Statistiek kansrekenen

[HyperBart]

wiskunde gaat mijn laatste examen worden, Statistiek en Wiskunde voor informatici. Op dit moment ben ik het stukje aan het leren over Variaties, Combinaties en Permutaties.

Alleereerst: dit is geen zoekvraag, gewoon een vraag hoe jullie naar deze probleemstelling kijken:

Een doelzoekende raket treft haar doel in 98,4 % van de gevallen.
a) Bereken de kans dat de 3 afgevuurde projectielen hun doel treffen
b) Dat 1 van de 3 projectielen doel treft
c) Dat geen van de projectielen doel treft.

dit zijn oplossing die in een documentje op ons Blackboard staat

a) 0,984 ^ 3 = 0,95 (ongeveer)
b) 3*(0,984*0,016*0,016) = 0,0007557
c) 0,016³ = 0,0000041

Nu vind ik persoonlijk het een beetje raar, dat bij A er gewoon een macht wordt genomen (maw de "sortering" maakt niet uit)

Bij B daarentegen maakt de sortering ineens WEL uit want we vermenigvuldigen nog eens met 3

Bij C dan weer niet.

Ik vind dat vreemd, ik zou dan ook zeggen van dat bij A, je dus de kans tot de macht 3 verheft, en vermenigvuldigt met 3, want je hebt volgende mogelijkheden (met raket X/Y/Z)

code:

X Y Z
Y X Z
Y Z X
Z X Y
X Z Y
Z Y X

en bij C dan ook nog eens met 3 vermenigvuldigd want:

code:

Y | Treffer | Z
Treffer | Y | Z
Z | Y | Treffer
Y | Z | Treffer
Z | Treffer | Y
Treffer | Z | Y

Of hoe bezien jullie dit ?

[Janoz]

Hoe kom je erbij dat een macht betekend dat de volgorde niet uit maakt?

Maar goed, mijn kijk:
Bij de eerste moeten ze allemaal raak zijn. 1 2 en 3. Dit betekent dat je de kansen moet vermenigvuldigen. Dit geeft:
p*p*p = p^3

Volgorde maakt niet uit omdat er maar 1 manier is om die 3 mogelijkheden achter elkaar te zetten.

In het tweede geval heb je 1 raak en 2 mis. De 3 die erbij staat is omdat er 3 mogelijke permutaties zijn voor 1 raak en 2 mis.

Bij C geldt weer hetzelfde als bij A. Er is maar 1 manier om 3 missers te verdelen.

[ThunderNet]

B vind ik sowieso raar.

Dat 1 van de raketten doel treft...
Is dat 1 van de 3? Want als 2 het doel treffen, heeft ook 1 raket het doel getroffen. Zelfde geld met 3.

[Janoz]

@Thundernet: Zoals het daar staat kun je aannemen dat slechts 1 het doel treft. Anders was de vraag eerder:

"Als in ieder geval 1 raket doel treft"

geweest.

[Muthas]

Daarover moet je niet zo moeilijk doen Thunder. 1 van de raketten moet het doel raken. Er staat niet 'sowieso 1 van de raketten', gewoon 1. 2 zijn er dus mis.

Over de eerste situatie. De kans dat 3 van de 3 raketten raken is de raakkans van een raket tot de macht 3. Vervolgens doe je dit eigenlijk nog keer (grafische rekenmachine taal) 3(keer proberen) nCr 3(keer juist), wat het aantal mogelijkheden voorstelt in welke volgorde dit kan gebeuren. 3 nCr 3 = gelijk aan 1, logisch, dus je kan het net zo goed weglaten.
De tweede: hier raak je 1 keer, dus 1 keer de kans van het wel raken keer twee keer de kans van het niet raken. Vervolgens doe je dit keer het aantal mogelijke volgordes: 3(keer proberen) nCr 1(keer juist) = 3 mogelijkheden.
Even voor de duidelijkheid: die 3 mogelijkheden kloppen ook. R = raak, M is mis:
RMM
MRM
MMR
Je kan de raketten wel gaan nummeren of weet ik veel, maar het blijft altijd zo dat er maar 3 mogelijke volgordes zijn voor eentje raak
En de laatste is eigenlijk weer als de eerste. De kans dat ze missen tot de macht 3, en dat keer 3 nCr 0(keer raak). 3 nCr 0 is natuurlijk ook weer gewoon 1, dus dat kan je ook gewoon weglaten.

Overigens is dit wel erg basic kansberekening

[ Voor 12% gewijzigd door Muthas op 14-01-2008 15:02 ]

[HyperBart]

Janoz schreef op maandag 14 januari 2008 @ 14:44:
Hoe kom je erbij dat een macht betekend dat de volgorde niet uit maakt?

