Nationale Wetenschapsquiz 2008 - vraag 16-20

[Verwijderd]

Antwoorden, redenaties en discussies zijn van harte welkom.

Vraag 16: Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat dat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?

A. Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger.
B. Het past nog steeds precies.
C. De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje.


Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.


Vraag 18: Welke sneeuw smelt het snelst?

A. Schone sneeuw.
B. Vuile sneeuw.
C. Stuifsneeuw.


Vraag 19: Je vult een smal bierflesje met zoveel water dat het ondersteboven in het water blijft drijven. Waarom zakt het flesje naar de bodem als je het een eind onder water duwt?

A. Omdat er lucht uit het flesje ontsnapt.
B. Omdat het glas wordt samengeperst.
C. Omdat er meer water in de fles wordt geperst.


Vraag 20: Je duwt een stevig en een minder stevig opgepompte binnenband onder water. Wat kost het meeste moeite om onder water te duwen?

A. Een stevig opgepompte band.
B. Een minder stevig opgepompte band.
C. Maakt niet uit.


In sommige kranten is sprake van een andere vraag 20, namelijk:

Vraag 20: Er ligt een groot gewicht op een opgeblazen binnenband die in het water drijft. Wat gebeurt er als je datzelfde gewicht onder aan die binnenband hangt?

A. De binnenband zakt dieper in het water.
B. De binnenband blijft op hetzelfde niveau.
C. De binnenband komt hoger in het water te liggen.

[GlowMouse]

Verwijderd schreef op zondag 30 november 2008 @ 13:41:
Antwoorden, redenaties en discussies zijn van harte welkom.
Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Als je allebei n maal gooit, X het aantal keer kop is dat je zelf gooit en Y het aantal keer kop dat de ander gooit, geldt vanwege symmetrie dat P(X<Y) = P(Y<X). Noem deze kans p. Er geldt P(X = Y) = 1-2p. De andere persoon gooit vaker kop als {Y > X} (onafhankelijk van wat de ander in beurt n+1 doet) of als {X = Y} en de ander daarna kop gooit. De gevraagde kans is daarom p + (1/2) * (1-2p) = p + 1/2 - p = 1/2.

[ Voor 0% gewijzigd door GlowMouse op 14-12-2008 00:59 . Reden: toch een typo =( ]

[anandus]

Vraag 18: Welke sneeuw smelt het snelst?

A. Schone sneeuw.
B. Vuile sneeuw.
C. Stuifsneeuw.

Ik vermoed B., dit absorbeert licht en energie, schone sneeuw reflecteert het meer. Wat stuifsneeuw is, weet ik eigenlijk niet
Vraag 19: Je vult een smal bierflesje met zoveel water dat het ondersteboven in het water blijft drijven. Waarom zakt het flesje naar de bodem als je het een eind onder water duwt?

A. Omdat er lucht uit het flesje ontsnapt.
B. Omdat het glas wordt samengeperst.
C. Omdat er meer water in de fles wordt geperst.

C. Er wordt meer water in de fles geperst (druk op het gas neemt toe, dus gas heeft minder volume)

[ Voor 6% gewijzigd door een moderator op 30-11-2008 20:13 . Reden: Spoiler verwijderd ]

[Duesenberg J]

Vraag 16: Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat dat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?

A. Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger.
B. Het past nog steeds precies.
C. De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje.
(r = straal trapleuning, a = dikte van de handschoen)
Omtrek zonder handschoen: 2*pi*r
omtrek met handschoen: 2*pi*(r+a) = 2*pi*r + 2*pi*a
lengte hand = 2*pi*r
lengte met handschoen = 2*pi*r + 2*a
Hieruit zou ik halen dat C het goede antwoord is, maar ik ben niet helemaal overtuigd.

Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.
he, kansrekening. Vervelend. In plaats van heel moeilijk te doen met formules doe ik het zo:
Als we beiden even vaak gooien is de kans dat hij vaker kop gooit precies ½. Als hij vaker gooit dan ik, groeit die kans. Dus C is goed.

Vraag 18: Welke sneeuw smelt het snelst?

A. Schone sneeuw.
B. Vuile sneeuw.
C. Stuifsneeuw.
Het zout-strooi idee. Werkt volgens mij ook met zand. Het chemische verhaal erachter heb ik niet.

Vraag 19: Je vult een smal bierflesje met zoveel water dat het ondersteboven in het water blijft drijven. Waarom zakt het flesje naar de bodem als je het een eind onder water duwt?

A. Omdat er lucht uit het flesje ontsnapt.
B. Omdat het glas wordt samengeperst.
C. Omdat er meer water in de fles wordt geperst.
Archimedes: als de massa van het verplaatste volume water gelijk is aan de massa van het object, blijft het drijven. Als je het flesje onderduwt, zorgt de hogere druk ervoor dat de lucht wordt samengeperst, dus is het verplaatste volume water ineens lager, dus is het niet meer voldoende om het flesje te 'tillen'. Antwoord C dus.

Vraag 20: Je duwt een stevig en een minder stevig opgepompte binnenband onder water. Wat kost het meeste moeite om onder water te duwen?

A. Een stevig opgepompte band.
B. Een minder stevig opgepompte band.
C. Maakt niet uit.
In een stevig opgepompte band zit meer lucht, maar: samengeperst. De dichtheid is dus hoger. We hebben het hiet over 'stevig' en 'minder stevig' , dus ik neem aan dat het volume van beide binnenbanden vergelijkbaar is. Als dat het geval is, is de stevig opgepompte band de band met het meeste massa, dus makkelijker onder water te duwen. De minder stevig opgepompte band is lichter en blijft dus beter drijven, dus kost meer moeite om onder water te duwen.

In sommige kranten is sprake van een andere vraag 20, namelijk:

Vraag 20: Er ligt een groot gewicht op een opgeblazen binnenband die in het water drijft. Wat gebeurt er als je datzelfde gewicht onder aan die binnenband hangt?

A. De binnenband zakt dieper in het water.
B. De binnenband blijft op hetzelfde niveau.
C. De binnenband komt hoger in het water te liggen.
Het gewicht onderaan de binnenband verplaatst ook water, dus heeft ook een drijfvermogen, dus minder massa trekt aan de binnenband, dus de binnenband komt hoger in het water te liggen.

[Onbekend]

Verwijderd schreef op zondag 30 november 2008 @ 13:41:
Antwoorden, redenaties en discussies zijn van harte welkom.

Vraag 16: Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat dat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?

A. Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger.
B. Het past nog steeds precies.
C. De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje.

Als je een handschoen aandoet die net past, kan je je vingers niet meer buigen.

Omtrek = PI x diameter.
Nieuwe omtrek = PI x (diameter + 2 x dikte handschoen) = veel dikker dan 2 x dikte handschoen.

Verwijderd schreef op zondag 30 november 2008 @ 13:41:
Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Ik heb alleen een hele lange uitleg. Een snelle uitleg heb ik niet. Misschien komt dat nog.

Verwijderd schreef op zondag 30 november 2008 @ 13:41:
Vraag 20A: Je duwt een stevig en een minder stevig opgepompte binnenband onder water. Wat kost het meeste moeite om onder water te duwen?

A. Een stevig opgepompte band.
B. Een minder stevig opgepompte band.
C. Maakt niet uit.

Hier zit meer lucht in, en moet dus meer water verplaatsen.

Verwijderd schreef op zondag 30 november 2008 @ 13:41:
Vraag 20B: Er ligt een groot gewicht op een opgeblazen binnenband die in het water drijft. Wat gebeurt er als je datzelfde gewicht onder aan die binnenband hangt?

A. De binnenband zakt dieper in het water.
B. De binnenband blijft op hetzelfde niveau.
C. De binnenband komt hoger in het water te liggen.

Het gewicht wat de band naar beneden duwt/trekt blijft het zelfde.

[GlowMouse]

Duesenberg J schreef op zondag 30 november 2008 @ 15:50:
Vraag 16: Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat dat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?

A. Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger.
B. Het past nog steeds precies.
C. De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje.
(r = straal trapleuning, a = dikte van de handschoen)
Omtrek zonder handschoen: 2*pi*r
omtrek met handschoen: 2*pi*(r+a) = 2*pi*r + 2*pi*a
lengte hand = 2*pi*r
lengte met handschoen = 2*pi*r + 2*a
Hieruit zou ik halen dat C het goede antwoord is, maar ik ben niet helemaal overtuigd.

Inconsequente conclusie: de omtrek met handschoen is groter dan de lengte met handschoen, dus met handschoen pas je er niet meer helemaal omheen.

Als we beiden even vaak gooien is de kans dat hij vaker kop gooit precies ½

Onjuist.

Onbekend schreef op zondag 30 november 2008 @ 16:00:
[...]

Als je een handschoen aandoet die net past, kan je je vingers niet meer buigen.

Omtrek = PI x diameter.
Nieuwe omtrek = PI x (diameter + 2 x dikte handschoen) = veel dikker dan 2 x dikte handschoen.

Onjuist.

[EdwinG]

Vraag 16: Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat dat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?

A. Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger.
B. Het past nog steeds precies.
C. De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje.

De diameter van de buis (trapleuning) neemt toe met 2x de dikte van de handschoen. De omtrek neemt daarom toe met 2 x pi x de dikte van de handschoen.
De afstand tussen het 'puntje van je duim' (nu eigenlijk puntje van je handschoen) en het puntje van je middelvinger (wederom puntje van de handschoen) is echter slechts toegenomen met 2x de dikte van de handschoen. Er zal dus ruimte overblijven tussen beide punten.

Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Er wordt 1x meer gegooid. Dat betekend dat of kop, of munt vaker gegooid wordt. Aangezien er geen andere mogelijkheden zijn zal in 50% van de gevallen kop vaker gegooid worden.
(Bij een gelijk aantal worpen is de kans kleiner dan een half, aangezien ook beide aantallen gelijk kunnen zijn.)

Vraag 18: Welke sneeuw smelt het snelst?

A. Schone sneeuw.
B. Vuile sneeuw.
C. Stuifsneeuw.

Deze is het donkerst van kleur, en reflecteerd daardoor minder licht.

Vraag 19: Je vult een smal bierflesje met zoveel water dat het ondersteboven in het water blijft drijven. Waarom zakt het flesje naar de bodem als je het een eind onder water duwt?

A. Omdat er lucht uit het flesje ontsnapt.
B. Omdat het glas wordt samengeperst.
C. Omdat er meer water in de fles wordt geperst.

De druk wordt, naarmate het flesje dieper komt te liggen, hoger. De resterende lucht in het flesje wordt dus samengedrukt, waardoor meer water de fles in zal stromen. Door het verminderde volume in verplaatst water zal het drijfvermogen afnemen. Aangezien het daarvoor in evenwicht was, zal de fles nu zinken.

Vraag 20: Je duwt een stevig en een minder stevig opgepompte binnenband onder water. Wat kost het meeste moeite om onder water te duwen?

A. Een stevig opgepompte band.
B. Een minder stevig opgepompte band.
C. Maakt niet uit.

Ik vermoed dat een stevig opgepompte band meer volume heeft, daardoor meer water zal verplaatsen, en dus moeilijker onder water te duwen is.

Vraag 20: Er ligt een groot gewicht op een opgeblazen binnenband die in het water drijft. Wat gebeurt er als je datzelfde gewicht onder aan die binnenband hangt?

A. De binnenband zakt dieper in het water.
B. De binnenband blijft op hetzelfde niveau.
C. De binnenband komt hoger in het water te liggen.

Aangezien het gewicht nu zelf ook water verplaatst, en de totale massa band+gewicht gelijk is, hoeft de band minder water te verplaatsen om een evenwicht te bereiken. Daardoor zal de band hoger op het water komen te liggen.

[Salvatron]

Verwijderd schreef op zondag 30 november 2008 @ 13:41:
Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Antwoord A: een half. Hij gooit een keer meer, dus dan hoef je niets te vermenigvuldigen en kun je gewoon 1/2 zeggen.

[NitroX infinity]

Vraag 20: Je duwt een stevig en een minder stevig opgepompte binnenband onder water. Wat kost het meeste moeite om onder water te duwen?

A. Een stevig opgepompte band.
B. Een minder stevig opgepompte band.
C. Maakt niet uit.

Antwoord B. In de minder stevig opgepompte band heeft de lucht ruimte om zich te verplaatsen. Druk je op een plaats de band omlaag dan verspreid de lucht zich naar de plaatsen waar geen druk is en komen die omhoog. Hierdoor moet je over de gehele band een gelijke druk uitoefenen, wil je deze geheel onder water krijgen.

Bij de stevig opgepompte band hoef je slechts op twee tegenover elkaar liggende punten druk uit te oefenen.

[Duesenberg J]

GlowMouse schreef op zondag 30 november 2008 @ 16:50:
[...]

Inconsequente conclusie: de omtrek met handschoen is groter dan de lengte met handschoen, dus met handschoen pas je er niet meer helemaal omheen.

Oeps, zat niet op te letten. Je hebt gelijk. Antwoord A dus. Klinkt ook veel logischer.

[...]

Onjuist.

waarom? Zolang het aantal worpen maar oneven is, lijkt me dat na oneindig keer herhalen we beiden evenvaak meer kop gooien dan de ander. Dus de kans dat hij meer kop gooit nadert 1/2

[disheaver]

Duesenberg J schreef op maandag 01 december 2008 @ 01:36:
[...]
waarom? Zolang het aantal worpen maar oneven is, lijkt me dat na oneindig keer herhalen we beiden evenvaak meer kop gooien dan de ander. Dus de kans dat hij meer kop gooit nadert 1/2

De stelling die ontkracht werd in jou quote was dat bij een gelijk aantal worpen, de kans op meer kop gelijk aan 1/2 zou zijn.

Bij gelijk aantal worpen bestaat de kans op gelijk spel. De kans dat iemand niet vaker kopt gooit is P(< aantal kop) + P (= aantal kop). De kans dat iemand wel vaker kop gooit is P ( > aantal kop). Bij eerlijke dobbelstenen, en gelijk aantal worpen is de kans op minder kop gelijk aan de kans op een groter aantal kop. De kans op gelijk aantal kop is > 0, waardoor de kans op meer kop minder dan 1/2 is.

Antwoord is A. bij ongelijk aantal worpen is de kans op minder kop niet meer gelijk aan de kans op meer kop. Het verschil tussen de twee is gelijk aan de kans op gelijk aantal kop, waardoor de kans gelijk aan 1/2 is (zonder bewijs)

[ Voor 6% gewijzigd door disheaver op 01-12-2008 03:23 ]

[Onbekend]

Opnieuw:

Verwijderd schreef op zondag 30 november 2008 @ 13:41:
Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Ik ben inmiddels tot de conclusie gekomen dat de kans een half is. Ik heb dit even uitwerkt met een karnaugh-diagram. Hierbij heb ik aangenomen dat de munt een ideale munt is.

Stel ik gooi 2 keer, en de andere persoon gooit 3 keer.
Ik kan het volgende gooien: MM, KM, KK, MK
De andere persoon kan het volgende gooien: MMM, MMK (3x), MKK (3x), KKK (= totaal 8 mogelijkheden.)

