Wiskundige figuren

[WFvN]

Vrouwlief en ik zitten met een discussie. Vrouwlief is wiskundige, ik niet maar wel exacteling.

Vrouwlief zegt:

Een vierkant is géén rechthoek. Een vierkant is géén ruit, een vierkant is géén parallelogram. Ik zeg in alle gevallen dat dat wèl het geval is.

Zij zegt: een rechthoek heeft 2x 2 gelijke zijden met 4 rechte hoeken. Een vierkant heeft 4 gelijke zijden dus is een rechthoek en geen vierkant.
Ik zeg: een vierkant is een speciale rechthoek waarbij àlle eigenschappen voor een rechthoek ook opgaan voor een vierkant met één eigenschap extra en dat is dat alle zijden even lang zijn. Vergelijkbare redeneringen gelden voor de andere figuren.

Zij zegt: 'Als je zegt dat een vierkant een rechthoek is, dan is dat fout'. Ik zeg dat een vierkant dus wèl een rechthoek is maar dat het antwoord niet helemaal volledig is maar dat alle eigenschappen dus wel van toepassing zijn.
Zelfde als bij een meerkeuzevraag. Soms zit er een antwoord bij wat goed is maar een antwoord wat beter/volledig er is en welke dus het juiste antwoord is.
Ook geldt zo: een koe is ene dier maar een dier is niet per definitie een koe. Zo ook: een vierkant is een rechthoek maar een rechthoek is niet per definitie een vierkant.

Of het nou logica, wetenschap of filosofie is, weet ik niet. Zeg het maar.....

[CodeCaster]

quote: http://nl.wikipedia.org/wiki/Rechthoek

Het vierkant is een speciale vorm van de rechthoek waarbij alle zijden even lang zijn.

quote: http://nl.wikipedia.org/wiki/Vierkant_%28meetkunde%29

Een vierkant is in de meetkunde een tweedimensionale figuur met vier gelijke zijden en vier rechte hoeken tussen die zijden.

Soms kan het leven zo simpel zijn.

[WFvN]

CodeCaster schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 00:05:
[...]

Dus inderdaad een rechthoek

Soms kan het leven zo simpel zijn.

Niet helemaal helaas.... ze was het niet eens met m'n redenatie

[ Voor 4% gewijzigd door WFvN op 16-02-2008 00:08 ]

[Anoniem: 4629]

Elk vierkant is een rechthoek. Niet alle rechthoeken zijn vierkant. Volgens mij is het niet simpeler dan dat uit te leggen.

[WFvN]

En dat is 2 (buiten mij) die dat zeggen. Nu nog de vrouw overtuigen

[Anoniem: 4629]

WFvN schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 00:11:
Nu nog de vrouw overtuigen

Het gaat over logica. Logica en vrouwen. Ik zeg al niks meer.

Teken eens wat Venn-diagrammen uit. Volgens mij moet je een ovaal tekenen die alle parallelogrammen voorstelt. Binnen die ovaal teken je een ovaal die alle rechthoeken voorstelt. En binnen die ovaal teken je weer een ovaal die alle vierkanten voorstelt.

Zo klaar als een al dan niet rechthoekig klontje.

En als je echt fancy wilt doen dan zet je die hele set binnen een ovaal die de quadrilateralen voorstelt

Wikipedia: Quadrilateral

Daar staat trouwens nog een leuke bij. De Rhombus. Een parallelogram met 4 even lange zijdes, maar geen rechte hoeken

[ Voor 20% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 16-02-2008 00:19 ]

[Pendaco]

En draai een vierkant 45 graden en men krijgt een; Ruit

quote: http://nl.wikipedia.org/wiki/Ruit_(meetkunde)

Een bijzondere vorm van een ruit is het vierkant. Deze vierhoek heeft niet alleen vier gelijke zijden maar ook vier gelijke hoeken, die elk 90° zijn (ook wel rechte hoek genoemd).

Hey bovenstaande is 2 vliegen in 1 klap zie ik, ruit > vierkant > recht(e)hoek
Of is Wikipedia niet rechtsgeldig?

[disheaver]

Anoniem: 4629 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 00:10:
Elk vierkant is een rechthoek. Niet alle rechthoeken zijn vierkant. Volgens mij is het niet simpeler dan dat uit te leggen.

De vraag was juist of een vierkant een rechthoek is. Het klopt wel wat je zegt, maar het is geen bewijs voor de stelling dat een vierkant een rechthoek is.

Pendaco schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 00:17:
En draai een vierkant 45 graden en men krijgt een; Ruit

Daar hoef je hem natuurlijk niet echt voor te draaien

Hey bovenstaande is 2 vliegen in 1 klap zie ik, ruit > vierkant > recht(e)hoek

Niet echt, aangezien het gequote niet stelt dat een vierhoek met 4 rechte hoeken gelijk is aan een rechthoek (wat wel zo schijnt te zijn)

Anoniem: 4629 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 00:15:
[...]
Daar staat trouwens nog een leuke bij. De Rhombus. Een parallelogram met 4 even lange zijdes, maar geen rechte hoeken

En beter bekend als de ruit

[ Voor 50% gewijzigd door disheaver op 16-02-2008 00:29 ]

[Anoniem: 4629]

disheaver schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 00:23:
De vraag was juist of een vierkant een rechthoek is. Het klopt wel wat je zegt, maar het is geen bewijs voor de stelling dat een vierkant een rechthoek is.

Hoezo niet? Een vierkant is een vorm met 4 gelijke hoeken en 4 gelijke zijdes.
Een rechthoek heeft 4 gelijke hoeken, en 2 x 2 gelijke zijdes.

4 gelijke zijdes is eveneens 2 x 2 gelijke zijdes. Ergo: een vierkant is een rechthoek.

Alle rechthoeken met 4 gelijke zijdes, hebben automatisch ook 2 x 2 gelijke zijdes. En zijn dus rechhoeken én vierkanten. Niet alle rechthoeken met 2 x 2 gelijke zijdes, hebben 4 gelijke zijdes. En zijn dus geen vierkanten.

Dat is niet hetzelfde als een vierkant gelijk stellen aan een rechthoek. Want slechts een deel van de rechthoeken zijn vierkant. De vierkanten zijn een subset van de rechthoeken.

Concreet: een vierkant is niet hetzelfde als een rechthoek. Maar alle vierkanten zijn rechthoeken. Je moet ze als groepen zien imo.

[ Voor 34% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 16-02-2008 00:47 ]

[Oyster]

Een vierkant is gedefenieerd als een object met eigenschappen zoals jouw vrouw het beschrijft, mits je de wiskunde als universele taal aan neemt.

Als je de filosofische taal gebruikt kan jij gelijk hebben. Dit is ook direct de rede waarom natuurkundigen en wiskundigen het vaak niet goed met elkaar eens kunnen worden. De basis varieert immers.

Dit is in principe een oneindige discussie mits je niet eerst een wetenschappelijke basis aanneemt.

