Probleem met logaritmisch differentieren

[Xqlusive]

Neem de functie y(x ) = (x-1)(x-2)(x-3)

Eerst differentieren op de normale manier,

code:

 y(x)= (x-1)(x-2)(x-3) = (x^2-3x+2)(x-3) = x^3-6x^2+11x-6
 y'(x)= 3x^2-12x+11

De afgeleide op y'(1) = 2

Stel je nu voor dat er veel meer factoren zijn, dan is deze methode niet meer te doen, daarom dus logaritmisch differentieren.

code:

 y(x)= (x-1)(x-2)(x-3) =
ln y(x) = ln|x-1| + ln|x-2| + ln|x-3|
1/y*y'= 1/(x-1) + 1/(x-2) + 1/(x-3)
y'= (1/(x-1) + 1/(x-2) + 1/(x-3)) * (x-1)(x-2)(x-3)

als ik hier nu de afgeleide op y'(1) bepaal dan komt hier 0 uit, omdat 1 een nulpunt van de functie y is.
Doe ik iets verkeerd, of is dit gewoon een beperking in het logarisch differentieren?

[Loenhoet]

Als je de laatste formule uitschrijft, zie je het antwoord:

code:

y' = (1/(x-1) + 1/(x-2) + 1/(x-3)) * (x-1)(x-2)(x-3)
y' = (x-1)(x-2)(x-3)/(x-1) + (x-1)(x-2)(x-3)/(x-2) + (x-1)(x-2)(x-3)/(x-3)
y' = (x-2)(x-3) + (x-1)(x-3) + (x-1)(x-2)

De laatste twee zijn gelijk aan nul, de eerste is gelijk aan twee.

[ Voor 78% gewijzigd door Loenhoet op 21-01-2009 21:43 ]

[Xqlusive]

Loenhoet schreef op woensdag 21 januari 2009 @ 21:38:
Als je de laatste formule uitschrijft, zie je het antwoord:

code:

y' = (1/(x-1) + 1/(x-2) + 1/(x-3)) * (x-1)(x-2)(x-3)
y' = (x-1)(x-2)(x-3)/(x-1) + (x-1)(x-2)(x-3)/(x-2) + (x-1)(x-2)(x-3)/(x-3)
y' = (x-2)(x-3) + (x-1)(x-3) + (x-1)(x-2)

De laatste twee zijn gelijk aan nul, de eerste is gelijk aan twee.

Ik zie dat het dan idd wel klopt, gelukkig hoeft dit alleen maar met nulpunten, want met meerdere factoren is het nog aardig wat schrijfwerk.

Nu ik erover nadenk kan ik de nulpunten ook in mijn voordeel gebruiken door de productregel te gebruiken.

stel ik heb een lange reeks factoren waar (x-6) ook in zit, nu stel ik (x-6) gelijk aan f(x) en de rest gelijk aan g(x).

nu hoef ik alleen maar f'(6)*g(6) te bepalen, wat dan een oplossing is voor het nulpunt 6. Dit klopt toch, of zie ik nog iets over het hoofd?

[dkrijgsman]

als je idd hebt:
h(x)=f(x)*g(x), met f(x)=x-6
dan geldt voor de afgeleide
h'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
nu de afgeleide in het punt x=6
h'(6)=f'(6)*g(6)+f(6)*g'(6)=1*g(6)+0*g'(6)=g(6)