Als ik 0x kop gooit, heeft hij 7/8 kans dat hij vaker kop gooit.
Bij 1x kop, heeft hij 4/8 kans (deze heb ik 2x, namelijk MK en KM), en bij 2x kop heeft hij 1/8 kans om vaker kop te gooien.

Totaal kom ik dus op 7/8 + 4/8 + 4/8 + 1/8 = 16/8
Aangezien ik vier mogelijkheden kon gooien, moet je de score 16/8 nog delen door 4 en dan kom je uit op 4/8 -> 1/2. Dus antwoord A.

[Verwijderd]

Vraag 16: Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat dat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?

A. Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger.
B. Het past nog steeds precies.
C. De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje.

Aangezien je hand er net omheen past zonder handschoen, zal het niet gaan passen met handschoen.. De handschoen neemt namelijk ook ruimte in tussen je hand en de trapleuning.. Er zal dus een gat ontstaan..

===

Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half

En nu even logisch zonder wiskundige berekeningen:
Hij gooit 1x vaker..
De munt heeft 2 kanten..
Dus kans van 50% dat het kop is..
Dus een halve kans dat het een keer vaker kop is dan jij gegooit hebt..

[Dido]

Verwijderd schreef op dinsdag 02 december 2008 @ 11:36:
En nu even logisch zonder wiskundige berekeningen:
Hij gooit 1x vaker..
De munt heeft 2 kanten..
Dus kans van 50% dat het kop is..
Dus een halve kans dat het een keer vaker kop is dan jij gegooit hebt..

Het antwoord klopt, maar er ontbreekt wel een heel stuk in je logica. Als wij allebei 1000 keer met een munt gooien is de kans al bijna 1/2 dat ik vaker kop gegooid heb dan jij. Jij mag nog een keer gooien, maar je sult dan nooit vaker kop gegooid hebben dan ik.

Met andere woorden, de redenatie "de kans op kop is 1/2, dus de kans op meer kop als ik een keer meer gooi is ook 1/2" is niet volledig (en zelfs onjuist)/

[EricEric752]

Dido schreef op dinsdag 02 december 2008 @ 11:53:
[...]

Het antwoord klopt, maar er ontbreekt wel een heel stuk in je logica. Als wij allebei 1000 keer met een munt gooien is de kans al bijna 1/2 dat ik vaker kop gegooid heb dan jij. Jij mag nog een keer gooien, maar je sult dan nooit vaker kop gegooid hebben dan ik.

Met andere woorden, de redenatie "de kans op kop is 1/2, dus de kans op meer kop als ik een keer meer gooi is ook 1/2" is niet volledig (en zelfs onjuist)/

Er ontbreekt helemaal niet in de logica van Zyll. De vraagt is "Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik? ". Er wordt geen aantal keer in de vraag genoemd, dus ELK aantal is goed. Anders is de vraag incorrect. Het voorbeeld van Zyll klopt (de ene gooit 0 keer en de andere 1 keer). Overigens klopt het ook met 1 en 2 keer gooien etc etc, maar dat is meer rekenwerk. De oplossing van Zyll (en als ik zo onbescheiden mag zijn ook die van mij toen ik zondag bij mijn moeder de krant zat te lezen ;-) ) is eenvoudig, elegant en er is geen speld tussen te krijgen.

[Verwijderd]

Inderdaad.. De vraag vermeld niet hoevaak jij al kop hebt gegooit en hoe vaak de ander dat heeft gedaan.. Ik ga er daarom van uit dat dit hetzelfde aantal is/dat we gelijk staan.. Zo niet, gaat de vraag om te beginnen al niet op..

[--Niels--]

Verwijderd schreef op woensdag 03 december 2008 @ 09:42:
Inderdaad.. De vraag vermeld niet hoevaak jij al kop hebt gegooit en hoe vaak de ander dat heeft gedaan.. Ik ga er daarom van uit dat dit hetzelfde aantal is/dat we gelijk staan.. Zo niet, gaat de vraag om te beginnen al niet op..

Ik denk niet dat je dat als uitgangspunt moet nemen. Mijn kansberekening is wat roestig, maar volgens mij heb je met twee onafhankelijke kansen te maken:
1. de kans dat hij vaker kop gooit dan ik, terwijl we beide even vaak hebben gegooid. Kans is 1/2.
2. de kans dat hij in de een keer extra gooien kop gooit. Kans is 1/2

Volgens mij moest je deze dan vermenigvuldigen. Dan wordt de kans dus 0,5 * 0,5 = 0,25.

Het goede antwoord zou dan zijn:
B. Die kans is kleiner dan een half.

Alleen mijn gevoel zegt nog dat het logischer is dat de kans 0,5 of groter is....

[GlowMouse]

--Niels-- schreef op woensdag 03 december 2008 @ 11:34:
[...]

Ik denk niet dat je dat als uitgangspunt moet nemen. Mijn kansberekening is wat roestig, maar volgens mij heb je met twee onafhankelijke kansen te maken:
1. de kans dat hij vaker kop gooit dan ik, terwijl we beide even vaak hebben gegooid. Kans is 1/2.
2. de kans dat hij in de een keer extra gooien kop gooit. Kans is 1/2

Volgens mij moest je deze dan vermenigvuldigen. Dan wordt de kans dus 0,5 * 0,5 = 0,25.

Als je de kansen op twee onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldigt, krijg je de kans op de situatie dat beide gebeurtenissen optreden. Daarnaast kloppen je kansen en gebeurtenissen niet: bij (1) is de kans kleiner dan 1/2 (want symmetrisch aan de gebeurtenis dat jij vaker kop gooit dan hij, dus de kans daarop zou ook 1/2 moeten zijn, maar dan zou de kans dat je gelijk gooit 0 zijn, tegenspraak), en bij (2) ben je vergeten dat je eerst een gelijkspel moet hebben voordat hij met een keer extra gooien wint. Bij 1 is de kans dus net iets kleiner dan 1/2 en bij 2 ligt de kans veel dichter bij 0; als je die optelt kom je op 1/2 uit (zie mijn eerdere post).

Verwijderd schreef op woensdag 03 december 2008 @ 09:42:
Ik ga er daarom van uit dat dit hetzelfde aantal is/dat we gelijk staan.

Die aanname heb je niet nodig en is zelfs zeer restrictief.

[disheaver]

Verwijderd schreef op woensdag 03 december 2008 @ 09:42:
Ik ga er daarom van uit dat dit hetzelfde aantal is/dat we gelijk staan.. Zo niet, gaat de vraag om te beginnen al niet op..

Die aanname is fout. Als dit een legale aanname zou zijn, zal de vraag worden: Wat is de kans op kop wanneer ik met een munt gooi, iets wat zelfs niet in de juniorquiz zou komen.

Ook onnodig wat het berekenen van kans op x aantal kop ik y aantal worpen is goed te doen.

[Verwijderd]

Dido schreef op dinsdag 02 december 2008 @ 11:53:
Het antwoord klopt, maar er ontbreekt wel een heel stuk in je logica.Als wij allebei 1000 keer met een munt gooien is de kans al bijna 1/2 dat ik vaker kop gegooid heb dan jij. Jij mag nog een keer gooien, maar je sult dan nooit vaker kop gegooid hebben dan ik.

Met andere woorden, de redenatie "de kans op kop is 1/2, dus de kans op meer kop als ik een keer meer gooi is ook 1/2" is niet volledig (en zelfs onjuist)/

Mijn laatste post was meer een reactie op bovenstaand stukje (vetgedrukt + onderstreept)
Ik probeerde juist duidelijk te maken dat het aantal keren gooien er niet toe doet.. Mijn aanname op zich is niet onjuist..

Wanneer er vóór de laatste keer gooien (die extra keer uit de vraag) al een verschil bestaat tussen het aantal keer kop (ik heb een voorsprong van twee keer meer kop bijvoorbeeld), is de gehele vraag al overbodig, aangezien er dan totaal GEEN kans is op een keer meer kop van de andere partij..

Ik blijf bij mijn antwoord; de kans is 50% (1/2)

[EricEric752]

disheaver schreef op woensdag 03 december 2008 @ 13:43:
[...]

Die aanname is fout. Als dit een legale aanname zou zijn, zal de vraag worden: Wat is de kans op kop wanneer ik met een munt gooi, iets wat zelfs niet in de juniorquiz zou komen.

Ook onnodig wat het berekenen van kans op x aantal kop ik y aantal worpen is goed te doen.

De elegantie van de oplossing van Zyll is nu juist dat hij het vraagstuk inderdaad heeft teruggebracht tot "Wat is de kans op kop wanneer ik met een munt gooi"

Door de vraag goed te lezen zie je dat het aantal keer gooien niet uit maakt (anders zou de vraag incorrect zijn). Door het eenvoudigste scenario te kiezen wordt de oplossing inderdaad zeer simpel. Je klunt het jezelf natuurlijk ook lastig maken en een ingewikkelder scenario te kiezen. Onderstaand heb ik uitgeschreven hoe het scenario eruit ziet voor respectievelijk 1 en 2 keer gooien. Je ziet dat de kans nog steeds 50% is (4 van de 8 combinaties). Als je wilt kun je het scenario met 100 en 101 of 1000 en 1001 keer gooien ook uitwerken. Je zult zien dat je tot dezelfde conclusie komt. Het kost alleen wat meer tijd.

Scenario 1 en 2 keer gooien
K,KK 1
K,KM
K,MK
K,MM
M,KK 1
M,KM 1
M,MK 1
M,MM

[disheaver]

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 16:45:
[...]

De elegantie van de oplossing van Zyll is nu juist dat hij het vraagstuk inderdaad heeft teruggebracht tot "Wat is de kans op kop wanneer ik met een munt gooi"

Je kunt bewijzen dat eerdere worpen er niet toe doen, je kunt niet zonder meer aannemen dat er een gelijke stand moet zijn voor de laatste worp.

[Dido]

Verwijderd schreef op woensdag 03 december 2008 @ 14:55:
Μijn laatste post was meer een reactie op bovenstaand stukje

Maar de eerste zin van mijn reactie negeer je: je antwoord klopt

Wanneer er vóór de laatste keer gooien (die extra keer uit de vraag) al een verschil bestaat tussen het aantal keer kop (ik heb een voorsprong van twee keer meer kop bijvoorbeeld), is de gehele vraag al overbodig, aangezien er dan totaal GEEN kans is op een keer meer kop van de andere partij..

Dat is een onjuiste simplificering. De kans dat de extra worp geen invloed heeft is verwerkt in de uiteindelijke kans van 1/2.

Jij kijkt alleen naar de (in de meeste gevallen uitzonderlijke) situatie dat er een gelijk aantal kop en munt gegooid is. Daarmee negeer je alle gevallen waarin de extra worp niets uitmaakt voor "meer kop gooien of niet". Nu is het in dit geval zo dat er evenveel mogelijkheden zijn dat er minder kop gegooid was als dat er meer kop gegooid was, waardoor je uiteindelijek antwoord niet beinvloed wordt.

Het botweg weglaten van die redenatie vind ik geen elegante vereenvoudiging; het lijkt er dan simpelweg op dat je toevallig goed gegokt hebt

[EricEric752]

Dido schreef op woensdag 03 december 2008 @ 17:15:
[...]

Maar de eerste zin van mijn reactie negeer je: je antwoord klopt

[...]

Dat is een onjuiste simplificering. De kans dat de extra worp geen invloed heeft is verwerkt in de uiteindelijke kans van 1/2.

Jij kijkt alleen naar de (in de meeste gevallen uitzonderlijke) situatie dat er een gelijk aantal kop en munt gegooid is. Daarmee negeer je alle gevallen waarin de extra worp niets uitmaakt voor "meer kop gooien of niet". Nu is het in dit geval zo dat er evenveel mogelijkheden zijn dat er minder kop gegooid was als dat er meer kop gegooid was, waardoor je uiteindelijek antwoord niet beinvloed wordt.

Het botweg weglaten van die redenatie vind ik geen elegante vereenvoudiging; het lijkt er dan simpelweg op dat je toevallig goed gegokt hebt

In het 0,1 scenario is er helemaal geen geval waarin de laatste worp niets uit maakt. In het 1,2 scenario is er wel een, namelijk M,KK. Eerlijk gezegd begrijp ik je punt niet. De oorspronkelijke oplossing van Zyll (0,1 scenario) is voldoende omdat de vraag impliciet stelt dat elk scenario waarin er 1 worp verschil is van toepassing is. Mocht je 2 scenario's vinden die aan de vraag voldoen en waar er een kans van 50% oplevert en een een kans ongelijk aan 50% dan is er geen correct antwoord mogelijk op de vraag. Aangezien we ervan uit gaan dat de vraag zelf correct is, is een enkel scenario voldoende. Het kiezen van het eenvoudigste scenario ligt dan voor de hand.

[disheaver]

Je neemt dan aan dat een van de antwoorden goed moet zijn, en dat je de zinsnede 'een aantal keer' niet kunt interpreteren als '2 of vaker, maar niet 0 of 1'.

Overigens doet bij K, M* de laatste worp er ook niet toe.

[Zoijar]

Het lijkt me ook 50% (logisch als bij 0 en 1 worp er hetzelfde uitkomt... dan moet het volgens de vraag idd wel). Toch knaagt er iets... We gooien allebei met een 6-zijdige dobbelsteen en tellen de gegooide ogen steeds op. Ik gooi een keer meer. Wat is de kans dat ik hoger gooi. Na N-keer staan we gelijk in verwachting, ik gooi 1 keer meer, dus ik gooi met kans 1 hoger. Bij 0 worpen heeft de tegenstander 0 ogen en ik gooi er met kans 1 >0. Maar dat is bs, ik gooi zeker niet met kans 1 hoger. Zelfs als we een 0 toevoegen op de dobbelsteen ipv de 6, dan gooi ik ook niet met kans 5/6 hoger. Bij die munt is het iets dat toevallig elkaar opheft. Ik snap het nog niet helemaal waar het op hangt.

[EricEric752]

Zoijar schreef op woensdag 03 december 2008 @ 17:47:
Het lijkt me ook 50% (logisch als bij 0 en 1 worp er hetzelfde uitkomt... dan moet het volgens de vraag idd wel). Toch knaagt er iets... We gooien allebei met een 6-zijdige dobbelsteen en tellen de gegooide ogen steeds op. Ik gooi een keer meer. Wat is de kans dat ik hoger gooi. Na N-keer staan we gelijk in verwachting, ik gooi 1 keer meer, dus ik gooi met kans 1 hoger. Bij 0 worpen heeft de tegenstander 0 ogen en ik gooi er met kans 1 >0. Maar dat is bs, ik gooi zeker niet met kans 1 hoger. Zelfs als we een 0 toevoegen op de dobbelsteen ipv de 6, dan gooi ik ook niet met kans 5/6 hoger. Bij die munt is het iets dat toevallig elkaar opheft. Ik snap het nog niet helemaal waar het op hangt.

