Analytisch bewijs?

[Pap3rclip]

Ik heb maandag examen wiskunde (4^e middelbaar Economie-Wiskunde (België)) en dit is één van de oefeningen op analytische meetkunde om te kijken of je het doorhebt.
Volgens mij heb ik de oplossing gevonden maar die lijkt me een beetje TE simpel.
Kunnen jullie ff kijken of ik het wel klopt wat ik doe?

Vraag: Bewijs Analytisch dat bij een rechthoekige driehoek het middelpunt van de omgeschreven cirkel op de schuine zijde ligt.

Nu weet ik wel dat een hoek met als hoekpunt een punt op de cirkel en benen door de grenspunten van de middellijn van een cirkel rechthoekig is, en bijgevolg het middelpunt ook op de schuine zijde van een rechthoekige driehoek ligt. Als ik dit schrijf is het volgens mij niet analytisch bewezen (ofwel?) en daarom heb ik het volgende verzonnen:





Kunnen jullie even kijken of deze redenering klopt?
(0 , a/2) en (b/2 , 0) zijn de middens van de lijnstukken OA en OB, deze heb ik berekend om zo tot het snijpunt van de middelloodlijnen van OA en OB te komen, namelijk M.
Het snijpunt van de middelloodlijnen van deze lijnstukken is ook het midden van de omgeschreven cirkel.

[ Voor 11% gewijzigd door Pap3rclip op 14-06-2008 22:49 ]

[Pap3rclip]

Heb nu alle oefeningen gemaakt en er blijft 1 vraag over die moeilijker is dan de rest.
Hier snap ik helemaal niet hoe ik moet beginnen...

Vraag 5: In een vierkant OABC (O is oorsprong) is Q een willekeurig punt op de diagonaal AC.
QE _|_ OC en E element van OC
QD _|_ OA en D element van OA
Bewijs analytisch dat BQ _|_ ED (tip: maak een tekening)
Dan staat er een cartesiaans assenstelsel om te tekenen met alleen plaats voorzien in het positieve gedeelte (rechtsboven x/y-assen).

[soulrider]

tip:
- gebruik de wetenschap dat het een vierkant is.
- DQ staat loodrecht op OA (en dus evenwijdig met AB)
- EQ staat loodrecht op OC en dus evenwijdig met OA, en loodrecht op AB

als je nu kunt bewijzen dat de hoek ODE gelijk is aan die van ABQ heb je met de info hierboven het gevolg dat die zijden (ED en BQ) loodrecht op elkaar moeten staan.

mbv die 'tip: maak een tekening' moet er toch al verschillende dingen gaan opborrelen qua mogelijkheden (de analytische meetkunde ligt al jaren achter mij dus ik ga hier geen bewijs voo je neerschrijven)

(tip: huiswerk vragen zijn niet echt de bedoeling, en als je het nu nog niet echt doorhebt is het wel wat laat eh)

en je hebt toch niets meer nodig dan het eerste kwadrant van zulk assenstelsel ?
want een goedbewijs werkt in alle kwadranten of zelfs met vierkanten die niet met een hoekpunt op de oorpsrong liggen - mits dat enkel mar een verschuiving/rotatie is

het bewijs van gelijkvokigheid kan met wat inventief zijn zo bewezen worden.
(hoeken genoeg die samen 90 graden moeten zijn bv DAQ en QAB)

(als Q gelijk is aan A heb je DO = DE = AO, en BQ = BA
Q = C => BQ = BC en ED = EO = CO

[ Voor 30% gewijzigd door soulrider op 15-06-2008 12:22 ]

[Pap3rclip]

Oke, ik snap hem nu alleen heb ik geen idee hoe je kan aantonen dat ABQ gelijk is aan ODE (gelijkvormigheid gaat niet omdat Q een willekeurig punt op de diagonaal is).
Maarja, deze vraag is ook enkel als test bedoeld voor als je volgend jaar 8u wiskunde wilt doen.
Alle andere vragen lukken me wel en ik wil 6u gaan doen dus dat zit wel goed. Ik wist dat er geen huiswerk gemaakt mocht worden op GoT maar dit is geen huiswerk, gewoon een extra oefening die ik graag wou maken .
Weet nog iemand of mijn eerste post klopt?

[Verwijderd]

Ja het klopt!

[ Voor 183% gewijzigd door Verwijderd op 15-06-2008 12:18 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op zondag 15 juni 2008 @ 12:13:
Ja het klopt!

haha, ik moest er ineens van lachen

[ Voor 12% gewijzigd door Verwijderd op 16-06-2008 22:29 ]

[GlowMouse]

Je eerste post vind ik ontzettend rommelig. Ik kan je redenering niet volgen.

"Bewijs Analytisch dat bij een rechthoekige driehoek het middelpunt van de omgeschreven cirkel op de schuine zijde ligt" heb je vertaald in "Bewijs dat het midden van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek het middelpunt is van de omgeschreven cirkel". Eenmaal die vertaalstap gemaakt kun je met het door jou gekozen assenstelsel in 1x laten zien dat d(M,O) = d(M,A) = d(M,B), en ben je klaar.

