Waarom kunnen we eenheden niet direkt meten?

[pazzje]

Ik loop al een tijdje rond met deze vraag en dacht laat ik hem eens plaatsen.

Om de vraag effe te verduidelijken:

Als we iets meten komt er een resutaat, echter wordt dit resultaat afgeleid uit een andere waarneming.

Voorbeeld:

We meten de temperatuur met een kwikthermometer:

Het kwik zet uit en we op de schaalverdeling hoe warm het is. Echter meten we de temperatuur niet rechtstreeks. We meten de uitzetting van het kwik.

Ander voorbeeld:

Snelheid:
Vaak word hier een afstands(omwentelinen)/tijdmeting voor gedaan waar dan de snelheid wordt afgeleid. Wederom wordt de snelheid niet rechtstreeks gemeten.

Gewicht:
Weegschalen meten niet rechtstreeks het gewicht maar het samendrukken van een veer of ander element.


Mijn vraag is dus ook, zijn er grootheden die rechtstreeks gemeten kunnen worden of worden alle metingen afgeleid uit andere elementen?. En als dat zo is, hoe kan dat?

[Verwijderd]

Sorry, maar als je even goed je eigen vraag leest, dan snap je het antwoord toch wel?

Grootheid meet je dmv een eenheid en die moet je met een instrument meten. Je kan zeggen het is 3 temperatuur of we hebben 8 snelheid. Je meetinstrument definieerd de eenheid, je kan grootheid niet meten.

[ Voor 55% gewijzigd door Verwijderd op 27-12-2008 18:07 ]

[Fish]

Snelheid is een slecht voorbeeld, uitgedrukt in "meters" per "seconde"
Gewicht ook "Massa" maal de gravitatie in "meters" per "seconde" in het kwadraat

Neem bijv. de meter deze is zelfs al gebasseerd op iets basaal als een (willekeurig) stuk ijzer.
het is altijd een vergelijk die je maakt met iets wat iemand als standaard heeft gemaakt

temperatuur, 1 graden is een 100ste van het vershil tussen bevroren en kokend water.


De basis van deze eenheden is al gebaseerd op observaties van andere elementen

[ Voor 34% gewijzigd door Fish op 27-12-2008 18:26 ]

[Jorrit]

[flauw antwoord] Omdat we grootheden meten en die in eenheden uitdrukken[/flauw antwoord]

Overigens zijn ook ook wel weegschalen (balansen) die gewicht min of meer rechtstreeks meten. Daarnaast heb je natuurlijk gemak, het uitzetten van kwik is nauwkeurig genoeg voor elke dagelijke toepassing om temperatuur te meten, om daarvoor de kinetische energie van elke deeltje te gaan bepalen is nodeloos ingewikkeld.

fish schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:11:
[knip]

Neem bijv. de meter deze is zelfs al gebasseerd op iets basaal als een (willekeurig) stuk ijzer.
het is altijd een vergelijk die je maakt met iets wat iemand als standaard heeft gemaakt

[knip]

Ondertussen is de definitie van de meter de afstand die licht aflegt in een bepaalde tijd, zie Wikipedia: Meter

[ Voor 36% gewijzigd door Jorrit op 27-12-2008 18:18 ]

[Fish]

Jorrit schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:15:
[flauw antwoord] Omdat we grootheden meten en die in eenheden uitdrukken\[/flauw antwoord]

Overigens zijn ook ook wel weegschalen (balansen) die gewicht min of meer rechtstreeks meten. Daarnaast heb je natuurlijk gemak, het uitzetten van kwik is nauwkeurig genoeg voor elke dagelijke toepassing om temperatuur te meten, om daarvoor de kinetische energie van elke deeltje te gaan bepalen is nodeloos ingewikkeld.

Dan nog, ben je energie aan het meten om daarmee het gewicht te meten

[begintmeta]

TS, hoe wil je temperatuur kunnen zien?

[Jorrit]

fish schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:17:


Dan nog, ben je energie aan het meten om daarmee het gewicht te meten

Je meet dan wel degelijk rechtstreeks de temperatuur aangezien temperatuur onze benaming is voor een verzameling kinetische energieën van een heleboel deeltjes.

[BCC]

Ik vraag me ook eigenlijk af of een groot gedeelte van de eenheden niet "onhandig" gedefineerd is. Ik kan me bijvoorbeeld voorstellen dat je met een andere (niet liniare?) maat voor afstand de oppervlakte van bijvoorbeeld een cirkel niet 3,14*r^2 is maar 1*r^2.

[Fish]

Jorrit schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:15:
Ondertussen is de definitie van de meter de afstand die licht aflegt in een bepaalde tijd, zie Wikipedia: Meter

En waar denk je dat die op is gebaseerd ? dat zelfde stuk ijzer
(en ja het heeft minder last van slijtage waardoor het in praktijk beter is te gebruiken)

@jorrit,

Luister wat je zegt, je meet energie, om de temperatuur te bepalen. je meet dus iets anders.
die zelfde graad is gebasserd op de observatie van water in verschillende toestanden


als ik er over nadenk, gewicht de kilo, 10cm³water is eigenlijk ook al gebaseerd op op de meter

[ Voor 15% gewijzigd door Fish op 27-12-2008 18:30 ]

[BCC]

fish schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:26:
[...]
als ik er over nadenk, gewicht de kilo, 10cm³water is eigenlijk ook al gebaseerd op op de meter

En op temperatuur, want dat geldt alleen maar bij een bepaalde temperatuur.

[frickY]

fish schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:26:
Luister wat je zegt, je meet energie, om de temperatuur te bepalen. je meet dus iets anders.
die zelfde graad is gebasserd op de observatie van water in verschillende toestanden

Dat is nou eenmaal de definitie van temperatuur

[Jorrit]

BCC schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:25:
Ik vraag me ook eigenlijk af of een groot gedeelte van de eenheden niet "onhandig" gedefineerd is. Ik kan me bijvoorbeeld voorstellen dat je met een andere (niet liniare?) maat voor afstand de oppervlakte van bijvoorbeeld een cirkel niet 3,14*r^2 is maar 1*r^2.

Kort antwoord, nee. zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde)

fish schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:26:
[...]

En waar denk je dat die op is gebaseerd ? dat zelfde stuk ijzer
(en ja het heeft minder last van slijtage waardoor het in praktijk beter is te gebruiken)

Ja, maar wat maakt dat uit? De meter is gewoon een afstand die zo gedifinieerd is, het is inherent aan eenheden

@jorrit,

Luister wat je zegt, je meet energie, om de temperatuur te bepalen. je meet dus iets anders.
die zelfde graad is gebasserd op de observatie van water in verschillende toestanden

Nee, temperatuur is een uitdrukking van een metatoestand van een systeem waarbij de gemiddelde kinetische energie van de atomen de maat is. Temperatuur is per definitie afgeleid aangezien het een gemiddelde over een systeem of lichaam is Wikipedia: Temperature

[Morty]

fish schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:26:
[...]

En waar denk je dat die op is gebaseerd ? dat zelfde stuk ijzer
(en ja het heeft minder last van slijtage waardoor het in praktijk beter is te gebruiken)

En dat stukje ijzer is dus weer gebaseerd op de omtrek van de aarde
Het vaststellen van eenheden is altijd enigzins arbitair, maar er zit altijd wel een gedachte achter. (behalve dan de imperial eenheden, die tegenwoordig zelfs zijn gedefinieerd aan de hand van SI eenheden )
Zoals vries- en kookpunt van water voor graden celcius, gewicht van een liter water voor kilogram, en omtrek van de aarde dus voor de meter.

[Verwijderd]

Een aantal antwoorden hierboven zijn inderdaad flauw. De vraag is echter zeer fundamenteel en ligt ten grondslag aan wetenschap/engineering/technologie.

Als je vanuit niets begint vraag je je zelf bijvoorbeeld: "Hoe ver staat die boom daar van me af?" Als je dat niet wilt weten hoef je niets te bedenken om te meten hoever weg die boom is.

Het stellen van de vraag ishet begin van wetenschap. . . het begrip afstand is de basis. . je hoeft er geen definitie van anderen voor te hebben om te beseffen dat er zo iets als “afstand” bestaat. . dit is een basis begrip(Grootheid in het Nederlands).

De afstand (de grootheid) kan je direct meten met een willekeurige referentie. . .niemand hoeft het te begrijpen tenzij je er met anderen over wilt praten.

Je neemt een aantal stappen en definieert het “ongeveer 34,5 stappen”. He hebt nu de afstand direct gemeten en je weet wat de afstand is. Niks geen geknoei met berekeningen of afgeleiden.

Als je een ietwat meer precies wilt zijn neem je een de golflengte van gamma-straling en meet daar de afstand direct mee.

Er zijn grootheden die je direct kan meten. Met snelheid kan dat in principe ook maar is minder gemakkelijk: als een hond even snel loopt als jij kan je zeggen: “die hond loop 1x zo snel als ik”. Je weet dan hoe snel die hond liep op het moment je de meting uitvoerde. . . dat die hond misschien ook met een andere snelheid kan lopen is niet interessant. Dat niemand anders weet hoe snel jij loopt is geen meetprobleem maar een communicatie probleem. Om er over te kunnen praten moet je 1xjouw snelheid omzetten naar de een referentiesnelheid.

Er zijn zaken die niet gemakkelijk of geheel niet direct te meten zijn. Temperatuur bijvoorbeeld: Je hebt een idee dat het iets te maken heeft met warmte maar dat weet je het niet direct te definiëren met een directe observatie . . je kan het "koud" hebben maar dan weet je nog niets. Je kan het vriezen van water definiëren als 250 maar dan weet je nog niets over hoe temperatuur zich gedraagt als het water heter wordt omdat je daar geen inzicht in hebt. . OK, je kan kokend water als 359 definiëren maar dat weet je nog niets over de temperatuur als water half gekookt is . . .het betekend namelijk niets en je weet niet waar je op de schaalverdeling moet kijken.

Met temperatuur moet je dus op een structurele manier een schaalverdeling gaan opmaken die consequent is met het idee van warmte opname zodat er geen tegenstrijdige antwoorden ontstaan als je diverse “warme broodjes” gaat meten. Het opzetten van een consequente temperatuurdefinitie is een proces geweest dat vele jaren geduurd heeft en door diverse knappe koppen aan gewekt is . . en geleid heeft tot een methode die op kinetische theorie van elementaire deeltjes is gebaseerd en dat kan je niet direct meten.

Dus het wel of niet kunnen meten van grootheden die we kunnen bedenken is a zaak van praktische aangelegenheden en inzicht in het fenomeen. Het belangrijkste is dat zodra de definitie van een grootheid bedacht is op basis van begrip er voor dan wordt het een zaak van het vinden van een consequente manier om voor die grootheid een eenheid te definiëren waarmee de grootheid, min of meer zuiver, gemeten of berekend kan worden.

[BCC]

Jorrit schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:40:
Kort antwoord, nee. zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde)

Pi is inderdaad geen goed voorbeeld hier omdat het om een verhouding gaat tussen twee afstanden. Maar je begrijpt het idee blijkbaar wel .