Een munt is een 2 zijdige dobbelsteen met als mogelijk uitkomsten 0 en 1. Met een 6 zijdige dobbelsteen moet je de 0 wel als optie meenemen (ipv van 6) zoals je al aangeeft. Ik denk dat daar wel degelijk geldt dat de kans 5/6 is. Meer precies Z-1 / Z, waarbij Z het aantal zijden is. Het aantal worpen doet opnieuw niet ter zaken. Het is geen hard bewijs, maar ik heb 2 scenario's uitgewerkt voor een 3 zijdige dobbelsteen. Het, respectievelijk 0 en 1 keer gooien eerste is evident:

0
1 1
2 1

2/3 dus. Ook bij respectievelijk 1 en 2 keer gooien is de kans 2/3, namelijk 16 mogelijkheden uit 24 combinaties:

0 00
0 01 1
0 10 1
0 11 1
0 12 1
0 20 1
0 21 1
0 22 1

1 00
1 01
1 10
1 11 1
1 12 1
1 20 1
1 21 1
1 22 1

2 00
2 01
2 10
2 11
2 12 1
2 20 1
2 21 1
2 22 1

[redwing]

disheaver schreef op woensdag 03 december 2008 @ 17:01:
[...]

Je kunt bewijzen dat eerdere worpen er niet toe doen, je kunt niet zonder meer aannemen dat er een gelijke stand moet zijn voor de laatste worp.

Tja, maar als je een aantal keer met een munt gooit en daarna iemand anders precies hetzelfde laat doen dan gooien ze gemiddeld hetzelfde. Wat valt daar aan te bewijzen ?
Dus is het alleen de laatste gooi die het hem doet.

Hetzelfde voor die dobbelsteen, leuk dat hij meer kanten heeft maar gemiddeld zul je als je 2 keer een aantal keren gooit hetzelfde gooien. Alleen de laatste worp bepaald dus de kans.

[disheaver]

redwing schreef op woensdag 03 december 2008 @ 18:34:
[...]
Tja, maar als je een aantal keer met een munt gooit en daarna iemand anders precies hetzelfde laat doen dan gooien ze gemiddeld hetzelfde. Wat valt daar aan te bewijzen ?
Dus is het alleen de laatste gooi die het hem doet.

Ze gooien niet hetzelfde. Bij 2 maal gooien van een munt is de kans op MM hetzelfde als de kans op KK, MK of KM.
Als de eerste MM gooit, kun je niet zeggen dat de eerste 2 worpen van de tweede speler ook MM zal zijn.

[EricEric752]

disheaver schreef op woensdag 03 december 2008 @ 19:10:
[...]

Ze gooien niet hetzelfde. Bij 2 maal gooien van een munt is de kans op MM hetzelfde als de kans op KK, MK of KM.
Als de eerste MM gooit, kun je niet zeggen dat de eerste 2 worpen van de tweede speler ook MM zal zijn.

Als speler A en speler B een X aantal keer mogen gooien met een munt, en je herhaalt dat experiment een groot aantal keren Y dan zullen ze gemiddeld gelijk staan. Er zullen uitkomsten zijn waarin speler A voor staat, maar dat wordt gecompenseerd door de uitkomsten waarin speler A achter staat. Er zullen ook uitkomsten zijn waarin speler A zover voor staat dat een laatste extra worp voor speler A niets meer uit maakt, maar ook uitkomsten waarin speler A zover achter staat dat een laatste extra worp de achterstand niet meer goed kan maken. Hoeveel X in dit expiriment is doet niet terzake. Alle X worpen vallen gemiddeld tegen elkaar weg en het gaat alleen nog maar om de laatste worp. En de kans van die worp is 50%.

[Zoijar]

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 18:09:
Een munt is een 2 zijdige dobbelsteen met als mogelijk uitkomsten 0 en 1. Met een 6 zijdige dobbelsteen moet je de 0 wel als optie meenemen (ipv van 6) zoals je al aangeeft. Ik denk dat daar wel degelijk geldt dat de kans 5/6 is. Meer precies Z-1 / Z, waarbij Z het aantal zijden is. Het aantal worpen doet opnieuw niet ter zaken.

Wat een onzin. Je kan meteen toch al aanvoelen dat als je tich miljard keer met een honder-zijdige dobbelsteen (0 t/m 99) gooit, dat je dan niet 99/100 van de keren "wint"; die ene worp van maximaal 99 punten is haast verwaarloosbaar. Als je oneindig vaak gooit per rondje wordt het sowieso 50%. Hoe vaker je gooit per rondje, hoe dichter het naar de 50% kruipt. Die berkening werkt dus niet zo. Maar dat had verder niks met de vraag te maken.

Niettemin ben ik er wel van overtuigd dat het antwoord 50% is. Volgens mij gewoon omdat de extra kans toevallig het net naar de 50% tilt van de kleine kans <50% vanwege gelijkspel, en het logischerwijs ook convergeert naar 50%, dus blijft het 50%. De praktische en elegante manier, die overigens nul inzicht verschaft, is idd om twee voorbeelden uit te rekenen en als die gelijk zijn moet het volgens de vraag correct zijn.

[Johnny]

Verwijderd schreef op zondag 30 november 2008 @ 13:41:
Vraag 18: Welke sneeuw smelt het snelst?

A. Schone sneeuw.
B. Vuile sneeuw.
C. Stuifsneeuw.

Veel mensen hier zeggen dat vuile sneeuw het snelst smelt omdat het minder licht reflecteert, maar in de praktijk blijft vuile sneeuw in de schaduw altijd het langst liggen.

Sneeuw valt echter niet vuil uit de lucht, maar was eerst schoon en raakt later pas vervuild, en het materiaal waarmee de sneeuw vervuild raakt is ook nog van invloed. Bij het mengen van de sneeuw met het vuil wordt hij ook vaak samengedrukt waardoor deze vrijwel altijd dichter is dan schone sneeuw.

Stuifsneeuw is juist weer veel losser en heeft daarom een isolerende werking, maar omdat het makkelijker door de wind omhoog wordt geblazen zal het in bepaalde situaties juist sneller smelten.

Alle antwoorden zijn dus goed, afhankelijk van de omgeving.

[redwing]

disheaver schreef op woensdag 03 december 2008 @ 19:10:
[...]

Ze gooien niet hetzelfde. Bij 2 maal gooien van een munt is de kans op MM hetzelfde als de kans op KK, MK of KM.
Als de eerste MM gooit, kun je niet zeggen dat de eerste 2 worpen van de tweede speler ook MM zal zijn.

Nee, maar je kunt wel zeggen dat ze gemiddeld allebei evenvaak de verschillende combinaties gooien. Ik ben het er trouwens wel mee eens dat volgens mij deze redenatie toch niet klopt. Als ze nl. gemiddeld even vaak de verschillende combinaties gooien zegt dat nog niet dat je dus 50% wint, je winten verliest nl niet 50% omdat je ook gelijk kunt staan.

Ik zat nu te bedenken dat je het wel kunt zien als dat je een gedeelte verliest en een zelfde gedeelte wint, verder is er een gedeelte dat je gelijk gooit. Dat laatste gedeelte deel je door een keer extra te gooien precies in 2en (met K win je, met M sta je nog steeds gelijk en verlies je dus). Aangezien de win/verlies gedeeltes al gelijk waren kom je dan totaal dus precies op 50% winst uit.

[EricEric752]

Zoijar schreef op woensdag 03 december 2008 @ 20:43:
[...]

Wat een onzin. Je kan meteen toch al aanvoelen dat als je tich miljard keer met een honder-zijdige dobbelsteen (0 t/m 99) gooit, dat je dan niet 99/100 van de keren "wint"; die ene worp van maximaal 99 punten is haast verwaarloosbaar. Als je oneindig vaak gooit per rondje wordt het sowieso 50%. Hoe vaker je gooit per rondje, hoe dichter het naar de 50% kruipt. Die berkening werkt dus niet zo. Maar dat had verder niks met de vraag te maken.

Niettemin ben ik er wel van overtuigd dat het antwoord 50% is. Volgens mij gewoon omdat de extra kans toevallig het net naar de 50% tilt van de kleine kans <50% vanwege gelijkspel, en het logischerwijs ook convergeert naar 50%, dus blijft het 50%. De praktische en elegante manier, die overigens nul inzicht verschaft, is idd om twee voorbeelden uit te rekenen en als die gelijk zijn moet het volgens de vraag correct zijn.

Bij kansberekening moet je oppassen met aanvoelen. Wat dat kan behoorlijk misleidend zijn. Ik heb twee voorbeelden met een driezijdige dobbelsteen gegeven en dat komt precies uit. Niet bijna helemaal, maar precies. Als het inderdaad naar 50% toekruipt dan had je in het tweede voorbeeld al een verschuiving moeten zien en die zie je niet. Het blijft exact 2/3.

In mijn post daarna heb ik proberen aan te geven hoe die twee kansen elkaar opheffen. Ook na tich miljard keer met een honder-zijdige dobbelsteen (0 t/m 99). Beide partijen hebben dan precies dezelfde kans op een bepaalde score. Juist vanwege die tich miljard worpen is de kans groot dat ze gelijk staan. Beider score is enorm groot (waarschijnlijk tich miljard maal 49,5), maar naar verwachting wel gelijk. Een van de twee krijgt dan een extra worp met 99% kans op 1 t/m 99 schamele puntjes. Het verschil is dan relatief ontzettend klein, maar het is er wel. Het gaat om wie er uiteindelijk meer heeft, ook al is dat naar verhouding tot de totale score een minimaal verschil.

Een voorbeeld in cijfers. Na allebei 1000 (laten we het een beetje overzichtelijk houden) keer gooien is de verwachtingswaarde voor beide partijen 49500. Nu mag een van de twee nog een keer gooien. Zijn verwachtingswaarde wordt nu 49549.5. Percentueel heel weinig, maar nogal altijd 49,5 (precies de verwachtingswaarde van 1 worp) meer. Ook bij tich miljard worpen blijft het verschil in verwachtingswaarde precies 49,5.

[ Voor 9% gewijzigd door EricEric752 op 03-12-2008 21:57 ]

[Zoijar]

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 21:46:
[...]

Bij kansberekening moet je oppassen met aanvoelen. Wat dat kan behoorlijk misleidend zijn. Ik heb twee voorbeelden met een driezijdige dobbelsteen gegeven en dat komt precies uit. Niet bijna helemaal, maar precies. Als het inderdaad naar 50% toekruipt dan had je in het tweede voorbeeld al een verschuiving moeten zien en die zie je niet. Het blijft exact 2/3.

In mijn post daarna heb ik proberen aan te geven hoe die twee kansen elkaar opheffen. Ook na tich miljard keer met een honder-zijdige dobbelsteen (0 t/m 99). Beide partijen hebben dan precies dezelfde kans op een bepaalde score. Juist vanwege die tich miljard worpen is de kans groot dat ze gelijk staan. Beider score is enorm groot (waarschijnlijk tich miljard maal 49,5), maar naar verwachting wel gelijk. Een van de twee krijgt dan een extra worp met 99% kans op 1 t/m 99 schamele puntjes. Het verschil is dan relatief ontzettend klein, maar het is er wel. Het gaat om wie er uiteindelijk meer heeft, ook al is dat naar verhouding tot de totale score een minimaal verschil.

Waarom komt hier:

C++:

    const long c_trials = 100000;
    const int c_throws = 100;
    const int c_eyes = 100;

    boost::mt19937 rng;
    boost::uniform_int<int> eyes(0,c_eyes-1); // 0 t/m eyes-1
    boost::variate_generator<boost::mt19937, boost::uniform_int<int> > die(rng, eyes);

    long wins_A = 0;

    for (long n=0; n<c_trials; ++n) {
        long points_a = 0, points_b = 0;

        for (int i=0; i<c_throws; ++i) {
            points_a += die();
            points_b += die();
        }

        points_a += die(); // extra throw for A

        if (points_a > points_b) wins_A++;
    }

    std::cout << (double)wins_A / (double)c_trials << std::endl;

Dan 0.546 uit? Ik wil je best een paar tiende procent geven op simulatie fout, maar het zit toch niet echt in de buurt van de 0.99

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 21:46:
Een voorbeeld in cijfers. Na allebei 1000 (laten we het een beetje overzichtelijk houden) keer gooien is de verwachtingswaarde voor beide partijen 49500. Nu mag een van de twee nog een keer gooien. Zijn verwachtingswaarde wordt nu 49549.5. Percentueel heel weinig, maar nogal altijd 49,5 (precies de verwachtingswaarde van 1 worp) meer. Ook bij tich miljard worpen blijft het verschil in verwachtingswaarde precies 49,5.

Uiteraard! Zijn verwachtingswaarde is altijd strict niet-lager, maar dat zegt niet direct iets over de kans dat hij wint. Bovendien is dit de verwachting van het aantal punten per enkele ronde; je kan niet zeggen dat je naar verwachting elke ronde wint omdat de verwachting van het aantal punten per individuele ronde hoger is, dat slaat nergens op. Als ik een keer met een d6 gooi, dan is mijn verwachting in een enkele worp 3.5. Als jij met een d7 gooit is je verwachting 4. Gooi je nu ineens altijd hoger? Is je kans 1 om hoger te gooien? Tuurlijk niet.

[ Voor 21% gewijzigd door Zoijar op 03-12-2008 22:06 ]

[EricEric752]

Zoijar schreef op woensdag 03 december 2008 @ 21:51:
[...]

Waarom komt hier:

C++:

    const long c_trials = 100000;
    const int c_throws = 100;
    const int c_eyes = 100;

    boost::mt19937 rng;
    boost::uniform_int<int> eyes(0,c_eyes-1); // 0 t/m eyes-1
    boost::variate_generator<boost::mt19937, boost::uniform_int<int> > die(rng, eyes);

    long wins_A = 0;

    for (long n=0; n<c_trials; ++n) {
        long points_a = 0, points_b = 0;

        for (int i=0; i<c_throws; ++i) {
            points_a += die();
            points_b += die();
        }

        points_a += die(); // extra throw for A

        if (points_a > points_b) wins_A++;
    }

    std::cout << (double)wins_A / (double)c_trials << std::endl;

Dan 0.546 uit? Ik wil je best een paar tiende procent geven op simulatie fout, maar het zit toch niet echt in de buurt van de 0.99


[...]

Uiteraard! Zijn verwachtingswaarde is altijd strict niet-lager, maar dat zegt niet direct iets over de kans dat hij wint.

Probeer het eens zonder die extra worp voor A. Dan moet jou programma in ieder geval exact 0,50 opleveren. Daar zijn we het toch over eens lijkt me.

[Zoijar]

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 22:01:
[...]

Probeer het eens zonder die extra worp voor A. Dan moet jou programma in ieder geval exact 0,50 opleveren. Daar zijn we het toch over eens lijkt me.

Daar komt idd 0.497 uit. Het is natuurlijk niet exact: het is een eindige simulatie. (oh, plus dat je natuurlijk gelijk kan spelen, dus het moet ook iets minder dan 0.50 zijn)

[ Voor 11% gewijzigd door Zoijar op 03-12-2008 22:09 ]

[EricEric752]

Zoijar schreef op woensdag 03 december 2008 @ 21:51:
[...]
Uiteraard! Zijn verwachtingswaarde is altijd strict niet-lager, maar dat zegt niet direct iets over de kans dat hij wint.

