 1/x heeft op de op 1 na laatste stap een waarde van een groot getal. De waarde van 1/x heeft op x=0 dan de betekenis van oneindig (∞) .
2) Dit was met stappen die alsmaar kleiner worden en daarbij melde ik precies dat x=0 dan nooit bereikt wordt.Voor 1/x stijgt de waarde onbegrensd de dichter x ---->0: 1/x---->(∞)

Manier 1) is verboden door de definitie van limiet. "Je bent vrij om dit te doen" is even waar als zeggen dat ik vrij ben om 2+2=5 te definieren. Ja, dit mag ik. Is het correct of zinnig? Neen.

Als jij van plan bent / (deling) te herdefinieren, dan is het helaas ook aan jou om expliciet te maken hoe je dit doet. Ik heb al een link gegeven met mijn definitie van breuken. Van jouw kant is het tot nu toe stil.

Ik zei trouwens "deelstreep" en niet "slash". In "3 +/- 1" is er geen deelstreep te bekennen.

3/2 Deel ik hier?
0/1 Deel ik hier?
0/0 Deel ik hier?

Ik vraag je kort om samen te vatten hoe jij / (deling) dan definieert.

vrijdag 13 februari 2009 19:10

Acties:

Verwijderd

Species5618 schreef op dinsdag 10 februari 2009 @ 10:11:
Wat je niet realiseert is dat er een groot verschil is tussen:
- de limiet van x -> n van f(x) bestaat en is C
en
- de functiewaarde van f(x) in x = n is C.

Voor de meeste functies en punten zijn deze 2 begrippen gelijk (dit is de definitie van continuiteit). Maar er zijn ook heel wat situaties waar dit absoluut niet zo is. Een functie kan een limiet hebben in een punt waar deze niet gedefinieerd is. Bijvoorbeeld f(x) = (x³ - 1) / (x² - 1). Deze functie heeft geen functiewaarde als x=1. Echter kunnen we wel de limiet uitrekenen voor x -> 1. Mbv de regel van l'Hopital vinden we dat deze limietwaarde 1 is.

Eventueel kunnen we nu een nieuwe functie, g(x), definieren die voor x != 1 gelijk is aan f(x) en op x = 1 gelijk is aan 1. In veel gebieden waar wiskunde als hulpmiddel toegepast wordt (natuurkunde, scheikunde, diverse technische richtingen) wordt deze laatste constructie vaak impliciet gedaan en wordt automatisch aangenomen dat f(x) = g(x) voor alle x. Binnen de pure wiskunde is dit echter niet zo.

Om diezelfde reden heeft ook 0/0 in de wiskunde geen waarde, hoewel aan deze uitdrukking in andere vakgebieden soms impliciet een waarde wordt toegekend dmv een limiet-constructie.

Dit is 100% waar. Ik kan het niet beter verwoorden

zaterdag 14 februari 2009 04:43

Acties:

Verwijderd

[quote]Species5618 schreef op dinsdag 10 februari 2009 @ 10:11:

[. . .functiewaarde x ------->n en limietwaarde @ x=n. . .]
Voor de meeste functies en punten zijn deze 2 begrippen gelijk (dit is de definitie van continuiteit). Maar er zijn ook heel wat situaties waar dit absoluut niet zo is. [quote]

{Ik loop een stuk achter om op het vele wat er gezegd is te reageren. . ik reageer daarom enkel op punten die m.i. van belang zijn . . .het doet er niet veel toe dat op bepaalde punten meningsverschillen blijven of dat er fouten gemaakt worden. . .de wereld draait toch wel door. Indien we op bepaalde punten er iets van leren dat is het toch de moeite waard geweest}

Ik ben het met je opmerking hierboven 100% eens, maar het was door mij niet gesteld dat het anders was. Het ging mij vooral om het bevestigen dat wat je zegt waar is met voorbeelden waarvoor een functie ratio R(x)=f(x)/g(x) voor x=n het antwoord 0/0 ophoest dit niet bij voorbaat als niet-bestaand of onmogelijk beschouwd moet worden. . .ik heb diverse keren opmerkingen gelezen zoals: "0/0 betstaat niet" en/of "je kan niet door 0 delen, dus 0/0 kan niet of mag niet, net zo min als 3/0 niet kan of niet mag”.