[Verwijderd]

BCC schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:25:
Ik vraag me ook eigenlijk af of een groot gedeelte van de eenheden niet "onhandig" gedefineerd is. Ik kan me bijvoorbeeld voorstellen dat je met een andere (niet liniare?) maat voor afstand de oppervlakte van bijvoorbeeld een cirkel niet 3,14*r^2 is maar 1*r^2.

Zoiets kan inderdaad voorgesteld worden maar dan verlaat je de gedefinieerde begrippen voor maatvoering en structuur die andere mensen begrijpen op basis van afspraken. Met andere definities creëer je specifieke situaties die voor een bepaalde toepassing doeltreffend zijn. Een voorbeeld hiervan is het gebruik van ronde millimeters (mm^o)in plaats van vierkante millimeters (mm²) voor de oppervlakte van cirkelvormige objecten: de diameter wordt dan bijvoorbeeld in lineaire mm gemeten en het oppervlak in mm^o.

Je krijgt dan bij voorbeeld de volgende relatie

Voor
D= 0,947594645 mm -----> A= 5 mm^o

En dit betekend eenvoudigweg. . .in dit specifieke voorbeeld. . . dat op het oppervlak van een cirkel met een diameter van 0,947594645 mm er 5 cirkelvormige oppervlakjes ingevuld kunnen worden(5 mm^o . . .5 ronde millimeters) met elk een oppervlak van een cirkel met een radius van 0,211888604 mm. Als formule krijg je

A[mm^o]=5,568327997*D[mm]²

en zo krijg je in plaats van de bekende ratio pi/4= 3,141592654/4 een willekeurig gewenste ratio tussen oppervlak en D².

In dit geval 5 cirkels met r=0,211888604 mm hebben het zelfde oppervlak als 1 cirkel met D=0,947594645 mm. Dit voorbeeld is duidelijk onhandig en is slechts gekozen als voorbeeld dat eenheden voor grootheden willekeurig gekozen kunnen worden.

Je kan in principe met wiskunde ook goochelen zodat je voor een niet-liniair oppervlak A=1*r² waar kunt maken met de voorwaarde dat de radius met onze bekende lengte-eenheid (de meter) gemeten wordt. Dit houdt in dat het oppervlak beschouwd moet worden als een wiskundig membraan dat op een gedefinieerde manier uitgerekt wordt en dat de lengte-eenheden om het oppervlak mee te meten in het membraan vastgezet worden voordat het membraan uitgerekt word en in de cirkel "geplakt" wordt. . .de lengte eenheden waarmee je het oppervlak gaat meten zijn dan ook uitgerekt. Een sectie van het membraan binnen in de cirkel wordt zodanig uitgerekt dat een oppervlakte integratie over een oppervlak dA(met uitgerekte eenheden) het getal A=r² als uitkomst heeft. . . .het membraan-oppervlak is dus gemiddeld met een factor van pi uitgerekt zodat er maar r² oppervlakte eenheden op het membraan geteld kunnen worden. Het membraan kan op een oneindig aantal manieren uitgerekt worden en wederom is deze definitie alleen geldig voor een specifiek geval.

Het zijn leuke wiskundige spelletjes maar het heeft weinig nut om het voor een Euclidiaanse “wereld” te gebruiken. Als je echter met het oppervlak van een bol gaat stoeien kan je iets vergelijkbaars bereiken als je de radius R van het center van de bol (bijvoorbeeld de aarde) meet en het oppervlak gaat meten op een omtrekcirkel die noordelijk of zuidelijk van de evenaar ligt. Je kan dan een noordelijke en zuidelijke hoogtegraad vinden waarvoor het aardoppervlak ten noorden c.q. ten zuiden er van de aardoppervlaktemaat R² heeft. In dit geval zijn de lengte-eenheden voor de diameter en het oppervlak identiek. . .(niet uitgerekt t.o.z.v. elkaar). Dergelijke relaties geld dus alleen op bepaalde plekken.

Een vergelijkbare situatie onstaat als je ruimte-krommingen vanwege gravitatie in beschouwing neemt. Voor elke situatie onstaat dan locaal specifieke meetkundige verhoudingen voor oppervlakken en volumes op basis van een niet-liniaire lengte eenheid.

[Bartjuh]

De snelheid is de eerste tijdsafgeleide van de afstand (fluxi), en als je de afstand kan meten naar de tijd, kan je toch ook de eerste tijdsafgeleide bepalen?

Je zal dus altijd een stukje delta t (stukje tijd; bemonstertijd) moeten hebben om de snelheid van een object te bepalen. Zie niet in hoe je dit instantaan kan doen

Je kan wel dmv van v = p/m (v snelheid, p impuls, m massa) de snelheid bepalen na een impuls. Of v = integraal(F dt) / m.

[Verwijderd]

Bartjuh schreef op dinsdag 30 december 2008 @ 11:56:
De snelheid is de eerste tijdsafgeleide van de afstand (fluxi), en als je de afstand kan meten naar de tijd, kan je toch ook de eerste tijdsafgeleide bepalen?

Je zal dus altijd een stukje delta t (stukje tijd; bemonstertijd) moeten hebben om de snelheid van een object te bepalen. Zie niet in hoe je dit instantaan kan doen

Je kan wel dmv van v = p/m (v snelheid, p impuls, m massa) de snelheid bepalen na een impuls. Of v = integraal(F dt) / m.

Nee hoor Calculus is niet nodig!

Een snelheid in m/s is een wetenschappelijke constructie. Voordat dit soort kennis gemeengoed was kon men snelheid vergelijken met die van dieren of andere mensen: "Ahh, onze best jager Jachtluipaard rent haast net zo snel als een gazelle". Zoiets kon men direct constateren als een gazelle net niet door Jachtluipaard gepakt kon worden.

Differentiaal calculus is niet nodig om zoiets te kunnen opmerken. . .iedereen in de primitieve groep jagers wist dan hoe snel Jachtluipaard kon rennen.

Sommige indianen konden “als de wind” zo snel rennen. In de parabel van de haas en de schildpad wordt er ook met geen wordt gerept over afgeleiden maar het raadsel was hoe de schildpad “sneller” kon zijn dan de haas. Het begrip snelheid staat los van onze moderne eenheden.

[Bartjuh]

Verwijderd schreef op dinsdag 30 december 2008 @ 12:31:
[...]
Nee hoor Calculus is niet nodig!

Een snelheid in m/s is een wetenschappelijke constructie. Voordat dit soort kennis gemeengoed was kon men snelheid vergelijken met die van dieren of andere mensen: "Ahh, onze best jager Jachtluipaard rent haast net zo snel als een gazelle". Zoiets kon men direct constateren als een gazelle net niet door Jachtluipaard gepakt kon worden.

Differentiaal calculus is niet nodig om zoiets te kunnen opmerken. . .iedereen in de primitieve groep jagers wist dan hoe snel Jachtluipaard kon rennen.

Sommige indianen konden “als de wind” zo snel rennen. In de parabel van de haas en de schildpad wordt er ook met geen wordt gerept over afgeleiden maar het raadsel was hoe de schildpad “sneller” kon zijn dan de haas. Het begrip snelheid staat los van onze moderne eenheden.

Dan vergelijk je het dus met een ander object over een periode van tijd en kom je tot de conclusie dat de afstand tussen beide nagenoeg gelijk is gebleven; en dus wel nagenoeg dezelfde snelheid moeten hebben.

Ik denk dat de fout in zeno's paradox over de haas en de schildpad hem zit in het feit dat ze alleen uitgaan van afstand. Maar ze nemen voor elk volgende 'bemonsterpunt' niet de gereduceerde tijd (naast afstand) in ogenschouw. Volgens mij convergeert een dergelijke reeks ook naar een bepaalde afstand (die nooit wordt bereikt als men blijft uitgaan van afstand), en die afstand is precies de afstand waar de haas de schildpad zou inhalen als men het probleem zou aanpakken in de tijd.

Opnieuw zou ik niet weten hoe je snelheid instantaan zou kunnen meten

[Techneut]

BCC schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:25:
Ik vraag me ook eigenlijk af of een groot gedeelte van de eenheden niet "onhandig" gedefineerd is. Ik kan me bijvoorbeeld voorstellen dat je met een andere (niet liniare?) maat voor afstand de oppervlakte van bijvoorbeeld een cirkel niet 3,14*r^2 is maar 1*r^2.

Meer een o.h.-voorstel dan serieus. Op zich niet zo erg af en toe, tenslotte kan een gek (ik noem jou beslist niet gek ) meer vragen dan tien wijzen kunnen antwoorden. De uitdaging is dan om kort en krachtig te antwoorden. Maar bij niet één antwoord zie ik nog iemand wijzen op de consequentie, nl. dat de omtrek van een cirkel die in correcte termen 3,14*d is gelijk zou worden aan de middellijn. Is tegenstrijdig, dus je voorstel kan niet.

Al met al, pi (3,1415......) is een gegeven en niet een afspraak en is eenheidonafhankelijk. Of je nou mm neemt of cm, inches, mijlen of wat dan ook, b.v. de grootte van jouw schoenzool, die verhouding blijft pi.

[Verwijderd]

Bartjuh schreef op dinsdag 30 december 2008 @ 19:54:
[...]

Ik denk dat de fout in zeno's paradox over de haas en de schildpad hem zit in het feit dat ze alleen uitgaan van afstand. Maar ze nemen voor elk volgende 'bemonsterpunt' niet de gereduceerde tijd (naast afstand) in ogenschouw. Volgens mij convergeert een dergelijke reeks ook naar een bepaalde afstand (die nooit wordt bereikt als men blijft uitgaan van afstand), en die afstand is precies de afstand waar de haas de schildpad zou inhalen als men het probleem zou aanpakken in de tijd

Het raadsel over de haas en de schildpad heeft niets met Zeno te maken. Het ging hier om een slimme oplossing met twee schildpadden die de haas fopte:+ Het punt was dat snelheid als een begrip(grootheid) aanvankelijk niets met eenheden zoals afstand en tijd te maken had maar meer dat een sommige dieren als snel en anderen als langzaam gezien werden. Zodra je eenheden gaat opmaken om iets de meten krijg je te maken met vergelijking met een standaard. . .de voet, de el, de duim. . . noem maar op. In deze zin is de snelheid van een gazelle een referentie (maar dan is het duidelijk alleen zo . . .bij afspraak. . .als ie gazelle hard rent om het vege lijf te redden).

Opnieuw zou ik niet weten hoe je snelheid instantaan zou kunnen meten

Om iets te meten moet je eerst het begrip voor de grootheid opmaken. Zodra je dat hebt gedaan kan je allerlei voorbeelden bedenken waar de uitslag direct bepaald wordt: stel dat je de referentie neemt als de auto van Jan en je wilt weten of jou auto even snel kan gaan. Je gaat eenvoudigweg racen en je kijkt wie de ander voorbij gaat op een lange weg. Je hoeft geen enkele meting van afstand of tijd uit te voeren. Als je echter bij voorbaat gaat eisen dat het antwoord in eenheden van afstand over tijd moet zijn dan pin je je zelf vast in een stramien waar je niet uit komt.