Eens. Het lukt me niet direct om het onweerlegbaar in een formule aan te geven (sorry, kansberekening is voor mij al 20 jaar geleden). Maar de partij in het voordeel heeft dus 48,5 punt speling. Hij kan zich veroorloven om in de eerdere worpen 48,5 punten te verspelen en toch naar verwachting nog te winnen. Juist bij een zeer groot aantal worpen kruipen de 2 scores heel dicht naar elkaar toe.Naar verwachting is het verschil tussen de twee scores 0. In vergelijking met een verwacht verschil van 0 is 49,5 wel heel veel.

[Verwijderd]

Volgens mij denkt iedereen veelste moeilijk over vraag 17 en is een exact antwoord op die vraag onmogelijk, en wel om de volgende reden:

Er zijn drie mogelijkheden:
a) minder vaak kop
b) even vaak kop
c) vaker kop

Als je even vaak gooit geldt het volgende:

Even vaak kop, is simpelweg afhankelijk van het aantal keren dat gegooid wordt: Stel ze gooien ieder 1x. dan is de kans dat we even vaak kop gooien 0,5 (1*0,5, daar de eerste worp niet uitmaakt, zolang de 2e maar gelijk is). gooien we ieder 10 maal, dan is de kans dat we even vaak kop gooien al stukken kleiner, maar de kans blijft altijd bestaan. Anders gezegd: P (A) + P (B ) + P (C) = 1 => P (A) + P (C) = 1 - P (B ). (Dus: P (A) + P (C) < 1).

De volgende stap is dat het gooien van kop en munt even groot is als kans (50%). Het gooien zal normaal verdeeld zijn, waardoor de kans om minder vaak kop dan munt te gooien, even groot is als vaker kop dan munt te gooien. Er geldt dus P (A) = P (C). Derhalve geldt dat P (A) = (1 - P (B ) ) / 2 ( P (A) < 1/2.

De situatie bij een extra worp:

De enige situatie waarin er sprake zal zijn - dankzij de extra worp - van één keer meer kop, is in de situatie dat zonder extra worp situatie B (gelijkspel) had gegolden. We weten dat de kans op P (B ) gelijk is aan 0,5 - P (C) en we weten dat P (C) = (1- P (B ) ) / 2.

Het antwoord is dus meer dan 0,5. Immers was de kans om vaker kop te gooien bij gelijke worpen 1/2 - (1/2 * P (B )). Bij één maal vaker gooien, komt P (B ) hierbij, waardoor geldt dat de kans op één maal vaker kop bij één maal vaker gooien ( X): P(X) = P (C) + P (B ) = 1/2 - (1/2 * P (B )) + P (B ) = 1/2 + (1/2 * P (B )) > 0,5. (We weten immers dat bij evenvaak gooien P (B ) altijd bestaand, dus >0 is.)

[EricEric752]

Verwijderd schreef op woensdag 03 december 2008 @ 22:15:
Volgens mij denkt iedereen veelste moeilijk over vraag 17 en is een exact antwoord op die vraag onmogelijk, en wel om de volgende reden:

Er zijn drie mogelijkheden:
a) minder vaak kop
b) even vaak kop
c) vaker kop

Als je even vaak gooit geldt het volgende:

Even vaak kop, is simpelweg afhankelijk van het aantal keren dat gegooid wordt: Stel ze gooien ieder 1x. dan is de kans dat we even vaak kop gooien 0,5 (1*0,5, daar de eerste worp niet uitmaakt, zolang de 2e maar gelijk is). gooien we ieder 10 maal, dan is de kans dat we even vaak kop gooien al stukken kleiner, maar de kans blijft altijd bestaan. Anders gezegd: P (A) + P (B ) + P (C) = 1 => P (A) + P (C) = 1 - P (B ). (Dus: P (A) + P (C) < 1).

De volgende stap is dat het gooien van kop en munt even groot is als kans (50%). Het gooien zal normaal verdeeld zijn, waardoor de kans om minder vaak kop dan munt te gooien, even groot is als vaker kop dan munt te gooien. Er geldt dus P (A) = P (C). Derhalve geldt dat P (A) = (1 - P (B ) ) / 2 ( P (A) < 1/2.

De situatie bij een extra worp:

De enige situatie waarin er sprake zal zijn - dankzij de extra worp - van één keer meer kop, is in de situatie dat zonder extra worp situatie B (gelijkspel) had gegolden. We weten dat de kans op P (B ) gelijk is aan 0,5 - P (C) en we weten dat P (C) = (1- P (B ) ) / 2.

Het antwoord is dus meer dan 0,5. Immers was de kans om vaker kop te gooien bij gelijke worpen 1/2 - (1/2 * P (B )). Bij één maal vaker gooien, komt P (B ) hierbij, waardoor geldt dat de kans op één maal vaker kop bij één maal vaker gooien ( X): P(X) = P (C) + P (B ) = 1/2 - (1/2 * P (B )) + P (B ) = 1/2 + (1/2 * P (B )) > 0,5. (We weten immers dat bij evenvaak gooien P (B ) altijd bestaand, dus >0 is.)

Dat zou de vraag dus fout zijn, want er zijn al 2 voorbeelden gegeven dat de kans precies 50% is, namelijk respectievelijk 0 en 1 keer gooien en 1 en 2 keer gooien. Een derde voorbeeld is 2 en 3 keer gooien:

MM MMM
MM MMK 1
MM MKM 1
MM MKK 1
MM KMM 1
MM KMK 1
MM KKM 1
MM KKK 1
MK MMM
MK MMK
MK MKM
MK MKK 1
MK KMM
MK KMK 1
MK KKM 1
MK KKK 1
KM MMM
KM MMK
KM MKM
KM MKK 1
KM KMM
KM KMK 1
KM KKM 1
KM KKK 1
KK MMM
KK MMK
KK MKM
KK MKK
KK KMM
KK KMK
KK KKM
KK KKK 1
16

[silmaril8]

Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

Vraag 17.1: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker munt gooit dan ik?


Is het niet zo dat de antwoorden op vraag 17 en 17.1 samen 1 moeten zijn? En dat het antwoord op beide vragen dan ook 1/2 is?

[Verwijderd]

ik sta nog even te denken

[ Voor 226% gewijzigd door Verwijderd op 03-12-2008 22:54 ]

[disheaver]

Zoijar schreef op woensdag 03 december 2008 @ 21:51:
[...]

Waarom komt hier:

C++:

    const long c_trials = 100000;
    const int c_throws = 100;
    const int c_eyes = 100;

    boost::mt19937 rng;
    boost::uniform_int<int> eyes(0,c_eyes-1); // 0 t/m eyes-1
    boost::variate_generator<boost::mt19937, boost::uniform_int<int> > die(rng, eyes);

    long wins_A = 0;

    for (long n=0; n<c_trials; ++n) {
        long points_a = 0, points_b = 0;

        for (int i=0; i<c_throws; ++i) {
            points_a += die();
            points_b += die();
        }

        points_a += die(); // extra throw for A

        if (points_a > points_b) wins_A++;
    }

    std::cout << (double)wins_A / (double)c_trials << std::endl;

Dan 0.546 uit? Ik wil je best een paar tiende procent geven op simulatie fout, maar het zit toch niet echt in de buurt van de 0.99

Python:

#! /usr/bin/env python
from random import randint
n = 10000
t = 10000
v = 99

p = l1 = l2 = 0
while l1 < n:
    l1+=1
    pa = pb = 0
    while l2 < t:
        l2+=1
        pa += randint(0,v)
        pb += randint(0,v)

    pa += randint(0,v)

    if pa > pb:
        p+=1


print p*100.0/n

Vergelijkbaar, (maar dan in python) maar wel met een antwoord rond de 99% (tevens bij t=100)

[EricEric752]

disheaver schreef op woensdag 03 december 2008 @ 22:44:
[...]

Python:

#! /usr/bin/env python
from random import randint
n = 10000
t = 10000
v = 99

p = l1 = l2 = 0
while l1 < n:
    l1+=1
    pa = pb = 0
    while l2 < t:
        l2+=1
        pa += randint(0,v)
        pb += randint(0,v)

    pa += randint(0,v)

    if pa > pb:
        p+=1


print p*100.0/n

Vergelijkbaar, (maar dan in python) maar wel met een antwoord rond de 99% (tevens bij t=100)

Met SAS kom ik ook rond de 99% uit:

data test;
a=0;
b=0;
wins=0;
do trial=1 to 100000;
do worp=1 to 100;
a = a + RANUNI(0)*99;
b = b + RANUNI(0)*99;
end;
a = a + RANUNI(0)*99;
if a > b then wins = wins + 1;
chance = wins / 100000;
end;
run;

[Onbekend]

Verwijderd schreef op woensdag 03 december 2008 @ 22:15:
Volgens mij denkt iedereen veelste moeilijk over vraag 17 en is een exact antwoord op die vraag onmogelijk, en wel om de volgende reden:

Er zijn drie mogelijkheden:
a) minder vaak kop
b) even vaak kop
c) vaker kop

[+ uitleg...]

De uitleg van redwing in "Nationale Wetenschapsquiz 2008 - vraag 1..." is vrij duidelijk.

Stel persoon 1 doet 0 worpen. (Gooit 0x kop dus .)
Persoon 2 moet dus 1 keer gooien, en heeft 50% kans dat hij kop gooit. De voorgaande worpen maken niets uit.

Ik heb ook even wat gesimuleerd met deze php-code:

PHP:

<?php

$AantalKeerGooien = 1000;

$Persoon1AantalKop = 0;
$Persoon2AantalKop = 0;

srand();

// Speler 1:
for ( $Counter1 = 0; $Counter1 < $AantalKeerGooien; $Counter1++)
{
    $GooiResultaat = rand(0,1); 
    
    $Persoon1AantalKop += $GooiResultaat;
}

// Speler 2:
for ( $Counter1 = 0; $Counter1 < $AantalKeerGooien + 1; $Counter1++)
{
    $GooiResultaat = rand(0,1); 
    
    $Persoon2AantalKop += $GooiResultaat;
}

echo "Persoon 1: ".$Persoon1AantalKop."<br>";
echo "Persoon 2: ".$Persoon2AantalKop."<br>";
?>

Dit zijn voor 4x de resultaten:
Persoon 1: 500
Persoon 2: 498

Persoon 1: 497
Persoon 2: 499

Persoon 1: 478
Persoon 2: 510

Persoon 1: 510
Persoon 2: 498

Je ziet geen significant verschil, en net zoals de simulaties hierboven kom je dus op 50% kans uit.

[GlowMouse]

Verwijderd schreef op woensdag 03 december 2008 @ 22:15:
Het gooien zal normaal verdeeld zijn

Niet waar, de normale verdeling geldt slechts in de limiet en geeft hier geen bruikbaar antwoord.

We weten dat de kans op P (B ) gelijk is aan 0,5 - P (C)

Nee, we weten P(B ) = 1-2*P(C) (of 1-2*P(A)) en dat is dus twee maal zoveel.

In mijn eerste post gebruik ik dezelfde redenering als jij, maar dan op de juiste manier

[ Voor 0% gewijzigd door GlowMouse op 03-12-2008 23:10 . Reden: (B) ]

[Verwijderd]

@ hierboven: ik had je post nog niet gelezen, maar het is inderdaad dezelfde redenatie. Mijn fout was dat ik vergat dat niet de gehele kans op gelijkspel opschuift, maar slechts 50%.

Ik ben er uit.. Het is inderdaad 0,5. Ik had een kleine fout gemaakt in mijn eerdere post.

Hier de uitleg:

Als je even vaak gooit, geldt het volgende:

Drie mogelijkheden:
A) je gooit minder vaak Kop
B ) Je gooit even vaak Kop
C) je gooit vaker kop.

Je weet - omdat het normaal verdeeld is - dat geld P (A) = P (B ). Je weet ook dat de kans op B bestaat. Dus: P (A) + P (B ) + P (C) = 1
=> P (A) + P (C ) <1
=> P (C) < (1/2)

De kans dat je dus vaker kop gooit dan munt bij een gelijk aantal worpen is kleiner dan 0,5.

Wanneer je +1 worp doet:

De volgende mogelijkheden:

De kans dat je kop gooit wordt groter, en wel op de volgende wijze:
De kans dat je extra worp kop is, is 50%. De kans dat een scenario B (gelijk aantal kop en munt bij gelijk aantal worpen) resulteert in meer keer kop dan munt, is dus ook 50%.
De kans P (B ) * 0,5 komt er dus bij.
Je weet dat P (B ) / 2 + P (C) = 0,5 gold bij gelijk aantal worpen.
=> P (C ) = 0,5 - P (B ) /2
=> bij +1 worp geldt dat de kans op meer kop dan munt is P (C ) + 1/2 * P (B )
=> 0,5 - P (B )/2 + P (B ) * 0,5 = 0,5

[ Voor 7% gewijzigd door Verwijderd op 03-12-2008 23:09 ]

[EricEric752]

Mogen we na al dit statistisch en algoritmisch geweld gezamenlijk concluderen dat met een n-zijdige dobbelsteen (munt) genummerd van 0 t/m n-1 de kans op winst voor de gelukkige die een keer extra mag gooien gelijk is aan n-1 / n en dat het aantal keer gooien hierop geen invloed heeft?

En dat C++ niet geschikt is voor statistiek... ;-)

[GlowMouse]

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 23:10:
Mogen we na al dit statistisch en algoritmisch geweld gezamenlijk concluderen dat met een n-zijdige dobbelsteen (munt) genummerd van 0 t/m n-1 de kans op winst voor de gelukkige die een keer extra mag gooien gelijk is aan n-1 / n en dat het aantal keer gooien hierop geen invloed heeft?

En dat C++ niet geschikt is voor statistiek... ;-)

Ik snap sowieso niet waarom mensen hier statistiek willen gebruiken als de kansrekening voldoende handgrepen biedt. Daarnaast was er na mijn fipo sowieso weinig meer te discussieren

[disheaver]

silmaril8 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 22:30:
Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

Vraag 17.1: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker munt gooit dan ik?


Is het niet zo dat de antwoorden op vraag 17 en 17.1 samen 1 moeten zijn? En dat het antwoord op beide vragen dan ook 1/2 is?

De mogelijkheden van 17 zijn:
(a1) gooit meer kop,
(a2) gooit minder kop,
(a3) gooit evenveel kop.
van 17.1
(b1) meer munt
(b2) minder munt
(b3) evenveel munt

De som van bovenstaande kansen is samen 1 (het is zeker dat hij of meer kop gooi, of evenveel kop, of minder kop gooi).

Als hij meer munt gooit (17.1), dan geldt tegelijk dat hij of evenveel kop gooit, of minder kop gooit. Dus
b1 = a2 + a3
Aangezien a1+a2+a3 = 1 geldt ook dat a1+b1 = 1

En aangezien a1 evenveel zal voorkomen als b1 is a1 = b1 = 1/2

[Onbekend]

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 23:10:
Mogen we na al dit statistisch en algoritmisch geweld gezamenlijk concluderen dat met een n-zijdige dobbelsteen (munt) genummerd van 0 t/m n-1 de kans op winst voor de gelukkige die een keer extra mag gooien gelijk is aan n-1 / n en dat het aantal keer gooien hierop geen invloed heeft?

Waar haal jij die n-1 / n vandaan ?