Om een beetje hilariteit te handhaven wil ik hier verklaren dat als ik de uitdrukking en/of gebruik ik niet aan het delen ben!

Er talloze situaties waarin er taalkundige dilemma's ontstaan als iemand worden gebruik die meerdere betekenissen hebben of in de wiskunde vaag of niet toepasbaar zijn. Op dit punt noem ik slechts het voorbeeld dat als iemand beweert dat op f(x), voor x=0 indien resultaat 3/0 is dat de functie daar niet bestaat terwijl ik keihard beweer dat de functie op x=0 wel bestaat. Het feit dat er geen getal als functiewaarde op x=0 van toepassing is geen reden op te beweren dat de functie daar niet bestaat. Indien een functie op x=0 niet bestaat dan is elke poging ter verklaring wat er op x=0 van toepassing zou kunnen zijn gedoemd om als onzin bestempeld te worden omdat op het punt x=0 er geen functie is om er een x op in te voeren. Voor een dergelijke situatie is 0/3 of 0/0 of 6/0 of wat dan ook niet van toepassing.

Naar mijn mening is dit in de huidige discussie uit de hand gelopen en ik ben daar zelf debet aan, vooral omdat ik vaak er iets tussen door gooit als grap of geintje dat opgevat wordt als een serieuze stelling.

Nu terug naar het concept 0/0 en 5/0. In veel gevallen bestaat 0/0 als een getal voor een functie ratio. Het is dus onwaar om te zeggen dat het niet kan omdat het "delen" door 0 betekend. Ik bestrijd dat omdat het aantoonbaar elk getal kan zijn. . .niet alleen als een limiet maar ook als de functiewaarde op x=n waar het resultaat verkregen wordt met directe substitutie van x=n in de functies. Het betekend dan ik veel gevallen niets anders dan dat de gradiënten van de twee functies gelijk zijn op het punt x=n. . . n=0 is niets speciaals. Het enigste is dat als 0/0 uit een ratio valt er dan nog verborgen informatie is waaruit moet blijken wat de functie waarde 0/0 op x=n werkelijk is. Voorbeeld:

R(x) =f/g= (x²)/(-x²).

Voor x=0 is dit 0/0 maar we weten vanuit simpele grafiektechniek dat f en g elkaar raken (spiegelbeeld parabola's). Je kan dus vanuit eenvoudige visualisatie "zien" dat voor f en g de hellingen van de curven er twee horizontale raaklijnen zijn op x=0 die op elkaar liggen. Vanwege de continuïteit voor beide functies is het louter een geometrische interpretatie dat de waarde van de ratio f/g een constante is en dat dit 100% ondubbelzinnig ook een constante is op x=0. Je kan zelfs vanuit de geometrische beschouwing bewijzen dat deze ratio R(0) =f(0)/g(0) = 0/0= -1 waar is. Geen speld tussen te krijgen. Ik heb niet gedeeld. Ik laat 0/0 voor wat het is en trek conclusies uit wat er gebeurd op x=0 op basis van observatie

Ik heb niet anders gedaan dan het analyseren van de consequenties als x in eerste instantie -------->0 en dan werkelijk x=0 van toepassing is.

Dus 0/0 is in dit voorbeeld niet onbepaald maar 0/0 = -1. Als iemand dan grapjes gaat maken dat 0/0=1=0/0=4 is dat leuk maar niet als het bedoeld is om de draak te steken met de vaststelling dat ik niet weet waar het over gaat, en het levert weer stof voor onnodige discussies.

Uiteraard is mijn geometrische analyse van functies op een grafiek 100 identiek aan de essentie van de L'Hospital Regel. . . het vergelijken van gradiënten!

Wiskunde is een spel met getallen. Je kan er mee doen wat je wilt en eigen regeltjes opmaken. Soms ontstaat er dan een nieuwe kijk op getallen. . .

Genoeg gezegd hoe ik over getallen denk. . . .delen door 0 kan en mag uiteraard ook maar dan loop je tegen andere opvattingen aan waaruit tegenstellingen kunnen ontstaan. De eigen regeltjes zijn soms niet in overeenstemming met de regelthes van anderen.