In Formula I racing wordt er in principe niet naar de eindsnelheid of de totale racetijd gekeken om de winnaar te bepalen: de essentie van de race is echter wel om de snelste te zijn. Dat is een soort directe meting maar niet in de vorm waar jij naar zoekt.

Uiteraard ben ik het met je eens dat als je heel precieze antwoorden wilt hebben je min of meer op de moderne afgeleide definities uitkomt. Maar dan nog kan je de snelheid van bijvoorbeeld een auto [b]achteraf[b/] uitrekenen door eerst een direct observatie uit te voeren met bijvoorbeeld een apparaat dat met dopplershift werkt. Je meet eenvoudigweg de golflengte-krimp of uitrekking en dat is een directe maatstaf voor snelheid. . .je hoeft het niet als m/s uit te gaan rekenen als je dat niet wilt doen of als het niet nodig is. Het zou eenvoudig zo geregeld kunnen worden dat je een boete voor te snel rijden krijgt als de golflengte van het meetsignaal bij X% de golflengte van het referentie signaal overschrijdt (of er onder valt).

Een automobilist zou hier echter een probleem mee hebben omdat hij gewend is in termen van km/uur te denken en hij heeft zelf geen begrip voor een directe meting vanuit golflengte verandering van een referentiesignaal. Technisch gezien is een dergelijke meting acceptabel zowel als uiterst accuraat.

[Bartjuh]

Verwijderd schreef op woensdag 31 december 2008 @ 00:03:
[...]
Het raadsel over de haas en de schildpad heeft niets met Zeno te maken. Het ging hier om een slimme oplossing met twee schildpadden die de haas fopte:+

Ik dacht dat je deze bedoelde; Wikipedia: Zeno's paradoxes
"Achilles and the tortoise"

Om iets te meten moet je eerst het begrip voor de grootheid opmaken. Zodra je dat hebt gedaan kan je allerlei voorbeelden bedenken waar de uitslag direct bepaald wordt: stel dat je de referentie neemt als de auto van Jan en je wilt weten of jou auto even snel kan gaan. Je gaat eenvoudigweg racen en je kijkt wie de ander voorbij gaat op een lange weg. Je hoeft geen enkele meting van afstand of tijd uit te voeren. Als je echter bij voorbaat gaat eisen dat het antwoord in eenheden van afstand over tijd moet zijn dan pin je je zelf vast in een stramien waar je niet uit komt.

Waar je eigenlijk op doelt is dat snelheid in feite altijd relatief is. Je kan eigenlijk van geen object zeggen dat het 'die bepaalde snelheid' heeft, want dat betekend ook dat je moet specificeren ten opzicht van welk ander object de snelheid wordt uitgedrukt.. Het verschil dat de twee referentiestelsel met elkaar maken. Op aarde vergelijken we altijd met het referentiestelsel van de aarde in principe.

Uiteraard ben ik het met je eens dat als je heel precieze antwoorden wilt hebben je min of meer op de moderne afgeleide definities uitkomt. Maar dan nog kan je de snelheid van bijvoorbeeld een auto [b]achteraf[b/] uitrekenen door eerst een direct observatie uit te voeren met bijvoorbeeld een apparaat dat met dopplershift werkt. Je meet eenvoudigweg de golflengte-krimp of uitrekking en dat is een directe maatstaf voor snelheid. . .je hoeft het niet als m/s uit te gaan rekenen als je dat niet wilt doen of als het niet nodig is. Het zou eenvoudig zo geregeld kunnen worden dat je een boete voor te snel rijden krijgt als de golflengte van het meetsignaal bij X% de golflengte van het referentie signaal overschrijdt (of er onder valt).

Och ja, tuurlijk, het dopplereffect

[Verwijderd]

Bartjuh schreef op donderdag 01 januari 2009 @ 16:33:
[...]

Ik dacht dat je deze bedoelde; Wikipedia: Zeno's paradoxes
"Achilles and the tortoise"

Nee, die bedoelde ik niet, maar het is misschien daarvan afgeleid. De Achilles/tortoise paradox is vergelijkbaar in dat het op foute elementen in een logische redenering berust. Het "Haas en Schildpad" verhaal is een raadsel dat de Slimme Haas niet kon oplossen toen de schildpad in elke race als winnaar uit de bus kwam :-). Omdat er twee schildpadden de haas fopte(bedrog pleegde) is er geen sprake van een traditionele paradox.

[snelheid relatief?]

Waar je eigenlijk op doelt is dat snelheid in feite altijd relatief is.

Nee dat bedoel ik niet. Snelheid kan ook als absoluut gedefinieerd worden.

Je kan eigenlijk van geen object zeggen dat het 'die bepaalde snelheid' heeft, want dat betekend ook dat je moet specificeren ten opzicht van welk ander object de snelheid wordt uitgedrukt.. Het verschil dat de twee referentiestelsel met elkaar maken. Op aarde vergelijken we altijd met het referentiestelsel van de aarde in principe.

Dit is niet 100% wat ik bedoelde. Om een meting uit te voeren heb je inderdaad een referentie nodig, maar het feit dat je een referentie nodig hebt om iets te meten houdt niet in dat alle metingen indirect zijn zoals je voor snelheid aanvankelijk veronderstelde. De snelheid c (stralingsconstante) wordt tegenwoordig door velen als een absolute referentie beschouwd en dat is mogelijk zonder het in eenheden uit te drukken. . .dat doe je pass als je met gekozen eenheden een numeriek antwoord wilt geven. Het besef dat licht zich zelf zeer snel voortplant staat er los van. Een voorbeeld van een speciale eenheid is c=1. . .gewoon een getal voor gebruik in wiskundige vergelijkingen. Andere snelheden kan je dan als 0,6 of 2,4 uitdrukken. . .of V=2,4 wel of niet mogelijk is staat daar buiten.

Op aarde gebruiken we overigens veel meer snelheidsreferenties dan alleen de aarde zelf.

[...]

Och ja, tuurlijk, het dopplereffect

[ILUsion]

Verwijderd schreef op donderdag 01 januari 2009 @ 17:47:
Dit is niet 100% wat ik bedoelde. Om een meting uit te voeren heb je inderdaad een referentie nodig, maar het feit dat je een referentie nodig hebt om iets te meten houdt niet in dat alle metingen indirect zijn zoals je voor snelheid aanvankelijk veronderstelde. De snelheid c (stralingsconstante) wordt tegenwoordig door velen als een absolute referentie beschouwd en dat is mogelijk zonder het in eenheden uit te drukken. . .dat doe je pass als je met gekozen eenheden een numeriek antwoord wilt geven. Het besef dat licht zich zelf zeer snel voortplant staat er los van. Een voorbeeld van een speciale eenheid is c=1. . .gewoon een getal voor gebruik in wiskundige vergelijkingen. Andere snelheden kan je dan als 0,6 of 2,4 uitdrukken. . .of V=2,4 wel of niet mogelijk is staat daar buiten.

Maar door de lichtsnelheid als referentie te nemen, meten we juist ook indirect; en zitten we eigenlijk ook weer met eenheden vast. De eenheid wordt dan niet m/s, maar juist de eenheid 'c'. De numerieke waardes daarachter maken zoals je zegt inderdaad niet uit; of je iets nu wilt uitdrukken als 0.5 c of 150 000km/s of een heel exotische maat. We hebben nu eenmaal die referenties nodig om eenduidig tegenover elkaar te zijn: deze waarde met die eenheid, stemt overeen met een grootheid die zus of zo is. En wat je met die c als referentie doet is niets anders dan zeggen dat je je eenheid c is en niet de geheel kunstmatig bedachte m/s.

We kunnen nu eenmaal moeilijk buiten indirecte metingen, omdat er voor zover ik weet ook maar 7 echt onafhankelijke grootheden zijn. Een belangrijk idee is het verschil tussen een grootheid en een eenheid (de meeste mensen hebben wel een gevoelsmatige defintie daarvan, die volstaat): een grootheid drukt een bepaald concept uit, de eenheid drukt voor een bijhorende grootheid een bepaalde afgesproken hoeveelheid uit. Voor afstand dus het vergelijk met naar een bepaalde plaats wandelen (grootheid) en het aantal passen dat daarvoor nodig is (de eenheid). Het moeilijkste aan die begrippen is natuurlijk dat een grootheid niets tastbaars voorstelt in deze discussie. Je kan het natuurlijk wel hebben over het meten van grootheden, maar dan zijn we bv. bezig met praktische zaken zoals 'meet de afstand tot die bepaalde boom'. Een vergelijkbaar verschil als tussen een class en een instance in objectgerelateerd programmeren.

In het SI stelsel zit dat bv. wel mooi in elkaar: er zijn 7 grootheden nodig, en van daaruit kan je al de rest afleiden. Voor degenen die het niet zouden weten (in SI-stelsel): lengte (de meter), tijd (de seconde), massa (de kilogram), stroomsterkte (de ampère), stofhoeveelheid (de mol), lichtsterkte (de candela), temperatuur (de kelvin). Als je 7 andere grootheden neemt die even goed loodrecht op elkaar staan; dan kan je daar ook alles mee beschrijven als je voor die 7 loodrechte grootheden uitdrukt wat ze betekenen; je hoeft er daarom nog geen eenheden op te plakken, de concepten erachter zijn goed genoeg. Wil je er echter getallen op kunnen plakken, dan zijn eenheden nodig.

Wat je onder loodrecht kan verstaan is: als je de grootheid massa weglaat, kan je ook geen krachten (F = m*a) meer meten. Of je vervangt de grootheid tijd door oppervlakte; maar dan kan je naast tijd ook geen snelheden meer meten. Wat wel gaat is bv. de ampère vervangen door een coulomb, je kan nog wel de hele wereld rond je heen uitdrukken; omdat er een verband bestaat tussen ampère en coulomb: 1A = 1C/1s, of in woorden uitgedrukt: een ampère is de stroom die loopt door een oppervlak als er in 1 seconde tijd een lading van 1coulomb gepasseerd is. Of in grootheden: stroom = lading / tijd (door een oppervlak, maar het maakt niet uit of dat oppervlak groot of klein is, dus komt dat ook niet in die formule).

De hele meettheorie lijkt een beetje op rekenen met vectoren, alleen moet je een optelling van vectoren zien als het vermenigvuldigen/delen van grootheden (je kan geen massa optellen bij een lengte; 3m + 1s heeft geen enkele betekenis; maar 3m/1s wel (snelheid)). Om het even welke grootheid kan geschreven worden als een product van die zeven basisgrootheden elk verheven tot een bepaalde macht. In de vectorrekening kan om het even welke vector geschreven worden als een som van de basisvectoren elk vermenigvuldigd met een bepaald getal.

BCC schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:25:
Ik vraag me ook eigenlijk af of een groot gedeelte van de eenheden niet "onhandig" gedefineerd is. Ik kan me bijvoorbeeld voorstellen dat je met een andere (niet liniare?) maat voor afstand de oppervlakte van bijvoorbeeld een cirkel niet 3,14*r^2 is maar 1*r^2.