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 23:10:
En dat C++ niet geschikt is voor statistiek... ;-)

Het ligt niet aan C++ maar aan de gebruikte randomgenerator. Deze genereert namelijk pseudo-toevalsgetallen. Dit is vrijwel random, maar er zit toch een verband tussen de getallen. Echte random getallen zijn moeilijk te verkrijgen.

[EricEric752]

Onbekend schreef op woensdag 03 december 2008 @ 23:16:
[...]
Waar haal jij die n-1 / n vandaan ?

Het ligt niet aan C++ maar aan de gebruikte randomgenerator. Deze genereert namelijk pseudo-toevalsgetallen. Dit is vrijwel random, maar er zit toch een verband tussen de getallen. Echte random getallen zijn moeilijk te verkrijgen.

n-1 komt uit afgeleide discussie die startte door post van Zoijar bovenaan page 2.

Toch was het wel opvallend dat C++ als enige met zulke afwijkende (en incorrecte) resultaten kwam terwijl de andere programmeertalen wel netjes op 99% winstkanst kwamen voor expiriment met 100 zijdige dobbelsteen. Aan het C++ algoritme kon ik geen fouten ontdekken.

[Zoijar]

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 23:27:
n-1 komt uit afgeleide discussie die startte door post van Zoijar bovenaan page 2.

Toch was het wel opvallend dat C++ als enige met zulke afwijkende (en incorrecte) resultaten kwam terwijl de andere programmeertalen wel netjes op 99% winstkanst kwamen voor expiriment met 100 zijdige dobbelsteen. Aan het C++ algoritme kon ik geen fouten ontdekken.

(ik heb nu aardig wat bier op dus ik kan helaas niet kijken wat het verschil tussen de sources is...) maar.. ik geloof er niets van. Logisch klopt het al niet. Als ik 1x meer gooi op de 1000 worpen oid, dan win je soms een keer vaker, maar zeker niet dat je win kans 0.99 is. Dat betekent dat je bijna altijd wint, en dat is gewoon niet zo. Als ik het mis heb dan mea culpa ik morgen wel, maar volgens mij is mijn code gewoon goed, en de random number generator is van boost waarvan wordt gezegd "good uniform distribution in up to 623 dimensions" en dat geloof ik zonder meer.

[EricEric752]

Zoijar schreef op donderdag 04 december 2008 @ 02:21:
[...]

(ik heb nu aardig wat bier op dus ik kan helaas niet kijken wat het verschil tussen de sources is...) maar.. ik geloof er niets van. Logisch klopt het al niet. Als ik 1x meer gooi op de 1000 worpen oid, dan win je soms een keer vaker, maar zeker niet dat je win kans 0.99 is. Dat betekent dat je bijna altijd wint, en dat is gewoon niet zo. Als ik het mis heb dan mea culpa ik morgen wel, maar volgens mij is mijn code gewoon goed, en de random number generator is van boost waarvan wordt gezegd "good uniform distribution in up to 623 dimensions" en dat geloof ik zonder meer.

Toch krijg ik er met SAS en de anderen met andere talen 99% uit. En persoonlijk van vind ik dat zelf ook wel degelijk logisch. Nogmaals, na een groot aantal worpen zal het verschil in score tussen de twee verschillende partijen gemiddeld 0 zijn. Speler A krijgt vervolgens gemiddeld 49,5 punten extra. Logisch dat die bijna altijd wint. Hij wint alle spelletjes waarin hij al voor stond, 99% van alle spelletjes waarin beiden gelijk stonden, 98% alle spelletjes waarin hij 1 punt achter stond, etc.

Misschien moeten we een echte weddenschap organiseren. Jij legt 50 euro in, ik 100. Jij mag 1000 keer gooien en ik 1001 met een honderdzijdige dobbelsteen. Zolang we jouw C++ algoritme (waaraan ik zelf ook geen fouten kan ontdekken) niet gebruiken heb ik vrijwel zeker 50 euro verdient.

[Onbekend]

disheaver schreef op woensdag 03 december 2008 @ 22:44:
[...]

Python:

#! /usr/bin/env python
from random import randint
n = 10000
t = 10000
v = 99

p = l1 = l2 = 0
while l1 < n:
    l1+=1
    pa = pb = 0
    while l2 < t:
        l2+=1
        pa += randint(0,v)
        pb += randint(0,v)

    pa += randint(0,v)

    if pa > pb:
        p+=1


print p*100.0/n

Vergelijkbaar, (maar dan in python) maar wel met een antwoord rond de 99% (tevens bij t=100)

Ik kan zelf geen phyton of C++ draaien. Maar volgens mij tel je hier het aantal gegooide ogen bijelkaar op. Je vergelijkt hier niet het aantal keer hoger gegooid dan.

Zou iemand dit script willen runnen met de variable v = 1 ?

[Zoijar]

EricEric752 schreef op woensdag 03 december 2008 @ 22:51:
Met SAS kom ik ook rond de 99% uit:

data test;
a=0;
b=0;
wins=0;
do trial=1 to 100000;
do worp=1 to 100;
a = a + RANUNI(0)*99;
b = b + RANUNI(0)*99;
end;
a = a + RANUNI(0)*99;
if a > b then wins = wins + 1;
chance = wins / 100000;
end;
run;

Ik ken de taal niet, maar zet je a en b wel weer op 0 bij elke nieuwe trial? Je hebt ook geen discrete random, maar een continu interval. En je zet de kans steeds in de trial loop?

disheaver schreef op woensdag 03 december 2008 @ 22:44:

Python:

#! /usr/bin/env python
from random import randint
n = 10000
t = 10000
v = 99

p = l1 = l2 = 0
while l1 < n:
    l1+=1
    pa = pb = 0
    while l2 < t:
        l2+=1
        pa += randint(0,v)
        pb += randint(0,v)

    pa += randint(0,v)

    if pa > pb:
        p+=1


print p*100.0/n

Vergelijkbaar, (maar dan in python) maar wel met een antwoord rond de 99% (tevens bij t=100)

Jij zet l2 niet op 0, dus je doet maar 1 daadwerkelijke ronde van t worpen. Wat je code vergelijkt is of randint(0,v) > 0 is. (t op 100 zetten, en voor if pa > pb: invoegen "l2 = 0" geeft mij 54% bij draaien.

Onbekend schreef op donderdag 04 december 2008 @ 07:53:
Ik kan zelf geen phyton of C++ draaien. Maar volgens mij tel je hier het aantal gegooide ogen bijelkaar op. Je vergelijkt hier niet het aantal keer hoger gegooid dan.

Zou iemand dit script willen runnen met de variable v = 1 ?

Dat was omdat we een subvraag hadden hier voor een n-zijdige dobbelsteen. Met een munt (i.e. v = 1) komt er bij mij steeds nagenoeg 50% uit.

GlowMouse schreef op zondag 30 november 2008 @ 15:33:
Als je allebei n maal gooit, X het aantal keer kop is dat je zelf gooit en Y het aantal keer kop dat de ander gooit, geldt vanwege symmetrie dat P(X<Y) = P(Y>X). Noem deze kans p. Er geldt P(X = Y) = 1-2p. De andere persoon gooit vaker kop als {Y > X} (onafhankelijk van wat de ander in beurt n+1 doet) of als {X = Y} en de ander daarna kop gooit. De gevraagde kans is daarom p + (1/2) * (1-2p) = p + 1/2 - p = 1/2.

Nice. Deze had ik over het hoofd gezien. Lijkt me goed.

[ Voor 76% gewijzigd door Zoijar op 04-12-2008 11:28 ]

[General_Failure]

De kans voor de 100-zijdige dobbelsteen convergeert m.i. naar 0,5 als het aantal worpen per spel naar oneindig gaat. De kans dat het verschil tussen beide spelers na 1000000 spellen kleiner is dan 99 punten is vrijwel 0, ook al is de verwachtingswaarde voor beide gelijk. De 1000001e worp heeft dus bijna geen invloed meer op het eindresultaat en de kans is 0,5 plus een heel klein beetje.

De gemiddelde worp convergeert weliswaar naar 49,5, en het gemiddelde verschil over alle worpen tussen beide spelers gaat naar 0. Maar het verschil in punten volgt een random walk en daarvoor geldt ook lange termijn niet dat de waarde naar 0 gaat. Sterker nog, de kans dat het verschil minder dan een vast aantal punten is, gaat naar nul als je maar vaak genoeg gooit.

[silmaril8]

foutje

[ Voor 99% gewijzigd door silmaril8 op 04-12-2008 17:11 ]

[EricEric752]

Zoijar schreef op donderdag 04 december 2008 @ 11:03:
[...]

Ik ken de taal niet, maar zet je a en b wel weer op 0 bij elke nieuwe trial? Je hebt ook geen discrete random, maar een continu interval. En je zet de kans steeds in de trial loop?

Je hebt helemaal gelijk. Ik had het intussen ook ontdekt, maar had niet eerder gelegenheid om mijn fout te posten. Ik kom net uit het vliegtuig rollen en kan nu eindelijk posten dat ik helemaal ongelijk heb. Als ik het "foutje" van het niet op 0 stellen van a en b herstel kom ik op exact dezelfde uitkomsten als jij.

P.S. Laat die weddenschap die ik voorstelde maar zitten....

[ Voor 5% gewijzigd door EricEric752 op 04-12-2008 21:59 ]

[ProfPi]

Vraag 18: Welke sneeuw smelt het snelst?

A. Schone sneeuw.
B. Vuile sneeuw.
C. Stuifsneeuw.

Antwoord D: Kun je niet bepalen vanwege de slechte vraagstelling en onduidelijke keuzes.

De stuifsneeuw kan het zijn als deze aan het stuiven is. Kleine kristallen, groot oppervlak, en dus goede warmteoverdracht. Als de stuifsneeuw ligt zou het weleens de langzaamste smelter kunnen zijn (vanwege de losse pakking en goede isolatie). De schone sneeuw is dus geen stuifsneeuw, maar ligt deze ook? We moeten natuurlijk wel dezelfde condities vergelijken.

En vuile sneeuw: vervuild met wat? Met vast CO₂? Vloeibaar lava? Plas, zand, zout? Het maakt wel uit of de vervuiling oplosbaar is in water (vriespuntsverlaging, dus sneller smelten) of juist niet (kan misschien afdekken en instraling verminderen).

Hebben we het alleen over smelten of over sublimatie en smelten tezamen?

En hoe drukken we deze smeltsnelheid uit? Als massa per tijdseenheid of volume per tijdseenheid? Maakt nogal wat uit als we dicht gepakte sneeuw vergelijken met los gepakte stuifsneeuw.

NWQ redactie: schrappen die vraag.

[Diadem]

Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Het antwoord op deze vraag is heel simpel in te zien met een symmetrie argument.

Wat is de kans op vaker kop óf vaker munt. Die is 1. Want de optie 'allebei even vaak' kan niet omdat we niet evenvaak gooien. Dus óf hij gooit vaker kop óf hij gooit vaker munt. Maar deze twee kansen moeten aan elkaar gelijk zijn wegens symmetrie. Dus de kans op beide is 1/2.

[Verwijderd]

Diadem schreef op maandag 08 december 2008 @ 04:06:
[...]


Het antwoord op deze vraag is heel simpel in te zien met een symmetrie argument.

Wat is de kans op vaker kop óf vaker munt. Die is 1. Want de optie 'allebei even vaak' kan niet omdat we niet evenvaak gooien. Dus óf hij gooit vaker kop óf hij gooit vaker munt. Maar deze twee kansen moeten aan elkaar gelijk zijn wegens symmetrie. Dus de kans op beide is 1/2.

en wat is de kans dan volgens jou dat ze evenvaak kop als munt gooien? Je antwoord klopt, maar je redenatie is onjuist.

Edit: blijkbaar denk jij dat dat 0 is, maar dat is onjuist, aangezien we bij evenvaak gooien een gelijk aantal maak kop kunnen gooien en dat bij één keer meer gooien dus ook kunnen (de andere persoon kan gewoon munt gooien..)

[ Voor 15% gewijzigd door Verwijderd op 08-12-2008 09:36 ]

[Kees]

Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Als persoon 1 en 2 een even aantal keren gooien:
Met een perfecte munt zullen ze dan (x/2) keer kop gooien en (x/2) keer munt. De kans dat persoon 2 met 1 keer meer gooien een kop gooit is dan 1/2

Echter, ze kunnen ook een oneven aantal keer gooien. Er kunnen dan een aantal verschillende scenario's optreden:
S1: p1: 1x vaker kop p2: 1x vaker kop
S2: p1: 1x vaker munt p2: 1x vaker kop
S3: p1: 1x vaker munt p2: 1x vaker munt
S4: p1: 1x vaker kop p2: 1x vaker munt

Alle scenario's hebben een even grote kans om op te treden. Echter alleen in scenario 1, 2 en 3 kan persoon 2 door nog een keer te gooien vaker kop hebben dan persoon 1. En zelfs dan is de kans daarop slecht 1/2. In het geval dat ze dus een ongelijk aantal 'start' gooien uitvoeren is de kans dat persoon 2 met nog een keer gooien vaker een kop gooit slechts 3/4 * 1/2 = 3/8

Als je beide scenario's combineert (oneven aantal keer gooien + even aantal keer gooien) kom je uit op een kans van 7/16 dat persoon 2 vaker kop gooit dan persoon 1 en dat is dus kleiner dan een half

Er is ook een kans van 7/16 dat persoon 2 vaker munt gooit dan persoon 1, en een kans van 2/16 dat het het hoogst gegooide aantal (kop of munt) gelijk is.

De 'truc' is dat je die laatste worp afhankelijk ziet van de voorgaande worpen, en dus niet zegt: ik gooi 9 keer dus ik heb of 5x kop, of 5x munt. Persoon 2 gooit 10x en heeft dus _of_5x munt _of_ 5x kop. Nee, persoon 2 gooit 9 keer, en heeft dus ook 5x munt / 4x kop of 5x kop / 4x munt; vervolgens gooit hij nog een keer en dan heeft hij 5x munt / 5x kop OF 6x munt / 4x kop OF 6x kop / 4x munt 5x kop / 5x munt. 4 mogelijkheden dus en die zijn allemaal even waarschijnlijk dat ze optreden, het eindresultaat is alleen afhankelijk van de voorafgaande worpen.

[ Voor 10% gewijzigd door Kees op 08-12-2008 10:51 ]

[redwing]

Kees schreef op maandag 08 december 2008 @ 10:46:
[...]

