Verwijderd schreef op zaterdag 17 november 2007 @ 14:32:
[latex vierkant]
Mijn punt was dat dit enkel voorkomt als de ruimte die het vierkant omsluit (Voor hogere dimensies is hier een zorgvuldigere definitie voor nodig) gemiddeld vlak is. (Je kan aantonen dat de som van de hoeken van een geodetische vierhoek 360+ (een functie van de gemiddelde kromming) is. Dit verschijnsel het holonomie) Een zinnigere definitie van "geodetisch vierkant" eist dan ook enkel dat alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot. Probeer dit maar eens op een bol oppervlak, dan zie je gelijk dat dit iets op levert wat herkenbaar is als vierkant.
Even geprobeerd “holonomie” te begrijpen en vond o.a. dit van ene prof. Van Baal:
www.lorentz.leidenuniv.nl/vanbaal/ART/art-opg.pdf
Wel leuk spul, maar iets formeler dat waar in na 1970 mee gestoeid heb. Ik herken enige kreten er in die jij ook al bezigde(o.a. een variëteit).
Aan vierkant op een bol dacht ik al wel maar generaliseerde het idee dat de omsloten 2d-ruimte niet vlak hoefde te zijn.
[een cirkel volgens K=x
2+y
2 bestaat ook in andere ruimten]
Je maakt hier een denk fout door te denken dat deze relatie ook gedefinieerd is voor andere ruimten. Je kan beter de relatief
K = d(P,x)
nemen. Met d het afstandsbegrip op je ruimte en P het beoogde middelpunt. Met deze definitie heeft de rest van je verhaal redelijk betekenis.
Met een formele aanpak zullen denkfouten gemakkelijker voorkomen worden maar ik vraag me af of er sprake van een denkfout is. Misschien veroorzaken mijn woordkeuzen enige onduidelijkheid. Ik ga uit van het standpunt dat een
middelpunt en een
straal van een cirkel totaal geen wiskundige betekenis hebben maar dat ze slechts gebruikt worden om locatie aan te geven als we als we een cirkel willen gaan tekenen (plotten) of een circulair object willen bouwen. . .als we dat doen verlaten we de wiskunde. In de relatie
K=(x-a)
2+(y-b)
2. . . .[1]
is er louter sprake van een relatie tussen getallen en deze relatie kunnen we definiëren als een blauwdruk om een cirkel te kunnen maken (bijvoorbeeld plotten met een computer dan wel stipjes op een grafiek zetten met alleen een liniaal en potlood. Op geen enkel ogenblik in de constructie komt een
straal of een
middelpunt in het geding. Het idee
straal is een aspect dat mensen er bij halen, o.a. als er een passer gebruikt wordt en het punt (a,b) op een grafiek is slechts een middel om de locatie van de cirkel te definiëren. In de relatie [1] zijn de getallen K, a en b geen coördinaten op de cirkel. . .de cirkel is gedineerd door de dataset (x,y) met gebruik van deze 3 brongetallen. As je met deze gedachte over een 2d-cirkel gaat praten. . .het is bij definitie een 2d-element. . .dan is het niet relevant wat de ruimte buiten de cirkel en binnen de cirkel doet (die ruimten hoeven niet eens volledig te bestaan). Als we spreken van een 2d-ruimte waarvan alleen de dataset van [1] Euclidisch is dan is er sprake van een Euclidische cirkel. . .de rest hoeft niet Euclidisch te zijn. In een niet-Euclidische ruimte kunnen er uiteraard Euclidische regio’s bestaan en ik neem een voorbeeld waarvoor [1] toevallig een Euclidische cirkel is. Dat is naar mijn mening geen denkfout maar een visie. . .mogelijk is mijn visie in strijd met conventie t.a.z.v. formele benamingen maar niemand kan eisen dat de getallen K,a,b coördinaten van de cirkel zijn of dat een straal een element van een cirkel is..