Je idee is niet slecht, maar voor afstanden dan net weer wel. Een lineaire maat is juist handig omdat je graag wilt dat als je 2 meter hebt, je ook direct kan zien dat dat twee keer zo ver is als 1 meter; zo kan je makkelijk afstanden optellen bij elkaar: van het kastje naar de muur en weer terug bv. Nu is het zeker niet zo dat alle eenheden op een lineaire schaal zitten: kijk maar naar de decibel voor het vergelijken van volumes of eigenlijk amplitudes over het algemeen. Qua eenheden stelt een decibel natuurlijk weinig voor, want het is eigenlijk een dimensieloze schaal (in de klassieke eenheden); de kracht van een decibel zit er echter in dat je een gemeten waarde (is dat nu een geluidsvolume, een signaalniveau, ...) vergelijkt met een referentie, die verhouding door een logaritme trekt (en nog maal een factor, die ik hier even buiten beschouwing laat voor de eenvoud) en zo een maat hebt die voor die toepassingen beter inzetbaar is. Je kan natuurlijk niet meer zeggen dat a + b = c in gewone eenheden, dus A + B = C in decibels; maar je krijgt wel andere regels in de plaats a*b=c in gewone eenheden geeft A+B = C in decibel (maal nog een factor). Het voordeel van decibels is natuurlijk dat je daarmee waarden die ver uit elkaarliggen toch makkelijk kan manipuleren

Het probleem is natuurlijk dat je niet meer kan spreken over een zuivere afstand als je wilt dat r² de oppervlakte van de cirkel met straal r is. Het heeft nog wel de dimensie van een afstand, maar je gaat een andere wiskunde moeten gebruiken om alles consequent te houden (zie hierboven met die decibels: voor eenheden gaat die som over naar een vermenigvuldiging). Het lineaire gedeelte is heel handig omdat iedereen daarmee vertrouwd is (2 appels + 3 appels wordt niet plots 23 appels); het wordt vaak al moeilijk genoeg als je eenheden gebruikt die niet helemaal lineair (y = ax) zijn; maar bv. affien (y= ax + b). Het voorbeeld kennen we allemaal wel: de temperatuursschalen: 0K is niet 0°C is niet 0°F; nu is het voor een temperatuursschaal natuurlijk moeilijker om daar ergens een 0 op te plakken dan op bv. lengte of massa of de andere grootheden. Het vervelende aan die schalen is natuurlijk dat je niet kan zeggen dat hun nulpunten gelijk liggen; wat je met andere eenheden wel kan: 0 cm = 0 in = 0 ly. Het goede nog wel aan die affiene schalen is dat ze op verschillen wel lineair zijn: een temperatuursverschil in °C zal hetzelfde temperatuursverschil in K geven (en enkel geschaald moeten worden met een factor om naar °F om te zetten). Voor temperaturen moet je dus ook een lichtjes andere werkwijze doen als je omzettingen wilt doen dan voor normalere eenheden; en als je nog ingewikkeldere verbanden bedenkt, wordt het natuurlijk ook niet makkelijker (maar dat wilt zeker niet zeggen dat ze geen nut hebben).

Verder is de schaal van de eenheden best wel handig gedefiniëerd; we zitten met SI vast aan decimale factoren om te schalen met prefixen; terwijl dat in de VS anders is (reken maar fluid ounces om naar gallon; yards, feet, inches naar miles (en dan zijn er nog nautische mijlen ook...), enzovoorts). Dus op dat vlak zit het allemaal wel snor. Het punt waar eventueel wel verbetering mogelijk is, is op gebied van constantes (en dan gaat het niet over pi), maar over waarden die zo vastgelegd geweest zijn om de modellen te laten kloppen). Je kan bv. perfect g als eenheid voor versnelling gebruiken; of andere constantes proberen weg te werken uit de SI-eenheden (bv. c = 1 stellen). En dat wordt in sommige takken van de wetenschap nog wel gedaan; omdat je zo gemakkelijk kan converteren tussen waarden die je vaak nodig hebt; bv. Planck-eenheden voor quantumfysica/elektromagnetisme.

[Confusion]

pazzje schreef op zaterdag 27 december 2008 @ 18:00:
Als we iets meten komt er een resutaat, echter wordt dit resultaat afgeleid uit een andere waarneming.

Voorbeeld:

We meten de temperatuur met een kwikthermometer:

Het kwik zet uit en we op de schaalverdeling hoe warm het is. Echter meten we de temperatuur niet rechtstreeks. We meten de uitzetting van het kwik.
[..]
Mijn vraag is dus ook, zijn er grootheden die rechtstreeks gemeten kunnen worden of worden alle metingen afgeleid uit andere elementen?. En als dat zo is, hoe kan dat?

Als je de uitzetting van kwik meet, dan meet je de temperatuur. Alleen is je temperatuur dan uitgedrukt als "de temperatuur is nu 3 mm. uitzetting van 20 ml. kwik, ten opzichte van gisterochtend" (bij benadering; je zou de zuiverheid van het kwik er bijvoorbeeld nog bij moeten betrekken, etc.). Dat is niet zo'n handige eenheid om met elkaar te communiceren. Daarom zijn er standaardmaten bedacht en standaard referentiepunten. Die standaardeenheden zijn abstracties van alle andere manieren waarop hun grootheden kunnen worden uitgedrukt en zoals met meer abstracties het geval is, bestaat er niets in 'de realiteit' dat er mee correspondeert.

[ Voor 4% gewijzigd door Confusion op 02-01-2009 22:15 ]

[Techneut]

ILUsion schreef op vrijdag 02 januari 2009 @ 21:31:

In het SI stelsel zit dat bv. wel mooi in elkaar: er zijn 7 grootheden nodig, en van daaruit kan je al de rest afleiden. Voor degenen die het niet zouden weten (in SI-stelsel): lengte (de meter), tijd (de seconde), massa (de kilogram), stroomsterkte (de ampère), stofhoeveelheid (de mol), lichtsterkte (de candela), temperatuur (de kelvin). .........

Inderdaad, men noemt dat SI-stelsel dan ook een gesloten stelsel, alle andere grootheden cq. eenheden kunnen van die basisgrootheden worden afgeleid.

Heel strikt genomen heette het SI-stelsel toen het werd samengesteld en internationaal werd aanvaard het "mks-stelsel", meter-kilogram-seconde. Vóór die tijd gebruikte men voor een aantal eenheden zelfstandige referenties die dicht in de buurt zaten van de afgeleide. Bij nader inzien zijn bij mks-stelsel de kelvin etc. aan toegevoegd.
Maar de ampère hoeft er eigenlijk niet tussen te staan, omdat die ook als een afgeleide kan worden beschouwd (bepaalde aantrekkingskracht tussen twee geleiders op een meter van elkaar).

[Verwijderd]

ILUsion schreef op vrijdag 02 januari 2009 @ 21:31:
[...]

Maar door de lichtsnelheid als referentie te nemen, meten we juist ook indirect; en zitten we eigenlijk ook weer met eenheden vast.

Zodra je gaat meten is er altijd sprake van een referentie. . . en dan moet je eenheden gebruiken. . .zonder referentie kan je niet meten. Of je de grootheid c direct kan meten of niet kan ik even niet vaststellen maar vanwege het feit dat het bij definitie een constante in de Maxwell Vergelijkingen is lijdt me tot de conclusie dat een directe meting onmogelijk is. . .je meet dan in elk geval niet de constante c maar een specifiek geval van een transportfenomeen in een medium of in een praktish vacuüm.

De eenheid wordt dan niet m/s, maar juist de eenheid 'c'. De numerieke waardes daarachter maken zoals je zegt inderdaad niet uit; of je iets nu wilt uitdrukken als 0.5 c of 150 000km/s of een heel exotische maat. We hebben nu eenmaal die referenties nodig om eenduidig tegenover elkaar te zijn: deze waarde met die eenheid, stemt overeen met een grootheid die zus of zo is. En wat je met die c als referentie doet is niets anders dan zeggen dat je je eenheid c is en niet de geheel kunstmatig bedachte m/s.

Het lijkt er op dat je het 100% met me eens bent maar ik weet het niet helemaal zeker

We kunnen nu eenmaal moeilijk buiten indirecte metingen, omdat er voor zover ik weet ook maar 7 echt onafhankelijke grootheden zijn. Een belangrijk idee is het verschil tussen een grootheid en een eenheid (de meeste mensen hebben wel een gevoelsmatige defintie daarvan, die volstaat): een grootheid drukt een bepaald concept uit, de eenheid drukt voor een bijhorende grootheid een bepaalde afgesproken hoeveelheid uit.

Mee eens

Voor afstand dus het vergelijk met naar een bepaalde plaats wandelen (grootheid) en het aantal passen dat daarvoor nodig is (de eenheid). Het moeilijkste aan die begrippen is natuurlijk dat een grootheid niets tastbaars voorstelt in deze discussie. Je kan het natuurlijk wel hebben over het meten van grootheden,

Grootheden meet je niet. Je definieert ze.

maar dan zijn we bv. bezig met praktische zaken zoals 'meet de afstand tot die bepaalde boom'. Een vergelijkbaar verschil als tussen een class en een instance in objectgerelateerd programmeren.

In het SI stelsel zit dat bv. wel mooi in elkaar: er zijn 7 grootheden nodig, en van daaruit kan je al de rest afleiden. Voor degenen die het niet zouden weten (in SI-stelsel): lengte (de meter), tijd (de seconde), massa (de kilogram), stroomsterkte (de ampère), stofhoeveelheid (de mol), lichtsterkte (de candela), temperatuur (de kelvin). Als je 7 andere grootheden neemt die even goed loodrecht op elkaar staan; dan kan je daar ook alles mee beschrijven als je voor die 7 loodrechte grootheden uitdrukt wat ze betekenen; je hoeft er daarom nog geen eenheden op te plakken, de concepten erachter zijn goed genoeg. Wil je er echter getallen op kunnen plakken, dan zijn eenheden nodig.

Je gebruik van "loodrecht op elkaar staan" is nogal verwarrend in deze discussie. . .loodrecht betekend "in lijn" met de zwaartekrachtvector op een bepaald punt. Ik vermoed dat je hier onafhankelijkheid van de grootheden bedoeld.

Wat je onder loodrecht kan verstaan is: als je de grootheid massa weglaat, kan je ook geen krachten (F = m*a) meer meten. Of je vervangt de grootheid tijd door oppervlakte; maar dan kan je naast tijd ook geen snelheden meer meten. Wat wel gaat is bv. de ampère vervangen door een coulomb, je kan nog wel de hele wereld rond je heen uitdrukken; omdat er een verband bestaat tussen ampère en coulomb: 1A = 1C/1s, of in woorden uitgedrukt: een ampère is de stroom die loopt door een oppervlak als er in 1 seconde tijd een lading van 1coulomb gepasseerd is. Of in grootheden: stroom = lading / tijd (door een oppervlak, maar het maakt niet uit of dat oppervlak groot of klein is, dus komt dat ook niet in die formule).