[ Voor 17% gewijzigd door Oyster op 16-02-2008 00:36 ]

[Anoniem: 124325]

Even een zijstraatje in:
Als je een "vierkant" op een cilinder tekent heeft het 2x 2 gelijke zijden (het valt dus onder de definitie van een rechthoek) maar niet 4 gelijke zijden omdat de vier zijden wel een gelijke lengte hebben maar 2 er van krom zijn. . . de cilinder hoeft overigens niet cirkelvormig te zijn (mag elke vorm hebben). In elke variatie hiervan zijn de vier hoeken wel 90º. Je kan deze “vierkant” ook op de cilinder roteren zodat het 4 gelijke zijden heeft indien de cilinder cirkelvormig is.

Noem je het figuur dan ook een vierkant of iets anders? Om het op een kromme cilindrische xy- ruimte te “tekenen” voer je precies de zelfde stappen uit omdat op de kromme ruimte de zijden van het “vierkant” ook recht zijn. . .het zijn immers geodetische lijnen. De definitie blijft m.i. dan gehandhaafd: vier rechte zijden met gelijke lengte en 4 90º hoeken.

Ik zou het nog ook een vierkant noemen. Je kunt immers een vlak vierkant stukje papier zonder het te rekken in elke richting op de cilinder plakken. Het enigste waar een definitie probleem zal ontstaan is als de cilinderomtrek ‘klein’ is en er sprake van overlap van de zijden ontstaat maar vanuit een coördinatenbeschouwing is er niets bijzonders aan de hand. Je moet dus naast de definitie ook de ruimte specificeren.

Gewoon iets om op te kouwen.

[Confusion]

Over het algemeen bevatten wiskundige verzamelingen hun randgevallen. Rechthoeken zijn niet gedefinieerd als 'alle vierhoeken waarvan alle hoeken 90 graden zijn, met uitzondering van figuren waar alle kanten dezelfde lengte hebben.' Vierkanten vallen dus onder rechthoeken.

[Duesenberg J]

En ten overvloede bevestig ik ook nog eens dat vierkanten onder de rechthoeken vallen.

Heel simpel:

Je hebt een figuur, en je gaat kijken of het een rechthoek is. Dus: je gaat één voor één de eigenschappen van een rechthoek checken met je figuur.
Die eigenschappen zijn:
1: 2x2 gelijke zijden (de overstaande zijden zijn gelijk aan elkaar)
2: 4 rechte hoeken
3: diagonalen zijn beide evenlang (gevolg van de 4 rechte hoeken.)

Stel nou dat ons figuur een vierkant is. We doen de checks voor een rechthoek:
1: 2x2 gelijke zijden, check
2: 4 rechte hoeken, check
3: diagonalen zijn beide evenlang, check
Conclusie: ons figuur is een rechthoek.

Nu draaien we het zaakje om: ons figuur is een random rechthoek (géén vierkant dit keer)
eigenschappen van een vierkant zijn:
1: 4 gelijke zijden
2: 4 rechte hoeken
3: diagonalen maken ook een rechte hoek met elkaar (gevolg van 1 en 2)

nu de checks:
1: 4 gelijke zijden, nee, we hebben 2 gelijke zijden en 2 andere gelijke zijden.
2: 4 rechte hoeken, check
3: diagonalen maken rechte hoek met elkaar, nee, doordat niet alle zijden evenlang zijn staan de diagonalen ook niet meer onder een rechte hoek.
Conclusie: ons figuur is geen vierkant.

Dus: Vierkanten behoren tot 'het rijk der' rechthoeken.

Nu een leuke draai aan de discussie: klopt dit in 3 dimensies ook nog? (dus met kubus en balk?)

[Anoniem: 26306]

Als je vrouw wiskundige is en die beweringen doet, heeft ze òfwel ergens een verkeerde afslag genomen (schoolwiskunde), òf zit ze je te narren en wil ze gewoon wiskundig bewijs.

Zie http://www.pandd.demon.nl/vierh/overvierh.htm

Wat mij betreft is die schoolwiskunde beperkend om het "begrijpelijk" te houden, maar het geeft wel ruimte voor bijdehandjes om in discussie te gaan. Ik vind het persoonlijk onzin om te zeggen dat een vierkant geen ruit, parallellogram of rechthoek is.

Als je bijdehand terug wilt doen, teken een vierkant op papier, en vraag wat het voor vorm is. Als ze zegt "een vierkant" moet je haar maar eens vragen hoe ze dat weet, en of het geen ruit, parallellogram, vlieger, trapezium of zomaar een vierhoek zou kunnen zijn

Nog een leuke stelling, die imho niet teveel offtopic is:

n-hoeken zijn ook m-hoeken als n en m een natuurlijk getal is, en m > n

[ Voor 8% gewijzigd door Anoniem: 26306 op 16-02-2008 11:14 ]

[WFvN]

Anoniem: 26306 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 11:05:
Als je vrouw wiskundige is en die beweringen doet, heeft ze òfwel ergens een verkeerde afslag genomen (schoolwiskunde), òf zit ze je te narren en wil ze gewoon wiskundig bewijs.

Nou nee, het grootste verschil zit tussen dat ik zeg 'goed, beter, best' terwijl zij het zwart-wit heeft over goed of fout.

Als ik een meerkeuzevraag opstel waarbij een vierkant getekend staat en de naam van de figuur moet gekozen worden en de antwoorden zijn:
A rechthoek
B vierkant
C ruit
D parallellogram

Dan zijn àlle antwoorden goed maar een meerkeuzevraag eist het beste antwoord; B dus.

Mijn vrouw zegt: als je bij een open vraag een vierkant tekent en je vraagt naar de naam, dan is alléén het antwoord 'vierkant' goed. Ik zeg dat 'vierkant' het beste antwoord is maar ruit, rechthoek, parallellogram ook goed is maar niet volledig. Fout is het zeker niet.
Als zij daar punten voor zou moeten geven op een proefwerk, dan vindt zij alléén vierkant goed, de rest fout. Een beetje afhankelijk van de puntenverdeling zou ik dan bijvoorbeeld in geval van 2 punten voor zo'n vraag zeggen: 'vierkant is 2 punten waard' en 'ruit, rechthoek en parallellogram zijn 1 punt waard; niet de volle mep want niet volledig maar ook niet fout'.

[ Voor 18% gewijzigd door WFvN op 16-02-2008 11:12 ]

[Anoniem: 26306]

Dan zit het probleem hem in de vraagstelling. Als je iets tekent dat erg sterk op een vierkant lijkt, maar dat nét niet is (niet voor het blote oog te zien), is "vierkant" toch een fout antwoord.
Ik houd het erop dat de vragen dan verkeerd worden gesteld omdat er niet één antwoord de enige juiste is. Dat is schoolkindertjes pesten, en verziekt het logisch denken.
Ik zou zeggen: vraag eens of je vrouw dat vindt of dat het zo is omdat ze op school er een bepaalde set definities op na hielden.

Een meerkeuzevraag waarbij er maar één goed antwoord is, is een verkeerde vraag. Als men zou vragen "is dit een vierhoek" en je moet kiezen voor "ja" of "nee" bij elke vraag, zou je altijd "ja" moeten antwoorden als er een vierkant, rechthoek, ruit, vlieger of welke andere bijzondere vierhoek dan ook wordt getoond.