Met deze visie kan een niet-Euclidsche ruimte de relatie [1] kunnen bevatten maar zodanig de coördinaat (a,b)
niet kan bestaan. Dit is bijvoorbeeld het geval als er
toevallig op de locatie waar je (a,b) zou willen aanduiden geen "ruimte" zit (in normale taal zit er dan een gat). Het is dan niet relevant of de locatie waar je (a,b) zou willen plotten Euclidisch is of niet (als er daar "ruimte" zou zijn). Verder maak het niet uit of de ruimte, buiten set[1] lineair is of niet. Je kan allerlei variaties bedenken voor ruimten die niet overal vlak zijn zowel als ruimten die niet overal lineair zijn. Als je dan probeert het middelpunt van de cirkel [1] te vinden kan je interessante resultaten krijgen. In het algemeen noem ik er een paar. . .ik neem even alleen 2d-ruimten in beschouwing:
1. Het beoogde middelpunt (a,b) bestaat niet. Er is dan geen ruimte waar je (a,b) wilt aanduiden. . .Bijvoorbeeld de set [1] kan de omtrek van een "gat" zijn!;
2. De straal bestaat niet. Het getal K
1/2 bestaat in deze 2d ruimte wel maar het is niet noodzakelijkerwijs een lijn van (x,y) naar (a,b) in de 2d-ruimte;
3. Voor zover de ruimte bol is en (a,b) wel bestaat als coördinaat wordt het begrip middelpunt uitermate interessant. De cirkelset (x,y) kan i) een oneindig aantal middelpunten hebben en ii) de cirkel kan een straal van variabele lengte hebben als de lijn van (a,b) naar (x,y) door de gehele set(x,y) roteert. . .je mag niet vergeten dat deze lijn in de ruimte gedefinieerd moet zijn om als een lijn te kunnen bestaan. Dit is het geval indien de ruimte die de cirkel omsluit niet lineair is. . .je kan dit voorstellen als een excentrisch draaicenter (a,b) met een elastiekje er aan zodat het andere einde over de set (x,y) beweegt: voor elke draaihoek is er een andere straal;
4. Ik ga nog een stapje verder en zet het draaicenter (a,b) in een bolle 2d-ruimte. Het elastiekje tussen (a,b) en (x,y) is nu ook niet recht (in Euclidische zin) maar krom. . .ondanks dat staat het toch strak. . . .het zit immers in de bolle ruimte!
Ik kan nog wel een paar zaken bedenken die in deze 2d-ruimten waar [1] waar is maar niet strookt met de praktische begrippen die we normaliter aan een cirkel hangen zoals straal, middelpunt, oppervlak (binnen de cirkel voor een vlakke ruimte). Voor een kromme ruimte. . .heb ik gerealiseerd. . . is de aanduiding “binnen” de cirkel vaak betekenisloos is. Denk even aan een ballon: aan de cirkelvormige de blaastuit hangt een membraan maar dit membraan bestaat niet binnen de cirkel . . .de cirkel
omsluit het membraan. .dit heb ik van de woorden van Trias geleerd
Het is duidelijk dat ondanks het feit dat dataset (x,y] . . .de cirkel definieert dit gepaard kan gaan met afgeleiden van(x,y) dan wel geassocieerde begrippen voor cirkels in onze normale ervaring die geen betekenis hebben in andere 2d-ruimten dan we gewend zijn.
Bijv. de afgeleide van de cirkelfunctie in de vorm y=f(x)------> dy/dx(dy/dx) als het begrip “kromming” geeft en voor een cirkel het getal K
1/2 ophoest en dat is gelijk aan de lengte van de straal van een gewone cirkel. Het belangrijke punt hier is dat “kromming” geen enkele relatie heeft met een lijnsegment tussen (a,b) en (x,y) maar louter een getal is.