OK, je bedoelde inderdaad onafhankelijkheid. . . .(in de wiskunde heet dat "haaks" c.q orthogonaal).

. . .

[niet-lineaire eenheden]

Je idee is niet slecht, maar voor afstanden dan net weer wel.

Waarom?

Een lineaire maat is juist handig omdat je graag wilt dat als je 2 meter hebt, je ook direct kan zien dat dat twee keer zo ver is als 1 meter; zo kan je makkelijk afstanden optellen bij elkaar: van het kastje naar de muur en weer terug bv. Nu is het zeker niet zo dat alle eenheden op een lineaire schaal zitten: kijk maar naar de decibel voor het vergelijken van volumes of eigenlijk amplitudes over het algemeen. Qua eenheden stelt een decibel natuurlijk weinig voor, want het is eigenlijk een dimensieloze schaal (in de klassieke eenheden); de kracht van een decibel zit er echter in dat je een gemeten waarde (is dat nu een geluidsvolume, een signaalniveau, ...) vergelijkt met een referentie, die verhouding door een logaritme trekt (en nog maal een factor, die ik hier even buiten beschouwing laat voor de eenvoud) en zo een maat hebt die voor die toepassingen beter inzetbaar is. Je kan natuurlijk niet meer zeggen dat a + b = c in gewone eenheden, dus A + B = C in decibels; maar je krijgt wel andere regels in de plaats a*b=c in gewone eenheden geeft A+B = C in decibel (maal nog een factor). Het voordeel van decibels is natuurlijk dat je daarmee waarden die ver uit elkaarliggen toch makkelijk kan manipuleren

Het probleem is natuurlijk dat je niet meer kan spreken over een zuivere afstand

Wat bedoel je met een zuivere afstand? Met niet-liniaire referentie stelsels zij alle afstandeenheden zuiver maar niet gelijk(vanwege uitrekking)

als je wilt dat r² de oppervlakte van de cirkel met straal r is. Het heeft nog wel de dimensie van een afstand, maar je gaat een andere wiskunde moeten gebruiken om alles consequent te houden

Dat was specifiek de strekking van mijn betoog.

(zie hierboven met die decibels: voor eenheden gaat die som over naar een vermenigvuldiging). Het lineaire gedeelte is heel handig omdat iedereen daarmee vertrouwd is (2 appels + 3 appels wordt niet plots 23 appels); het wordt vaak al moeilijk genoeg als je eenheden gebruikt die niet helemaal lineair (y = ax) zijn; maar bv. affien (y= ax + b). Het voorbeeld kennen we allemaal wel: de temperatuursschalen: 0K is niet 0°C is niet 0°F; nu is het voor een temperatuursschaal natuurlijk moeilijker om daar ergens een 0 op te plakken dan op bv. lengte of massa of de andere grootheden. Het vervelende aan die schalen is natuurlijk dat je niet kan zeggen dat hun nulpunten gelijk liggen; wat je met andere eenheden wel kan: 0 cm = 0 in = 0 ly. Het goede nog wel aan die affiene schalen is dat ze op verschillen wel lineair zijn: een temperatuursverschil in °C zal hetzelfde temperatuursverschil in K geven (en enkel geschaald moeten worden met een factor om naar °F om te zetten). Voor temperaturen moet je dus ook een lichtjes andere werkwijze doen als je omzettingen wilt doen dan voor normalere eenheden; en als je nog ingewikkeldere verbanden bedenkt, wordt het natuurlijk ook niet makkelijker (maar dat wilt zeker niet zeggen dat ze geen nut hebben).

Ik denkt te begrijpen wat je zegt maar het gaat m.i. nu over iets anders.

Verder is de schaal van de eenheden best wel handig gedefiniëerd; . . .SI eenheden. . .quantum . . .Planck. . .

Ik vermoed dat we op dezelfde boot naar een doel reizen maar andere maaltijden op andere tijden eten. We spelen kennelijk wel vergelijkbare muziek!

[ Voor 0% gewijzigd door Verwijderd op 06-01-2009 23:21 . Reden: [quote] haakjes toegevoegd ]

[ILUsion]

Techneut schreef op vrijdag 02 januari 2009 @ 22:21:
[...]
Inderdaad, men noemt dat SI-stelsel dan ook een gesloten stelsel, alle andere grootheden cq. eenheden kunnen van die basisgrootheden worden afgeleid.

Heel strikt genomen heette het SI-stelsel toen het werd samengesteld en internationaal werd aanvaard het "mks-stelsel", meter-kilogram-seconde. Vóór die tijd gebruikte men voor een aantal eenheden zelfstandige referenties die dicht in de buurt zaten van de afgeleide. Bij nader inzien zijn bij mks-stelsel de kelvin etc. aan toegevoegd.
Maar de ampère hoeft er eigenlijk niet tussen te staan, omdat die ook als een afgeleide kan worden beschouwd (bepaalde aantrekkingskracht tussen twee geleiders op een meter van elkaar).

Wat dat oude stelsel betreft heb je helemaal gelijk.

Maar volgens mij moet die ampère er wel instaan, omdat ik anders geen manier zie om ladingen uit te drukken. Dat kan voor een stuk misschien te maken hebben met het feit dat ik gewoon ben in SI te werken (en mogelijk ook omdat ik eigenlijk geen enkel inzicht heb in wetmatigheden omtrent de candela). Mijn gevoelsmatige uitleg waarom ampère er wel in moet, is omdat je een ampère kan zien als een afgeleide grootheid van coulomb, en een coulomb heeft voor mijn gevoel een bestaansreden. Ik hoop dat je het er met mij over eens bent dat een coulomb of een ampère, heel rechtstreeks een verband met elkaar hebben. Nu, laten we dan eens een univesum nemen met 4 ladingen in, voor de makkelijkheid 4 elektronen. Als we dan naar beide definities kijken: SI (stroom is een basisgrootheid, lading is de integraal over de tijd van de stroom, dus lading zit erin) en jouw idee (stroom is evenredig met een kracht). Vermits je het niet over ladingen had, ga ik dat zelf uitbreiden met het concept van Coulombkracht (dat gelijkaardig is aan het fenomeen dat jij beschrijft, maar dan tussen twee ladingen). In mijn alternatief universumpje, ga ik dus die elektronen insteken, volgens SI heb ik 4e, of ik kan ze laten ronddraaien (twee keer twee elektronen mooi op een evenwijdige). Dus jouw manier lukt ook nog. Nu gooi ik daar 2 elektronen van weg, boeiend; het werkt nog steeds. We komen pas in de problemen als ik nu nog eens de helft uit het universum smijt. Volgens het SI, lukt het nog steeds, desnoods laat ik mijn elektron wat rondvliegen; maar ik kan een stroom meten. Dat terwijl het concept dat jij poneert, juist op dat moment ineen valt: ik heb maar 1 elektron, dus ik kan ook maar 1 stroom hebben, dus kan ik geen kracht meten, dus zou ik geen ladingen hebben. Maar dat elektron is daar nog steeds. Op dezelfde manier zou ik gewoon naar de Coulombkracht kijken, maar ook daarvoor heb je twee deeltjes nodig; dus zou lading slechts iets zijn dat meerdere deeltjes samen bezitten (omdat die kracht ook enkel tot uiting komt bij meerdere deeltjes samen).

De wiskundige gevolgen van het feit dat de ampère geen grondeenheid zou zijn, zou in het hele gebeuren rond eenheden willen zeggen dat om andere eenheden uit te drukken er bepaalde ambibuïteiten zouden zijn. Ik heb het dan niet over ambiguïteiten zoals voor de zwaartekrachtsconstante: g = 9.81m/s² = 9.81N/kg, vermits, de Newton geen grondeenheid (en kracht dus ook geen grondgrootheid) is: Newton valt ook te schrijven als kg m/s², dus komen beide schrijfwijzes neer op dezelfde dimensies in grondgrootheden. De ambiguïteiten die ik bedoel zijn fundamenteler. Ik ga hier een beetje op vectorrekening moeten ingaan (waar ik een lineaire combinatie heb bij vectoren, ga ik hier een product hebben met vrij te kiezen machten). Ik stel mijn grondgrootheden van SI voor als A, B, C, D, E, F en G. Voor de gemakkelijkheid behoudt ik A ampère. Als ik wil dat SI een basis is voor alle mogelijke eenheden, wilt dat hier zeggen dat ik elke eenheid K kan uitdrukken als K=A^a*B^b*...*G^g (eigenlijk nog maal een dimensieloze factor, maar die gaat niets veranderen aan de wiskunde hiervan); waarbij de kleine letters breuken moeten zijn (dat is in de vectorrekening niet zo (daar zijn het reële getallen), maar volgens mij mag ik de analogie wel doortrekken). Eerst en vooral: dat geldt voor alle eenheden, dus ook voor de eenheden uit de basis (neem alle kleine letters 0 behalve eentje neem je 1).

Zeggen dat ampère overbodig zou zijn in die basis, wilt niets anders zeggen dan dat je A kan uitdrukken als een product van de andere basiseenheden. Dus dat A = B^ba*...*G^ga. Ik heb hierbij bij de kleine letters een a toegevoegd, om het verschil met de notatie van K te maken. Maar laat ons dan gewoon eens proberen K opnieuw uit te schrijven:

K = A^a*B^b*...*G^g = (B^ba*...*G^ga)^a *B^b*...G^g = B^(a*ba+b) * ... * G^(a*ga+g)

Op het eerste zicht, is daar niets mis mee. Of toch wel: ik heb nu twee notaties voor K gevonden uitgaande van de basis A...G (een keer uitgedrukt met A erbij, een keer gewoon in B...G, dus gewoon de coëfficiënt van A gelijkgesteld aan 0).

Om terug te gaan naar de praktijk in het SI-stelsel: dat zou willen zeggen dat ik voor alle eenheden waar ik ampère in gebruik, die ook nog in een geheel andere notatie zou kunnen schrijven, uitsluitend gebruik makende van de andere grondeenheden (dus geen Newton e.d.). Ik ben zoiets in de praktijk nog niet tegengekomen, dat ik grondgrootheden moest omzetten naar elkaar (natuurlijk: als je uitgaat van Coulomb als grondgrootheid, dan biedt een Ampère niets nieuws en omgekeerd). Dat is natuurlijk geen sluitend bewijs of iets dergelijks (ik maak dan wel veel berekeningen, dat wilt niet zeggen dat ik dus al alle trucs uit het boekje ken). Maar dat zou dus willen zeggen dat we hier of daar ook alternatieve notaties zouden hebben voor (minstens 2 van) onze basisgrootheden.

Ik kan zelfs nog verder gaan: vermits A als product van de rest zou te schrijven zijn, kan ik ook B (ik ga ervan uit dat ba verschillend is van 0, vermits ik toch niets heb vastgelegd in de volgorde) schrijven als product van alle basiseenheden behalve B zelf door gewoon in de uitdrukking A = B^ba*...*G^ga te delen door (A*B^ba), dan krijg je iets in een gelijkaardige vorm, maar met andere getallen in de machten). Voor het SI wilt dat dus zeggen dat ik minstens een van de andere eenheden nog kan schrijven als overbodig (en ampère erin laten staan!). Dus dat we bv. de kg kunnen laten vallen (massa ~ kracht via F = m*a). Nu, weer helemaal gevoelsmatig is dat volgens mij niet mogelijk.

