Cyclometrische functies

[Anoniem: 152007]

Ik doe samen met mijn groepje een PO over cyclometrische functies, echter snap ik er niet veel van.
Er wordt hier gevraagd te bewijzen dat van de functies f(x)=( [u(x)]' ) / ( 1+u^2(x) ) de primitieven
F(X)=arctan( u(x) )+c zijn. Aan onze eigen leraar kunnen we niks vragen want dat krijgen we puntenaftrek van ons PO en de andere 3 wiskunde leraren zijn allemal alfa dodo's waar we niks aan hebben. Is er hier iemand die op (universitair) niveau wiskunde heeft gehad en kan uitleggen waarom deze regel geldt?

[Confusion]

Hoe bewijs je dat x² + c de primitieve van 2x is?

[_Squatt_]

Ik snap je vraag niet helemaal.
De afgeleide van arctan(t) is 1/(1 + t^2). Dat, samen met de kettingregel, maakt dat f(x) de afgeleide is van F(x).

Of moet je bewijzen dat d/dt arctan(t) = 1/(1 + t^2) ?

[Anoniem: 152007]

@confusion

als F(x)=px^n dan is
f(x)=npx^(n-1), bedoel je dat?

@_squatt_

Volgens mij bewijzen, ik typ het precies zoals het in mijn wiskunde boek staat! Dus ik denk je tweede ding van d/d(t). Want wat je als eerste zei, met die kettingregel, heb ik ook al gedaan maar dat is volgens mij geen bewijs, eerder toepassen van een gegeven regeltje met een andere regel...

Zou je mij kunnen uitleggen hoe dat bewijs in elkaar zit? Want door die regel die is gegeven kan ik een aantal opdrachten primitiveren maar eentje ( x^2 ) / (1 + x^6) lukt dus niet. Want om deze te primitiveren moet je of de teller primitiveren dan wordt het F(x)=arctan(1/3x^3) maar dan klopt de noemer niet want dat zou dan (1/3x^2)^3 = 1/3x^6 moeten zijn, ja toch?

[_Squatt_]

Anoniem: 152007 schreef op dinsdag 06 november 2007 @ 18:04:
Want door die regel die is gegeven kan ik een aantal opdrachten primitiveren

Welke regel(s) zijn gegeven?

Daar hangt het een beetje vanaf namelijk, als gegeven is dat:
d/dx arctan(x) = 1/(1 + x²) (1)
en dat:
d/dx (h(g(x))) = h'(g(x)) * g'(x) (de kettingregel)

Dan is het bewijs voor:
"De primitieve van f(x) = u'(x) / (1 + (u(x))²) is F(x) = arctan( u(x)) + C"
namelijk:
De afgeleide van F(x) is:
F'(x) = [ arctan( u(x)) ]' * u'(x) (toepassing van de ketting regel)
F'(x) = [ 1/(1 + (u(x))²) ] * u'(x) (toepassing van (1))
F'(x) = f(x)
Dus F(x) is de primitieve van f(x).
(en hier ga ik er eigenlijk al impliciet vanuit dat d/dx f(x)+g(x) = f'(x) + g'(x), zodat ik niet overal die 'C' heb staan die toch wegvalt.)

Maar ik weet niet of jij wordt geacht ook (1) en de kettingregel te bewijzen.

Voor x²/(1 + x⁶) begin je te moeilijk. Je ziet goed dat je moet beginnen met x³ in de arctan. Wat krijg je als je simpelweg arctan(x³) differentieert?

offtopic:
Tijd voor wat [latex][/latex] tags imo!

[Anoniem: 239378]

Hi Squad en Timmo,

Ik ben dus de tweede partner van timmo en wat squad schreef over afgeleide van arctan(x^3) volgt daaruit: 3x^2/ (1 + x^6). Maar dat is tog niet gelijk aan x^2/ (1+x^6)? Of moeten we iets doen waardoor de 3 van 3x verdwijnt door iets te delen of klopt de formule gewoon niet?

Groetjes,

Virsago

[_Squatt_]

Anoniem: 239378 schreef op woensdag 07 november 2007 @ 16:27:
Of moeten we iets doen waardoor de 3 van 3x verdwijnt door iets te delen of klopt de formule gewoon niet?