Een functie kan een limiet hebben in een punt waar deze niet gedefinieerd is. Bijvoorbeeld f(x) = (x³ - 1) / (x² - 1). Deze functie heeft geen functiewaarde als x=1. Echter kunnen we wel de limiet uitrekenen voor x -> 1. Mbv de regel van l'Hopital vinden we dat deze limietwaarde 1 is.

df/dg geeft 3x²/2x en op x=1 geeft dat 1,5 dit is de juiste limietwaarde.

zaterdag 14 februari 2009 12:07

Acties:

Verwijderd

Je weet niet wat een functie is.

Een functie bestaat uit drie dingen.
1. Een domein A
2. Een codomein B.
3. Een deelverzameling X van AxB, zodanig dat er voor iedere a in A precies een b in B is zodanig dat (a, b) in X.

Uitspraken als

Het feit dat er geen getal als functiewaarde op x=0 van toepassing is geen reden op te beweren dat de functie daar niet bestaat.

zijn gewoon pertinent onwaar.

Ook

Grapjes gaat maken dat 0/0=1=0/0=4

Dit was geen grap van mijn kant.
Normaliter geldt de rekenregel
a*(b/c) = (a*b)/c.
Ook geldt normaal Leibniz' substitutieregel.
Ik mag dus zeggen dat als 0/0 = 1, dan 4 * (0/0) = 4 * 1 = (4*0)/0 = 0/0 = 1. Dus 4 = 1.
Dus ofwel die rekenregel klopt niet, ofwel 0/0 = 1 klopt niet.
Van mij mag jij je eigen systeem verzinnen, maar ik kan slechts concluderen dat je dan niet langer a*(b/c) = (a*b)/c mag gebruiken. Het wordt dan wel lastiger om zinvolle dingen te bewijzen. Je zal ook L'Hospital dan opnieuw moeten bewijzen, zonder gebruik te maken van deze regel.

[ Voor 42% gewijzigd door Verwijderd op 14-02-2009 12:10 ]

zaterdag 14 februari 2009 13:02

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op woensdag 11 februari 2009 @ 19:43:
[...]

Er is een verschil tussen de functiewaarde op een bepaald punt en zijn limietwaarde daar.

f(x) = x/x is niet gedefinieerd op x = 0. Je kunt deze functie wel continu maken met g(x) = 1, nu geldt f(x) = g(x) (bijna overal). Je kunt ook lelijke discontinuïteiten hebben in dit geval.

In dit geval is de functiewaarde keihard ook 1 op g(x) =0 omdat beide functies continu zijn gelijke waarden hebben. Het zou beter zijn om de ratio R(x) als f(x)/f(x) te definieren. Nu is R(x) per definitie een identiteit met waarde 0/0 = 1/1

Indien je gaat zitten frunniken met onwaarheden zoals dat g(0) =1 dan klopt de gespecificeerde functie g(x) niet meer en heb je van g(x)=x een geheel andere functie gemaakt die niet differentieerbaar is en daarvoor geldt L''Hospital niet voor x=0. Het is dus niet zo dat je voor g2(x) op x=0 discontinuïteiten kunt hebben. . .je hebt er een per definitie gecreëerd voor x=0!

Je argument klopt niet.

zaterdag 14 februari 2009 13:09

Acties:

Verwijderd

zaterdag 14 februari 2009 13:20

Acties:

Verwijderd

Je post van 14 februari, 13:02, is volstrekt onbegrijpelijk voor mij.

"De functiewaarde keihard ook 1 op g(x) = 0" ???
"R(x) per definitie een identiteit met 0/0 = 1/1" ???
"frunniken" ???
g(0) = 1, waarom is dit een onwaarheid, ik definieerde
g(x) = f(x) als x != 0, en 1 anders, waarom is dit een onwaarheid?

Wat is g2?

zaterdag 14 februari 2009 15:15

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op donderdag 12 februari 2009 @ 01:15:

R(x) = x / x, als x /= 0, en 1, anders
dan is de functie zelfs nog continu ook. Er is echter niets inherent aan R(x)=x/x opschrijven, dat de functie voor 0 definieert.