Goed, ik hoop dat ik hierboven wat (begrijpelijke) achtergrond heb kunnen geven over de achterliggende wiskunde. Of de ampère er dus daadwerkelijk uit kan of niet; valt of staat met de mogelijkheid om ampère uit te drukken als een product van de andere eenheden of omgekeerd (met eventueel een macht erbij en een constante factor ervoor). Mijn gevoel zegt me dat dat niet mogelijk is, maar ik weet wel dat er hier en daar in het SI-stelsel gewerkt geweest is om eenheden toe te voegen die niet in de oude stelsels inzaten.

Verwijderd schreef op vrijdag 02 januari 2009 @ 22:42:
[...]


Zodra je gaat meten is er altijd sprake van een referentie. . . en dan moet je eenheden gebruiken. . .zonder referentie kan je niet meten. Of je de grootheid c direct kan meten of niet kan ik even niet vaststellen maar vanwege het feit dat het bij definitie een constante in de Maxwell Vergelijkingen is lijdt me tot de conclusie dat een directe meting onmogelijk is. . .je meet dan in elk geval niet de constante c maar een specifiek geval van een transportfenomeen in een medium of in een praktish vacuüm.

Volgens mij valt er in het geheel niets direct te meten. En dan enerzijds omdat onze eenheden niet perfect zijn. Plus dat de fysica gewoonweg bepaalde onzekerheden oplegt, die we er in het dagelijkse leven ofwel niet merken ofwel er gewoon bijnemen. Dingen die we normaal niet merken (en dus best exotisch zijn): het alomgekende onzekerheidsprincipe van Heisenberg (tijd en snelheid/impuls kunnen nooit samen gemeten worden), en in de relativistische theorie heb je ook tijddilatatie en lengtecontractie (of was het nu omgekeerd?): afhankelijk van je snelheid (in de buurt van de lichtsnelheid), meet je op een andere manier dan iemand die een andere snelheid heeft. Die effecten spelen natuurlijk op elke meting, maar in het dagelijkse leven zijn ze te klein om waar te nemen (we hoeven geen 40 decimalen te weten bij elke meting, dus die effecten gaan weinig aan onze meting veranderen).

Het lijkt er op dat je het 100% met me eens bent maar ik weet het niet helemaal zeker

Ik meende uit jouw post te begrijpen dat je de eenheid als nog een tussenliggende maat (zonder eenheden) zag (dus dat je ging meten t.o.v. c; en dan om een 'numerieke waarde' te bekomen, ging je c invullen. Maar bij elke meting zit je inderdaad al vast aan een numerieke waarde; wat de precieze waarde is, hangt natuurlijk af van de eenheden.

Grootheden meet je niet. Je definieert ze.

Grootheden in de zin van 'dimensies' (dus bv. lading, of lengte), meet je inderdaad niet. Ik doelde daar op grootheden in de betekenis van een instantiatie daarvan (zoals ik daarachter ook het vergelijk trek naar classes/instances); omdat ik er gewoon geen beter woord voor kon vinden (zonder buiten de algemeenheid van de discussie te gaan). We kunnen allemaal wel een 'bepaalde' lengte meten, maar niet het concept lengte. Dat was wat ik bedoelde

Je gebruik van "loodrecht op elkaar staan" is nogal verwarrend in deze discussie. . .loodrecht betekend "in lijn" met de zwaartekrachtvector op een bepaald punt. Ik vermoed dat je hier onafhankelijkheid van de grootheden bedoeld.

OK, je bedoelde inderdaad onafhankelijkheid. . . .(in de wiskunde heet dat "haaks" c.q orthogonaal).

Dat kan je inderdaad onder onafhankelijk plaatsen (en is bovendien ook vectoriëel gezien correcter). Mijn excuses. Maar ik heb je blijkbaar ook verward: hetgene we allebei bedoelen is onafhankelijk. Orthogonaal is juist loodrecht (en haaks is dat ook, maar dat is een woord dat ik in de wiskunde nooit gebruik). Natuurlijk kan die onafhankelijkheid zich ook uiten in een orthogonale stand. Maar dat is slechts mijn interpretatie natuurlijk; vermits we hier met iets bezig zijn dat op vectorruimten lijkt; maar niet ten opzichte van de optelling maar van de vermenigvuldiging (en dat maakt de zaken wel ietsje moeilijker, omdat iedereen het gewoon is met optellingen te doen). Misschien halen we wel iets uit die orthogonale stand; maar volgens mij gaan we het er ons enkel moeilijk op maken op die manier (vermits we allebei al over onze tong struikelen bij de onafhankelijkheid).

Verder heeft loodrecht niets te zien met de zwaartekracht, maar is dat ook een wiskundig begrip. In de wiskunde wilt loodrechte stand van twee objecten zeggen dat hun inproduct 0 is (het inproduct komt gevoelsmatig overeen met een projectie in de meetkunde). Het begrip loodrecht is niet enkel van toepassing op geometrische dingen, maar ook op vectoren en functies in het algemeen (zolang je maar een bepaalde conventie aanneemt voor het inproduct). Maar veel meer uitleg daarover zou ons ver van het pad van eenheden brengen. Op aarde is het natuurlijk wel zo dat de zwaartekrachtsvector (van de aarde) loodrecht staat op het oppervlak van de aarde.

Waarom?

Omdat de afstand zoals we die allen kennen lineair is. De uitleg had ik daaronder gegeven. Je kan er natuurlijk omheen gaan, zoals je al met die ronde mm aangetoond hebt, maar buiten het feit dat het kan, heeft dat geen toepassing. Vanuit theoretisch standpunt dus wel interessant, natuurlijk.

Wat bedoel je met een zuivere afstand? Met niet-liniaire referentie stelsels zij alle afstandeenheden zuiver maar niet gelijk(vanwege uitrekking)

Met zuiver bedoel ik inderdaad hetgene je als probleem aanhaalt: het voldoet niet meer aan de klassieke Euclidische meetkunde die we allemaal gewoon zijn als we met lengtes werken. Voor mezelf heb ik deze oplossing voor mijn probleem daarmee: die speciale maat noem ik geen lengte meer, maar geef het een eigen naam met eigen definitie; en dan bestaat er geen verwarring tussen afstand en dat nieuwe ding (en kan het dus wel als iets zuivers gezien worden, gewoon in een andere wiskunde/meetkunde). Maar dan kan mijn commentaar daarop dus ook in de vuilbak (tja, een simpele naamsverandering kan toch wonderen doen ).

Ik denkt te begrijpen wat je zegt maar het gaat m.i. nu over iets anders.

Het is inderdaad een zijspoor zou je kunnen zeggen. Ik wou vooral enkele voorbeelden van rare 'eenheden' aanhalen; of eenheden die buiten het klassieke lineaire systeem vallen (en daar dus ook gewoon even de consequenties van aantonen).

Ik vermoed dat we op dezelfde boot naar een doel reizen maar andere maaltijden op andere tijden eten. We spelen kennelijk wel vergelijkbare muziek!

Daar ben ik het mee eens, jij ook een biertje?

[Techneut]

ILUsion, ik geloof dat ik je gelijk moet geven. Ik heb de oude uiteenzetting er nog eens bijgehaald en die geeft als definitie: De stroom die in twee rechtlijnige evenwijdige geleiders van oneindige lengte en verwaarloosbare cirkelvormige doorsnede, in het vacuum geplaatst, op een onderlinge afstand van 1 meter per meter, lengte een kracht tussen deze geleiders opwekt, gelijk aan 2.10 ^-7 newton. De coulomb is dan uiteraard de afgeleide van de ampère, de lading die 1A vervoert per seconde.

Met enkel deze definitie zou de ampère er niet tussen hoeven, hij is immers gedefiniëerd met behulp van twee andere grootheden. Alleen zuiver wetenschappelijk zal men inderdaad vast lopen op de dimensie ervan en moet hij er tussen.
In de verhandeling stond wel dat met één electrische eenheid kan worden volstaan, omdat alle andere afgeleid kunnen worden van de grondeenheden.

[Verwijderd]

ILUsion schreef op dinsdag 06 januari 2009 @ 20:11:

[loodrecht . . .interessant hoe achtergrond en taal vaak verwarring zaait]

Dat kan je inderdaad onder onafhankelijk plaatsen (en is bovendien ook vectoriëel gezien correcter). Mijn excuses. Maar ik heb je blijkbaar ook verward: het gene we allebei bedoelen is onafhankelijk.

Het was dus geen verwarring maar mijn aanname dat "loodrecht" een onjuiste benaming was. . .mijn Engelse achtergrond is daar verantwoordelijk voor. . .het gebeurd wel vaker dat ik de toepasbaarheid van Nederlandse begrippen beperk.

Orthogonaal is juist loodrecht (en haaks is dat ook, maar dat is een woord dat ik in de wiskunde nooit gebruik).

Interessant is dat we beiden precies weten wat we bedoelen maar andere worden gebruiken! In mijn mijn engineering studies(Canada) kregen we heel wat formele wiskunde voor onze kiezen en daar werd juist het woord orthagonal specifiek gebruikt voor onafhankelijkheid van multidimensionale vectoren {waarvoor A•B)=0}. . .hier heeft cos a= 0 de beperkte betekenis dat a= 90 graden geheel verlaten en betekend het dat a=Pi/2. . .of een veelvoud er van. . . ik zie van je opmerking hieronder dat je A•B "inproduct" noemt . . . ik noem het dot product . Vandaar dat in mijn boek orthagonale mutidimensionale vectoren (bijvoorbeeld assenstelsels) . . .(in mijn wiskunde) niet haaks kunnen zijn omdat dat ik [b]perpendicularnoem (gebruikt ik louter voor assen die 90º op elkaar staan).
We gebruiken de benamingen precies andersom!

Natuurlijk kan die onafhankelijkheid zich ook uiten in een orthogonale stand. Maar dat is slechts mijn interpretatie natuurlijk; vermits we hier met iets bezig zijn dat op vectorruimten lijkt; maar niet ten opzichte van de optelling maar van de vermenigvuldiging (en dat maakt de zaken wel ietsje moeilijker, omdat iedereen het gewoon is met optellingen te doen). Misschien halen we wel iets uit die orthogonale stand; maar volgens mij gaan we het er ons enkel moeilijk op maken op die manier (vermits we allebei al over onze tong struikelen bij de onafhankelijkheid).

Zoals gebeurde. . . we are chewing the same fat!

Verder heeft loodrecht niets te zien met de zwaartekracht, maar is dat ook een wiskundig begrip. In de wiskunde wilt loodrechte stand van twee objecten zeggen dat hun inproduct 0 is (het inproduct komt gevoelsmatig overeen met een projectie in de meetkunde). Het begrip loodrecht is niet enkel van toepassing op geometrische dingen, maar ook op vectoren en functies in het algemeen (zolang je maar een bepaalde conventie aanneemt voor het inproduct). Maar veel meer uitleg daarover zou ons ver van het pad van eenheden brengen. Op aarde is het natuurlijk wel zo dat de zwaartekrachtsvector (van de aarde) loodrecht staat op het oppervlak van de aarde.