Met arctan(x³) ben je er inderdaad nog niet, maar het verschil is alleen een constante factor.

d/dx arctan( x³) = 3 * [ x²/(1 + x⁶) ]

Zoals je zegt hoef je alleen nog maar die '3' weg te werken. Dat is niet zo moeilijk, stel dat je de vergelijking 3a = b hebt. Hoe schrijf je dat dan om zodat er enkel een 'a' aan een kant van de vergelijking overblijft?

offtopic:
Je hoeft de groeten niet te doen, je naam staat al naast je bericht

[Anoniem: 152007]

_Squatt_ schreef op woensdag 07 november 2007 @ 17:24:
[...]

Met arctan(x³) ben je er inderdaad nog niet, maar het verschil is alleen een constante factor.

d/dx arctan( x³) = 3 * [ x²/(1 + x⁶) ]

Zoals je zegt hoef je alleen nog maar die '3' weg te werken. Dat is niet zo moeilijk, stel dat je de vergelijking 3a = b hebt. Hoe schrijf je dat dan om zodat er enkel een 'a' aan een kant van de vergelijking overblijft?

offtopic:
Je hoeft de groeten niet te doen, je naam staat al naast je bericht

a=b/3 -> a = 1/3*b thanks man!
* Anoniem: 152007 droomt ervan het wiskundig inzicht te hebben van _Squatt_



nouja zoals je ziet is het opgave 3 die ik aan het oplossen ben, zou je mij/ons op weg kunnen helpen met het echt bewijzen ervan, dus niet lullig dat gegeven regeltje ombouwen zoals ik heb gedaan?

verder nog de vraag, kan je dit toepassen op ruimtevaart? Voor de berekeningen van banen enzo?

[ Voor 25% gewijzigd door Anoniem: 152007 op 07-11-2007 17:59 ]

[GlowMouse]

Anoniem: 152007 schreef op dinsdag 06 november 2007 @ 18:04:
Want door die regel die is gegeven kan ik een aantal opdrachten primitiveren maar eentje ( x^2 ) / (1 + x^6) lukt dus niet.

Dat je die niet direct met de gegeven regel kunt doen, komt omdat hij niet staat in de vorm f(x)=( [u(x)]' ) / ( 1+u^2(x) ). Want uit de noemer blijkt dat u(x)=x³, en de teller zou dan 1/3*x² moeten zijn. Het is dus geen tegenvoorbeeld dat de regel onjuist is.
Wil je de regel toch letterlijk gebruiken, schrijf dan de functie eerst om naar 3 * 1/3*x²/(1+x⁶), en gebruik dat d/dx c*f(x) = c*d/dx f(x).
En die "alfa dodo's" zouden dit ook prima moeten kunnen hoor, mocht je daar wiskunde A docenten mee bedoelen

[Anoniem: 152007]

GlowMouse schreef op woensdag 07 november 2007 @ 17:50:
[...]

Dat je die niet direct met de gegeven regel kunt doen, komt omdat hij niet staat in de vorm f(x)=( [u(x)]' ) / ( 1+u^2(x) ). Want uit de noemer blijkt dat u(x)=x³, en de teller zou dan 1/3*x² moeten zijn. Het is dus geen tegenvoorbeeld dat de regel onjuist is.
Wil je de regel toch letterlijk gebruiken, schrijf dan de functie eerst om naar 3 * 1/3*x²/(1+x⁶), en gebruik dat d/dx c*f(x) = c*d/dx f(x).
En die "alfa dodo's" zouden dit ook prima moeten kunnen hoor, mocht je daar wiskunde A docenten mee bedoelen

Oh, niet die op mijn school hoor, mn teammaatje had het aan ze gevraagd en ze wisten het zelf ook niet echt! Mijn school is niet wat je noemt een goede school
En over die regel, ik wil hem ook niet letterlijk kunnen gebruiken dus ik zoek een echt bewijs-bewijs

[_Squatt_]

Bij opgave 2 heb je al afgeleid dat d/dx arctan(x) = 1/(1 + x²).