. . . f / g bestaat niet (normaliter), f(x)/g(x) wel.

Flauw grapje! Het is in deze discussie voor veel mensen geheel duidelijk dat met “f/g” ik de functieratio bedoel en niet een breuk in het breukenstelsel en zo niet dan is jouw opmerking hier een bevestiging van mijn betoog dat dit soort discussies vaak exploderen in veel te veel onnodig commentaar en herhalingen. . . .je zelf hebt trouwen wiskundigen van slordigheid beticht, dus zal je het met dit laatste wel eens zijn.

De formele constructie van breuken is trouwens precies door middel van verhoudingen (zie hier, onder "formal construction")

Je plast hier weer naast de pot! I citeer uit je verwezen link:

The set of all rational numbers, which constitutes a field, is denoted . Using the set-builder notation, (standing for "Quotient") is defined as “....” where “…” denotes the set of integers.

Ik kon de symbolen voor "…." en “…” niet kopiëren(of niet plakken). Ik weet dat normaliter de restrictie n≠0 geldt voor breuken als zodanig maar dat is specifiek zo omdat het in die referentie niet over variabele functies gaat maar over rationele getallen en het definiëren van breuken. Als je de ratio 0/0 als limietoperatie van een functie verkrijgt ontstaat een onbepaaldheid vanuit het feit dat het nog niet bekend is of er een functiewaarde voor R(x) is op x=n als getal bestaat. De procedure om de limiet te vinden is een ander proces dan het definiëren van een breuk. Als je in het verhaal over breuken m= 0 en n=0 zet ontstaat er de situatie dat in breukenland geen definieerbare betekenis heeft, juist omdat het tot nonsens leidt zoals 0/0=3 en 0/0 =4 waaruit je een onwaarheid kan vormen als je de twee aparte gevallen van 0/0 als een vergelijking gaat opzetten. . .daarom is n=0 uitgesloten in het breukenstelsel. . . dit is noodzakelijk noodzakelijk om gaten in de definitie voor breuken te voorkomen.

In functieanalyse t.o.z.v. limieten gebeurd iets geheel anders: je gaat methoden toepassen om te kunnen constateren hoe een functie zich gedraagt op verschillende punten en daaruit wordt vaak duidelijk wat er in de limiet van toepassing is. Met lagere school uitgangspunten zoals "delen door 0 kan niet" raakt men op een dood spoor. Door rekening dat voor een functieratio de uitkomst van een limiet procedure 0/0 iets anders betekend dan "delen door 0" houdt in dat je iets moois kan bereiken dat je met "delen door 0" mentaliteit nooit zal doorgronden. Vanwege de erkenning (realisatie) dat 0/0 voor functie ratio's uit ander hout gesneden is dan het rekensommetje 5/(3-3) = ??? en het antwoord . . . oeps dat kan/mag niet omdat mijn leraar dat gezegd heeft. Als iemand dit blijft roepen kan ie ook de essentie van de L’Hospital analysemethode niet doorgronden.

Het feit dat een 0/0 uitkomst allerlei waarden kan vertegenwoordigen voor functies op punten waar er 0/0 ontstaat is van een geheel andere orde dan de definitie van breuken.

In geval van R(x) voor x=0 het 0/0 ophoest wordt al lang (door kenners) niet meer geroepen: "Oh, dat kan niet, we houden maar op omdat 0/0 niet in het breukenstelsel past waarvoor de breuk "m/n" alleen kan als n niet 0 is".

De werkelijkheid is juist anders om: Indien voor een functie R(x) met directe substituties x=n de ratio 0/0 ontstaat kan het zijn dat de functiewaarde voor R(n) op x=n een getal is zoals 5 of 4/9 of 1012 dat in ons breukenstelsel past. In dat geval heeft R(n) op x=n precies die waarde. . . .uitzonderingen dat 0/0 nog een andere consequente betekenis zou kunnen hebben.

Het concept dat 0/0 een andere hoedanigheid geeft dan 7/0 zal veel mensen voor altijd blijven ontgaan.

[...]