Als persoon 1 en 2 een even aantal keren gooien:
Met een perfecte munt zullen ze dan (x/2) keer kop gooien en (x/2) keer munt. De kans dat persoon 2 met 1 keer meer gooien een kop gooit is dan 1/2

Echter, ze kunnen ook een oneven aantal keer gooien. Er kunnen dan een aantal verschillende scenario's optreden:
S1: p1: 1x vaker kop p2: 1x vaker kop
S2: p1: 1x vaker munt p2: 1x vaker kop
S3: p1: 1x vaker munt p2: 1x vaker munt
S4: p1: 1x vaker kop p2: 1x vaker munt

Alle scenario's hebben een even grote kans om op te treden. Echter alleen in scenario 1, 2 en 3 kan persoon 2 door nog een keer te gooien vaker kop hebben dan persoon 1. En zelfs dan is de kans daarop slecht 1/2. In het geval dat ze dus een ongelijk aantal 'start' gooien uitvoeren is de kans dat persoon 2 met nog een keer gooien vaker een kop gooit slechts 3/4 * 1/2 = 3/8

Als je beide scenario's combineert (oneven aantal keer gooien + even aantal keer gooien) kom je uit op een kans van 7/16 dat persoon 2 vaker kop gooit dan persoon 1 en dat is dus kleiner dan een half

Er is ook een kans van 7/16 dat persoon 2 vaker munt gooit dan persoon 1, en een kans van 2/16 dat het het hoogst gegooide aantal (kop of munt) gelijk is.

De 'truc' is dat je die laatste worp afhankelijk ziet van de voorgaande worpen, en dus niet zegt: ik gooi 9 keer dus ik heb of 5x kop, of 5x munt. Persoon 2 gooit 10x en heeft dus _of_5x munt _of_ 5x kop. Nee, persoon 2 gooit 9 keer, en heeft dus ook 5x munt / 4x kop of 5x kop / 4x munt; vervolgens gooit hij nog een keer en dan heeft hij 5x munt / 5x kop OF 6x munt / 4x kop OF 6x kop / 4x munt 5x kop / 5x munt. 4 mogelijkheden dus en die zijn allemaal even waarschijnlijk dat ze optreden, het eindresultaat is alleen afhankelijk van de voorafgaande worpen.

Dit komt alleen niet overeen met de uitwerkbare versie van b.v. p1 gooit 1*, p2 2* :
p1 p2
M MM
M MK 1
M KM 1
M KK 1
K MM
K MK
K KM
K KK 1

Dus 4/8 wint P2.....

Volgens mij heeft het er toch mee te maken wat ik eerder al zei, als ze allebei evenveel gooien heb je 3 groepen,
1) P1 meer kop dan P2,
2) P2 meer kop dan P1
3) gelijk.

1 en 2 zijn even groot. Door nog een keer te gooien deel je 3) precies in 2'en en daarmee deel je dus het geheel precies in 2'en. (je krijgt wel dat de grensgevallen van groep 1 gelijkspel worden, maar aangezien dit nog steeds winst voor p1 is verandert dit niets)

[ Voor 9% gewijzigd door redwing op 08-12-2008 11:12 ]

[Kees]

Je hebt gelijk; ik had er geen rekening mee gehouden dat de kans dat hij wint als hij al voorligt 1 is; Ik rekende daar 1/2 en dan kom je inderdaad fout uit

[Salvatron]

Volgens mij is het zo:

de kansen zijn:
(1/2)ⁿ en (1/2)ⁿ⁺¹

die laatste:
(1/2)ⁿ x (1/2)¹

dus 1/2 x zoveel kans

[ Voor 41% gewijzigd door Salvatron op 08-12-2008 14:25 ]

[GlowMouse]

Jack Walsh schreef op maandag 08 december 2008 @ 14:21:
Volgens mij is het zo:

de kansen zijn:
(1/2)ⁿ en (1/2)ⁿ⁺¹

die laatste:
(1/2)ⁿ x (1/2)¹

dus 1/2 x zoveel kans

Zo makkelijk gaat het niet (1/2)ⁿ is de kans om n keer kop te gooien achter elkaar, en dat is bij deze vraag niet zo relevant. Zou je het echt met de kansverdeling van het aantal keren kop uit willen schrijven, kun je de binomiale verdeling pakken, maar dat is heel veel gepriegel en met alleen vwo-wiskunde kom je daar niet uit.

[Salvatron]

GlowMouse schreef op maandag 08 december 2008 @ 14:32:
Zo makkelijk gaat het niet (1/2)ⁿ is de kans om n keer kop te gooien achter elkaar, en dat is bij deze vraag niet zo relevant. Zou je het echt met de kansverdeling van het aantal keren kop uit willen schrijven, kun je de binomiale verdeling pakken, maar dat is heel veel gepriegel en met alleen vwo-wiskunde kom je daar niet uit.

Daar ben ik het niet mee eens, want (1/2)ⁿ gaat niet alleen over n keer kop, maar ook over alle andere mogelijke worpen. Als de 2 personen dezelfde hoeveelheid worpen doen, hebben alle mogelijke uitkomsten dezelfde kans.

persoon 1 gooit 1 keer:
mogelijkheden:
k
m

persoon 2 gooit 1 keer:
mogelijkheden:
k
m

Nu gooit persoon 2 nog een keer:
mogelijkheden:
k-k
k-m
m-k
m-m

Je ziet dus dat de kans op k (1/2)¹ is, en de kans op k-k (1/2)²

[GlowMouse]

Jack Walsh schreef op maandag 08 december 2008 @ 15:20:
[...]


Daar ben ik het niet mee eens, want (1/2)ⁿ gaat niet alleen over n keer kop, maar ook over alle andere mogelijke worpen. Als de 2 personen dezelfde hoeveelheid worpen doen, hebben alle mogelijke uitkomsten dezelfde kans.

persoon 1 gooit 1 keer:
mogelijkheden:
k
m

persoon 2 gooit 1 keer:
mogelijkheden:
k
m

Nu gooit persoon 2 nog een keer:
mogelijkheden:
k-k
k-m
m-k
m-m

Je ziet dus dat de kans op k (1/2)¹ is, en de kans op k-k (1/2)²

Ja, voor ieder mogelijk rijtje worpen is de kans (1/2)^n. Maar je bent geïnteresseerd in het aantal keren kop, dus je moet vermenigvuldigen met een som van binomiaalcoëfficienten. En eigenlijk wil je dat dan vergelijken met een aantal andere keren kop. Wat je krijgt is een dubbele sommatie over binomiaalcoëfficienten waarin die (1/2)^n eigenlijk maar een zeer beperkte rol speelt. Zo simpel als mijn voorganger het stelde is het gewoon niet.

[Salvatron]

GlowMouse schreef op maandag 08 december 2008 @ 17:00:
Maar je bent geïnteresseerd in het aantal keren kop, dus je moet vermenigvuldigen met een som van binomiaalcoëfficienten. En eigenlijk wil je dat dan vergelijken met een aantal andere keren kop.

Je hoeft de hoeveelheid keren kop niet met elkaar te vergelijken. De kans op kop is namelijk bij beide personen precies dezelfde als ze even vaak gooien. Daarom kun je die kansen tegen elkaar wegstrepen.

[Verwijderd]

Wel typisch... De eerste reactie in dit topic is een keurig bewijs van GlowMouse dat de kans precies 0,5 is, onafhankelijk van het aantal worpen. Leest niemand dat bewijs? Snapt niemand het? Of wil iedereen gewoon zijn eigen probeersels aan de community kwijt?

Toch wel jammer dat mensen massaal slechte redeneringen produceren, zichzelf daarmee voor schut zetten en de verontwaardiging van anderen op de hals halen. Vervolgens valt iedereen over elkaar heen om elkaars missers in het gezicht te wrijven, terwijl de eerste post gewoon een schitterend bewijs geeft. Het staat als een huis. Mooier kan niet. Laat het daar dan bij...

[Salvatron]

Verwijderd schreef op woensdag 10 december 2008 @ 19:34:
Wel typisch... De eerste reactie in dit topic is een keurig bewijs van GlowMouse dat de kans precies 0,5 is, onafhankelijk van het aantal worpen. Leest niemand dat bewijs? Snapt niemand het? Of wil iedereen gewoon zijn eigen probeersels aan de community kwijt?

Toch wel jammer dat mensen massaal slechte redeneringen produceren, zichzelf daarmee voor schut zetten en de verontwaardiging van anderen op de hals halen. Vervolgens valt iedereen over elkaar heen om elkaars missers in het gezicht te wrijven, terwijl de eerste post gewoon een schitterend bewijs geeft. Het staat als een huis. Mooier kan niet. Laat het daar dan bij...

Je hebt wel praatjes. Ik begrijp geen snars van die eerste reactie van GlowMouse, en bovendien kunnen er meerdere wegen zijn die naar Rome leiden. Mijn eigen redenatie klopt volgens mij ook wel omdat je alle rijtjes tegen elkaar kunt wegstrepen en dan blijft 1/2 over: Jack Walsh in "Nationale Wetenschapsquiz 2008 - vraag 1..."

Bovendien is het beter om eerst zelf de vraag op te lossen, anders kun je de quiz net zo goed niet doen.

[disheaver]

Verwijderd schreef op woensdag 10 december 2008 @ 19:34:
Wel typisch... De eerste reactie in dit topic is een keurig bewijs van GlowMouse dat de kans precies 0,5 is, onafhankelijk van het aantal worpen. Leest niemand dat bewijs? Snapt niemand het? Of wil iedereen gewoon zijn eigen probeersels aan de community kwijt?

Ik stopte met het lezen na de eerste vergelijking die niets met symetrie te maken heeft maar meer met: A > B = B < A. Maar hergelezen met de gedachten dat er een typefout in zit en is idd hetzelfde bewijs als later herhaald is door mockingbird. Verder is die laatste duidelijker, ging de discussie verder dan alleen een bewijs op antwoord 17 en is het doel van dit topic juist om probeersels, bewijs, ideeen en afleidsels kwijt te raken. Dus ik hoop dat er ook een optie 'alle bovenstaande antwoorden' is bij je vraag.

[Diadem]

Verwijderd schreef op maandag 08 december 2008 @ 09:29:

en wat is de kans dan volgens jou dat ze evenvaak kop als munt gooien? Je antwoord klopt, maar je redenatie is onjuist.

Edit: blijkbaar denk jij dat dat 0 is, maar dat is onjuist, aangezien we bij evenvaak gooien een gelijk aantal maak kop kunnen gooien en dat bij één keer meer gooien dus ook kunnen (de andere persoon kan gewoon munt gooien..)

De kans op evenvaak kop is inderdaad niet nul. De kans op evenvaak munt ook niet. De kans op zowel evenvaak kop als evenvaak munt is echter wel nul. Ze gooien immers niet evenvaak met de munt, dus er moet een verschil zijn. En dat is de kans waar ik het over had, en waar het ook om gaat.

Immers hij gooit óf vaker kop, óf vaker munt óf zowel kop als munt evenvaak. Andere mogelijkheden zijn er niet. Welnu die laatste valt dus af. Blijven de eerste twee over. En aangezien die een gelijke kans moeten hebbne wegens symmetrie is de kans daarop dus 50%. QED.

Verwijderd schreef op woensdag 10 december 2008 @ 19:34:
Wel typisch... De eerste reactie in dit topic is een keurig bewijs van GlowMouse dat de kans precies 0,5 is, onafhankelijk van het aantal worpen. Leest niemand dat bewijs? Snapt niemand het? Of wil iedereen gewoon zijn eigen probeersels aan de community kwijt?

In mijn geval: Ik wilde slechts een simpeler, mooier bewijs geven. GlowMouse's bewijs is helemaal correct. Maar nodeloos ingewikkeld, wat mij betreft.

[Verwijderd]

Jack Walsh schreef op woensdag 10 december 2008 @ 20:03:
[...]


Je hebt wel praatjes. Ik begrijp geen snars van die eerste reactie van GlowMouse, en bovendien kunnen er meerdere wegen zijn die naar Rome leiden. Mijn eigen redenatie klopt volgens mij ook wel omdat je alle rijtjes tegen elkaar kunt wegstrepen en dan blijft 1/2 over: Jack Walsh in "Nationale Wetenschapsquiz 2008 - vraag 1..."

Bovendien is het beter om eerst zelf de vraag op te lossen, anders kun je de quiz net zo goed niet doen.

Jouw redenatie is anders niet juist. Volgens jouw redenatie zou je met twee keer meer gooien namelijk (1/2)^n+2 = 0,25 kans hebben dat je vaker kop gooit, wat onjuist is. Als je vaker gooit, zal de kans op vaker kop steeds verder 1 benaderen (het gaat immers slechts om vaker kop gooien, wat met bijv. 10.000 keer gooien vrijwel altijd vaker zal gebeuren dan met 10 keer gooien).

Diadem schreef op donderdag 11 december 2008 @ 03:43:
[...]


De kans op evenvaak kop is inderdaad niet nul. De kans op evenvaak munt ook niet. De kans op zowel evenvaak kop als evenvaak munt is echter wel nul. Ze gooien immers niet evenvaak met de munt, dus er moet een verschil zijn. En dat is de kans waar ik het over had, en waar het ook om gaat.

Immers hij gooit óf vaker kop, óf vaker munt óf zowel kop als munt evenvaak. Andere mogelijkheden zijn er niet. Welnu die laatste valt dus af. Blijven de eerste twee over. En aangezien die een gelijke kans moeten hebbne wegens symmetrie is de kans daarop dus 50%. QED.


[...]


In mijn geval: Ik wilde slechts een simpeler, mooier bewijs geven. GlowMouse's bewijs is helemaal correct. Maar nodeloos ingewikkeld, wat mij betreft.

Ook deze redenatie leidt tot een juist antwoord, maar is opzich onjuist. Er zijn immers wel degelijk drie mogelijkheden:
a) Hij gooit vaker kop
b) hij gooit minder vaak kop
c) hij gooit even vaak kop

Gezien het feit dat de kans op C blijft staan, kunnen a en b danwel niet symetrisch zijn, dan wel niet ieder 0,5 zijn. Jij streept mogelijkheid C weg met een onjuiste redenatie. De vraag gaat namelijk niet over het aantal keren kop én het aantal keren munt, maar over het aantal keren kop. Weer een simpel voorbeeld is wanneer je jouw redenatie doortrekt naar vaker dan +1 gooien; Volgens jou zouden er dan nog steeds twee mogelijkheden bestaan en zijn deze symetrisch en dus nog steeds 0,5. Dat is onjuist, want hoe vaker je gooit hoe vaker beide kansen (vaker kop / vaker munt) 1 zullen benaderen. Je hebt de veronderstelling dat zij elkaars tegenhangers zijn, maar dat klopt niet. Deze twee kansen kunnen opgeteld weldegelijk meer dan 1 zijn.

[ Voor 48% gewijzigd door Verwijderd op 11-12-2008 07:06 ]

[Zoijar]

Ik kan hier wel om lachen Omdat het een munt is is elke kans ineens 50% bij iedereen, want het is of kop, of munt Zo ken ik er nog wel een paar. Bijvoorbeeld de kans op een 0 bij roulette is ook 50%, toch? Hij valt of wel, of niet. Dat het antwoord toevallig 50% is maakt het niet makkelijker... maar er staan zoveel redenaties die gewoon echt niet kunnen/mogen/geldig zijn. Kansrekening is niet ik streep wat dingen weg en voila.

[silmaril8]

Zoijar schreef op donderdag 11 december 2008 @ 09:09:
Ik kan hier wel om lachen Omdat het een munt is is elke kans ineens 50% bij iedereen, want het is of kop, of munt Zo ken ik er nog wel een paar. Bijvoorbeeld de kans op een 0 bij roulette is ook 50%, toch? Hij valt of wel, of niet.