[Pap3rclip]

GlowMouse schreef op maandag 16 juni 2008 @ 22:47:
Je eerste post vind ik ontzettend rommelig. Ik kan je redenering niet volgen.

"Bewijs Analytisch dat bij een rechthoekige driehoek het middelpunt van de omgeschreven cirkel op de schuine zijde ligt" heb je vertaald in "Bewijs dat het midden van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek het middelpunt is van de omgeschreven cirkel". Eenmaal die vertaalstap gemaakt kun je met het door jou gekozen assenstelsel in 1x laten zien dat d(M,O) = d(M,A) = d(M,B), en ben je klaar.

Hmm daar zit wel iets in . Maar ja, leraren worden betaald om te verbeteren dus we mogen ze toch wel wat werk bezorgen of niet?
Examens zijn trouwens voorbij en het ging best goed. Er moest een analytisch bewijs gemaakt worden en met behulp van soulrider's uitleg kon ik hem na een tijdje (ik was de enige).

Voor de geïnteresseerden, de vraag was iets in de trend van:
Bewijs analytisch dat PR loodrecht staat op QS.
Gegeven: Vierkant ABCD met |AP|=|BQ|=|CR|=|DS| ≠ 1/2|AB|
Oplossing: (volgens mij dan )

spoiler: oplossing

Er moet dus bewezen worden dat m_PR.m_QS=-1
=> We plaatsen A, B, C en D op het assenstelsel en geven deze coördinaten:
=> A(0,0), B(0,1), C(1,1), D(1,0)
=> We geven P, Q, R en S coördinaten => P(0,p), Q(p,1), R(1,r) en S(r,0)
=> Stel dat dit klopt (PR_|_QS), dan is m_PR.m_QS=-1
<=> (r-p)/(1-0) . (0-1)/(r-p) = -1
<=> -1/1 = -1
=> Dus de veronderstelling klopt
=> PR staat loodrecht op QS

Waarschijnlijk is dit ook niet echt mooi/gestructureerd/wiskundig correct/... maar het moet wel genoeg zijn volgens mij .

[Verwijderd]

Pap3rclip schreef op dinsdag 17 juni 2008 @ 13:30:
[...]
Voor de geïnteresseerden, de vraag was iets in de trend van:
Bewijs analytisch dat PR loodrecht staat op QS.
Gegeven: Vierkant ABCD met |AP|=|BQ|=|CR|=|DS| ≠ 1/2|AB|
Oplossing: (volgens mij dan )

spoiler: oplossing

Er moet dus bewezen worden dat m_PR.m_QS=-1
=> We plaatsen A, B, C en D op het assenstelsel en geven deze coördinaten:
=> A(0,0), B(0,1), C(1,1), D(1,0)
=> We geven P, Q, R en S coördinaten => P(0,p), Q(p,1), R(1,r) en S(r,0)
=> Stel dat dit klopt (PR_|_QS), dan is m_PR.m_QS=-1
<=> (r-p)/(1-0) . (0-1)/(r-p) = -1
<=> -1/1 = -1
=> Dus de veronderstelling klopt
=> PR staat loodrecht op QS

Waarschijnlijk is dit ook niet echt mooi/gestructureerd/wiskundig correct/... maar het moet wel genoeg zijn volgens mij .

Lijkt me goed.
Iets netter zou zijn:

spoiler: oplossing

Er moet dus bewezen worden dat m_PR.m_QS=-1
=> We plaatsen A, B, C en D op het assenstelsel en geven deze coördinaten:
=> A(0,0), B(0,1), C(1,1), D(1,0)
=> We geven P, Q, R en S coördinaten: P(0,p), Q(p,1), R(1,r) en S(r,0)
=> m_PR.m_QS = (r-p)/(1-0) . (0-1)/(r-p) = -1/1 = -1
=> PR staat loodrecht op QS

(Je neemt wat onnodig stappen en veronderstellingen.)

PS. Op zich is het interessant dat je het gegeven dat r = 1-p niet nodig hebt.
PSS. De stelling is uiteraard ook waar voor |AP|=|BQ|=|CR|=|DS| =1/2|AB|, alleen werkt bovenstaande methode dan niet.

[Pap3rclip]

Verwijderd schreef op dinsdag 17 juni 2008 @ 14:14:
[...]
PSS. De stelling is uiteraard ook waar voor |AP|=|BQ|=|CR|=|DS| =1/2|AB|, alleen werkt bovenstaande methode dan niet.

Hoe kan je het dan bewijzen als ze de punten wel in de helft liggen? Dan is de rico van PR namelijk 0 en QS heeft dan geen rico?

[Verwijderd]

Pap3rclip schreef op dinsdag 17 juni 2008 @ 14:31:
[...]

Hoe kan je het dan bewijzen als ze de punten wel in de helft liggen? Dan is de rico van PR namelijk 0 en QS heeft dan geen rico?