En in het geval 2x/x hebben beide functies ook dezelfde waarde! Toch vind je het daar geen 1.

Dit is kinderspel. Het antwoord is 2/1. De gradiënten van beide functies hebben voor alle x-waarden een verhouding van 2/1. Omdat we weten dat dit juist is voldoet 2/1 aan de voorwaarden van het breukenstelsel. Zie hierboven.

. . . . Wat je hier doet is 0 * oneindig. Er is geen onderscheid tussen "oneindig" en "twee keer oneindig".

Je overtreedt zelf hier de regeltjes van de rekenkunde $_/-\o_$ . . oneindig is geen getal en dus kan je het niet in de wiskunde als een getal vermenigvuldigen. . uit gemak dan wel slordigheid doen we dat wel vaak.
Ik heb zelf ook wel eens, uit slordigheid dergelijke dingen geschreven maar het is een nono: 5*(∞) en (∞)*(∞) etc, etc zijn geen legitieme rekenkundige operaties

In mijn gebruik van 0*(oneindig) was ik inderdaad slordig

. . . ik ben ook een sloddervos). Ik had in het betreffende argument ook nog een andere fout gemaakt met mijn analogie 3/3 = 3(1/3+1/3+1/3)/1-----> nu de 3-tjes wegstrepen. . .(noem ik ff niet delen door 3)

. . . zodat 3=3(1/3+1/3+1/3) QED

Nu hanteerde ik voor de grap dat ik dat met elk getal kan doen en dus ook met 0 maar beging ook de fout in de opbouw van de methode dat het voor 2/2 -----> 2=(1/2+1/2) zou worden. De elementen tussen de ( ) worden dus in aantal [b]minder] als je kleinere getallen gaat gebruiken. . .logisch, maar ik miste dat en stelde expliciet ten onrechte dat het aantal elementen zou groeien en van daar dat ik uitkwam op

0=0*( 1/0+1/0+. . .) voor 1/1 ---->1=1*(1) Voor 0 krijg ik 0= 0*( ) dus er zit niets tussen de haakjes! Ik had hier de specificatie “0* niets =0” moeten schrijven. Op het einde van mijn grapje blijft 0/0 onbepaald dus kan 0/0 alles zijn.
Voorts weten we inmiddels ook dat als

F(x) = 0*1/x . . .als x-->0 F(x) ---->0 omdat ongeacht hoe groot 1/x is het altijd 0 wordt als je het met 0 vermenigvuldigd. . .een beetje slordig geschreven is dat 0*(∞) =0 zodat 0/0 als grapje als een deling beschouwd kan worden. QED.

Ik weet dat deze analogie voor 0/0 normaliter wordt afgekeurd als ongeldig omdat 0/0 ook iets anders kan betekenen maar als grapje vind ik het wel leuk.

zaterdag 14 februari 2009 15:26

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op zaterdag 14 februari 2009 @ 13:20:
Je post van 14 februari, 13:02, is volstrekt onbegrijpelijk voor mij.

"De functiewaarde keihard ook 1 op g(x) = 0" ???
"R(x) per definitie een identiteit met 0/0 = 1/1" ???
"frunniken" ???
g(0) = 1, waarom is dit een onwaarheid, ik definieerde
g(x) = f(x) als x != 0, en 1 anders, waarom is dit een onwaarheid?
Wat is g2?

Omdat aanvankelijk er sprake was van de functie g(x)= x voor alle waarden van x, en voor x= 0 is g(0)=0
Als je voor x=0 een waarde van 1 er uit krijgt heb je een andere functie gedefinieerd en die functie is g2(x),
en daarvoor geldt op x=0 dat R(0)= f(0)/g2(0) = 0/1 = en niet 1/1 zoals met de originele functie hert geval was.

zaterdag 14 februari 2009 16:51

Acties:

Verwijderd

Nee, f(x) was gedefinieerd door x/x (en niet door f(x) = x !). Dus g(x) definieren in x = 0 als 1 is geen probleem voor de continuiteit, je maakt hier een vergissing.