Dat mag je dan gewoon gebruiken bij opgave 3. Ik ga er vanuit dat je de kettingregel al hebt gehad en dus mag gebruiken (het bewijs daarvan heeft ook niet echt te maken met de stof die je nu bestudeerd). Meer heb je niet nodig om aan te tonen dat de regel die in opgave 3 wordt genoemd juist is (zie mijn 2e post).

In het algemeen gezegd: Als je wilt aantonen dat F(x) de primitieve is van f(x), dan differentieer je F(x). Is die afgeleide gelijk aan f(x), dan is F(x) de primitieve van f(x).

[Anoniem: 152007]

_Squatt_ schreef op woensdag 07 november 2007 @ 18:43:
Bij opgave 2 heb je al afgeleid dat d/dx arctan(x) = 1/(1 + x²).

Dat mag je dan gewoon gebruiken bij opgave 3. Ik ga er vanuit dat je de kettingregel al hebt gehad en dus mag gebruiken (het bewijs daarvan heeft ook niet echt te maken met de stof die je nu bestudeerd). Meer heb je niet nodig om aan te tonen dat de regel die in opgave 3 wordt genoemd juist is (zie mijn 2e post).

In het algemeen gezegd: Als je wilt aantonen dat F(x) de primitieve is van f(x), dan differentieer je F(x). Is die afgeleide gelijk aan f(x), dan is F(x) de primitieve van f(x).

Hmmm jah dat heb ik al gedaan! Maar is er nog een andere manier om het aan te tonen? Zoals GlowMouse al zei, het werkt alleen in die vorm. En ik wil het graag kunnen differentieren zonder het naar die specifieke vorm om te bouwen, of is dat niet mogelijk? Zeg maar, een dieper bewijs.

[dkrijgsman]

Zoals timo al zegt is het het eenvoudigst dit te bewijzen door F(x) te differentieren.

Voor differentieren zijn gewoon een aantal regels die je altijd mag gebruiken (kettingregel, productregel, enz). Deze regels zijn te bewijzen door de definitie de afgeleide te gebruiken.

Naast deze regels zijn er een aantal 'standaard' afgeleiden. Deze zijn ook bewezen door de definitie van de afgeleide en de definitie van de speciale functie te gebruiken. Zo valt er bijvoorbeeld te bewijzen dat d/dt(arctan(x))=1/(1+x^2)

Samen met deze 2 soorten regels kun je de afgeleide van veel (ik dacht zelfs alle) functies berekenen en zodoende (relatief) eenvoudig aantonen dat F(x) de primitieve van f(x) is.

Integreren daarentegen is vaak lastiger, hier zijn ook wel regels voor, maar lang niet alle functies zijn eenvoudig integreerbaar.

[Confusion]

dkrijgsman schreef op zondag 11 november 2007 @ 23:57:
Samen met deze 2 soorten regels kun je de afgeleide van veel (ik dacht zelfs alle) functies berekenen en zodoende (relatief) eenvoudig aantonen dat F(x) de primitieve van f(x) is.

Even mierenneuken: F(x) is een primitieve van f(x).

[Anoniem: 205192]

Offtopic: waarvoor word dit soort wiskunde gebruikt?

[Anoniem: 152007]

jongens, ik heb een nieuwe vraag, arctan(x) is tan^-1, maar niet 1/tan. Waarom is de afgeleide van arctan(x) 1/1+x^2 als de afgeleide van tan(x) 1+x^2 is?

[GlowMouse]

Anoniem: 152007 schreef op woensdag 14 november 2007 @ 18:17:
jongens, ik heb een nieuwe vraag, arctan(x) is tan^-1, maar niet 1/tan. Waarom is de afgeleide van arctan(x) 1/1+x^2 als de afgeleide van tan(x) 1+tan²(x) is?

Dat is een rekenregel; zie hier, zoek op inverse.

dkrijgsman schreef op zondag 11 november 2007 @ 23:57:
Samen met deze 2 soorten regels kun je de afgeleide van veel (ik dacht zelfs alle) functies berekenen en zodoende (relatief) eenvoudig aantonen dat F(x) de primitieve van f(x) is.