[ingdas]

De definitie die ik altijd geleerd heb zegt niets over de zijden van een rechthoek. Alleen dat hij 4 rechte hoeken heeft. En ik heb dan ook altijd moeten leren dat een vierkant een rechthoek is. Net zoals dat een parallelogram ook een 4-hoek is

[F_J_K]

Anoniem: 4629 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 00:15:
Het gaat over logica. Logica en vrouwen. Ik zeg al niks meer.

DIt is geen logica (edit, hmm ik ga er geloof ik wat te serieus op in ) , maar een kwestie van weten wat de definitie is (zie ook Confusion in "Wiskundige figuren"). Wiki hanteren voor harde definities lijkt me niet handig. Rechthoek is gewoon een Nederlands woord:
recht·hoek (de)
1 vierhoek waarvan de hoeken recht zijn
Terwijl
vier·kant (het)
1 gelijkzijdige vierhoek waarvan alle hoeken recht zijn

(Trouwens raar dat de ene keer 'de' en de andere keer 'alle' is gebruikt). Als we het niet over Nederlands hebben, is het zaak om af te spreken welke definitie dan wel gebruikt wordt. Er zijn de laatste 4000 jaar nogal wat mensen geweest die wat hebben geroepen

WFvN schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 11:11:
Als zij daar punten voor zou moeten geven op een proefwerk, dan vindt zij alléén vierkant goed, de rest fout. Een beetje afhankelijk van de puntenverdeling zou ik dan bijvoorbeeld in geval van 2 punten voor zo'n vraag zeggen: 'vierkant is 2 punten waard' en 'ruit, rechthoek en parallellogram zijn 1 punt waard; niet de volle mep want niet volledig maar ook niet fout'.

En terecht. [small]Behalve als je als beantwoorder subtiel laat weten dat een printje of handgetekend vierkant nooit perfect vierkant kan zijn, en dus een ruit). Als je bij een topografie proefwerk 'Europa' roept als gevraagd wordt Amsterdam aan te wijzen is het niet goed ondanks dat het wel klopt.

[WFvN]

Anoniem: 26306 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 11:21:
Dan zit het probleem hem in de vraagstelling. Als je iets tekent dat erg sterk op een vierkant lijkt, maar dat nét niet is (niet voor het blote oog te zien), is "vierkant" toch een fout antwoord.
Ik houd het erop dat de vragen dan verkeerd worden gesteld omdat er niet één antwoord de enige juiste is. Dat is schoolkindertjes pesten, en verziekt het logisch denken.

Je mist het punt een beetje. Zulke lullige praktijken (net-geen-vierkanten) zijn verder niet aan de orde. De vragen die ik in m'n vorige bericht geplaatst heb, zijn puur hypothetisch en om een indruk te geven waar het verschil zit, en dat verschil is dat zij het heel zwart-wit ziet terwijl ik nog een grijs gebied aangeef.

Teken een figuur met 4 gelijke zijden en 4 rechte hoeken.
Ik zeg zoiets als:
vierhoek: goed
rechthoek, ruit, parallellogram: beter
vierkant: best

Zij zegt:
vierhoek, rechthoek, ruit, parallellogram: fout
vierkant: goed

Ik zou zeggen: vraag eens of je vrouw dat vindt of dat het zo is omdat ze op school er een bepaalde set definities op na hielden.

Ze (wiskundesectie) willen bij een figuur met 4 gelijke zijden en 4 rechte hoeken de naam vierkant horen omdat dat het beste is. En daar valt best wat voor te zeggen. Als je bij biologie een plaatje van een koe laat zien en vraagt 'wat is dit?' en een leerling schrijft op dat het een dier is, is het niet fout maar ik denk niet snel dat je daar de volle mep aan punten voor zal krijgen.

Maar daar zit dus ook niet het punt. In wezen zegt m'n vrouw: 'dier is fout, koe is goed' terwijl een koe weldegelijk een dier is. Zo ook dus een vierkant wat een rechthoek is en een ruit en een parallellogram en ook een trapezium.

Een meerkeuzevraag waarbij er maar één goed antwoord is, is een verkeerde vraag.

Offtopic maar dan moet jij maar eens bij het Cito langs. Daar maken ze bakken meerkeuzevragen waarbij maar één anwoord goed is. Soms heb je meerkeuzevragen met de antwoorden 'fout, goed, beter, best' maar ook wel vragen met 'fout, net niet goed, net niet goed en wel goed'. Te denken valt aan rekenvragen waarbij het ene antwoord het foute getal heeft, een andere vraag een foute eenheid, weer een andere vraag fout getal en foute eenheid en de laatste vraag met goed getal en goede eenheid.

Bijvoorbeeld: De spanning is 6V, de stroomsterkte 2A. Hoe groot is de weerstand?
A 3 Ohm
B 3 Watt
C 12 Ohm
D 12 Watt

Daar zit toch echt maar één juist antwoord bij maar àlle antwoorden zijn te voorspellen door bepaalde standaard fouten

R = U / I of P = U * I waarbij de manier van rekenen (6/2 of 6*2) en de eenheid (Ohm of Watt) voordehandliggend zijn.
Dat er méér goede antwoorden bij een meerkeuzevraag moeten zitten, ben ik dus niet met je eens.

Als men zou vragen "is dit een vierhoek" en je moet kiezen voor "ja" of "nee" bij elke vraag, zou je altijd "ja" moeten antwoorden als er een vierkant, rechthoek, ruit, vlieger of welke andere bijzondere vierhoek dan ook wordt getoond.

Dat zou een achterlijke vraag zijn ja

[Opi]

Waarom stelt je vrouw dat het fout _is_ en ze het niet _vindt_? Er zijn allerlei opmerkingen geplaatst van dezelfde strekking en de repliek blijft dat het niet zo is, zonder aan te geven waarom.

Waarom klopt het volgens haar bijvoorbeeld niet dat een vierkant gezien kan worden als een deelverzameling van een rechthoek?

[Plecky]

F_J_K schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 11:37:
Wiki hanteren voor harde definities lijkt me niet handig.

Hoewel alles wat op het internet staat natuurlijk de waarheid is, ben ik het helemaal met je eens.
Een bron die ik meestal wat meer vertrouw op o.a. wiskundig gebied:

The term "square" can be used to mean either a square number ("x^2 is the square of x") or a geometric figure consisting of a convex quadrilateral with sides of equal length that are positioned at right angles to each other as illustrated above. In other words, a square is a regular polygon with four sides.
[...]
A square is a special case of a isosceles trapezoid, kite, parallelogram, quadrilateral, rectangle, rhombus, and trapezoid.

Mathworld "Square"

[Dido]

Aha, het ligt helemaal niet aan definities, maar aan zwakzinnige vraagstellingen!

Laten we even alle wiskunde de deur uitgooien en een analogie gebruiken: een VW kever is een auto, right?