Ons bootje was een Toren van Babel maar NU begrijpen we elkaar!
Ik kan niets meer vinden waar we het oneeens over zijn. . .wat jammer

[...]

Daar ben ik het mee eens, jij ook een biertje?

Een Palmpje graag

*********************************************

@ pazzje. . . . Je originele vraag:

"Waarom kunnen we eenheden niet direct meten?"

leidt eigenlijk tot een eenvoudig antwoord: Eenheden kan je niet meten. Je gebuikt ze om de grootheden van fundamentele zaken van de werkelijkheid (dingen) met numerieke waarden gestalte te geven.

In een vorige discussie werd gesteld dat( of hoe) je een grootheid kon meten en ik antwoordde dat dat niet mogelijk was. Daar blijf ik bij.

Neem bijvoorbeeld de grootheid “lengte”. Het is een begrip om de grootheid van iets gestalte te geven. Het is onzinnig om iemand een opdracht te geven om lengte als begrip te gaan meten. . .je kan hooguit de maat van een object of een afstand tussen objecten of gedefinieerde punten in een ruimte gaan meten. . .maar alleen dan indien je een meetlat hebt.

Als je me niet volgt vraag je zelf eens af hoe je de eenheid zoals de metre gaat meten. . . .het klink uiteraard als onzinnig om te zeggen: "Ik ga de standaard metre meten" of "Ik ga de massa van een kilogram meten". Je kan wel zeggen dat je gaat meten hoe groot een walvis is als je er een ziet.

Een grootheid is een begrip voor iets dat we als een fundamentele zaak van de werkelijkheid beschouwen. Om daar zinvol over te communiceren hebben we een maatstaf er voor nodig en daarvoor gebruiken we een referentie om een "stukje" grootheid te definiëren waarmee we kunnen meten. De grootheid zelf is niet te meten maar ook de referentie-eenheid is niet te meten.

Met de referentie-eenheid (de meetlat) kunnen we andere objecten of afstanden tussen objecten of punten gaan meten door de meetlat er naast te leggen en af te tellen hoe vaak het er in past. . .een meetlat voor lengte kan uiteraard een golflengte van rood licht of blauw licht of een aantal trillingsgolflengten van een cesium-atoom-straling zijn zoals nu de standaard is. . .vroeger was het ooit een "voet".

Nu kunnen we een "voet" met de metre meten maar andersom niet.

[ Voor 23% gewijzigd door Verwijderd op 07-01-2009 01:23 . Reden: @pazzie opmerking toegevoegd ]

[Techneut]

In die vrij oude verhandeling over het practische eenhedenstelsel die ik noemde staat het heel helder in een paar zinnen omschreven. Ik denk dat het weergeven hiervan wel past in deze discussie. Ik vind deze omschrijving nl. vrij helder:

Onder een grootheid verstaat men in het algemeen een begrip dat vatbaar is voor meting zonder dat de wijze van meting van deze grootheid al hoeft te zijn vastgesteld, zoals de begrippen lengte, massa, tijd, inhoud en arbeid. Om te kunnen meten moet een bepaalde hoeveelheid van de desbetreffende grootheid, de eenheid, vast te stellen.

Onder een grondeenheid verstaat men een vrij gekozen eenheid, dat is dus een eenheid die niet met een fysische betrekking van één of meer andere eenheden is afgeleid. Grondeenheden kunnen het fundament vormen van een eenhedenstelsel.

Daarna volgt een uiteenzetting over het vroegere cgs-stelsel (centimeter-gram-secunde), opgevolgd door het huidige mks-stelsel (meter-kilogram-secunde), maar dit is (althans hier) verder niet relevant.
Met deze definities nog vaag in herinnering meende ik even dat strikt genomen de ampère er niet tussen hoeft (dus geen grondeenheid), omdat deze wordt afgeleid d.m.v. twee andere eenheden (meter en newton). Het niet of moeilijk kunnen uitdrukken in dimensies van andere grondeenheden noodzaakt evenwel om de ampère er wel bij te betrekken.

Bij gelegenheid neem ik er graag een pilsje op en hef daarbij even het glas .

[ILUsion]

Verwijderd schreef op woensdag 07 januari 2009 @ 00:35:
[loodrecht . . .interessant hoe achtergrond en taal vaak verwarring zaait]

Het was dus geen verwarring maar mijn aanname dat "loodrecht" een onjuiste benaming was. . .mijn Engelse achtergrond is daar verantwoordelijk voor. . .het gebeurd wel vaker dat ik de toepasbaarheid van Nederlandse begrippen beperk.

Loodrecht was niet geheel fout, maar onafhankelijk was in die context correcter (er staat geen eis op orthogonaliteit van die basis, wel op de onafhankelijkheid). Weer mijn ampère-coulomb-voorbeeld:
A = C / s. En ik mag kiezen of ik tussen de SI-eenheden A of C gebruik; maar er kan maar een van de twee loodrecht op al de rest staan (stel A staat loodrecht op al de rest; dan staat Coulomb er niet loodrecht op, omdat die A*s heeft, dus een tijdscomponent; of omgekeerd natuurlijk C loodrecht op de rest, A in de plaats invoeren A = C/s, dus weer een tijdscomponent, dus niet loodrecht). Ze blijven natuurlijk wel onafhankelijk van de rest (als je óf C óf A in de basiseenheden steekt), en ze vormen dus wel een basis (je kan er al de rest mee uitdrukken).

Interessant is dat we beiden precies weten wat we bedoelen maar andere worden gebruiken! In mijn mijn engineering studies(Canada) kregen we heel wat formele wiskunde voor onze kiezen en daar werd juist het woord orthagonal specifiek gebruikt voor onafhankelijkheid van multidimensionale vectoren {waarvoor A•B)=0}. . .hier heeft cos a= 0 de beperkte betekenis dat a= 90 graden geheel verlaten en betekend het dat a=Pi/2. . .of een veelvoud er van. . . ik zie van je opmerking hieronder dat je A•B "inproduct" noemt . . . ik noem het dot product . Vandaar dat in mijn boek orthagonale mutidimensionale vectoren (bijvoorbeeld assenstelsels) . . .(in mijn wiskunde) niet haaks kunnen zijn omdat dat ik [b]perpendicularnoem (gebruikt ik louter voor assen die 90º op elkaar staan).
We gebruiken de benamingen precies andersom!

Voor zover ik weet is de Engelse benaming ook gewoon een vertaling naar het Nederlands (dat is toch hoe ik het steeds geleerd heb, hier op ingenieursstudies aan de Vrije Universiteit Brussel):
orthogonal = orthogonaal = (perpendicular) = loodrecht (wiskundig idd. A dot B = 0)
independent = onafhankelijk
Wat de vectoriële producten betreft, is daar inderdaad veel verwarring rond:
inproduct = dot product (geeft een scalair)
outer product = uitproduct = cross product (geeft een vector)
En afhankelijk van waar je afkomstig bent, worden allebei aangeduid als het vectorproduct; kortom, dat is een term die enkel voor verwarring zorgt als er mogelijkheid is dat ook het crossproduct gebruikt kan worden (maar in het middelbaar onderwijs hier in België wordt bv. systematisch vectorproduct of vectorvermenigvuldiging gebruikt als term voor het inproduct/dot product).

In mijn Engelstalige handboek quantumfysisca (ja, daar komen dergelijke dingen ook bij kijken), wordt ook gewoon gebruik gemaakt van orthogonal om loodrecht aan te duiden. Maar beide begrippen liggen eigenlijk ook niet zo ver uiteen; onafhankelijk is een breder begrip dan loodrecht. Voor de volledigheid gewoon even wat definities daarvoor, ik neem gewoon weer vectoren A, ..., Z:
Die vectoren zijn onafhankelijk als de enige mogelijkheid om aA + bB + ... + zZ = 0 te krijgen, je alle coëfficiënten a, ..., z gelijk moet stellen aan nul. Dat komt er verder op neer dat je bv. A (als a != 0) te schrijven valt als een lineaire combinatie van de andere. Zie daarvoor ook mijn vorige post; waar dat staat met eenheden (dus product in plaats van som, machten in plaats van coëfficiënten).
Die vectoren staan loodrecht/orthogonaal als voor alle vectoren XX en YY van A, ..., Z (dus neem XX eens A, en YY = A, dan YY =B, enz.) geldt dat indien XX != YY je krijgt dat XX dot YY = 0. Orthogonaal is sterker dan onafhankelijk (dus vectoren die orthogonaal op elkaar staan, zijn automatisch ook onafhankelijk; maar omgekeerd is dat niet zo: vectoren die onafhankelijk zijn, hoeven niet loodrecht op elkaar te staan).
Orthogonaal valt nog verder uit te breiden ook naar orthonormaal: je neemt de definitie van orthogonaal en eist erbij dat XX dot XX = 1 voor elke XX van die basis.

Een Palmpje graag

Duidelijk op hetzelfde schip, noem ik dat

Nu kunnen we een "voet" met de metre meten maar andersom niet.

Ik ga hier even wat verder op in (gewoon wat meer uitleg, ook al zeggen we hetzelfde). Het enige probleem met maten als voet, el, e.d. is dat ze niet gestandaardiseerd zijn. Dus mijn 43 gaat andere afmetingen geven dan de 37 van mijn zus. Je gaat dus metingen maken met andere maten; maar die wel hetzelfde noemen. Wat je daarbij dus veronderstelt is dat je eigenlijk niet zo veel problemen gaat hebben met die afronding. Je gaat voeten dus ook niet gebruiken als je wilt meten hoeveel afstand je kan laten tussen twee lijntjes op een printplaat. Maar om te meten hoe groot je een geïmproviseerd voetbaldoeltje moet maken, kan je het bv. wel doen: of je dat nu met een 43 of 37 doet; je gaat twee doeltjes krijgen die een gelijkaardige afmeting hebben. Het probleem dat je dus krijgt is dat de voet niet nauwkeurig genoeg kent (niet te verwarren met de Amerikaanse maat feet; want die is wel nauwkeurig genoeg door de samenhang met andere imperiale eenheden zoals de inch). Je zit dus sowieso vast met de maximale nauwkeurigheid van je meting aan de nauwkeurigheid van je maat; of praktischer aan je meetinstrument (vermits de maten tegenwoordig wel duidelijk genoeg vastliggen, zolang je niet met afgehakte ledematen begint natuurlijk).

Het leuke is eigenlijk dat het SI ook geen vaste definitie is: doordat de wetenschap steeds beter en beter wordt, kunnen we die definities ook steeds nauwkeuriger gaan bepalen; of andere definities gaan invoeren. Indertijd was de meter inderdaad een blok metaal (irridium-platina, dacht ik), dat 1/x van de omtrek van de aarde moest voorstellen. Tegenwoordig hangt de meter vast aan de lichtsnelheid (afstand die afgelegd wordt in 1/y seconde bij een snelheid c).Door die herdefinities van onze eenheden is een meter van het begin van het SI dus ook niet perfect meer gelijk aan onze meter nu (en ik denk niet dat dat de enige eenheid is die zo in elkaar geknoeid is); maar de definities liggen dicht genoeg bij elkaar zodat we daar niet veel van zouden merken.