Je haalt nog steeds lim_{x -> a} f(x) en f(a) door elkaar. Er is een belangrijk verschil tussen deze twee dingen.

zaterdag 14 februari 2009 16:57

Acties:

Verwijderd

Ik kan bovendien wel degelijk een vermenigvuldiging definieren op alle (reele) getallen + {oneindig, -oneindig}. Echter wordt deze functie partieel (niet voor elke combinatie van twee waarden gedefinieerd). Hetzelfde geldt voor optelling.

In tegenstelling tot 0/0 toestaan, is dit wel consistent (het wordt alleen niet vaak gedaan omdat het erg nuttig is dat * en + totaal zijn).

zondag 15 februari 2009 02:35

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op zaterdag 14 februari 2009 @ 16:51:
Nee, f(x) was gedefinieerd door x/x (en niet door f(x) = x !). Dus g(x) definieren in x = 0 als 1 is geen probleem voor de continuiteit, je maakt hier een vergissing.

Je haalt nog steeds lim_{x -> a} f(x) en f(a) door elkaar. Er is een belangrijk verschil tussen deze twee dingen.

Ik ben het er niet mee eens. Ik heb, met uitzondering misschien in het prille begin, op dit punt elke keer de vorm R(x)=f(x)/g(x) = x/x voor het gehele x-domein gehanteerd en opeens ga je g(x) veranderen dat het op x=0 een waarde 1 zou hebben. Je kan uiteraard elke functie aanpassen door het naar wens te transformeren maar dan gaat het niet meer over waar het over ging.

R(x) is duidelijk eenvoudigweg (na een vereenvoudiging) een constante met waarde 1 voor het gehele domein inclusief voor de waarde x=0. De limiet zoals berekend met de procedure x-----> geeft (al dan niet met L'Hospital), via de ratio 0/0 een waarde van 1 en in dit geval is dit ook de functiewaarde op x=0.

Het is uiteraard volstrekte onzin om voor R(x) = f(x)/g(x) = x/x=1 te gaan beweren dat op bepaald punt de waarde 1 niet meer bestaat. Dit voorbeeld illustreert dat de betekenis van 0/0 niet afgedaan kan worden met een simplistische opmerking dat het “delen door 0” betekend en daarom het voor x/x=0/0 voor x=0 de constante waarde 1 niet meer zou bestaan.

Het onderliggende argument vanuit de grafische weergave van de functies f en g is dat voor alle waarden van x df/dx = dg/dx geld. De betekenis hiervan is dat ze identiek zijn en dus vandaar uit the ratio x/x geldt voor alle x/waarden.
*****************************************************
@ je opmerking van 14-02-09 om 16:57

Ik kan bovendien wel degelijk een vermenigvuldiging definieren op alle (reele) getallen + {oneindig, -oneindig}. Echter wordt deze functie partieel (niet voor elke combinatie van twee waarden gedefinieerd). Hetzelfde geldt voor optelling.

Je schermt wel zeer gemakkelijk met stellingen maar geeft weinig voorbeeld van de uitwerking t.a.z.v. wat er werkelijk vanuit een uitvoering gebeurd.

Een vermenigvuldiging c.q. optellen uitgevoerd op oneindig creëert onzin omdat oneindig geen getal is(niet alleen mijn definitie).
2*(∞). . .indien je het zou aanvaarden in een rekensom. . .wordt 1*(∞) en daar kan je niets mee. Het zelfde voor (∞)+(∞) =(∞) betekend niets als een rekenkundige operatie. Misschien bedoel je iets anders. Het zou verlichtend zijn om voorbeelden te laten zien. Misschien steek ik er dan iets van op.

In tegenstelling tot 0/0 toestaan, is dit wel consistent (het wordt alleen niet vaak gedaan omdat het erg nuttig is dat * en + totaal zijn).

Deze opmerking begrijp ik niet. Wat betekend het?

[ Voor 25% gewijzigd door Verwijderd op 15-02-2009 03:02 ]

zondag 15 februari 2009 04:06

Acties:

Verwijderd

Verwijderd schreef op zaterdag 14 februari 2009 @ 13:20:
Je post van 14 februari, 13:02, is volstrekt onbegrijpelijk voor mij.

"De functiewaarde is keihard ook 1 op g(x) = 0" ???