De volgende stap die ik maak gaat mogelijk ook buiten het formalisme dat voor 2d-wiskunde het gangbare is. Namelijk dat de relatie [1] niet alleen geldig is voor ruimten die op (x,y) plat zijn. Stel voor dat (x,y) in een ruimte gedefinieerd is dat de vorm heeft van een cilinder en dat het . . .als een analogie. . .gat in een membraan voorstelt. De relatie [1] in zonder meer waar. Maar het cirkelvormige gat . . .(patato-chip vorm) . . .heeft geen middelpunt . . .(a,b) bestaat immers niet! Ook bestaat de straal niet . . .als je voor dat voorbeeld een straal probeert te definiëren kom je onherroepelijk in de knoop. Het zelfde geldt voor het begrip oppervlak voor dit voorbeeld. Het gat in een membraan is slechts een analogie. . . in de voorgestelde 2d-ruimte is het begrip “gat” niet geldig. Over een gat kan je niet spreken omdat het er niet is. Je kan ook niet een oppervlak berekenen van iets dan niet bestaat!
Interessant is dat je voor de set (x,y) wel de kromming K
1/2 kan berekenen. Elk punt (x,y) heeft een kromming maar als je dat zou gebruiken om de straal te definiëren kom je bedrogen uit omdat (a,b) niet bestaat. Stel echter dat we de 2d-ruimte (de cilinder) in een 3d-ruimte zetten. Zodra je dat doet kan je een oneindig aantal middelpunten in de 3d-ruimte definiëren waarmee lijnsegmenten gedefinieerd kunnen worden tussen (x,y) in 2d en (p,q,r) in 3d. . . .een dergelijke interessante constructie gaat even mijn voorstellingsvermogen te boven. Mijn argument is dat in al deze voorbeelden de relatie [1] stand blijft houden en dus in al deze ruimten een cirkel genoemd mag worden.
De conclusie is dat een cirkel in de wiskundige zin niet eenvoudigweg plat en rond is maar een complex krom element kan zijn.. . .zoals de omtrek van een patato chip.
Denk aan een bol oppervlak. Dan is de omtrek van een cirkel met straal r kleiner dan 2 pi r.
Precies, maar dan is de straal een lijn van het punt (a,b) naar de set (x,y) en is een kromme die in het bolle oppervlak ligt. Consequentie is dat als je in dat voorbeeld er voor kiest om een middelpunt (a,b) te definiëren dat er van “het middelpunt van de cirkel” niet eenduidig sprake is. . .een middelpunt is daar niet noodzakelijkerwijs uniek. Als het bolle oppervlak toevallig een 3d-ruimte omsluit kan je ook een straal en een middelpunt binnen in de 3d-ruimte definiëren in het vlak van de cirkel. Sterker nog, op deze manier kan je oneindig veel stralen en oneindig veel middelpunten voor deze cirkel in de 3d-ruimte definiëren. Het een en ander is een consequentie van mijn visie hierboven.
[vierkant op een flexibel membraan]
Dit was in jouw definitie dus niet het geval. (Als je je membraan gaat rekken blijven je hoeken niet gelijk.)
Dat lijkt zo maar juist het prachtige van de wiskunde dat het wel waar kan zijn. . .je kunt het naar je hand zeten zodat een bepaalde stelling waargemaakt kan worden. In vergelijking met (-1)
1/2 is het zo dat toen we nog niet verder keken dan wat de schoolmeester ons voorschotelde we gewoon antwoord “dat kan niet” nakraaide tot op een moment dat we door een open raam een mooiere werkelijkheid konden zien waar (-1)
1/2 en log(-1,3) en e
i*pi tot leven geroepen werden.
In een 7d-ruimte kunnen we 7 orthogonale assen bedenken. . . of misschien beter is het te zeggen dat die 7 ortho-assen de 7d-ruimte creeren. . .met Trias moet ik goed op mijn worden letten
. Tussen de assen zitten 7 hoeken. . .laat ik elke hoek gewoon 90° noemen. . .het is immers een gewoon getal net zoals 2pi radian dat is en dan is die hoek in deze 7d-ruimmte een hoek waarvoor sin(hoek)=1 en cos(hoek)=0 geldt. . .het principe van ortogonaliteit is hiermee gedefinieerd.