Volgorde maakt niet uit omdat er maar 1 manier is om die 3 mogelijkheden achter elkaar te zetten.

beetje raar zo he

Ik vind wel dat de volgorde (weet niet hoe je dat noemt, het verschil dan tussen de raketten) wel uitmaakt, want je hebt raket 1 2 3, en ze kunnen allemaal in een verschillende volgorde aankomen,dus in mijn ogen moet je dan zelfs al niet *3, maar *6 doen

[Janoz]

Tussen de raketten is maar 1 verschil, en dat is of ze raken of niet. De kans hierop is gegeven. Of het nu de eerste of de laatste is maakt helemaal niet uit, en zeker wanneer ze alle drie raak zijn maakt het niet uit. De situatie blijft exact hetzelfde.

Anders is het bij het tweede voorbeeld. Daar moet je de kans uitrekenen op:
Raak, Mis, Mis
Mis, Raak, Mis
Mis, Mis, Raak

Het hele 'volgorde van belang' stuk in kansberekening komt pas om de hoek kijken wanneer er in de vraagstelling staat dat het de eerste raket was die raak was en de volgende twee niet. Nu gaat het puur om de aantallen en is volgorde niet van belang. De 3 is dus het aantal mogelijkheden die ik hierboven uitgeschreven.

[HyperBart]

Ahaaaaaaa, nu heb ik 'm, das een belangrijk punt.

[Confusion]

Janoz schreef op maandag 14 januari 2008 @ 14:53:
@Thundernet: Zoals het daar staat kun je aannemen dat slechts 1 het doel treft. Anders was de vraag eerder:

"Als in ieder geval 1 raket doel treft"

geweest.

Maar dat gaat ook in de wetenschapsquiz fout, dus het blijft gissen wat een docent bedoeld.

In het geval van raketten lijkt het me trouwens dat ook maximaal 1 raket doel kan treffen .

[ThunderNet]

Confusion schreef op maandag 14 januari 2008 @ 15:27:
[...]

Maar dat gaat ook in de wetenschapsquiz fout, dus het blijft gissen wat een docent bedoeld.

In het geval van raketten lijkt het me trouwens dat ook maximaal 1 raket doel kan treffen .

Nee want er staat hun doel.. Wat dus suggereert dat ze niet hetzelfde doel hebben.

[HyperBart]

Klopt, iedere raket heeft een ander doel.

Zie je wat ik nu bedoel, basis statistiek ja, maar kijk eens hoeveel manieren van het bekijken van de probleemstelling je hier hebt

[CyBeRSPiN]

Waren die vragen echt zo belabberd gesteld? Of is dit jouw interpretatie van de vragen.
Bij dit soort stof is het juist onzettend belangrijk om de vraag helder te formuleren. Exact 1, of minstens 1 is al een wereld van verschil.

[GlowMouse]

Je moet de som- en de productregel heel goed kennen, dan zie je direct waarom je bij a en c machten neemt en bij b een factor 3.

Wat mij meer zorgen baart, is dat nergens gerept wordt over onafhankelijkheid, terwijl hem daar juist de clou van dit vraagstuk zit.

_{Dit gaat trouwens over kansrekening, en dat heeft niets met statistiek te maken}

[ Voor 15% gewijzigd door GlowMouse op 14-01-2008 16:40 ]

[bangkirai]

Wat is de vraag eigenlijk?

Of beter gezegd, zat er niet meer informatie bij?

Ik zat eerst te denken, dat de raket 3 projectiel kernkoppen had, die na lancering gesplitst werden.....

Laten we dus aannemen, dat het om een raket gaat, die in de vraagstelling dan als projectiel verder wordt benoemd. Deze aanname moeten we maken, want een raket is niet een projectiel.
Dus de aanname is: raket=projectiel. Kans dat raket treft is 98.4 percent is de kans dat een projectiel treft.
(dit is dus al zeer fout, als je het beestje raket noemt, dan noem je het verder ook raket en ga je er geen andere naam aangeven)
Eerlijk gezegd vind ik de vragen en de tekst erbij te knullig voor woorden.

Ok aanname is gesteld, dus verder maar weer:

Vraag a: Deze is zeer onduidelijk

Die kans is, zoals hij nu gesteld is: 98.4%.
Waarom? er wordt naar "hun doel" gewezen. Ook al is de vraag gesteld met een X aantal raketten, de basis van de vraag is blijft: wat is de kans dat ze hun eigen doel treffen.
Bereken de kans dat de afgevuurde projectielen hun doel treffen. Zo zou je de vraag ook kunnen stellen, de trefkans blijft gelijk per raket.

Het antwoord op blackboard klopt niet ,want de vraagstelling voor zo een antwoord zou moeten wezen:
P) bereken de kans, dat alle 3 de afgevuurde projectielen hun doel treffen.
Dit staat er echter zeer duidelijk niet, taalkundig gezien.