Als ik nu een plaatje van een VW kever laat zien en vraag wat het is, dan is het verwachte antwoord nogal afhankelijk van de situatie waarin ik het vraag. Als ik het vak Frans geef, dan is het verwachte antwoord "voiture", maar als ik in een quiz vraag om 6 auto's te identificeren dan wil ik uiteraard horen dat het een kever is.

Dat "VW kever" in die situatie het enige acceptabele antwoord is, heeft uiteraard geen enkele invloed op het al dan niet waar zijn van de eerdere stelling dat een VW kever een auto is. Als iemand denkt dat dat wel zo is, zie ik graag een logische onderbouwing tegemoet.

Met andere woorden: de vraag in de TS is een vern**&@*&$ing van de werkelijke vraag, en de voor de hand liggende antwoorden erop kunnen niet als argument gebruikt worden in de daadwerkelijke discussie.

De werkelijke vraag is: "ik stel een overgesimplificeerde vraag aan een stel leerlingen van wie ik verwacht dat ze nmiet te veel inteligentie aan de dag leggen. Moet ik een wiskundig correct antwoord dat afwijkt van het uit de vage vraagstelling af te leiden antwoord accepteren als correct?"

En het antwoord daarop is vrij simpel: nee. De praktijk leert dat je als leerling gewoon dient te begrijpen wat het bedoelde antwoord is, en dat strikt correct maar afwijkend interpreteren van vragen zelfs bij exacte vakken uit den boze is.

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 124325 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 03:33:
Even een zijstraatje in:
Als je een "vierkant" op een cilinder tekent heeft het 2x 2 gelijke zijden (het valt dus onder de definitie van een rechthoek) maar niet 4 gelijke zijden omdat de vier zijden wel een gelijke lengte hebben maar 2 er van krom zijn. . . de cilinder hoeft overigens niet cirkelvormig te zijn (mag elke vorm hebben). In elke variatie hiervan zijn de vier hoeken wel 90º. Je kan deze “vierkant” ook op de cilinder roteren zodat het 4 gelijke zijden heeft indien de cilinder cirkelvormig is.

Noem je het figuur dan ook een vierkant of iets anders? Om het op een kromme cilindrische xy- ruimte te “tekenen” voer je precies de zelfde stappen uit omdat op de kromme ruimte de zijden van het “vierkant” ook recht zijn. . .het zijn immers geodetische lijnen. De definitie blijft m.i. dan gehandhaafd: vier rechte zijden met gelijke lengte en 4 90º hoeken.

Ik zou het nog ook een vierkant noemen. Je kunt immers een vlak vierkant stukje papier zonder het te rekken in elke richting op de cilinder plakken. Het enigste waar een definitie probleem zal ontstaan is als de cilinderomtrek ‘klein’ is en er sprake van overlap van de zijden ontstaat maar vanuit een coördinatenbeschouwing is er niets bijzonders aan de hand. Je moet dus naast de definitie ook de ruimte specificeren.

Gewoon iets om op te kouwen.

Impliciet in de definitie van vierkant zit de grond aanname dat het gaat over euclidische meetkunde. (Dat wil zeggen je vierkant is een object in het 2d vlak en zijden zijn rechte lijnen.)

Je kan echter ook de definitie uitbreiden naar gekromde (2d) ruimte. Je krijgt dan een geodetische vierkant. Dit is een figuur met:
- vier zijden.
- elke zijde is een geodeet.
- alle zijden zijn even lang.
- alle hoeken zijn even groot.

(merk op dat de hoeken niet perse 90 graden hoeven te zijn. Een geodetisch vierkant op een bol heeft hoeken van meer dan 90 graden, terwijl op een hyperbolische ruimte de hoeken van een vierkant minder dan 90 graden zijn.)

(Een cilinder is geen gekromde ruimte.)

[Anoniem: 8386]

Dido schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 11:52:
Aha, het ligt helemaal niet aan definities, maar aan zwakzinnige vraagstellingen!

Laten we even alle wiskunde de deur uitgooien en een analogie gebruiken: een VW kever is een auto, right?

Als ik nu een plaatje van een VW kever laat zien en vraag wat het is, dan is het verwachte antwoord nogal afhankelijk van de situatie waarin ik het vraag. Als ik het vak Frans geef, dan is het verwachte antwoord "voiture", maar als ik in een quiz vraag om 6 auto's te identificeren dan wil ik uiteraard horen dat het een kever is.

Dat "VW kever" in die situatie het enige acceptabele antwoord is, heeft uiteraard geen enkele invloed op het al dan niet waar zijn van de eerdere stelling dat een VW kever een auto is. Als iemand denkt dat dat wel zo is, zie ik graag een logische onderbouwing tegemoet.

Met andere woorden: de vraag in de TS is een vern**&@*&$ing van de werkelijke vraag, en de voor de hand liggende antwoorden erop kunnen niet als argument gebruikt worden in de daadwerkelijke discussie.

De werkelijke vraag is: "ik stel een overgesimplificeerde vraag aan een stel leerlingen van wie ik verwacht dat ze nmiet te veel inteligentie aan de dag leggen. Moet ik een wiskundig correct antwoord dat afwijkt van het uit de vage vraagstelling af te leiden antwoord accepteren als correct?"

En het antwoord daarop is vrij simpel: nee. De praktijk leert dat je als leerling gewoon dient te begrijpen wat het bedoelde antwoord is, en dat strikt correct maar afwijkend interpreteren van vragen zelfs bij exacte vakken uit den boze is.

Mee eens. Als een vierkant tekent en vervolgens vraagt: "Is dit een vierkant of een driehoek?" Dan heeft een leerling die zegt "ja" strikt genomen helemaal gelijk. Toch mag er verwacht worden dat hij niet zo bijdehand doet en antwoord "vierkant".

Evenzo verwacht je van een leerling dat als je vraagt "wat voor figuur is dit?" Dat hij het antwoord geeft dat alle bijzonder eigenschappen dekt die jij getekend heb. (Dus gelijke zijden en gelijke hoeken.) Dat een vierkant ook een rechthoek/ruit/4-hoek/figuur is maakt dan niet zo heel veel uit.

[Lustucru]

WFvN schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 11:45:
[...]
Zij zegt:
vierhoek, rechthoek, ruit, parallellogram: fout
vierkant: goed

[...]

Ze (wiskundesectie) willen bij een figuur met 4 gelijke zijden en 4 rechte hoeken de naam vierkant horen omdat dat het beste is. En daar valt best wat voor te zeggen. Als je bij biologie een plaatje van een koe laat zien en vraagt 'wat is dit?' en een leerling schrijft op dat het een dier is, is het niet fout maar ik denk niet snel dat je daar de volle mep aan punten voor zal krijgen.

Kortom, het is een didactisch probleem en geen wiskundig. Een technisch correct antwoord kan dus best 'fout' zijn. Want hoeveel punten zou je willen toekennen voor de ook goede antwoorden ruit, vierhoek, veelhoek? En dat hangt ook nog eens van de context af waarbinnen de vraagstelling plaatsvindt.

