Gelijke afstanden tot cirkels met verschillende straal

[Verwijderd]

Stel, ik zet twee luidsprekers in een ruimte. Ik vertraag een van de twee met een bepaald aantal miliseconden. Mijn doel is om een lijn (kromme?) te tekenen. Deze lijn vertegenwoordigt de plaatsen waarop het vertraagde geluid op dezelfde tijd aankomt als het onvertraagde geluid. Dit alles in het tweedimensionale vlak (anders wordt het erg lastig vrees ik).

Als ik het goed heb, neem ik dan twee punten die als middelpunt gelden van de geluidsgolven die daaruit komen. De golffronten kan ik tekenen als cirkels. Echter, omdat een van de twee bronnen vertraagd is, heb ik cirkels met verschillende stralen. Voor ieder tijdstip t kan ik twee cirkels tekenen. De verzameling snijpunten vormt de lijn die ik zoek.

Is hier een formule voor, of anders een eenvoudige manier om deze lijn te construeren?

[Meester_J]

je probeert te plaats van je bank te bepalen?
in principe heb je aan 2 snijpunten van de circels genoeg, en kan je daartussen een rechte lijn tekenen. het lastigst is is om het verschil in afstand te bepalen, maar als je weet dat geluid 300 m/s gaat, kan dat niet moeilijk zijn.

edit: als de circels geen gelijke straal hebben, krijg je inderdaad een kromme.. lastig lastig... is meer een "raakpunt van golven"

[ Voor 19% gewijzigd door Meester_J op 19-09-2007 11:41 ]

[Verwijderd]

Meester_J schreef op woensdag 19 september 2007 @ 11:34:
je probeert te plaats van je bank te bepalen?
in principe heb je aan 2 snijpunten van de circels genoeg, en kan je daartussen een rechte lijn tekenen. het lastigst is is om het verschil in afstand te bepalen, maar als je weet dat geluid 300 m/s gaat, kan dat niet moeilijk zijn.

Nee ik ben een scriptie aan het schrijven Je aanname klopt niet. Om even aan te duiden waar het probleem volgens mij zit: op het moment dat we op het tijdstip zitten waarbij de vertraagde luidspreker voor het eerst signaal gaat geven, is de andere luidspreker al bijvoorbeeld 20ms signaal aan het weergeven. De cirkel die ik teken ligt dus op 20ms 'afstand' van die luidspreker. De andere cirkel is op dat moment nog een oneindig kleine cirkel, oftewel een punt.

Ik weet dat de verzameling punten met gelijke afstand van een punt tot een cirkel een parabool vormen. Je stelling kan dus niet waar zijn.

edit:
Juist ja

[0rbit]

Je kunt die formule toch gewoon opstellen of niet?

Je hebt twee cirkels dus:

x^2 + y^2 = r1^2 en x^2 + y^2 = r2^2

Je kunt de ene cirkel ook schrijven als de straal van de andere plus de afstand door de vertraging:

x^2 + y^2 = (r1+delta)^2

Voor delta geldt de geluidssnelheid maal de vertragingstijd : delta = v0 * tau

Opstellen en oplossen als functie van r1 en tau? Lijkt me een koud kunstje

[Verwijderd]

Mr_Atheist schreef op woensdag 19 september 2007 @ 12:00:
Je kunt die formule toch gewoon opstellen of niet?

Je hebt twee cirkels dus:

x^2 + y^2 = r1^2 en x^2 + y^2 = r2^2

Je kunt de ene cirkel ook schrijven als de straal van de andere plus de afstand door de vertraging:

x^2 + y^2 = (r1+delta)^2

Voor delta geldt de geluidssnelheid maal de vertragingstijd : delta = v0 * tau

Opstellen en oplossen als functie van r1 en tau? Lijkt me een koud kunstje

Klinkt alsof je weet waar je het over hebt Ik vrees alleen dat mijn vwo wiskunde alweer een tijdje geleden is, dus hoe ik grafieken met cirkelfuncties moet tekenen (als ik dat ooit gehad heb) weet ik niet meer. Ik verwacht niet dat je me dat gaat voorkauwen, maar misschien heb je wel een kleine uitleg of een link naar waar uitgelegd staat hoe ik hiermee te werk moet gaan?
Onwijs bedankt trouwens

Edit:
Dat duurde even, maar het is gewoon Pythagoras natuurlijk Ik ga even aan de slag

[ Voor 4% gewijzigd door Verwijderd op 19-09-2007 12:31 ]

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 19 september 2007 @ 11:39:
[...]

Ik weet dat de verzameling punten met gelijke afstand van een punt tot een cirkel een parabool vormen. Je stelling kan dus niet waar zijn.

De lijn is een hyperbool. (Of een ellips als het punt binnen de cirkel licht.)
Klein verschil, maar toch.

Grafisch zijn de punten op deze hyperbool eenvoudig te vinden.
1) kies een punt A op de cirkel.
2) trek een lijn L door A en het middenpunt van de cirkel.
3) teken de middenloodlijn M tussen A en het punt.
4) Het kruispunt van L en M licht dan de gezochte curve.