Dit is natuurlijk een hele kromme vergelijking (daar kan ik dan weer om lachen ): Nul bij roulette is 1 van de 37 opties. Een munt is 1 van de TWEE opties. Dus bij munt/kop kan je net zo goed zeggen: hij valt wel of niet aangezien het toch 1 van de 2 opties is. Bij roulette kan je uiteraard niet zeggen dat de kans dan 50% is "omdat hij wel of niet valt".

[Salvatron]

Verwijderd schreef op donderdag 11 december 2008 @ 07:01:
Jouw redenatie is anders niet juist. Volgens jouw redenatie zou je met twee keer meer gooien namelijk (1/2)^n+2 = 0,25 kans hebben dat je vaker kop gooit, wat onjuist is.

Nee, 0.25 is juist de kans om niet vaker kop te gooien. Met twee keer gooien is de kans om wel een keer kop te gooien 0.75.

Als je vaker gooit, zal de kans op vaker kop steeds verder 1 benaderen (het gaat immers slechts om vaker kop gooien, wat met bijv. 10.000 keer gooien vrijwel altijd vaker zal gebeuren dan met 10 keer gooien).

Volgens mijn redenatie gaat de kans ook steeds verder naar 1. Het gaat namelijk om de kans om kop te gooien en die is 1 - de kans om niet kop te gooien. De kans op niet kop te gooien is (1/2)ⁿ. Je ziet dus dat de kans om kop te gooien 1-(1/2)ⁿ is en dat betekent dus dat hoe vaker er wordt gegooid, hoe meer de kans naar 1 gaat.

[disheaver]

Verwijderd schreef op donderdag 11 december 2008 @ 07:01:

Ook deze redenatie leidt tot een juist antwoord, maar is opzich onjuist. Er zijn immers wel degelijk drie mogelijkheden:
a) Hij gooit vaker kop
b) hij gooit minder vaak kop
c) hij gooit even vaak kop

Gezien het feit dat de kans op C blijft staan, kunnen a en b danwel niet symetrisch zijn, dan wel niet ieder 0,5 zijn. Jij streept mogelijkheid C weg met een onjuiste redenatie. De vraag gaat namelijk niet over het aantal keren kop én het aantal keren munt, maar over het aantal keren kop. Weer een simpel voorbeeld is wanneer je jouw redenatie doortrekt naar vaker dan +1 gooien; Volgens jou zouden er dan nog steeds twee mogelijkheden bestaan en zijn deze symetrisch en dus nog steeds 0,5. Dat is onjuist, want hoe vaker je gooit hoe vaker beide kansen (vaker kop / vaker munt) 1 zullen benaderen. Je hebt de veronderstelling dat zij elkaars tegenhangers zijn, maar dat klopt niet. Deze twee kansen kunnen opgeteld weldegelijk meer dan 1 zijn.

Nee, de redenatie klopt wel.

De mogelijkheden anders beschreven:
Hij gooit
1) meer kop, evenveel munt
2) meer kop, minder munt
3) evenveel munt, meer kop
4) evenveel kop, meer munt
5) meer munt, evenveel kop
6) meer munt, minder kop.

Er is geen mogelijkheid dat hij niet of meer kop gooit, of meer munt. Anders gezegd: geen mogelijkheid tot het gooien van evenveel munt en evenveel kop.
Ook is er geen mogelijkheid tot het gooien van meer kop en meer munt.

Daarom moet de som van vaker kop, en vaker munt gelijk aan 1 zijn.

De kansen op vaker munt en vaker munt zijn gelijk aan elkaar, ofwel 1/2.

Jack Walsh schreef op maandag 08 december 2008 @ 14:21:
Volgens mij is het zo:

de kansen zijn:
(1/2)ⁿ en (1/2)ⁿ⁺¹

die laatste:
(1/2)ⁿ x (1/2)¹

dus 1/2 x zoveel kans

(1/2)ⁿ is de kans op een bepaalde uitkomst, en is gelijk aan 1 gedeeld door het aantal mogelijke combinaties. Ik verander je vergelijking in de aantal mogelijke redenaties voor wat meer overzicht (hopelijk).

2ⁿ en 2ⁿ⁺¹

die laatste:
2ⁿ x 2¹


Je kunt gelijke noemers en gelijke delers wegstrepen. Bij het delen, dus blijkbaar deel je de 2 getallen.

2ⁿ x 2¹ / 2ⁿ = 2¹ = 2

Wat heb je gedaan? De aantal combinaties bij n+1 delen door de aantal combinaties bij n. Ofwel de verhouding tussen de aantal combinaties bij n+1 en n. Hoeveel meer combinaties er zijn bij n+1 dan bij n.
Er zijn door de laatste extra worp 2 uikomsten (M of K), en daarom zijn er ook 2 keer zoveel combinaties bij n+1 dan bij n.

Wat je echt hebt gedaan is het de kans op een combinatie bij n+1 delen door de kans op een bepaalde combinatie bij n. Ofwel de verhouding van kans op een bepaalde combinatie bij n+1 en n. Doordat er 2 keer zoveel combinaties zijn bij n+1 wordt de kans op een bepaalde uitkomst 2 keer zo klein, ofwel maal 0.5.

Ik zie niet in hoe dit kan helpen in het berekenen van de kans op meer kop.

[ Voor 30% gewijzigd door disheaver op 11-12-2008 15:20 ]

[Opperhoof]

16)

diameter = 5cm
omtrek = 2 x pi x r = 2 x pi x 2.5 = 15.7079

nu is de handschoen 0,5 cm dik, dus de diameter wordt 5+0.5+0.5 = 6
De omtrek is nu: 2 x pi x r = 2 x pi x 3 = 18.8496
Je hebt ook 2 vingers die 0.5 langer zijn geworden door de handschoen, dus je hand is nu 15.708+1 = 16.708

Er is dus een gat van 2 centimeter ontstaan.


Vast al honder keer beantwoord

[Salvatron]

disheaver schreef op donderdag 11 december 2008 @ 15:03:
Wat je echt hebt gedaan is het de kans op een combinatie bij n+1 delen door de kans op een bepaalde combinatie bij n. Ofwel de verhouding van kans op een bepaalde combinatie bij n+1 en n. Doordat er 2 keer zoveel combinaties zijn bij n+1 wordt de kans op een bepaalde uitkomst 2 keer zo klein, ofwel maal 0.5.

Ik zie niet in hoe dit kan helpen in het berekenen van de kans op meer kop.

De kans op een bepaalde uitkomst wordt niet 2 keer zo klein maar blijft hetzelfde. Er zijn alleen 2x zoveel mogelijke uitkomsten, maar dat heeft geen kleinere kans tot gevolg omdat er vaker gegooid wordt. Het enige wat er gebeurt is dat de worp (n+1) wordt toegevoegd:

persoon 1: (1/2)ⁿ
persoon 2: (1/2)ⁿx(1/2)

Je ziet dus dat de rijtjes bij persoon 1 en persoon 2 precies dezelfde kansen hebben bij n worpen.
Aangezien de vraag is hoe groot de kans is dat er vaker kop wordt gegooid door persoon 2 kun je (1/2)ⁿ wegstrepen en blijft 1/2 over.

[ Voor 6% gewijzigd door Salvatron op 11-12-2008 15:59 ]

[PhysicsRules]

Verwijderd schreef op zondag 30 november 2008 @ 13:41:
Antwoorden, redenaties en discussies zijn van harte welkom.

Vraag 16: Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat dat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?

A. Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger.
B. Het past nog steeds precies.
C. De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje.

Bewijs is al een aantal keer geleverd: 2pi(r+a) > (2pi*r + 2a)

Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Niks ingewikkelde statistiek. Het is een simpele kwestie van elegante symmetrie. Er is niets in de vraag dat optie KOP van optie MUNT onderscheidt, dus de twee opties zijn identiek. De kans erop dus even groot. Dus 1/2.

Vraag 18: Welke sneeuw smelt het snelst?

A. Schone sneeuw.
B. Vuile sneeuw.
C. Stuifsneeuw.

Alternatief idee: stuifsneeuw heeft het grootste oppervlak dus smelt het snelst.

Vraag 19: Je vult een smal bierflesje met zoveel water dat het ondersteboven in het water blijft drijven. Waarom zakt het flesje naar de bodem als je het een eind onder water duwt?

A. Omdat er lucht uit het flesje ontsnapt.
B. Omdat het glas wordt samengeperst.
C. Omdat er meer water in de fles wordt geperst.

Glas kan niet worden samengeperst en water ook niet. Als er onder de druk van het duwen meer water in het flesje komt zal deze druk weer verdwijnen zodra het flesje wordt losgelaten. Of het water loopt er weer uit en het flesje komt weer omhoog, of er ontsnapt wat lucht.

Vraag 20: Je duwt een stevig en een minder stevig opgepompte binnenband onder water. Wat kost het meeste moeite om onder water te duwen?

A. Een stevig opgepompte band.
B. Een minder stevig opgepompte band.
C. Maakt niet uit.

Hier hebben we de jaarlijkse onvermijdelijke Wet-Van-Archimedes-Vraag. (Alhoewel het deze keer niet precies deze wet is)

er vanuitgaande dat de minder stevig opgepompte band wel al de uiteindelijke vorm heeft van een band:
Een stevig opgepompte band heeft dan een grotere dichtheid en zinkt dus makkelijker.

In sommige kranten is sprake van een andere vraag 20, namelijk:

Vraag 20: Er ligt een groot gewicht op een opgeblazen binnenband die in het water drijft. Wat gebeurt er als je datzelfde gewicht onder aan die binnenband hangt?

A. De binnenband zakt dieper in het water.
B. De binnenband blijft op hetzelfde niveau.
C. De binnenband komt hoger in het water te liggen.

Heel naief zou ik zeggen dat de richting van alle krachten hetzelfde is, dus dat de band op hetzelfde niveau blijft.

[--Niels--]

PhysicsRules schreef op zondag 14 december 2008 @ 00:49:
[...]

Glas kan niet worden samengeperst en lucht ook niet. Als er onder de druk van het duwen meer water in het flesje komt zal deze druk weer verdwijnen zodra het flesje wordt losgelaten. Of het water loopt er weer uit en het flesje komt weer omhoog, of er ontsnapt wat lucht.

Lucht kun je wel degelijk samenpersen. Bijvoorbeeld de lucht in je band is samengeperst tot 2 bar. En de lucht niet kan ontsnappen aangezien het niet door het glas heen kan en ook niet naar beneden naar de opening (omdat het lichter is dan water). Het goede antwoord is dus "C. Omdat er meer water in de fles wordt geperst."
En dit past er dus in omdat de lucht wordt samengeperst.

[...]

Heel naief zou ik zeggen dat de richting van alle krachten hetzelfde is, dus dat de band op hetzelfde niveau blijft.

Is volgens mij ook al een keer eerder in het topic beredeneerd / bewezen dat het antwoord C. De binnenband komt hoger in het water te liggen is. Het is eigenlijk vrij simpel, als je iets of jezelf uit het water moet tillen, dan is het lichter zolang het nog onder water is, hoe meer het boven water komt, hoe zwaarder het is. Dit geldt dus ook voor dit grote gewicht, onder water is het 'lichter', waardoor de band minder diep in het water zal liggen. Dit komt dus doordat het gewicht nu ook water verplaatst, dit hoeft de band dus nu niet meer te doen.

[PhysicsRules]

Om ook dan naar even mijn progsel te showen

Matlab:

mean(mean(round(rand(1000,1001)),2) - mean(round(rand(1000,1000)),2))

Geeft resultaten van de orde +/- e-004, hetgeen wijst op 1/2.

verklaring code: gooi 1000x paarsgewijs 1000x en 1001x met een munt. Bereken de gemiddelde score door de randomgetallen binair te maken en daarna te middelen over de 1000/1001 worpen. Bereken het verschil van die twee sets. Als de kans 1/2 is zal dit verschil rond de 0 liggen. Dit blijkt te kloppen.

[PhysicsRules]

--Niels-- schreef op zondag 14 december 2008 @ 01:06:
[...]

Lucht kun je wel degelijk samenpersen. Bijvoorbeeld de lucht in je band is samengeperst tot 2 bar. En de lucht niet kan ontsnappen aangezien het niet door het glas heen kan en ook niet naar beneden naar de opening (omdat het lichter is dan water). Het goede antwoord is dus "C. Omdat er meer water in de fles wordt geperst."
En dit past er dus in omdat de lucht wordt samengeperst.

typefout, ik bedoelde, water kun je niet samenpersen, of iig niet met de hand.

Het flesje kan/zal trouwens kantelen zodat de lucht ontsnapt.

Is volgens mij ook al een keer eerder in het topic beredeneerd / bewezen dat het antwoord C. De binnenband komt hoger in het water te liggen is. Het is eigenlijk vrij simpel, als je iets of jezelf uit het water moet tillen, dan is het lichter zolang het nog onder water is, hoe meer het boven water komt, hoe zwaarder het is. Dit geldt dus ook voor dit grote gewicht, onder water is het 'lichter', waardoor de band minder diep in het water zal liggen. Dit komt dus doordat het gewicht nu ook water verplaatst, dit hoeft de band dus nu niet meer te doen.

Volgens mij zijn de band en gewicht in beide gevallen één systeem en is de waterverplaatsing in beide gevallen dus identiek.

Iets uit water tillen kun je hier niet mee vergelijken. Als je iets uit het water tilt breng je een systeem steeds meer uit balans, waardoor het steeds zwaarder wordt. We kijken in deze vraag alleen naar een statisch systeem.

oeps, sorry voor de dubbelpost, ik heb iets te lang op fok rondgesnuffeld

[ Voor 49% gewijzigd door PhysicsRules op 14-12-2008 01:28 ]

[--Niels--]

PhysicsRules schreef op zondag 14 december 2008 @ 01:19:
[...]

typefout, ik bedoelde, water kun je niet samenpersen, of iig niet met de hand.

Het flesje kan/zal trouwens kantelen zodat de lucht ontsnapt.

Water kun je volgens mij helemaal niet samenpersen, ook niet met een machine.

Ik gok dat er niet zo heel veel lucht in een flesje hoeft te zitten om het net te laten drijven, dus ik denk dat het flesje daarom ook niet zal kantelen.

[...]

Volgens mij zijn de band en gewicht in beide gevallen één systeem en is de waterverplaatsing in beide gevallen dus identiek.

Iets uit water tillen kun je hier niet mee vergelijken. Als je iets uit het water tilt breng je een systeem steeds meer uit balans, waardoor het steeds zwaarder wordt. We kijken in deze vraag alleen naar een statisch systeem.

De waterverplaatsing zal wel identiek zijn, maar door dat het gewicht onderwater ligt, is dat gewicht 'lichter' dan wanneer hij in de lucht op de band zou liggen en trekt hij minder hard aan de band, waardoor de band dus minder diep in het water komt te liggen.

[Verwijderd]

PhysicsRules schreef op zondag 14 december 2008 @ 00:49:
[...]

Niks ingewikkelde statistiek. Het is een simpele kwestie van elegante symmetrie. Er is niets in de vraag dat optie KOP van optie MUNT onderscheidt, dus de twee opties zijn identiek. De kans erop dus even groot. Dus 1/2.