Als je bij een botanie-toets bij de plaatjes van bv de scherpe boterbloem, de blaartrekkende boterbloem en de akkerboterbloem drie keer boterbloem invult mag dat imho best met drie keer 0 punten worden beloond. Bij een toets N2T* zal bij hetzelfde plaatje van de akkerboterbloem het antwoord 'bloem' misschien wel de volle mep opleveren.

Dus ja, in een toets over meetkundige figuren kan het antwoord 'rechthoek' bij het plaatje van een vierkant volledig fout gerekend worden.

* nederlands 2e taal

edit:
Met ^^^ dus. Eerst op F5 drukken als je net uitgebreid koffie gedronken hebt

[ Voor 4% gewijzigd door Lustucru op 16-02-2008 12:35 ]

[Anoniem: 26306]

Lustucru schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 12:31:

Dus ja, in een toets over meetkundige figuren kan het antwoord 'rechthoek' bij het plaatje van een vierkant volledig fout gerekend worden.

Niet zomaar, vind ik. De leerlingen moeten dan prima op de hoogte zijn van hoe ze de vragen moeten benaderen. Als je meerkeuzevragen hebt, moet je dus weten of er maar één antwoord goed wordt gerekend, en of en hoeveel puntenaftrek je krijgt voor een fout antwoord. Het probleem is dus eigenlijk dat niet exact is bepaald hoe de vragen en antwoorden geïnterpreteerd moeten worden.

[Anoniem: 177151]

wat is dit voor domme topic je hebt toch op de basisschool al gehad dat een rechthoek niet hetzelfde is als een vierkant. en een vierkant niet hetzelfde als een ruit of paralellogram.
beetje onzinnig topic als je het mij vraagt.

[Dido]

Anoniem: 177151 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 12:53:
wat is dit voor domme topic je hebt toch op de basisschool al gehad dat een rechthoek niet hetzelfde is als een vierkant. en een vierkant niet hetzelfde als een ruit of paralellogram.
beetje onzinnig topic als je het mij vraagt.

Ik heb op de basisschool geleerd dat "een koe is een beest" en "een koe is hetzelfde als een beest" iets anders betekenen.

Kennlijk schoot jouw basisschool daarin tekort, ik zou mijn leergeld terughalen

Verder was niemand van plan jou te vragen hoe zinnig je het topic vond, denk ik

[Anoniem: 4629]

Ik heb op mijn basisschool ook geleerd dat zinnen met een hoofdletter beginnen. En dat een topic een onderwerp is, en dus dom is en niet domme. Als we dan toch bezig zijn

[Anoniem: 177151]

zo valt er in elk topic wel wat aan te merken he

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 12:08:
[...]

Je kan echter ook de definitie uitbreiden naar gekromde (2d) ruimte. Je krijgt dan een geodetische vierkant. Dit is een figuur met:
- vier zijden.
- elke zijde is een geodeet.
- alle zijden zijn even lang.
- alle hoeken zijn even groot.

(merk op dat de hoeken niet perse 90 graden hoeven te zijn. Een geodetisch vierkant op een bol heeft hoeken van meer dan 90 graden, terwijl op een hyperbolische ruimte de hoeken van een vierkant minder dan 90 graden zijn.)

OK, maar dan wordt de definitie van een vierkant die voor 2d euclidische ruimte geldt verlaten en ontstaat er een "stretchen" als je een "vierhoek" met 90º hoeken naar een gekromde ruimte transporteert waar deze hoeken niet 90º kunnen blijven. Ik zou dan de definitie van een vierkant niet toepasselijk noemen (ik gebruik hier dat impliciet in de naam "rechte hoek" dit 90º betekend (in het kader van spits/recht/stomp). In het algemene geval zou het misschien een ander vierhoeknaam moeten dragen?

Met de definitie die ik voor ogen had kan je een euclidische vierkant op een gekromde ruimte "plakken" zonder dat er stretchen zou plaatsvinden. Voor deze gelimiteerde ruimtevormen zou de definitie die jij hanteerde met 90º hoeken in plaats van "gelijke" hoeken van toepassing zijn. . . (vermoed ik)

(Een cilinder is geen gekromde ruimte.)

Ahh, hier heb je misschien ook weer gelijk. Moet ik hieruit concluderen dat het "gekromde oppervlak" van een 2d cilindrische ruimte niet aan de standaard definitie van gekromde ruimte voldoet?

Zo ja, dan zou het betekenen dat het "gekromde" in gekromde ruimte niet overeenkomt met wat we in het dagelijkse leven als "krom" beschouwen.. . . in de wiskunde is een "kromme" toch ook een lijn die niet recht is? Ik begrijp uit je opmerking dat een ruimte alleen "gekromd" zal zijn als een figuur in een transpiratie van de euclidische ruimte naar een andere ruimte er "stretchen" optreedt. . . .maar hier gooit het taal probleem weer roet in het eten. In bepaalde gevallen is een kromme lijn ook recht (geodeet)

Ik zie denk ik wat je bedoeld: In een transpiratie van een vlakke euclidische ruimte naar een cilindrische ruimte blijven alle euclidische eigenschappen behouden en daarom is een 2d cilindrische ruimte louter euclidisch. . . .ik bedoel hiermee dat als je op het cylindrische oppervlak "ruimtelijke" metingen (testen) gaat uitvoeren dat je de zelfde resultaten kgijgt als op een vlakke euclidische ruimte. Klopt dat?

[bangkirai]

WFvN schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 00:03:
Vrouwlief zegt:

Zij zegt: een rechthoek heeft 2x 2 gelijke zijden met 4 rechte hoeken. Een vierkant heeft 4 gelijke zijden dus is een rechthoek en geen vierkant.

Als wiskundige zou ze toch door moeten redeneren?
Als je alleen al haar definitie gebruikt....

4=2*2

4 gelijke zijden = 2*2 gelijke zijden

Dus 4 gelijke zijden is 2x2 gelijke zijden.
Dus een vierkant behoort ook tot de deelverzaming rechthoeken.

[ Voor 4% gewijzigd door bangkirai op 16-02-2008 18:07 ]

[Anoniem: 4629]

Dat is wat ik ook al letterlijk geschreven heb. Rare wiskundige hoor.

2 x 2 = 4. Dat moet een wiskundige toch beamen

[ Voor 27% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 16-02-2008 18:10 ]

[Lustucru]

WFvN begrijpt zijn vrouw niet.
Ze zal als wiskundige best weten dat een vierkant ook een rechthoek is. De vraag is alleen of ze dat antwoord goed moet rekenen bij een open vraag:

Mijn vrouw zegt: als je bij een open vraag een vierkant tekent en je vraagt naar de naam, dan is alléén het antwoord 'vierkant' goed. Ik zeg dat 'vierkant' het beste antwoord is maar ruit, rechthoek, parallellogram ook goed is maar niet volledig. Fout is het zeker niet.

Dus als je bij WFvN op een toets over het periodiek systeem de vraag krijgt
"Hoe noem je de groep gassen "Argon, Neon, Xeon, Helium etc" geef dan gerust het antwoord elementen want dat is best wel gedeeltelijk goed.

[Anoniem: 201582]

Teken een figuur met 4 gelijke zijden en 4 rechte hoeken.