Wel veel, maar niet alle. Een eenvoudig voorbeeld is de functie f(x) = |x| (absolute waarde), waarvan de afgeleide in 0 niet eens bestaat.

Anoniem: 205192 schreef op maandag 12 november 2007 @ 22:34:
Offtopic: waarvoor wordt dit soort wiskunde gebruikt?

Van de arctan-functie weet ik zo snel geen praktisch voorbeeld, maar primitieven in het algemeen worden gebruikt om oppervlaktes te berekenen. Aangezien kansen ook weer oppervlaktes zijn, is alleen in de kansrekening het nut al enorm. De kansrekening wordt weer gebruikt bij verzekeringsmaatschappijen, voorraadbeheer, etc.

[ Voor 23% gewijzigd door GlowMouse op 14-11-2007 18:27 ]

[Anoniem: 152007]

Anoniem: 205192 schreef op maandag 12 november 2007 @ 22:34:
Offtopic: waarvoor word dit soort wiskunde gebruikt?

jouw vraag is hartstikke ONtopic, ik wil ook weten waarvoor dit wordt gebruikt! tot nu toe hebben we alleen globale toepassingen maar we kunnen geen echte echte berekeningen voor die toepassingen vinden! voorbeeld, volgens mij kan het worden gebruikt in de ruimtevaart, maar wat je er mee kan berekenen, je baan om mars ofzo, weet ik niet. iemand die ons hierbij tips kan/wil geven?

[Anoniem: 152007]

GlowMouse schreef op woensdag 14 november 2007 @ 18:20:
[...]

Dat is een rekenregel; zie hier, zoek op inverse.

Jah, maar waarom is het een rekenregel, wat ik dus bedoelde (maar de benaming vergeten) was, hoe kan ik het bewijzen dmv limieten oid? ik wil voor deze leraar echt een muurvast bewijs-bewijs hebben zodat we het maximum aantal punten krijgen

[GlowMouse]

Anoniem: 152007 schreef op woensdag 14 november 2007 @ 20:07:
[...]


Jah, maar waarom is het een rekenregel, wat ik dus bedoelde (maar de benaming vergeten) was, hoe kan ik het bewijzen dmv limieten oid? ik wil voor deze leraar echt een muurvast bewijs-bewijs hebben zodat we het maximum aantal punten krijgen

Ik heb wel een prachtig bewijs met epsilons en delta's e.d., maar dat ga jij niet begrijpen. Maar via de kettingregel kan het ook: neem f(g(x)) = ... (bedenk zelf wat er op de puntjes moet als f de inverse is van g) en differentieer links en rechts naar x.

[Anoniem: 8386]

Anoniem: 152007 schreef op woensdag 14 november 2007 @ 20:07:
[...]


Jah, maar waarom is het een rekenregel, wat ik dus bedoelde (maar de benaming vergeten) was, hoe kan ik het bewijzen dmv limieten oid? ik wil voor deze leraar echt een muurvast bewijs-bewijs hebben zodat we het maximum aantal punten krijgen

Je kan de ketting regel keihard bewijzen met limieten. Daarna is het bewijzen van de inverse regel niet zo moeilijk:

f(f^-1(x)) = x

dus:
1 = d/dx x
= d/dx f(f^-1(x))
= df/dx(f^-1(x))*d/dx f^-1(x)
=> d/dx f^-1(x) = 1/df/dx(f^-1(x))

(voor een netjes bewijs moet je nog ff wat zeggen over voor welke x dit geldt.)

Anoniem: 205192 schreef op maandag 12 november 2007 @ 22:34:
Offtopic: waarvoor word dit soort wiskunde gebruikt?

Ik meen dat dergelijk functies nog wel eens op duiken in de statistisch fysica.

GlowMouse schreef op woensdag 14 november 2007 @ 18:20:
[...]

Wel veel, maar niet alle. Een eenvoudig voorbeeld is de functie f(x) = |x| (absolute waarde), waarvan de afgeleide in 0 niet eens bestaat.

Ik durf zelfs te beweren dat de meeste functies niet differentieerbaar zijn. (de meeste zijn zelfs niet continu!)