Het zou duidelijk moeten zijn dat ik hier naar de functie R(x) = f(x)/g(x) = x/x refereer.
Ook is het duidelijk dat op het punt dat g(x)=0 dit zo is voor x=0. Misschien had ik g(0) = 0 moeten gebruiken, maar omdat de gele discussie gaat over f(x) = 0 op x=0 en g(x)= 0 op x=0 lijkt het mij wel duidelijk maar g(0) zou beter geweest zijn. Mijn slordigheid!

"R(x) per definitie een identiteit met 0/0 = 1/1" ???

De functies f(x)=x en g(x)=0 zijn het zelfde en dat noem ik een identiteit, vertaalt uit het Engels "identity"( ≡). Dus f(x) ≡g(x). Met in achtneming dat overal (elke waarde voor x) f(x)/g(x) =1/1
omdat f(x)/x= 1 en g(x)/x= 1

Vandaar dat R(x) = 1/1=1 in het gehele x-domein

"frunniken" ???

Inderdaad! Het ging in de discussie aanvankelijk over de ratio f(x)=x/x. Vanwege het gebruik van L'Hospital in de standaard vorm: Limiet f(x)/g(x)_(x----->0) ---------> df(x)/dg(x) geeft de limietwaarde voor x/x voor x---->0
De functie x/x werd in diverse posts als f(x)/g(x) gedefinieerd. . .geldig voor alle x-waarden. Die definitie hanteerde ik

Jij stelde opeens dat g(x) voor x=0 de waarde 1 zou hebben en dat noem ik frunniken. Er was helemaal geen sprake van het veranderen van een functie om x/x een gewenste uitkomst af te dwingen. Ik noemde jou functie g2(x) omdat het een andere functie was dan g(x) waar ik mee werkte.

Misschien bedoelde je dat in plaats van f(x) =x/x je g(x) =x/x zou gebruiken met de extra definitie dat op x=0 g(0)=1 waar zou zijn zodat je dan zou uitkomen op g(x) voor x=0 . . .dus g(0)=1. . . en g(x)= x/x voor alle andere waarden voor x. Indien je dat bedoelde verwerp ik het ook als "frunniken" omdat je de aanvankelijke functie x/x voor alle x-waarden de deur uit flikkerde en een nieuwe functie definieerde om je gelijk te halen. In het Engelsl noemen we dat "cooking the results"

g(0) = 1, waarom is dit een onwaarheid, ik definieerde
g(x) = f(x) als x != 0, en 1 anders, waarom is dit een onwaarheid?

Precies. DAT is frunniken omdat je de functie waar ik het ging veranderde.

Wat is g2?

Dat is de nieuwe functie die jij zomaar in het spel gooide om een antwoord te krijgen dat je wenste. . .dat was om op x=0 de functie-waarde x/x op 1 te zetten zodat je de ratio 0/0 kon vermijden. Het frunniken is niet nodig omdat R(x)=x/x op x=0 op eigen kracht waarde 1 heeft.

zondag 15 februari 2009 11:21

Acties:

Does not compute.

Het gaat hier om een functie van de reele getallen naar de reele getallen. De functie-waarde, waar deze gedefinieerd is, is gelijk aan x / x. Echter, in iedere gangbare vorm van wiskunde gebruikte definitie van de reele getallen heeft het element 0 geen multiplicatieve inverse. Dit betekent dat voor iedere a, de uitdrukking a / 0 geen betekenis heeft.

Dus hoe je ook frummelt met ratios en identiteiten, de functie x / x, zal voor x = 0 geen betekenis hebben. De functie x / x bestaat dus niet als x = 0. Je kunt die functie uitbreiden zodat deze wel bestaat als x = 0 en ook nog eens continu is, maar dan is het niet meer de functie x / x (voor alle x in R).

Wat wordt het, Vortex2, blijf je bij je eigen interpretatie van de wiskunde waarin allerlei slecht gedefinieerde toestanden mogelijk zijn? In dat geval is deze discussie snel afgelopen. Of zullen we toch maar de wiskunde gebruiken zoals die door de rest van de wiskundige wereld gebruikt wordt?