Ik zeg zoiets als:
vierhoek: goed
rechthoek, ruit, parallellogram: beter
vierkant: best

Zij zegt:
vierhoek, rechthoek, ruit, parallellogram: fout
vierkant: goed

Ik moet het toch echt met je vrouw eens zijn.

Als een vierkant (dus 4 gelijke zijden en 4 gelijke hoeken) gevraagd wordt is alleen een vierkant goed.


Een ruit heeft 2x2 verschillende hoeken, evenals een parallelogram.

Een rechthoek heeft 4 gelijke hoeken, maar 2x2 verschillende zijden.

In het speciale geval dat de zijden én de hoeken gelijk zijn, dan is het een vierkant. Maar dan is het ook geen ruit/parallelogram/rechthoek meer.

[ Voor 6% gewijzigd door Anoniem: 201582 op 16-02-2008 19:25 ]

[WFvN]

Lustucru schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 18:22:
WFvN begrijpt zijn vrouw niet.
Ze zal als wiskundige best weten dat een vierkant ook een rechthoek is. De vraag is alleen of ze dat antwoord goed moet rekenen bij een open vraag:

Het gaat niet zozeer om toetsen maar om de stelling algemeen.

Dus als je bij WFvN op een toets over het periodiek systeem de vraag krijgt
"Hoe noem je de groep gassen "Argon, Neon, Xeon, Helium etc" geef dan gerust het antwoord elementen want dat is best wel gedeeltelijk goed.

Ha.... fout, de vraag zou eerder zijn 'Tot welke _periode_ behoren de gassen.......'

Maar ik heb het idee dat ik het de hele 'vergelijking' met opgaven er niet bij had moeten halen want daar lijken de mensen hier in het topic meer op gefocussed dan op de stelling dat een vierkant òòk een rechthoek is.

Anoniem: 201582 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 19:22:
[...]

Ik moet het toch echt met je vrouw eens zijn.

Als een vierkant (dus 4 gelijke zijden en 4 gelijke hoeken) gevraagd wordt is alleen een vierkant goed.


Een ruit heeft 2x2 verschillende hoeken, evenals een parallelogram.

Een rechthoek heeft 4 gelijke hoeken, maar 2x2 verschillende zijden.

In het speciale geval dat de zijden én de hoeken gelijk zijn, dan is het een vierkant. Maar dan is het ook geen ruit/parallelogram/rechthoek meer.

Dan wil ik toch graag ook even verwijzen naar:
http://www.pandd.demon.nl/vierh/overvierh.htm

Definitie 5a: Rechthoek
Een rechthoek is een vierhoek waarvan alle hoeken gelijk (aan 90º) zijn.

Definitie 6a: Vierkant
Een vierkant is een vierhoek waarvan alle hoeken (90º) én alle zijden gelijk zijn.

Dus een vierkant is ook een rechthoek maar omgekeerd hoeft niet het geval te zijn.

Maar ik ben nog wat leuks tegengekomen..... definities volgens CEVO; dè regeltjes die op examens gehanteerd worden:
http://www.digischool.nl/...skunde_B_vwo_2007_def.doc

Vierkant
Een vierkant is een ruit die tevens rechthoek is. (definitie vierkant)

[ Voor 42% gewijzigd door WFvN op 16-02-2008 19:34 ]

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 124325 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 13:30:
[...]


OK, maar dan wordt de definitie van een vierkant die voor 2d euclidische ruimte geldt verlaten en ontstaat er een "stretchen" als je een "vierhoek" met 90º hoeken naar een gekromde ruimte transporteert waar deze hoeken niet 90º kunnen blijven. Ik zou dan de definitie van een vierkant niet toepasselijk noemen (ik gebruik hier dat impliciet in de naam "rechte hoek" dit 90º betekend (in het kader van spits/recht/stomp). In het algemene geval zou het misschien een ander vierhoeknaam moeten dragen?

Licht er aan wat je een vierkant vindt. Een vierkant is in de meest gangbare definitie een regelmatige vierhoek. (i.e. alle zijden en hoeken zijn gelijk) Aan deze definitie voldoet een geodetisch vierkant. Je zou eventueel ook een geodetische rechthoek kunnen defineren, als zijnde een een figuur met alleen maar rechte hoeken. Dit heeft als fascinerend resultaat dat je in gekromde ruimte ook rechthoeken met een ander aantal dan 4 hoeken kan treffen. Zo bestaat er op een bol een geodetische driehoek en op een hyperbolische ruimte kan je wille keurige n-hoekige geodetische rechthoeken vinden met n>4. (In deze zin is een vierkant dus niet altijd een rechthoek!)

Met de definitie die ik voor ogen had kan je een euclidische vierkant op een gekromde ruimte "plakken" zonder dat er stretchen zou plaatsvinden. Voor deze gelimiteerde ruimtevormen zou de definitie die jij hanteerde met 90º hoeken in plaats van "gelijke" hoeken van toepassing zijn. . . (vermoed ik)

Probleem is dat dit maar op een heel berperkt aantal 2d oppervlakken mogelijk is. (Namelijk op oppervlakken die "vlak" zijn.)

[...]
Ahh, hier heb je misschien ook weer gelijk. Moet ik hieruit concluderen dat het "gekromde oppervlak" van een 2d cilindrische ruimte niet aan de standaard definitie van gekromde ruimte voldoet?

De kromming van een cilinder is niet intrinsiek aan de ruimte zelf, maar een gevolg van de inbedding in 3D ruimte. In 2D wezen (flatlander) dat op een cilinder leeft kan de kromming niet meten. Het enige wat hij kan merken is dat hij na een tijd lopen terug kan komen op dezelfde plek zonder ooit van richting te zijn veranderd. Dit is echter een globaal effect. Lokaal wijkt de geometrie op een cilinder niet af van die van euclidische ruimte. Een cilinder wordt daarom vlak genoemd. (Er is hier een wat nauwkeurigere definitie voor, maar het komt er op neer dat de Gauss kromming van een cilinder overal nul is.)

Zo ja, dan zou het betekenen dat het "gekromde" in gekromde ruimte niet overeenkomt met wat we in het dagelijkse leven als "krom" beschouwen.. . . in de wiskunde is een "kromme" toch ook een lijn die niet recht is? Ik begrijp uit je opmerking dat een ruimte alleen "gekromd" zal zijn als een figuur in een transpiratie van de euclidische ruimte naar een andere ruimte er "stretchen" optreedt. . . .maar hier gooit het taal probleem weer roet in het eten. In bepaalde gevallen is een kromme lijn ook recht (geodeet)

Je kan eventueel het ook hebben over de excentrieke kromming van een oppervlak in de 3D ruimte. Dit is in wezen de mate waarin een geodeet op het oppervlak afwijkt van een geodeet in de 3D ruimte. Maar zoals gezegd is dit niet zozeer een eigenschap van het oppervlak, maar van de manier waarop het oppervlak in de 3D ruimte is ingebed.