1) Nemen van de limiet p->1/2. De onderlinge hoek van de lijnstukken hangt continu af van p. Voor alle waarden van p!= 1/2 is die hoek 90 graden. Dus is de hoek bij p=1/2 ook negentig graden.
of
2) Gebruik maken van het inproduct en laten zien dat dat nul is:

<R-P,Q-S> = <(1,r-p),(p-r,1)> = p-r + r-p = 0

[soulrider]

leuk te lezen dat mijn tips je geholpen hebben
nu heeft het hopelijk ook punten opgeleverd eh

maar vaak is het met zulke dingen eerder: 'versimpel de vraag stelling', 'zoek een logische verklaring of manier van bewijzen' en voila daar heb je de oplossing al. (vaak al na die eerste stap van versimpeling. (bij wiskunde is de manier van vraagstelling vaker ingewikkelder dan de vraag zelve )

[Pap3rclip]

klopt, het was de eerste vraag en heb er zo'n 5 minuten op zitten denken maar kwam er niet uit.
toen de gemaakt en dan op het laatste nog eens rustig bekeken, wat in klad gedaan en toen kwam hij er opeens uit .
het waren 6 van de 80 punten dus dat is mooi meegenomen hé

[Techneut]

Je kan het vraagstuk in de topicstart ook nog simpeler benaderen waarmee je in één oogopslag ziet dat het gevraagde waar is:
Neem die rechthoekige driehoek en plak zijn spiegelbeeld tegen de schuine zijde. Resultaat een rechthoek. De diagonalen zijn de schuine zijden en kruisen elkaar in het midden.
Vanuit dat midden zijn de afstanden naar de hoeken gelijk (een van de eigenschappen van de rechthoek) dus kunnen ze worden gezien als stralen van een cirkel. Dus is het gevraagde waar.

[Verwijderd]

Techneut schreef op woensdag 18 juni 2008 @ 10:41:
Je kan het vraagstuk in de topicstart ook nog simpeler benaderen waarmee je in één oogopslag ziet dat het gevraagde waar is:
Neem die rechthoekige driehoek en plak zijn spiegelbeeld tegen de schuine zijde. Resultaat een rechthoek. De diagonalen zijn de schuine zijden en kruisen elkaar in het midden.
Vanuit dat midden zijn de afstanden naar de hoeken gelijk (een van de eigenschappen van de rechthoek) dus kunnen ze worden gezien als stralen van een cirkel. Dus is het gevraagde waar.

Het ging eigenlijk niet om een meetkundig bewijs maar een analytisch bewijs en dat houdt in dat je algebra er bij behoort te betrekken:

http://www.fi.uu.nl/ctwo/...get=blank?%20target=blank

De bestudering van de meetkunde door middel van de algebra is het doel van de analytische meetkunde.
De zuiver meetkundige bestudering van figuren, die we hoofdzakelijk aan de Grieken danken, heet de synthetische meetkunde .

Als je bij een rechthoekige driehoek het middelpunt van de schuine zijde naar de vertex van de rechte hoek verbind en de middelpunten van de zijden met elkaar verbind heb je 4 identieke driehoeken waaruit ook in een oogopslag blijkt dat de drie hoekpunten van de originele driehoek op een cirkel liggen, met als center het middelpunt van de schuine zijde. Dergelijke bewijzen zijn geen analytische bewijzen.

TS had het in zijn eerste post al goed. . .ook al betekend dat niet dat er geen eenvoudiger analytisch bewijs is.

[GlowMouse]

Techneut schreef op woensdag 18 juni 2008 @ 10:41:
Je kan het vraagstuk in de topicstart ook nog simpeler benaderen waarmee je in één oogopslag ziet dat het gevraagde waar is:
Neem die rechthoekige driehoek en plak zijn spiegelbeeld tegen de schuine zijde. Resultaat een rechthoek. De diagonalen zijn de schuine zijden en kruisen elkaar in het midden.
Vanuit dat midden zijn de afstanden naar de hoeken gelijk (een van de eigenschappen van de rechthoek) dus kunnen ze worden gezien als stralen van een cirkel. Dus is het gevraagde waar.

Meetkundig zou de stelling van Thales hier eenvoudiger uitkomst bieden.

[ Voor 9% gewijzigd door GlowMouse op 18-06-2008 14:00 ]

[Pap3rclip]

Thales?
Hoe wou je dat dan gaan doen?

[Verwijderd]

Pap3rclip schreef op woensdag 18 juni 2008 @ 17:53:
Thales?
Hoe wou je dat dan gaan doen?

Dat is precies wat glow-mouse al eerder stelde en ik nog eens bevestigde met de 4 identieke diehoeken in een rechthoekige driehoek. De TS-vraag voor een analytisch bewijs vereist algebra.
Zie Stelling van Thales op Google.

[ Voor 5% gewijzigd door Verwijderd op 18-06-2008 19:14 ]

[Pap3rclip]

Ja het is gewoon uit nieuwsgierigheid...
Ik ken de stelling van Thales wel maar dat is toch alleen maar met 3 of meer evenwijdigen dat de afgesneden lijnstukken op de snijdende rechten dezelfde verhouding hebben?