Berekenen van lijnstuk in driehoek

[link0007]

Ik kreeg net een rare wiskunde vraag gesteld (iemand anders kwam er ook niet uit):

In driehoek ABC met AB = 24 staat CD loodrecht op AB en is AD = 8 en CD= 16.
In deze driehoek wordt een rechthoek PQRS getekend waarvan de hoekpunten op de zijden van de driehoek liggen. De oppervlakte van de rechthoek is 90.

Bereken AP

Hier een plaatje:



Nu weet ik dat PQ*PS = 90 er zeker iets mee te maken heeft, maar ik kan er niks mee bedenken?

[mr_obb]

Hints:
Rekenen met verhoudingen.
Driehoeken ABC en CRS zijn gelijkvormig.
Driehoeken ACD en APS zijn gelijkvormig.

Met deze informatie kan je het oplossen.

spoiler:

x/PS = 8/16
Dus: PS = 2x

RS/24 = (16-PS)/16

2*RS = 3*(16-PS)
Wordt:
RS = 24 - 3x

PS*RS = 90
Wordt: 2x * (24-3x) = 90

Oplossen voor x en je bent klaar... Toch?

48x - 6x^2 = 90
8x-x^2 = 15

x=5 (40-25 = 15)

Dan is PS dus 10 en RS 9

Edit: Oplossing x=3 is ook goed. PS = 6, RS = 15, dank aan Link007

[ Voor 39% gewijzigd door mr_obb op 08-03-2008 07:34 ]

[Zip McOccup]

mr_obb schreef op donderdag 06 maart 2008 @ 23:02:
Hints:
Rekenen met verhoudingen.
Driehoeken ABC en CRS zijn gelijkvormig.
Driehoeken ACD en APS zijn gelijkvormig.

Met deze informatie kan je het oplossen.

spoiler:

x/PS = 8/16
Dus: PS = 2x

RS/24 = (16-PS)/16

2*RS = 3*(16-PS)
Wordt:
RS = 24 - 3x

PS*RS = 90
Wordt: 2x * (24-3x) = 90

Oplossen voor x en je bent klaar... Toch?

48x - 6x^2 = 90
8x-x^2 = 15

x=5 (40-25 = 15)

Dan is PS dus 10 en RS 9

Je methode is perfect, alleen is er een klein foutje in geslopen:

spoiler:

RS = 24 - 3x
moet zijn:
RS = 24 - 3/2x

Uitwerken levert dan x=2, als het goed is

[link0007]

/Dank

Ben er nu zelf ook uitgekomen (zonder te spieken bij de spoiler), en kwam uit op x=3 of x=5.

En dat klopte volgens mij.

[mr_obb]

Zip McOccup schreef op vrijdag 07 maart 2008 @ 18:20:
[...]


Je methode is perfect, alleen is er een klein foutje in geslopen:

spoiler:

RS = 24 - 3x
moet zijn:
RS = 24 - 3/2x

Uitwerken levert dan x=2, als het goed is

Nee Toch? Dit is toch de uitwerking?

spoiler:

2*RS = 3*(16-PS)

PS = 2x, Dus:

2*RS = 3*(16-2x)
2*RS = 48 - 6x
RS = 24-3x

link0007 schreef op vrijdag 07 maart 2008 @ 19:50:
/Dank

Ben er nu zelf ook uitgekomen (zonder te spieken bij de spoiler), en kwam uit op x=3 of x=5.

En dat klopte volgens mij.

Volgens mij ook...

[ Voor 22% gewijzigd door mr_obb op 08-03-2008 07:32 ]

[Techneut]

Zonder eerst te spieken bij de anderen een iets andere benadering. Inderdaad twee oplossingen,

spoiler:

dit tengevolge van een vierkantsvergelijking. Ook zonder rekenwerk te beredeneren, nl. die rechthoek heeft als je laag begint een geringe oppervlakte die met de hoogte toeneemt en op een bepaalde hoogte weer afneemt. Een gegeven oppervlakte kleiner dan die van de helft van de driehoek zal dus twee keer mogelijk moeten zijn.

Welnu, ik concentreerde me even op de rechter helft, want de hoogte van de totale driehoek (=16) is gelijk aan de basis van de rechter helft van de driehoek, hoek B is dus 45°, een heel handig gegeven. Noem RQ = h, dan is ook QB = h en DQ = 16 - h.
De basis van de totale driehoek is 24, opgedeeld in 8 en 16, dus de bovenste driehoek wordt ook in deze verhouding 1:2 opgedeeld en daarmee ook de rechthoek, die dus wordt opgedeeld in 30 en 60.
Dat rechterdeel van 60 heeft dus een basis van (16-h) en een hoogte h, dus 60 = h * (16-h).
Dus een vierkantsvergelijking h2 - 16h + 60 = 0, dus h = 6 of h = 10.
Vervolgens naar links: x = ½h, dus x = 3 of 5.