Ik zie denk ik wat je bedoeld: In een transpiratie van een vlakke euclidische ruimte naar een cilindrische ruimte blijven alle euclidische eigenschappen behouden en daarom is een 2d cilindrische ruimte louter euclidisch. . . .ik bedoel hiermee dat als je op het cylindrische oppervlak "ruimtelijke" metingen (testen) gaat uitvoeren dat je de zelfde resultaten kgijgt als op een vlakke euclidische ruimte. Klopt dat?

Dat is inderdaad zo'n beetje de strekking.

[Lustucru]

WFvN schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 19:25:
Maar ik heb het idee dat ik het de hele 'vergelijking' met opgaven er niet bij had moeten halen want daar lijken de mensen hier in het topic meer op gefocussed dan op de stelling dat een vierkant òòk een rechthoek is.

Omdat niemand, zelfs jou vrouw niet, die stelling zal ontkennen?

[WFvN]

Lustucru schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 20:05:
[...]
Omdat niemand, zelfs jou vrouw niet, die stelling zal ontkennen?

Nee, omdat het meer over opgaven gaat dan over de vraagstelling. Er wordt gesproken over slechte vragen, over de formulering van vragen, over de puntentoekenning, etc. terwijl dat niet m'n uitgangspunt was en ook niet de aard van de discussie hier thuis. Ik hoopte één en ander ermee te verduidelijken maar dat is schromelijk mislukt.

Maar goed, CEVO weet het één en ander toch duidelijk te stellen. In ieder geval in hetzelfde kader als die waarin m'n vrouw en ik de discussie hadden. CEVO stelt de examentermen zeer duidelijk.

Een vierkant is zowel een ruit als een rechthoek (en dus vermoedelijk ook trapezium, vierhoek, vlieger en parallellogram)

[Anoniem: 124325]

Anoniem: 8386 schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 20:02:
[...]

Licht er aan wat je een vierkant vindt. Een vierkant is in de meest gangbare definitie een regelmatige vierhoek. (i.e. alle zijden en hoeken zijn gelijk) Aan deze definitie voldoet een geodetisch vierkant. Je zou eventueel ook een geodetische rechthoek kunnen defineren, als zijnde een een figuur met alleen maar rechte hoeken. Dit heeft als fascinerend resultaat dat je in gekromde ruimte ook rechthoeken met een ander aantal dan 4 hoeken kan treffen. Zo bestaat er op een bol een geodetische driehoek en op een hyperbolische ruimte kan je wille keurige n-hoekige geodetische rechthoeken vinden met n>4. (In deze zin is een vierkant dus niet altijd een rechthoek!)

Dat is inderaad een leuke ontwikkeling: een rechthoekige driehoek (dan wel een driehoekige rechthoek). Prachtig!

Probleem is dat dit maar op een heel berperkt aantal 2d oppervlakken mogelijk is. (Namelijk op oppervlakken die "vlak" zijn.)

[...]

De kromming van een cilinder is niet intrinsiek aan de ruimte zelf, maar een gevolg van de inbedding in 3D ruimte. In 2D wezen (flatlander) dat op een cilinder leeft kan de kromming niet meten. Het enige wat hij kan merken is dat hij na een tijd lopen terug kan komen op dezelfde plek zonder ooit van richting te zijn veranderd. Dit is echter een globaal effect. Lokaal wijkt de geometrie op een cilinder niet af van die van euclidische ruimte. Een cilinder wordt daarom vlak genoemd. (Er is hier een wat nauwkeurigere definitie voor, maar het komt er op neer dat de Gauss kromming van een cilinder overal nul is.)

[...]

Dat is inderdaad zo'n beetje de strekking.

Dit was leuk om te leren!. . .kromme oppervlakken die vlak zijn.. .klinkt warempel nog consequent ook! We zouden eigenlijk moeten stellen dat elk oppervlak vlak is en dat soms de Gaus kromming nul is en soms niet.

[ Voor 2% gewijzigd door Anoniem: 124325 op 17-02-2008 04:09 . Reden: ff een k er aan toegevoegd:-) ]

[GoldenSample]

Confusion schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 09:54:
Over het algemeen bevatten wiskundige verzamelingen hun randgevallen. Rechthoeken zijn niet gedefinieerd als 'alle vierhoeken waarvan alle hoeken 90 graden zijn, met uitzondering van figuren waar alle kanten dezelfde lengte hebben.' Vierkanten vallen dus onder rechthoeken.

Het juiste axioma van een rechthoek is alleen niet deze, dat is die van DeusbergJ
Daar gaat deze redenering overigens ook prima op, wat ook zo is.
Een vierkant voldoet aan dat axioma dus is 't een rechthoek.

overigens @ het linkje van WFvN
Die definities in je eerste linkje zijn niet die op het examen wiskunde B VWO worden gehanteerd.
Ken ze niet compleet uit m'n hoofd maar geloof dat het ongeveer het volgende is:
Rechthoek= 4hoek met 2 gelijke diagonalen die elkaar middendoor delen
Parallellogram= 4 hoek met 2 keer 2 even lange en evenwijdige zeiden
Ruit= 4hoek met 2 diagonalen die elkaar loodrecht en middendoor delen
alleen die van een 4kant weet ik niet exact maar geloof dat het was: een vierhoek met 2 gelijke diagonalen die elkaar loodrecht middendoor delen.
Dan volgt al uit de definities dat een vierhoek een rechthoek is en ook een Ruit, het bewijs dat het dan ook een Parallellogram is is dan natuurlijk een eitje.
Maar dat was de discussie ook niet, want ja wat zijn voor je vrouw de juiste definities wat hanteerd zij?

[ Voor 41% gewijzigd door GoldenSample op 16-02-2008 21:22 ]

[Techneut]

GoldenSample schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 21:08:
[...]

Het juiste axioma van een rechthoek is alleen niet deze, dat is die van DeusbergJ
Daar gaat deze redenering overigens ook prima op, wat ook zo is.
Een vierkant voldoet aan dat axioma dus is 't een rechthoek.

Geen axioma, maar definitie. Een axioma is wat anders, nl. een stelling die niet bewezen kan worden, zoals (om in de planimetrie te blijven) "de kortste verbinding tussen twee punten is een rechte lijn".
De hele discussie gaat alleen maar over afgesproken definities.

[Gurbe de n00b]

Ook zoiets;
Een wiskunde leraar tekende eens een keer een streep op het bord en zij; dat is een 3 hoek. Met 2 180 graden hoeken en 1 van 0 graden.

[Anoniem: 4629]

Mag dat? Als er geen vereiste is dat een 2-dimensionale vorm dat geen lijn(stuk) is, een oppervlak moet hebben dan kan het inderdaad.

[ Voor 3% gewijzigd door Anoniem: 4629 op 16-02-2008 23:56 ]

[Techneut]

Strikt genomen had die leraar gelijk, alleen is het 2 x 0 graden en 1 x 180graden (edit: de som van de hoeken van een driehoek is immers 180 graden).
Kwestie van limiet, de beide basishoeken worden steeds scherper en naderen tot 0 graden, de tophoek wordt steeds stomper en nadert 180 graden. Onvermijdelijk is dan een lijnstuk de limiet.