Ja, je zou bijna kunnen vragen wat is de kans dat de vragensteller vraag P bedoelde. Die zou ik wel hoog inschatten, hehe. Kan me eigenlijk niet voorstellen, dat hij wat anders wil vragen dan vraag P.
Echter, we hebben te maken met statistiek/wiskunde hier, dus mag je verwachten, dat een vraag GOED taalkundig in elkaar zit.


Vraag b: Moet je weer even opletten, het is de kans op de gebeurtenissen:
1=raak, 2=mis, 3=mis
1=mis, 2=raak, 3=mis
1=mis, 2=mis, 3=raak

Gelukkig staat er nu duidelijk 1 van de 3, dat kun je niet verwarren met tenminste 1 van de 3.

Dus dat is 3x (0.984)*(1-0.984)*(1-0.984)= reken maar uit.

vraag c: is ook simpel: dat is de kans op de gebeurtenis, dat alle 3 projectielen missen, dus (1-0.984)^3

Statistiek en wiskunde vergen eerst een goeie taalkundige vraagstelling, als dat al niet waterdicht zit, kom je gewoon niet aan het rekenen toe.

Vraag A, vind ik te belabberd voor woorden, het woordje alle of iets zodanigs had gewoon in de vraagstelling moeten zitten.
Ook de benoeming van raket naar projectiel is zeer vreemd.
Maar ach, misschien ben ik gewoon een beetje te precies in sommige dingen.

[HyperBart]

Zo stond de vraag er, ik heb ze letterlijk overgetypt, dus don't shoot me.

Idd, ik heb ook eens doorgevraagd en het zijn dus gewoon drie aparte raketten, en bij B is het gewoon omdat iedere raket kan treffen of missen.

[Tatsu]

GlowMouse schreef op maandag 14 januari 2008 @ 16:39:
_{Dit gaat trouwens over kansrekening, en dat heeft niets met statistiek te maken}

_{Kansrekenen heeft wel degelijk wat met statistiek te maken. Om de betrouwbaarheid van een meetinstrument weer te geven bijvoorbeeld.}

Wat betreft de vraagstelling, het is in mijn ogen duidelijk genoeg. Er wordt toch echt gesproken over _één_ raket, die een trefkans heeft van 0,984. Het is een onafhankelijke gebeurtenis en er zijn 3 raketten.

X = treffer
Y = misser

Dan is de kans op een treffer voor elke gebeurtenis: P(X) = 0,984.
De kans op een misser voor elke gebeurtenis: P(Y) = 1 - P(X) = 1 - 0,984 = 0,016

Bij onafhankelijke gebeurtenissen maak je gebruik van de productregel. En de rest duidt voor zich.
Een kanshistogram maken verduidelijkt het ook nog wel eens, er zijn meerdere combinaties mogelijk voor 1 misser of een volgorde.

a.) P(X=3; Y=0) = P(X) * P(X) * P(X)
b.) P(X=1; Y=2) = P(X) * P(Y) * P(Y)
c.) P(X=0; Y=3) = P(Y) * P(Y) * P(Y)

En dat projectiel synoniem is voor raket mag ook duidelijk genoeg zijn. Het probleem met dit soort vragen is dat veel mensen er te moeilijk over denken, betrap me erzelf ook vaak genoeg op.

[ Voor 4% gewijzigd door Tatsu op 16-01-2008 09:50 ]

[GlowMouse]

Tatsu schreef op woensdag 16 januari 2008 @ 09:47:
[...]
_{Kansrekenen heeft wel degelijk wat met statistiek te maken. Om de betrouwbaarheid van een meetinstrument weer te geven bijvoorbeeld.}

_{Dan heeft statistiek met kansrekenen te maken, niet andersom. Binnen de kansrekening komt in het geheel geen statistiek kijken, andersom uiteraard wel. Het verbaast mij dat een dergelijk vraagstuk voor statistisch door moet gaan.}

Wat betreft de vraagstelling, het is in mijn ogen duidelijk genoeg. Er wordt toch echt gesproken over _één_ raket, die een trefkans heeft van 0,984. Het is een onafhankelijke gebeurtenis en er zijn 3 raketten.

Je neemt die onafhankelijkheid veel te snel aan. Misschien komen alle raketten uit dezelfde slechte batch als het fout gaat, misschien heeft het te maken met zonne-activiteit, of wat dan ook. Dat een projectiel en een raket hier synoniem zijn wil ik wel in meegaan, maar zonder dat gegeven is dat de kansen onafhankelijk zijn, is dit vraagstuk gewoon niet op te lossen.

[Orion84]

Psies, als die dingen missen als het regent, dan is de kans dat het regent groter als de eerste mist, waardoor de kans dat de tweede mist ook weer toeneemt.

Neemt niet weg dat als al dat soort informatie ontbreekt dat je bij zo'n simpele opgave vooral niet te ver door moet gaan denken, maar gewoon simpel rechttoe rechtaan de boel oplossen. Het is geen wetenschapsquiz met strikvragen en dergelijke, maar een oefen/tentamen opgave van een informatica opleiding.