(Merk op dat de gevonde curve twee takken heeft, zoals het een hyperbool betaamd. Jij bent slechts in een tak geinteresseerd en het lijkt me duidelijk welke dat is.)

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 19 september 2007 @ 12:27:
[...]

De lijn is een hyperbool. (Of een ellips als het punt binnen de cirkel licht.)
Klein verschil, maar toch.

Grafisch zijn de punten op deze hyperbool eenvoudig te vinden.
1) kies een punt A op de cirkel.
2) trek een lijn L door A en het middenpunt van de cirkel.
3) teken de middenloodlijn M tussen A en het punt.
4) Het kruispunt van L en M licht dan de gezochte curve.

(Merk op dat de gevonde curve twee takken heeft, zoals het een hyperbool betaamd. Jij bent slechts in een tak geinteresseerd en het lijkt me duidelijk welke dat is.)

Dit is een methode om één punt op die hyperbool te vinden, ik zou graag de hele hyperbool construeren, vandaar dat ik verwachtte met een formule beter af te zijn. Daarnaast gaat het uiteindelijk toch echt om de gelijke afstand tussen twee cirkels, ik geloof niet dat deze methode daarop is toe te passen...

[Verwijderd]

Mr_Atheist schreef op woensdag 19 september 2007 @ 12:00:
Je kunt die formule toch gewoon opstellen of niet?

Je hebt twee cirkels dus:

x^2 + y^2 = r1^2 en x^2 + y^2 = r2^2

Je kunt de ene cirkel ook schrijven als de straal van de andere plus de afstand door de vertraging:

x^2 + y^2 = (r1+delta)^2

Voor delta geldt de geluidssnelheid maal de vertragingstijd : delta = v0 * tau

Opstellen en oplossen als functie van r1 en tau? Lijkt me een koud kunstje

Je maakt een foutje. Je vergeet de twee cirkels verschillende middelpunten te geven. Je moet iets hebben van de vorm:
SQRT((x-p_x)^2+(y-p_y)^2) = SQRT((x-m_x)^2+(y-m_y)^2) - delta

waarbij (p_x,p_y) de coordinaten van het punt zijn en (m_x,m_y) de coordinaten van het middenpunt van de cirkel. Voor het gemak kan je deze laatste in de oorsprong plaatsen. Met invoering van een parameter r = SQRT(x^2+y^2) krijg je dan twee vergelijingen met twee onbekende:

r^2 = x^2+y^2
(r-delta)^2 = (x-p_x)^2+(y-p_y)^2

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 19 september 2007 @ 11:28:
Stel, ik zet twee luidsprekers in een ruimte. Ik vertraag een van de twee met een bepaald aantal miliseconden. Mijn doel is om een lijn (kromme?) te tekenen. Deze lijn vertegenwoordigt de plaatsen waarop het vertraagde geluid op dezelfde tijd aankomt als het onvertraagde geluid. Dit alles in het tweedimensionale vlak (anders wordt het erg lastig vrees ik).

Als ik het goed heb, neem ik dan twee punten die als middelpunt gelden van de geluidsgolven die daaruit komen. De golffronten kan ik tekenen als cirkels. Echter, omdat een van de twee bronnen vertraagd is, heb ik cirkels met verschillende stralen. Voor ieder tijdstip t kan ik twee cirkels tekenen. De verzameling snijpunten vormt de lijn die ik zoek.

Is hier een formule voor, of anders een eenvoudige manier om deze lijn te construeren?

De twee Luisprekers(LS) zitten op een line de eerste twee pulsen raken elkaar op de lijn tussen de twee LS. De eerste puls legt afstand A af en de tweede(vertraagde puls) legt afstanmd B af:

A= V*T1
B= V*(T1-Δt). . .Δt is de vertraging van de puls.

De afstand tussen de twee LS is A+B. . .dit is het eerste raak punt van de twee pulsen.
Bekijk het nu ΔT seconden later. . .ΔT is een wille keurige tijd zodat beide pulsen de zelfde afstand hebben afgelegd. . .je krijgt twee nieuwe cirkels. . .gemakkelijk net je passer te tekenen. Het nieuwe raakpunt vormt twee driehoeken waar de twee nieuwe een nieuw raakpunt hebben. . .(er zijn uiteraard een oneindig aantal raakpunten).

De twee schuine zijden van de twee driehoeken hebben de volgende lengte:
De korte noem ik B' en de lange noe3m ik A'

A'= V*(T1+ΔT ). . .ΔT is een meetbare grote tijd
B'= V*(T1-Δt+ΔT). . .Δt is de kleine vertraging maar geen differentiaal kleine tijd

Je hebt nu twee driekoeken met twee bekende lengtes zoals ik hierboven heb aangegeven.
Je dient slechts deze verhouding tussen de 4 benen en het gezamenlijke been op te lossen en dan krijg je de wiswkundige relatie voor de raakpunten.