Iemand kan wel gaan protesteren door te zeggen dat het niet klopt omdat die hoeken niet haaks zijn maar dat haalt de orthogonaliteit van de 7d-ruimte niet onderuit (
haaks is iets dat een Nederlandse timmerman in Duitsland bedacht heeft om het woordt
winkel te vertalen. . .ik heet toevallig
Winkelman en dat betekend "haaksman"
). Als ik dit 7d-ruimte voorbeeld naar een 2d-membraan vertaal denk ik het volgende te kunnen doen met niet-lineaire coördinaten en niet-vlakke ruimte:
A Ik definieer twee assen voor variabelen n1 en n2 op een 90° Euclidische hoek;
B Een vierkant wordt met een vertex op punt(0,0) gezet met de andere vertexen op (1,0), (1,1) en (0,1). Dat noem ik een vierkant;
C Het vierkant kunnen we als een flexibele ruimte beschouwen. In deze ruimte wordt bij elke hoek een radiaal raster bedacht met lijnen die totaal 90° voorstellen;
D Nu gaan de assen verdraaien en vervormen zodat ze naar elkaar toe bewegen en rekken dan wel krimpen en de ruimte dat omsloten is door de 4 ribben gaan vervormen en wel zodanig dat de graden “kleiner” of groter worden vanuit onze Euclidische visie. De vervormingen zijn zodanig dat:
i) alle hoeken orthogonaal blijven;
ii) de 4 vertexen blijven op de coördinaten (1,0), (1,1) en (0,1) zitten;
iii) de 2 ribben van (0,1) naar (1,1) en van (1,0) naar (1,1) zijn even lang zijn als de andere twee ribben: Int(ds) =1 over de ribben moet gelden
iv) de ruimtevervormingen moet zo zijn dat de ribben geodetische lijnen zijn en dus als “recht” gedefinieerd mogen worden.
Onder deze “constructie” wordt aan de definitie van een vierkant voldaan. In deze zin worden de twee assen als een orthogonaal stelsel beschouwd met de extra conditie dat de ruimte tussen de assen en de lengte van de assenaangepast wordt zodat items i t/m iv waar zijn.
Een vierkant kan er dan vanuit een Euclidisch meet-systeem uitzien als een ruitvorm dat in allerlei richtingen vervormd is.
De vraag is nog wel of alle items i t/m iv in een dergelijk coordinatenstelsel gerealiseerd kunnen worden. . . alleen zeggen dat het kan is niet genoeg. Een bewijs heb ik niet zomaar klaar liggen
[
Voor 200% gewijzigd door
Verwijderd op 18-11-2007 00:09
]
:strip_icc():strip_exif()/u/71134/crop68efa7ae6e1c6_cropped.jpg?f=community)
:strip_icc():strip_exif()/u/45765/3dfx2.jpg?f=community)
:strip_icc():strip_exif()/u/136527/ovide2.jpg?f=community)
:strip_icc():strip_exif()/u/36378/crop5a3f931ecfec0_cropped.jpeg?f=community)
:strip_icc():strip_exif()/u/204552/crop5f061f1e94305.jpeg?f=community)
:strip_icc():strip_exif()/u/25814/camus_small.jpg?f=community)
/u/171444/xavier.png?f=community)
als je wilt. . . .elk punt op de ribben van het vierkant heeft een gelijke afstand van een gegeven punt. /u/3273/crop62bb0d316df4f_cropped.png?f=community)
/u/20329/donald%2520avatar.png?f=community){kind=avatar}
(zo maar iets aannemen zonder het te testen of te verifiëren).
/u/100867/crop5601ca928ac47_cropped.png?f=community)
Het zijn ook van die lange teksten./u/203831/ts2.PNG?f=community)