Mja, goede antwoord, maar niet dankzij de juiste redenatie. Als ik 2x vaker gooi, dan onderscheidt ook niets de optie kop of munt, en zijn de twee opties dus identiek. Maar optgeteld zijn ze toch geen 1.

[Onbekend]

Die redenatie is iets aan de magere kant, maar uiteindelijk klopt het.
De kans op kop en op munt zijn voor beide partijen even groot. De kans dat de eerste partij een bepaald aantal keer kop gooit, is even groot als de kans van de tweede partij die de zelfde aantal keer gooit. -> Het kansverschil is hier nul, en het aantal keer kop van de ene partij min het aantal keer kop van de andere partij zal rond nul uitkomen.

De extra worp van de tweede partij geeft de uiteindelijke kans aan. In dit geval is de kans 0,5 (50%) dat de partij kop gooit en daarmee het antwoord op de vraag bepaalt.

[PhysicsRules]

Verwijderd schreef op zondag 14 december 2008 @ 13:08:
[...]


Mja, goede antwoord, maar niet dankzij de juiste redenatie. Als ik 2x vaker gooi, dan onderscheidt ook niets de optie kop of munt, en zijn de twee opties dus identiek. Maar optgeteld zijn ze toch geen 1.

Wat is er mis met de redenatie? Ik tel niets op.

[disheaver]

PhysicsRules schreef op zondag 14 december 2008 @ 21:05:
[...]

Wat is er mis met de redenatie? Ik tel niets op.

Dat is er dus mis

Uitleg waarom meer kop en meer munt opgeteld gelijk aan 1 is (ofwel dat er geen mogelijkheid is waar niet meer kop en niet meer munt gegooid wordt).

[ Voor 3% gewijzigd door disheaver op 14-12-2008 21:16 ]

[Diadem]

Verwijderd schreef op donderdag 11 december 2008 @ 07:01:

Ook deze redenatie leidt tot een juist antwoord, maar is opzich onjuist. Er zijn immers wel degelijk drie mogelijkheden:
a) Hij gooit vaker kop
b) hij gooit minder vaak kop
c) hij gooit even vaak kop

Dat is waar, maar niet waar ik het over heb. We hebben twee keer twee kansen:

1a) Hij gooit vaker kop
1b) Hij gooit niet vaker kop (en dus evenvaak of minder vaak kop)
2a) Hij gooit vaker munt
2b) Hij gooit niet vaker munt (en dus evenvaak of minder vaak munt)

Deze kun je als volgt combineren.

1) Hij gooit vaker kop en hij gooit vaker munt
2) Hij gooit vaker kop en niet vaker munt
3) Hij gooit niet vaker kop en vaker munt
4) Hij gooit niet vaker kop en niet vaker munt.

Optie 1 kan echter niet. Immers we gooien maar één keer vaker, dus we kunnen niet beide vaker gooien. En optie 4 kan dus ook niet, want aangezien we vaker gooien in totaal, moeten minimaal één van de twee vaker gegooid worden.

Blijft over optie 2 en optie 3. De kans op deze twee samen is dus 1. Maar kop en munt zijn symmetrisch. De kansen op 2 en 3 moeten dus gelijk aan elkaar zijn. En dus ieder een half.

Zo moeilijk is dit toch niet? Hoop ik?

[PhysicsRules]

disheaver schreef op zondag 14 december 2008 @ 21:15:
[...]

Dat is er dus mis

Uitleg waarom meer kop en meer munt opgeteld gelijk aan 1 is (ofwel dat er geen mogelijkheid is waar niet meer kop en niet meer munt gegooid wordt).

Ah.

Simpel: het aantal worpen van de twee personen verschilt slechts een. Het is dus nooit mogelijk dat ze allebei in dezelfde verhouding kop/munt gooien: de een gooit immers een even aantal en de ander een oneven. Er zijn dus maar twee mogelijkheden: de tweede persoon gooit meer kop of de tweede persoon gooit meer munt.

Dus als K1 het aantal keer kop van de eerste persoon is, K2 van de tweede, en M1 en M2 het aantal munt dan geldt:
P(K2 > K1) + P(M2 > M1) = 1

Dit kan ik ook aantonen:

code:

K1 + M1 = K2 + M2 - 1 ==>
M2 = K1 + M1 - K2 + 1 

M2 > M1 ==>
K1 + M1 - K2 + 1 > M1 ==>
K1 > K2 - 1 ==>
K1 >= K2 =>
K2 <= K1

Stap 1: De eerste persoon gooit 1 minder dan te tweede

Stap 6==>7 kan omdat K1 en K2 gehele getallen zijn.

Regel 8 is precies het complement van K2 > K1, dus de mijn stelling klopt, omdat deze ook te schrijven blijkt te zijn als
P(K2 > K1) + P(K2 <= K1) = 1

En, vanuit symmetrieoogpunt kun je niets anders concluderen dan dat P(K2 > K1) = P(M2 > M1). Ziehier het bewijs van P = 1/2.

[ Voor 5% gewijzigd door PhysicsRules op 15-12-2008 08:10 ]

[OneUp]

Mijn antwoorden met korte redenatie:

Vraag 16: Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat dat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?

A. Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger.
B. Het past nog steeds precies.
C. De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje.

de diameter van de cirkel die je maakt wordt kleiner

Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Kans is altijd 50/50 (bijvoorbeeld allebei 2x kop en 2x munt, dan heeft hij nog 1x 50% de kans om kop te gooien) dus de kans is een half

Vraag 18: Welke sneeuw smelt het snelst?

A. Schone sneeuw.
B. Vuile sneeuw.
C. Stuifsneeuw.

Gokje, de vuiligheid beïnvloed het smelten?

Vraag 19: Je vult een smal bierflesje met zoveel water dat het ondersteboven in het water blijft drijven. Waarom zakt het flesje naar de bodem als je het een eind onder water duwt?

A. Omdat er lucht uit het flesje ontsnapt.
B. Omdat het glas wordt samengeperst.
C. Omdat er meer water in de fles wordt geperst.

Door de druk komt wordt er water in de fles geperst (en ontsnapt er lucht)

Vraag 20: Je duwt een stevig en een minder stevig opgepompte binnenband onder water. Wat kost het meeste moeite om onder water te duwen?

A. Een stevig opgepompte band.
B. Een minder stevig opgepompte band.
C. Maakt niet uit.

Stevig opgepompt heeft meer weerstand door de grotere hoeveelheid lucht.

[Verwijderd]

laat!

[ Voor 99% gewijzigd door Verwijderd op 16-12-2008 22:52 ]

[Ruudjewee]

Vraag 16: Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat dat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?

A. Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger.
B. Het past nog steeds precies.
C. De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje.

De dikte van de handschoen zorgt voor een grotere diameter, maar er zit ook een extra laag op je duim en middelvinger, waarschijnlijk zal het nog steeds precies passen


Vraag 17: Ik gooi een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan ik?

A. Die kans is een half.
B. Die kans is kleiner dan een half.
C. Die kans is groter dan een half.

Na lang nadenken en wat redeneringen van anderen gelezen te hebben denk ik dat deze gewoon een half is:
De kans om vaker kop te gooien zou evengroot moeten zijn als de kans om vaker munt te gooien. Er is geen geval dat er evenveel kop en munt gegooid wordt omdat de tweede persoon een munt meer gooit.
Dus als de kans om vaker kop te gooien evengroot is als de kans om vaker munt te gooien, en de kans samen dus 100% is, hebben de twee gevallen dus 50% kans.

Vraag 18: Welke sneeuw smelt het snelst?

A. Schone sneeuw.
B. Vuile sneeuw.
C. Stuifsneeuw.

Door de lossere structuur zal warme lucht makkelijk tussen de stuifsneeuw kunnen komen, dus zal het sneller smelten.


Vraag 19: Je vult een smal bierflesje met zoveel water dat het ondersteboven in het water blijft drijven. Waarom zakt het flesje naar de bodem als je het een eind onder water duwt?

A. Omdat er lucht uit het flesje ontsnapt.
B. Omdat het glas wordt samengeperst.
C. Omdat er meer water in de fles wordt geperst.

Door de waterdruk zal de lucht in elkaar gedrukt worden, en zal er dus meer water in de fles stromen, de drijfkracht van de lucht (die nu een kleinere inhoud heeft door de grotere druk) zal nu niet meer groot genoeg zijn om de fles te laten drijven.


Vraag 20: Je duwt een stevig en een minder stevig opgepompte binnenband onder water. Wat kost het meeste moeite om onder water te duwen?

A. Een stevig opgepompte band.
B. Een minder stevig opgepompte band.
C. Maakt niet uit.

Het verschil is heel klein, maar er vanuit gaande dat de band niet meer veel rekt, zal de minder stevig opgepompte band moeilijker onder water te houden zijn omdat de lucht die erin zit minder weegt (want het is minder lucht)

In sommige kranten is sprake van een andere vraag 20, namelijk:

Vraag 20: Er ligt een groot gewicht op een opgeblazen binnenband die in het water drijft. Wat gebeurt er als je datzelfde gewicht onder aan die binnenband hangt?

A. De binnenband zakt dieper in het water.
B. De binnenband blijft op hetzelfde niveau.
C. De binnenband komt hoger in het water te liggen.

de waterdruk zal zorgen dat een deel van het gewicht wordt getild door het water, de kracht die de binnenband het water in duwt/trekt zal drus kleiner zijn

[Onbekend]

De antwoorden zijn er: http://www.nwo.nl/nwohome.nsf/pages/NWOA_7MELR2

Vraag 16. Je hand past precies om een ronde trapleuning, zodat duim en middelvinger elkaar kunnen raken. Wat gebeurt er als je een handschoen aantrekt en je hand om de leuning legt?
A) Er ontstaat een gat tussen duim en middelvinger
B) Het past nog steeds precies
C) De duim en de middelvinger overlappen elkaar een beetje

Het goede antwoord is A. De situatie is vergelijkbaar wanneer je om de leuning een leren lap wikkelt (de handschoen) en je daar met je blote hand overheen grijpt. Dat red je dus niet. De doordenker zal zeggen: Ja maar, mijn vingers zijn ook langer geworden door die handschoen! Dit klopt, maar dat compenseert niet genoeg. Als de dikte van de handschoen D is, wordt de omtrek 2 pi D, ofwel ongeveer 6D groter (want pi = 3,14, dus 2pi is ongeveer 6) terwijl de vingertoppen samen maar 2D dichter bij elkaar komen. Er ontstaat dus een gat tussen duim en middelvinger.


Vraag 17. Je gooit een aantal keer met een munt, iemand anders gooit één keer meer. Hoe groot is de kans dat hij vaker kop gooit dan jij?
A) Die kans is een half
B) Die kans is kleiner dan een half
C) Die kans is groter dan een half


Het juiste antwoord is: A. Let wel dat het hier om de 'vooraf-kans' gaat. Zodra hij jouw worpen heeft gezien, verandert de kans dat hij vaker 'kop' gooit (stel: jij gooit 1x en hij 2x, jij gooit 'munt' en dat ziet hij gebeuren, dan is de kans natuurlijk groter dan een ½ dat hij vaker 'kop' gooit).
Waarom is die kans ½ ? Welnu, het is natuurlijk gewoon symmetrisch: hij gooit vaker 'kop' óf hij gooit vaker 'munt' dan jij (deze twee gebeurtenissen kunnen niet allebei optreden). Dus het gezonde verstand geeft het goede antwoord.

Je kunt het ook berekenen:
Stel jij gooit 1 keer en hij 2 keer. Jij noteert met X het aantal keer dat je 'kop'
gooit, en met Y het aantal keer dat hij 'kop' gooit.
De kans dat (X=0 en Y=1 of 2) OF (X=1 en Y=2) is dan:
1/2(1/2 + 1/4) + 1/2 x 1/4 = 1/2.
Stel jij gooit 2 keer en hij 3 keer. Jij noteert met X het aantal keer dat je 'kop'
gooit, en met Y het aantal keer dat hij 'kop' gooit.
De kans dat (X=0 en Y=1 of 2 of 3) OF (X=1 en Y=2 of 3) OF (X=2 en Y=3) is dan:
1/4(3/8 + 3/8 + 1/8) + 1/2(3/8 + 1/8) + 1/4 x 1/8 = 1/2.
De algemene berekening waarbij jij n keer gooit en hij n+1 keer, is wat technischer, maar het idee is steeds hetzelfde.


Vraag 18. Welke sneeuw smelt het snelst?
A) Schone sneeuw
B) Vuile sneeuw
C) Stuifsneeuw

Het juiste antwoord is B. Vanwege het vuil is er sprake van smeltpuntverlaging. Doordat de schone sneeuw met ‘viezigheid’ is vermengd, verlaagt het smeltpunt waardoor het zelfs al onder de 0 graden Celsius zal beginnen te smelten. Watermoleculen zijn bij vaste toestand netjes gerangschikt. De moleculen van de ‘viezigheid’ komen tussen de watermoleculen te zitten. Hierdoor wordt die nette rangschikking (het kristal) verstoord en zal het water eerder in de vloeibare fase komen. Ditzelfde principe geldt voor het strooien van zout om gladheid op de wegen tegen te gaan. Bovendien zullen bepaalde typen vuil ook zorgen voor een sterkere absorptie van zonlicht, vergeleken met schone, witte sneeuw, waardoor de vieze sneeuw sneller opwarmt en dus eerder smelt.


Vraag 19. Je vult een smal bierflesje met zoveel water dat het ondersteboven in het water blijft drijven. Waarom zakt het flesje naar de bodem als je het een eind onder water duwt?
A) Omdat er lucht uit het flesje ontsnapt
B) Omdat het glas wordt samengeperst
C) Omdat er meer water in de fles wordt geperst

Het juiste antwoord is C. De massa van het bierflesje samen met de lucht die erin zit, blijft gelijk. Echter, het volume van de opgesloten lucht neemt af: het wordt samengeperst, want de druk door het water stijgt met de diepte. Hoe dieper het flesje onder water wordt geduwd, hoe meer water het flesje in wordt geperst. Aan het oppervlak blijft het flesje drijven omdat het gemiddeld soortelijk gewicht van het glas en de opgesloten lucht samen lager is dan het soortelijke gewicht van water. Wanneer het flesje onder water wordt geduwd, bevat het meer water en wordt het gemiddeld soortelijk gewicht groter. Het flesje gaat het zinken.


Vraag 20. Er ligt een groot gewicht op een opgeblazen binnenband die in het water drijft. Wat gebeurt er als je datzelfde gewicht onder aan die binnenband hangt?
A) De binnenband zakt dieper in het water
B) De binnenband blijft op hetzelfde niveau
C) De binnenband komt hoger in het water te liggen

Het juiste antwoord is C. In beide situaties blijven object plus band drijven en is de opwaartse kracht dus gelijk aan de zwaartekracht. De zwaartekracht is in beide gevallen hetzelfde en dus is ook het volume van het verplaatste water in beide gevallen hetzelfde. Met het object bovenop de band wordt al dit water verplaatst door de band alleen. Met het object onder de band wordt er zowel water verplaatst door het object als door de band. Daardoor hoeft er door de band minder water verplaatst te worden en komt deze dus hoger in het water te liggen.