Iets wat weinig mensen ook weten is dat de seconde, of beter gezegd het jaar ook een heel erg losse eenheid is. We kennen allemaal het fenomeen van schrikkeldagen wel, om te voorkomen dat de gemeten tijd te veel afwijkt van de werkelijke tijd. Nu bestaat er ook zoiets als schrikkelseconden, dat eenzelfde doel heeft: afwijkingen tussen de tijd op aarde en een meer algemene referentie binnen 1 seconde te houden. Voor normaal gebruik zal het iedereen worst wezen of we daarvan afwijken, maar er zijn naar het schijnt toepassingen die te grote onnauwkeurigheden geven als ze niet ten opzichte van die algemene referentie genomen worden.

Techneut schreef op dinsdag 06 januari 2009 @ 22:10:
ILUsion, ik geloof dat ik je gelijk moet geven. Ik heb de oude uiteenzetting er nog eens bijgehaald en die geeft als definitie: De stroom die in twee rechtlijnige evenwijdige geleiders van oneindige lengte en verwaarloosbare cirkelvormige doorsnede, in het vacuum geplaatst, op een onderlinge afstand van 1 meter per meter, lengte een kracht tussen deze geleiders opwekt, gelijk aan 2.10 ^-7 newton. De coulomb is dan uiteraard de afgeleide van de ampère, de lading die 1A vervoert per seconde.

Met enkel deze definitie zou de ampère er niet tussen hoeven, hij is immers gedefiniëerd met behulp van twee andere grootheden. Alleen zuiver wetenschappelijk zal men inderdaad vast lopen op de dimensie ervan en moet hij er tussen.
In de verhandeling stond wel dat met één electrische eenheid kan worden volstaan, omdat alle andere afgeleid kunnen worden van de grondeenheden.

Dat laatste klopt perfect: we volstaan met ofwel coulomb ofwel ampère. Alletwee invoeren kan, maar zorgt voor verwarring in notaties: noteer je een stroom dan als A of C/s (en er zijn genoeg afgeleide grootheden van lading of stroom, om het heel wat ingewikkelder te maken).

En de andere elektrische eenheden kunnen dus inderdaad afgeleid worden: een volt heeft de dimensies joule / coulomb (joule is kg m²/s²) bv., ohm is volt / ampère. Voeg nog wat frequenties (1/s) in en je kan ook beginnen met henry en farad en ga zo maar door natuurlijk

Maar ik weet in ieder geval dat er ergens vanuit het MKS/CGS/...-stelsel naar SI een rariteit gebeurd is met eenheden. Ik zal dat een dezer dagen ook eens proberen opzoeken.

[Verwijderd]

ILUsion schreef op woensdag 07 januari 2009 @ 12:36:
[...]

Loodrecht was niet geheel fout, maar onafhankelijk was in die context correcter . . .

In studententijd was "haaks" voorbehouden aan de 3D-wereld waar de hoeken 90º in een 3-assenstelsel onderling 90º zijn voor de "haakse" assen, voor zover er sprake was van een uitbeelding van getallen op een 3D-grafiek. . .tot op een dag dat ik op een avondschool een leraar mij een andere kijk op wiskunde gaf. . .hij stelde dat wiskunde in principe niets met grafieken en haakse assen en hoeken te maken heeft. . .wiskunde gaat louter over numerieke relaties tussen getallen en niets anders. Voorts gaf hij voorbeelden van differentialen en integralen vanuit basisprincipes waar geen enkele lijn, hoek of grafiek aan te pas kwam en voor de gein schakelde hij even door naar matrixen en vertoren en stelde dat het niets anders dan getallen zijn met specifieke eigenschappen waarmee je weer allerlei wiskundige regels voor kan opzetten die consequent zijn. . . Ook hier vermeed hij met opzet enige verwijzing naar "hoeken, haaks, lijnen" of wat dan ook dat met grafieken te maken had. Hieruit volgde de concepten zoals onafhankelijk, orthogonaal en bij voorbeeld voor cos(a) en andere trigonometrische relaties waar a geen hoek was maar bijvoorbeeld een puur getal zoals 1 of 2 of 3,567 of pi of e of zelf een complex getal zoals bijvoorbeeld 3+4i. In deze les begon ik opeens iets dieper in de wiskunde iets te zien. . . een 10-dimensionaal getallen stelsel had 10-unit vectoren die allemaal orthogonaal waren zodat u_a•u_b=0 is voor elke van de 10 unit-vectoren onderling (en dus voor alle vectoren die in het verlengde van de unit vectoren lagen). Dit was de basis voor een andere kijk op wiskunde die me later op de universiteit veel profijt heeft opgeleverd om te snappen wat er geleerd werd.

Voor mij is orthogonaal dus een uitbreiding van de beperkte kijk op 3D-wiskunde en zou ik nooit de naam loodrecht of haaks voor onafhankelijkheid gebruiken. . .zo zie je maar weer hoe sterk een achtergrond van een opleiding de denkwijze beïnvloed.
Op dit vlak wil ik je echter niet meer voor de voeten lopen. . .ik ben ergens blijven steken omdat ik engineering ging studeren . . .de naam orthonormaal herken ik wel maar als voor vectoren v₁•v=1 geldt dat betekend dat voor mij dat v₁ en v₂ alleen as v₁=av₂ van elkaar kunnen verschillen(a is een scalar).. . .maar in mijn beleving is een “normal” vector er een die orthogonaal is aan een andere vector . . . ik mis hier kennelijk iets!

. . .We kennen allemaal het fenomeen van schrikkeldagen wel, om te voorkomen dat de gemeten tijd te veel afwijkt van de werkelijke tijd. Nu bestaat er ook zoiets als schrikkelseconden. . .

Ik vond 1 januari 2009 nog al lang duren. . . .later hoorde ik dat er om 02:00uur een extra seconde ingelast werd. Nu snap ik waarom het zo lang duurde voordat de zon opkwam

Ik ga me vanavond vol gieten met Palm bier om dit allemaal even te vergeten .

[ILUsion]

Verwijderd schreef op woensdag 07 januari 2009 @ 18:57:
[...]

In studententijd was "haaks" voorbehouden aan de 3D-wereld waar de hoeken 90º in een 3-assenstelsel onderling 90º zijn voor de "haakse" assen, voor zover er sprake was van een uitbeelding van getallen op een 3D-grafiek. . .tot op een dag dat ik op een avondschool een leraar mij een andere kijk op wiskunde gaf. . .hij stelde dat wiskunde in principe niets met grafieken en haakse assen en hoeken te maken heeft. . .wiskunde gaat louter over numerieke relaties tussen getallen en niets anders. Voorts gaf hij voorbeelden van differentialen en integralen vanuit basisprincipes waar geen enkele lijn, hoek of grafiek aan te pas kwam en voor de gein schakelde hij even door naar matrixen en vertoren en stelde dat het niets anders dan getallen zijn met specifieke eigenschappen waarmee je weer allerlei wiskundige regels voor kan opzetten die consequent zijn. . . Ook hier vermeed hij met opzet enige verwijzing naar "hoeken, haaks, lijnen" of wat dan ook dat met grafieken te maken had. Hieruit volgde de concepten zoals onafhankelijk, orthogonaal en bij voorbeeld voor cos(a) en andere trigonometrische relaties waar a geen hoek was maar bijvoorbeeld een puur getal zoals 1 of 2 of 3,567 of pi of e of zelf een complex getal zoals bijvoorbeeld 3+4i. In deze les begon ik opeens iets dieper in de wiskunde iets te zien. . . een 10-dimensionaal getallen stelsel had 10-unit vectoren die allemaal orthogonaal waren zodat u_a•u_b=0 is voor elke van de 10 unit-vectoren onderling (en dus voor alle vectoren die in het verlengde van de unit vectoren lagen). Dit was de basis voor een andere kijk op wiskunde die me later op de universiteit veel profijt heeft opgeleverd om te snappen wat er geleerd werd.

Ik kan me inderdaad best voorstellen dat een dergelijke blik op de wiskunde geestverruimend kan werken (al maak voor mezelf liefst de veilige stap terug naar een meetkundige voorstelling; ook al is het niet abnormaal om in oneindigdimensionale ruimtes te werken hier en daar). Die meetkundige interpretatie is natuurlijk handig (zo krijg je een gevoelsmatig beeld van integralen en differentialen bv.), maar op sommige momenten voldoet die interpretatie niet meer zodat je eigenlijk meer moeite hebt aan het aanpassen van je interpretatie dan gewoon te volgen in een redenering.

Ik ga helemaal met je akkoord dat de makkelijkste basissen om mee te werken, orthogonale stelsels zijn. Maar ook in niet-orthogonale stelsels kan je leuke dingen uithalen (een voorbeeld zijn bv. kristalroosters; waar je geen hoeken van 90° in hebt; als je daar vasthoudt aan orthogonaliteit krijg je niets dan miserie; als je ook niet-orthogonale stelsels invoert, dan heb je in ieder geval al iets minder miserie ).

Voor mij is orthogonaal dus een uitbreiding van de beperkte kijk op 3D-wiskunde en zou ik nooit de naam loodrecht of haaks voor onafhankelijkheid gebruiken. . .zo zie je maar weer hoe sterk een achtergrond van een opleiding de denkwijze beïnvloed.
Op dit vlak wil ik je echter niet meer voor de voeten lopen. . .ik ben ergens blijven steken omdat ik engineering ging studeren . . .de naam orthonormaal herken ik wel maar als voor vectoren v₁•v=1 geldt dat betekend dat voor mij dat v₁ en v₂ alleen as v₁=av₂ van elkaar kunnen verschillen(a is een scalar).. . .maar in mijn beleving is een “normal” vector er een die orthogonaal is aan een andere vector . . . ik mis hier kennelijk iets!

Geheel juist dat orthogonaal meer is dan wat er in 3D is; voor mij is ook alles om ons heen een vector; en als dat nodig zou zijn, probeer ik dat wel in een tensor te proppen (voor mensen die niet volgen: een scalair is een speciaal geval van een vector, een vector is een speciaal geval van een tensor). Mijn voorliefde voor vectorrekening komt ook van een leerkracht wiskunde; die voor de rest niet goed kon lesgeven (ik weet nog dat ik hem indertijd te hulp gesneld ben omdat hij er na 5 keer nog niet in slaagde om uit te leggen wat hij wou uitleggen). Maar vectorruimten, isomorfismen en andere delen van de algebra kon hij er bij mij wel inkrijgen (hoewel ik vrees dat de rest van de klas op dat moment een uiltje aan het knappen was).

[Verwijderd]

@ILUsion
Leuk toch om uit de ordinaire 3D-wereld af en toe te kunnen onstsnappen?
Geld levert het me niet op maar dat is ook niet alles!