Dit proces herhaal je een paar keer en vanuit die lijn die onstaat kan je in eerste instantie opmaken of die lijn recht is of niet. Als die lijn niet recht is kan je vanuit deze relatie een differentiaalform van de lijn opzetten en het op die manier proberen op te lossen. Je stelt dan het volgende voor een tijd dT later

A'= V*(T1+dT ). . .dT is een onmeetbare korte tijd
B'= V*(T1-Δt+dT). . .Δt is de kleine vertraging als voorheen

en probeer daarmee de vorm van de lijn te synthesiseren. Leuke klus.

Ik ga het alsnog niet uitwerken. . .jij moet ook iets doen

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 19 september 2007 @ 12:36:
[...]

Dit is een methode om één punt op die hyperbool te vinden, ik zou graag de hele hyperbool construeren, vandaar dat ik verwachtte met een formule beter af te zijn. Daarnaast gaat het uiteindelijk toch echt om de gelijke afstand tussen twee cirkels, ik geloof niet dat deze methode daarop is toe te passen...

De curve met gelijke afstand tot twee cirkels is hetzelfde als een curve met gelijke afstand naar een punt (het middel punt van de kleinste cirkel) en een kleinere cirkel met hetzelfde middelpunt als de grootste cirkel en straal gelijk aan het verschil van de grootste en kleinste straal

[Verwijderd]

Holy Smokes! In ongeveer een uur tijd zijn er al 9 reacties gekomen.
9 mensen die dus niets anders te doen hebben

Ik heb net een motorongeluk gehad, zo ik heb een excuus

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 19 september 2007 @ 12:47:
[...]


De curve met gelijke afstand tot twee cirkels is hetzelfde als een curve met gelijke afstand naar een punt (het middel punt van de kleinste cirkel) en een kleinere cirkel met hetzelfde middelpunt als de grootste cirkel en straal gelijk aan het verschil van de grootste en kleinste straal

Dus dat houdt in dat het resultaat wel een hyperbool wordt begrijp ik? Of denk ik nu te makkelijk?

[Verwijderd]

Verwijderd schreef op woensdag 19 september 2007 @ 13:16:
[...]

Dus dat houdt in dat het resultaat wel een hyperbool wordt begrijp ik? Of denk ik nu te makkelijk?

Dat zie je correct.

[KopjeThee]

Verwijderd schreef op woensdag 19 september 2007 @ 12:43:
[...]


Je maakt een foutje. Je vergeet de twee cirkels verschillende middelpunten te geven. Je moet iets hebben van de vorm:
SQRT((x-p_x)^2+(y-p_y)^2) = SQRT((x-m_x)^2+(y-m_y)^2) - delta

waarbij (p_x,p_y) de coordinaten van het punt zijn en (m_x,m_y) de coordinaten van het middenpunt van de cirkel. Voor het gemak kan je deze laatste in de oorsprong plaatsen. Met invoering van een parameter r = SQRT(x^2+y^2) krijg je dan twee vergelijingen met twee onbekende:

r^2 = x^2+y^2
(r-delta)^2 = (x-p_x)^2+(y-p_y)^2

Als je je orientatie nog wat aanpast (luidsprekers beide op x-as), dan kan je p_y ook nog wel 0 maken. p_x is dan in feite de afstand tussen de 2 luidsprekers (d voor het gemak).

We hebben dan, als ik het goed heb:
1) x^2 + y^2 = t^2 (de cirkel om luidspreker 1)
2) (x-d)^2 + y^2 = (t + delta_t)^2 (de cirkel om luidspreker 2)

Invullen om t weg te werken, geeft:
3) (x-d)^2 + y^2 = (sqrt(x^2 + y^2) + delta_t)^2

Dit valt vast te herschrijven tot iets lelijks van de vorm:
y = f(x, d, delta_t)

Edit:
Misschien is dit ook niet zo moeilijk voor het 3d geval (zoals in TS):
(x-d)^2 + y^2 + z^2= (sqrt(x^2 + y^2 + z^2) + delta_t)^2
Dan omschrijven tot: z = f(x, y, d, delta_t)

[ Voor 7% gewijzigd door KopjeThee op 21-09-2007 20:46 ]

[KopjeThee]

Ik zat even te internetten (vrijdagmiddag...), en je kunt er wel leuk mee spelen on-line:

vergelijkingen oplossen
x^2+y^2=t^2
(x-5)^2+y^2=(t+2)^2
variabele y
eliminate t

Interpretatie:
luidspreker 1 staat in (0,0)
luidspreker 2 staat in (5,0)
Luidspreker 2 krijgt 2 "meter" voorsprong

Oplossingen:
1/4*sqr(21)*sqr(4*x*x-20*x+21)
-1/4*sqr(21)*sqr(4*x*x-20*x+21)

Deze oplossingen kan je hier invullen en laten tekenen.

Als je die 2 kleiner maakt, dan zie je ook duidelijk dat het steeds meer een rechte lijn wordt bij x = 2,5.

Het 3d geval kan je mooi hier plotten.

[ Voor 7% gewijzigd door KopjeThee op 21-09-2007 20:41 ]