[ Voor 10% gewijzigd door Techneut op 16-02-2008 23:27 ]

[Anoniem: 8386]

Gurbe de n00b schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 22:49:
Ook zoiets;
Een wiskunde leraar tekende eens een keer een streep op het bord en zij; dat is een 3 hoek. Met 2 180 graden hoeken en 1 van 0 graden.

Dit is een situatie de meestal uitgesloten wordt. Hij is bijvoorbeeld niet bevat in de definitie van 2-simplex (driehoek) Namelijk de "convex hull" van drie niet colineare punten. Het niet colineare aaspect is specifiek om dit pathologische geval uit te sluiten.

Techneut schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 22:42:
[...]
Geen axioma, maar definitie. Een axioma is wat anders, nl. een stelling die niet bewezen kan worden, zoals (om in de planimetrie te blijven) "de kortste verbinding tussen twee punten is een rechte lijn".
De hele discussie gaat alleen maar over afgesproken definities.

Binnen de wiskunde worden de voorwaarde waaraan een bepaald soort object aan moet voldoen ook vaak axioma genoemd. Zo is associativiteit een van de axioma's voor een groep. Dit naar mijn weten omdat als je iets wilt bewijzen over een groep simpel weg deze eigenschappen zonder verder bewijs aanneemt. (Los van of er dergelijke objecten daadwerklijk bestaan.)

Zie Non-logical axioms

[ Voor 44% gewijzigd door Anoniem: 8386 op 17-02-2008 12:26 ]

[Techneut]

Blijft allemaal een kwestie van afgesproken definities.
Om weer bij het topic terug te komen, in de volgende redenatie heeft TS gelijk:
Neem een rechthoek en maak het verschil van de zijden steeds kleiner. Gedurende het hele proces blijven de eigenschappen die beantwoorden aan de definitie rechthoek bestaan. Ook op het eindpunt als tenslotte beide zijden gelijk zijn gelden die eigenschappen nog steeds, dus is het nog steeds een rechthoek. Echter er komen op dat punt een paar eigenschappen bij. En dat zal de vrouw van TS wellicht bedoelen, heeft ze ook gelijk, vanaf dat moment noemen we de figuur niet meer rechthoek maar vierkant. Zelfde redenatie geldt natuurlijk ook bij een ruit waarvan de hoeken naderen naar 90° enz.
Maar ik kan me niet helemaal aan de indruk onttrekken dat zij haar man een beetje zit te stangen

[Mastermind]

Stel je krijgt een plaatje van een vierkant en iemand vraagt je wat voor figuur je ziet.
Dan zeg je toch niet:
Een vierkant, een parallellogram, een rechthoek en een ruit?

Of als je een plaatje van een rechthoek ziet, zeg je toch niet:
Een rechthoek en een parallellogram?

In je binas staat bij "Vierkant" toch ook geen rechthoek afgebeeld?

Figuren hebben een naam gekregen, en daarom is een vierkant een vierkant en een rechthoek een rechthoek.

[RemcoDelft]

WFvN schreef op zaterdag 16 februari 2008 @ 00:03:
Een vierkant is géén rechthoek. Een vierkant is géén ruit, een vierkant is géén parallelogram. Ik zeg in alle gevallen dat dat wèl het geval is.

Ik heb op de middelbare school al geleerd dat een vierkant een bijzondere rechthoek is, en beiden zijn vierhoeken.
Ach, wel grappig om te zien waar wiskundigen zich mee bezig kunnen houden

[Anoniem: 8386]

RemcoDelft schreef op zondag 17 februari 2008 @ 13:28:
[...]

Ik heb op de middelbare school al geleerd dat een vierkant een bijzondere rechthoek is, en beiden zijn vierhoeken.
Ach, wel grappig om te zien waar wiskundigen zich mee bezig kunnen houden

Dat heeft dus echt niks te maken met waar wiskundigen zich mee bezig houden. Het is vooral tekenend voor het niveau van de gemiddelde wiskunde leraar op het voort gezet onderwijs. In het bijzonder het niveau van de vrouwelijke docenten.

[Anoniem: 26306]

Ik vind dan ook dat bij wiskunde vragen gesteld moeten worden waarbij het antwoord wél goed is, of waarbij het antwoord helemaal niet goed is. Het is gewoon hersentjes martelen als ze moeten gaan nadenken over wat de docent(e) misschien wil horen.

Vragen horen in zulke gevallen dan ook te zijn:
- Is een vierkant ook een rechthoek?
- Bewijs dat de diagonalen van (een bepaalde vorm) even lang zijn.

En geen kutverhalen over welk antwoord "beter" is dan andere antwoorden. Wiskunde is absoluut.

[RemcoDelft]

Anoniem: 26306 schreef op zondag 17 februari 2008 @ 14:14:
- Bewijs dat de diagonalen van (een bepaalde vorm) even lang zijn.

Die laatste doet me een beetje denken aan mijn Analyse-boek:
Stel a < b.
Dan b > a.
En daarna het bewijs dat dit zo is! Ik kan er nog steeds niet bij dat ze dit daadwerkelijk gaan bewijzen... Maar goed, daarom ben ik meer voor toegepaste wiskunde en is fundamentele wiskunde niet echt mijn ding...

[Anoniem: 124325]

RemcoDelft schreef op zondag 17 februari 2008 @ 14:22:
[...]

Die laatste doet me een beetje denken aan mijn Analyse-boek:
Stel a < b.
Dan b > a.
En daarna het bewijs dat dit zo is! Ik kan er nog steeds niet bij dat ze dit daadwerkelijk gaan bewijzen... Maar goed, daarom ben ik meer voor toegepaste wiskunde en is fundamentele wiskunde niet echt mijn ding...

Deze twee expressies bewijzen niets. . .het zijn slechts twee stellingen met de zelfde betekenis. In mijn boek moet een bewijs een procedure zijn om de stelling te onderbouwen dan wel te ontkrachten zodat het niet een loze kreet is.

Als ik stel dat a=5 valt er niets te bewijzen tenzij er een apart (geassocieerd) argument aangevoerd wordt waar a in voorkomt, buiten de stelling om, dat aantoont dat bijvoorbeeld 2a=10 waar is dan is het bewijs geleverd. Een ander bewijs zou zij dat als een apart argument aantoont dat a elk ander getal dan 5 kan zijn. Dit bewijs ontkracht de stelling.

[Techneut]

@RemcoDelft
Dit is niet te bewijzen, en dat proberen ze ook niet, want het is een van de axioma's van de wiskunde, waarvan rekenkunde een onderdeel is (axioma van de omkeerbaarheid, zoals ook a+b=b+a). Ook al is het zo logisch als het maar kan, je hebt voor zuiver redeneren die axioma's nodig. Met andere woorden, bij bewijsvoering van complexere zaken ga je net zo lang door, tot je op axioma's uitkomt. En om daar aangekomen te zijn gewoon zeggen "en dit laatste is een axioma". Dit alleen om je redenering formeel rond te krijgen, maar dikwijls wordt dat laatste achterwege gelaten, omdat de axioma's als bekend worden geacht.